معادلة ذات ميل طفيف

📅 آخر تحديث: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 111 صور
الموسوعة الحرة
محاكاة اختراق الأمواج - بما في ذلك الانعراج والانكسار - في تيديوس كريك، ماريلاند، باستخدام CGWAVE (الذي يحل معادلة الميل المعتدل)

في ديناميكا الموائع ، تصف معادلة المنحدر الطفيف التأثيرات المشتركة للحيود والانكسار على أمواج الماء المنتشرة فوق تضاريس قاع البحر ، وذلك بسبب الحدود الجانبية - مثل حواجز الأمواج والخطوط الساحلية . وهي نموذج تقريبي، استمد اسمه من كونه طُوِّر في الأصل لانتشار الأمواج فوق المنحدرات الطفيفة لقاع البحر. تُستخدم معادلة المنحدر الطفيف غالبًا في الهندسة الساحلية لحساب تغيرات مجال الأمواج بالقرب من الموانئ والسواحل .

تُحاكي معادلة الميل الطفيف انتشار وتحول أمواج الماء أثناء انتقالها عبر مياه ذات أعماق متفاوتة وتفاعلها مع الحدود الجانبية كالجروف والشواطئ والجدران البحرية وحواجز الأمواج . ونتيجةً لذلك، تصف هذه المعادلة تغيرات سعة الموجة ، أو ما يُعادلها ارتفاع الموجة . ومن سعة الموجة، يُمكن حساب سعة تذبذبات سرعة التدفق تحت سطح الماء. ويمكن استخدام هاتين الكميتين - سعة الموجة وسعة سرعة التدفق - لاحقًا لتحديد تأثيرات الأمواج على المنشآت الساحلية والبحرية، والسفن، والأجسام العائمة الأخرى، ونقل الرواسب ، وما ينتج عنه من تغيرات في قاع البحر والساحل، ومجالات التدفق المتوسطة، وانتقال كتلة المواد الذائبة والعائمة. وفي أغلب الأحيان، تُحل معادلة الميل الطفيف باستخدام الحاسوب من خلال أساليب التحليل العددي .

طُوِّرت الصيغة الأولى لمعادلة الميل الطفيف بواسطة إيكارت عام 1952، ثم اشتق يوري بيركوف نسخة محسّنة منها - وهي معادلة الميل الطفيف بصيغتها الكلاسيكية - بشكل مستقل عام 1972. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] بعد ذلك، اقتُرحت العديد من الصيغ المعدلة والموسعة لتشمل تأثيرات عوامل مثل: تفاعل الموجة مع التيار ، وعدم خطية الموجة ، وانحدار قاع البحر، واحتكاك القاع ، وتكسر الموجة . كما تُستخدم تقريبات القطع المكافئ لمعادلة الميل الطفيف غالبًا لتقليل التكلفة الحسابية.

في حالة العمق الثابت، تتحول معادلة الميل المعتدل إلى معادلة هيلمهولتز لانعراج الموجات.

صياغة لحركة الموجة أحادية اللون

بالنسبة للأمواج أحادية اللون وفقًا للنظرية الخطية ، مع ارتفاع السطح الحر المعطى على النحو التالي:ζ(x،y،ت)=ℜ{η(x،y)هـ-أناωت}{\displaystyle \zeta (x,y,t)=\Re \left\{\eta (x,y)\,e^{-i\omega t}\right\}}والأمواج التي تنتشر على طبقة سائلة ذات عمق مائي متوسطح(x،y){\displaystyle h(x,y)}—معادلة الميل المعتدل هي: [ 4 ]∇⋅(جصجز∇η)+ك2جصجزη=0،{\displaystyle \nabla \cdot \left(c_{p}\,c_{g}\,\nabla \eta \right)\,+\,k^{2}\,c_{p}\,c_{g}\,\eta \,=\,0,} أين:

تعتمد سرعة الطور وسرعة المجموعة على علاقة التشتت ، ويتم اشتقاقها من نظرية موجة آيري على النحو التالي: [ 5 ]

ω2=زكtanh(كح)،جص=ωكوجز=12جص[1+كح1-tanh2⁡(كح)tanh(كح)]\begin{aligned}\omega^2&=\,g\,k\,\tanh\,(kh),\\c_p&=\,{\frac{\omega}{k}}\quad\text{و}}\\c_g&=\,{\frac{1}{2}}\,c_p\,\left[1\,+\,kh\,{\frac{1-\tanh^2(kh)}{\tanh\,(kh)}}\right]\end{aligned}}} أين

بالنسبة لتردد زاوي معينω{\displaystyle \omega }، العدد الموجيك{\displaystyle k}يجب حلها من معادلة التشتت، التي تربط هاتين الكميتين بعمق الماءح{\displaystyle h}.

التحويل إلى معادلة هيلمهولتز غير المتجانسة

من خلال التحول ψ=ηجصجز،{\displaystyle \psi \,=\,\eta \,{\sqrt {c_{p}\,c_{g}}},} يمكن صياغة معادلة الميل المعتدل في شكل معادلة هيلمهولتز غير المتجانسة : [ 4 ] [ 6 ]Δψ+كج2ψ=0معكج2=ك2-Δ(جصجز)جصجز،{\displaystyle \Delta \psi \,+\,k_{c}^{2}\,\psi \,=\,0\qquad {\text{مع}}\qquad k_{c}^{2}\,=\,k^{2}\,-\,{\frac {\Delta \left({\sqrt {c_{p}\,c_{g}}}\right)}{\sqrt {c_{p}\,c_{g}}}},} أينΔ{\displaystyle \Delta }هو عامل لابلاس .

الموجات المنتشرة

في الحقول المتماسكة مكانيًا للموجات المنتشرة، من المفيد تقسيم السعة المركبةη(x،y){\displaystyle \eta (x,y)}في سعتها وطورها، وكلاهما ذو قيمة حقيقية : [ 7 ]η(x،y)=أ(x،y)هـأناθ(x،y)،{\displaystyle \eta (x,y)\,=\,a(x,y)\,e^{i\,\theta (x,y)},} أين

  • أ=|η|{\displaystyle a=|\eta |\,}هي السعة أو القيمة المطلقة لـη{\displaystyle \eta \,}و
  • θ=arg⁡{η}{\displaystyle \theta =\arg\{\eta \}\,}هي طور الموجة، وهو زاويةη.{\displaystyle \eta .}

يؤدي هذا إلى تحويل معادلة الميل الطفيف إلى مجموعة المعادلات التالية (باستثناء المواقع التي∇θ{\displaystyle \nabla \theta }(مفرد): [ 7 ]

∂κy∂x-∂κx∂y=0 مع κx=∂θ∂x و κy=∂θ∂y،κ2=ك2+∇⋅(جصجز∇أ)جصجزأ مع κ=κx2+κy2 و∇⋅(vزهـ)=0 مع هـ=12ρزأ2وvز=جزκك،{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \kappa _{y}}{\partial {x}}}\,-\,{\frac {\partial \kappa _{x}}{\partial {y}}}\,=\,0\qquad &{\text{ with }}\kappa _{x}\,=\,{\frac {\partial \theta }{\partial {x}}}{\text{ and }}\kappa _{y}\,=\,{\frac {\partial \theta }{\partial {y}}},\\\kappa ^{2}\,=\,k^{2}\,+\,{\frac {\nabla \cdot \left(c_{p}\,c_{g}\,\nabla a\right)}{c_{p}\,c_{g}\,a}}\qquad &{\text{ with }}\kappa \,=\,{\sqrt {\kappa _{x}^{2}\,+\,\kappa _{y}^{2}}}\quad {\text{ and}}\\\nabla \cdot \left({\boldsymbol {v}}_{g}\,E\right)\,=\,0\qquad &{\text{ with }}E\,=\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,g\,a^{2}\quad {\text{and}}\quad {\boldsymbol {v}}_{g}\,=\,c_{g}\,{\frac {\boldsymbol {\kappa }}{k}},\end{aligned}}} أين

  • هـ{\displaystyle E}هي متوسط ​​كثافة طاقة الموجة لكل وحدة مساحة أفقية (مجموع كثافتي الطاقة الحركية والكامنة )،
  • κ{\displaystyle {\boldsymbol {\kappa }}}هو متجه العدد الموجي الفعال، وله مكونات(κx،κy)،{\displaystyle (\kappa _{x},\kappa _{y}),}
  • vز{\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{g}}هو متجه سرعة المجموعة الفعال ،
  • ρ{\displaystyle \rho }هي كثافة السائل ، و
  • ز{\displaystyle g}هو التسارع الناتج عن جاذبية الأرض .

تُظهر المعادلة الأخيرة أن طاقة الموجة محفوظة في معادلة الميل الطفيف، وأن طاقة الموجةهـ{\displaystyle E}يتم نقلها فيκ{\displaystyle {\boldsymbol {\kappa }}}- الاتجاه العمودي على قمم الموجات (في هذه الحالة، حركة الموجة النقية بدون تيارات متوسطة). [ 7 ] سرعة المجموعة الفعالة|vز|{\displaystyle |{\boldsymbol {v}}_{g}|}يختلف عن سرعة المجموعةجز.{\displaystyle c_{g}.}

تنص المعادلة الأولى على أن العدد الموجي الفعالκ{\displaystyle {\boldsymbol {\kappa }}}وهي غير دورانية ، وهي نتيجة مباشرة لكونها مشتقة من طور الموجةθ{\displaystyle \theta }، وهو حقل قياسي . المعادلة الثانية هي معادلة الإيكونال . وهي توضح تأثيرات الحيود على العدد الموجي الفعال: فقط بالنسبة للموجات التقدمية تقريبًا، مع|∇⋅(جصجز∇أ)|≪ك2جصجزأ،{\displaystyle \left|\nabla \cdot (c_{p}\,c_{g}\,\nabla a)\right|\ll k^{2}\,c_{p}\,c_{g}\,a,}الانقسام إلى سعةأ{\displaystyle a}والمرحلةθ{\displaystyle \theta }يؤدي ذلك إلى مجالات متسقة ومتغيرة وذات مغزىأ{\displaystyle a}وκ{\displaystyle {\boldsymbol {\kappa }}}وإلا، فقد تصبح قيمة κ² سالبة. وعند إهمال تأثيرات الحيود تمامًا، يكون العدد الموجي الفعال κ مساويًا لـك{\displaystyle k}ويمكن استخدام تقريب البصريات الهندسية لانكسار الموجات . [ 7 ]

تفاصيل اشتقاق المعادلات المذكورة أعلاه

متىη=أخبرة⁡(أناθ){\displaystyle \eta =a\,\exp(i\theta )}إذا تم استخدامها في معادلة الميل الطفيف، فإن النتيجة هي، بصرف النظر عن عاملخبرة⁡(أناθ){\displaystyle \exp(i\theta )}:

جصجز(Δأ+2أنا∇أ⋅∇θ-أ∇θ⋅∇θ+أناأΔθ)+∇(جصجز)⋅(∇أ+أناأ∇θ)+ك2جصجزأ=0.{\displaystyle c_{p}\,c_{g}\,\left(\Delta a\,+\,2i\,\nabla a\cdot \nabla \theta \,-\,a\,\nabla \theta \cdot \nabla \theta \,+\,i\,a\,\Delta \theta \right)\,+\,\nabla \left(c_{p}\,c_{g}\right)\cdot \left(\nabla a\,+\,i\,a\,\nabla \theta \right)\,+\,k^{2}\,c_{p}\,c_{g}\,a\,=\,0.}

الآن، يجب أن يكون كل من الجزء الحقيقي والجزء التخيلي من هذه المعادلة مساوياً للصفر: جصجزΔأ-جصجزأ∇θ⋅∇θ+∇(جصجز)⋅∇أ+ك2جصجزأ=0و2جصجز∇أ⋅∇θ+جصجزأΔθ+∇(جصجز)⋅(أ∇θ)=0.{\displaystyle {\begin{aligned}&c_{p}\,c_{g}\,\Delta a\,-\,c_{p}\,c_{g}\,a\,\nabla \theta \cdot \nabla \theta \,+\,\nabla \left(c_{p}\,c_{g}\right)\cdot \nabla a\,+\,k^{2}\,c_{p}\,c_{g}\,a\,=\,0\quad {\text{and}}\\&2\,c_{p}\,c_{g}\,\nabla a\cdot \nabla \theta \,+\,c_{p}\,c_{g}\,a\,\Delta \theta \,+\,\nabla \left(c_{p}\,c_{g}\right)\cdot \left(a\,\nabla \theta \right)\,=\,0.\end{aligned}}}

متجه العدد الموجي الفعالκ{\displaystyle {\boldsymbol {\kappa }}}يُعرَّف بأنه تدرج طور الموجة: κ=∇θ{\displaystyle {\boldsymbol {\kappa }}=\nabla \theta }وطول متجهها هوκ=|κ|.{\displaystyle \kappa =|{\boldsymbol {\kappa }}|.}

لاحظ أنκ{\displaystyle {\boldsymbol {\kappa }}}هو حقل غير دوراني ، لأن التفاف التدرج يساوي صفرًا: ∇×κ=0.{\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {\kappa }}=0.}

الآن، يصبح الجزءان الحقيقي والخيالي من معادلة الميل المعتدل المحولة كما يلي، وذلك بضرب الجزء الخيالي أولاً فيأ{\displaystyle a}: κ2=ك2+∇(جصجز)جصجز⋅∇أأ+Δأأوجصجز∇(أ2)⋅κ+جصجز∇⋅κ+أ2κ⋅∇(جصجز)=0.{\displaystyle {\begin{aligned}&\kappa ^{2}\,=\,k^{2}\,+\,{\frac {\nabla (c_{p}\,c_{g})}{c_{p}\,c_{g}}}\cdot {\frac {\nabla a}{a}}\,+\,{\frac {\Delta a}{a}}\quad {\text{and}}\\&c_{p}\,c_{g}\,\nabla \left(a^{2}\right)\cdot {\boldsymbol {\kappa }}\,+\,c_{p}\,c_{g}\,\nabla \cdot {\boldsymbol {\kappa }}\,+\,a^{2}\,{\boldsymbol {\kappa }}\cdot \nabla \left(c_{p}\,c_{g}\right)\,=\,0.\end{aligned}}}

تؤدي المعادلة الأولى مباشرة إلى معادلة الإيكونال المذكورة أعلاه لـκ{\displaystyle \kappa \,}أما الثاني فيعطي: ∇⋅(κجصجزأ2)=0،{\displaystyle \nabla \cdot \left({\boldsymbol {\kappa }}\,c_{p}\,c_{g}\,a^{2}\right)\,=\,0,}

والذي - من خلال ملاحظة أنجص=ω/ك{\displaystyle c_{p}=\omega /k}حيث التردد الزاويω{\displaystyle \omega }ثابت للحركة التوافقية الزمنية - يؤدي إلى معادلة حفظ طاقة الموجة.

اشتقاق معادلة الميل الطفيف

يمكن اشتقاق معادلة الميل الطفيف باستخدام عدة طرق. سنستخدم هنا منهجًا حسابيًا . [ 4 ] [ 8 ] يُفترض أن المائع غير لزج وغير قابل للانضغاط ، وأن التدفق غير دوامي . هذه الافتراضات صحيحة بالنسبة لأمواج الجاذبية السطحية، حيث أن تأثيرات الدوامة واللزوجة لا تكون ذات أهمية إلا في طبقات ستوكس الحدية (للجزء التذبذبي من التدفق). ولأن التدفق غير دوامي، يمكن وصف حركة الموجة باستخدام نظرية التدفق الكامن .

تفاصيل اشتقاق معادلة الميل الطفيف

مبدأ لوقا التبايني

تُقدّم صيغة لاغرانج للوك صيغةً تباينيةً لموجات الجاذبية السطحية غير الخطية . [ 9 ] في حالة مجال غير محدود أفقيًا بكثافة ثابتةρ{\displaystyle \rho }، سطح سائل حر عندz=ζ(x،y،ت){\displaystyle z=\zeta (x,y,t)}وقاع بحر ثابت عندz=-ح(x،y)،{\displaystyle z=-h(x,y),}مبدأ لوقا التباينيدلتال=0{\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=0}يستخدم لاغرانجيانل=∫ت0ت1∬لدxدyدت،{\displaystyle {\mathcal {L}}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint L\,{\text{d}}x\,{\text{d}}y\,{\text{d}}t,} أينل{\displaystyle L}هي كثافة لاغرانج الأفقية ، المعطاة بالصيغة التالية: ل=-ρ{∫-ح(x،y)ζ(x،y،ت)[∂Φ∂ت+12((∂Φ∂x)2+(∂Φ∂y)2+(∂Φ∂z)2)]دz+12ز(ζ2-ح2)}،{\displaystyle L=-\rho \,\left\{\int _{-h(x,y)}^{\zeta (x,y,t)}\left[{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+\,{\frac {1}{2}}\left(\left({\frac {\partial \Phi }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \Phi }{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)^{2}\right)\right]\;{\text{d}}z\;+\,{\frac {1}{2}}\,g\,(\zeta ^{2}\,-\,h^{2})\right\},}

أينΦ(x،y،z،ت){\displaystyle \Phi (x,y,z,t)}يمثل جهد السرعة ، وتكون مكونات سرعة التدفق هي∂Φ/∂x،{\displaystyle \partial \Phi /\partial {x},}∂Φ/∂y{\displaystyle \partial \Phi /\partial {y}}و∂Φ/∂z{\displaystyle \partial \Phi /\partial {z}}فيx{\displaystyle x}،y{\displaystyle y}وz{\displaystyle z}الاتجاهات، على التوالي. يمكن أيضًا إعادة صياغة صيغة لاغرانج للوك إلى صيغة هاميلتونية بدلالة ارتفاع السطح وجهد السرعة عند السطح الحر. [ 10 ] مع أخذ تغيراتل(Φ،ζ){\displaystyle {\mathcal {L}}(\Phi ,\zeta )}فيما يتعلق بالإمكاناتΦ(x،y،z،ت){\displaystyle \Phi (x,y,z,t)}وارتفاع السطحζ(x،y،ت){\displaystyle \zeta (x,y,t)}يؤدي ذلك إلى معادلة لابلاس لـΦ{\displaystyle \Phi }في باطن السائل، وكذلك جميع الشروط الحدية على السطح الحرz=ζ(x،y،ت){\displaystyle z=\zeta (x,y,t)}كما هو الحال عند السرير فيz=-ح(x،y).{\displaystyle z=-h(x,y).}

نظرية الموجة الخطية

في حالة نظرية الموجة الخطية، يكون التكامل الرأسي في كثافة لاغرانجل{\displaystyle L}ينقسم إلى جزء من السريرz=-ح{\displaystyle z=-h}إلى السطح المتوسط ​​عندz=0،{\displaystyle z=0,}وجزء ثانٍ منz=0{\displaystyle z=0}إلى السطح الحرz=ζ{\displaystyle z=\zeta }باستخدام متسلسلة تايلور للتكامل الثاني حول متوسط ​​ارتفاع السطح الحرz=0،{\displaystyle z=0,}والاحتفاظ فقط بالحدود التربيعية فيΦ{\displaystyle \Phi }وζ،{\displaystyle \zeta ,}الكثافة اللاغرانجيةل0{\displaystyle L_{0}}تصبح حركة الموجة الخطية ل0=-ρ{ζ[∂Φ∂ت]z=0+∫-ح012[(∂Φ∂x)2+(∂Φ∂y)2+(∂Φ∂z)2]دz+12زζ2}.{\displaystyle L_{0}=-\rho \,\left\{\zeta \,\left[{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right]_{z=0}\,+\,\int _{-h}^{0}{\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial \Phi }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \Phi }{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)^{2}\right]\;{\text{d}}z\;+\,{\frac {1}{2}}\,g\,\zeta ^{2}\,\right\}.}

على المدى∂Φ/∂ت{\displaystyle \partial \Phi /\partial {t}}يُهمل الحد في التكامل الرأسي لأنه أصبح غير ذي أهمية ديناميكية: فهو لا يُساهم في معادلات أويلر-لاغرانج ، مع تثبيت حد التكامل العلوي الآن. وينطبق الشيء نفسه على الحد السفلي المهمل المتناسب معح2{\displaystyle h^{2}}في طاقة الوضع.

تنتشر الموجات أفقياً(x،y){\displaystyle (x,y)}المستوى، بينما بنية الإمكاناتΦ{\displaystyle \Phi }لا يشبه الموجة في الاتجاه الرأسيz{\displaystyle z}في الاتجاه - يشير هذا إلى استخدام الافتراض التالي بشأن شكل الجهدΦ:{\displaystyle \Phi :} Φ(x،y،z،ت)=و(z؛x،y)φ(x،y،ت){\displaystyle \Phi (x,y,z,t)=f(z;x,y)\,\varphi (x,y,t)}مع التطبيعو(0؛x،y)=1{\displaystyle f(0;x,y)=1}عند متوسط ​​ارتفاع السطح الحرz=0.{\displaystyle z=0.}

هناφ(x،y،ت){\displaystyle \varphi (x,y,t)}يمثل جهد السرعة عند مستوى السطح الحر المتوسطz=0.{\displaystyle z=0.}بعد ذلك، يتم افتراض الميل الطفيف، حيث تكون دالة الشكل الرأسيةو{\displaystyle f}التغيرات ببطء في(x،y){\displaystyle (x,y)}المستوى، والمشتقات الأفقية لـو{\displaystyle f}يمكن إهمالها في سرعة التدفق. لذا: (∂Φ∂x∂Φ∂y∂Φ∂z)≈(و∂φ∂xو∂φ∂y∂و∂zφ).{\displaystyle {\begin{pmatrix}{\dfrac {\partial \Phi }{\partial {x}}}\\[2ex]{\dfrac {\partial \Phi }{\partial {y}}}\\[2ex]{\dfrac {\partial \Phi }{\partial {z}}}\end{pmatrix}}\,\approx \,{\begin{pmatrix}f{\dfrac {\partial \varphi }{\partial {x}}}\\[2ex]f{\dfrac {\partial \varphi }{\partial {y}}}\\[2ex]{\dfrac {\partial {f}}{\partial {z}}}\,\varphi \end{pmatrix}}.}

نتيجة ل: ل0=-ρ{ζ∂φ∂ت+12F[(∂φ∂x)2+(∂φ∂y)2]+12جيφ2+12زζ2}،{\displaystyle L_{0}=-\rho \left\{\zeta {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\,+{\frac {1}{2}}\,F\left[\left({\frac {\partial \varphi }{\partial {x}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial {y}}}\right)^{2}\right]\,+{\frac {1}{2}}\,G\varphi ^{2}+{\frac {1}{2}}\,g\zeta ^{2}\right\},}معF=∫-ح0و2دzجي=∫-ح0(دودz)2دz.{\displaystyle {\begin{aligned}F&=\int _{-h}^{0}f^{2}\,{\text{d}}z\\G&=\int _{-h}^{0}\left({\frac {{\text{d}}f}{{\text{d}}z}}\right)^{2}{\text{d}}z.\end{aligned}}}

معادلات أويلر -لاغرانج لكثافة لاغرانج هذهل0{\displaystyle L_{0}}هم، معξ(x،y،ت){\displaystyle \xi (x,y,t)}يمثل إماφ{\displaystyle \varphi }أوζ:{\displaystyle \zeta :} ∂ل0∂ξ-∂∂ت(∂ل0∂(∂ξ/∂ت))-∂∂x(∂ل0∂(∂ξ/∂x))-∂∂y(∂ل0∂(∂ξ/∂y))=0.{\displaystyle {\frac {\partial {L_{0}}}{\partial \xi }}-{\frac {\partial }{\partial {t}}}\left({\frac {\partial {L_{0}}}{\partial (\partial \xi /\partial {t})}}\right)-{\frac {\partial }{\partial {x}}}\left({\frac {\partial {L_{0}}}{\partial (\partial \xi /\partial {x})}}\right)-{\frac {\partial }{\partial {y}}}\left({\frac {\partial {L_{0}}}{\partial (\partial \xi /\partial {y})}}\right)=0.}

الآنξ{\displaystyle \xi }يتم أولاً اعتبارها مساوية لـφ{\displaystyle \varphi }ثم إلىζ.{\displaystyle \zeta .} ونتيجة لذلك، تصبح معادلات تطور حركة الموجة كما يلي: [ 4 ]∂ζ∂ت+∇⋅(F∇φ)-جيφ=0و∂φ∂ت+زζ=0،{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \zeta }{\partial t}}\,&+\nabla \cdot \left(F\,\nabla \varphi \right)-G\varphi =0\quad {\text{and}}\\{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\,&+\,g\zeta =0,\end{aligned}}} مع ∇ عامل التدرج الأفقي: ∇ ≡ (∂/∂ x , ∂/∂ y ) T حيث يشير الرمز العلوي T إلى المنقول .

الخطوة التالية هي اختيار دالة الشكلو{\displaystyle f}ولتحديدF{\displaystyle F}وجي.{\displaystyle G.}

دالة الشكل الرأسية من نظرية موجات آيري

بما أن الهدف هو وصف الأمواج فوق قيعان ذات ميل طفيف، فإن دالة الشكلو(z){\displaystyle f(z)}يتم اختيارها وفقًا لنظرية موجات آيري . وهي النظرية الخطية للموجات التي تنتشر على عمق ثابتح.{\displaystyle h.}شكل دالة الشكل هو: [ 4 ]و=ضرب بالعصا⁡(ك(z+ح))ضرب بالعصا⁡(كح)،{\displaystyle f={\frac {\cosh \left(k\left(z+h\right)\right)}{\cosh(kh)}},} معك(x،y){\displaystyle k(x,y)}الآن ليس ثابتًا بشكل عام، ولكن يتم اختياره ليتغير معx{\displaystyle x}وy{\displaystyle y}وفقًا للعمق المحليح(x،y){\displaystyle h(x,y)}وعلاقة التشتت الخطي: [ 4 ]ω02=زكtanh⁡(كح).{\displaystyle \omega _{0}^{2}=gk\tanh(kh).}

هناω0{\displaystyle \omega _{0}}تردد زاوي ثابت، يتم اختياره وفقًا لخصائص مجال الموجة قيد الدراسة. وبالتالي، فإن التكاملاتF{\displaystyle F}وجي{\displaystyle G}يصبح: [ 4 ]F=∫ح0و2دz=1زجصجزوجي=∫ح0(∂و∂z)2دz=1ز(ω02-ك2جصجز).{\displaystyle {\begin{aligned}F&=\int _{h}^{0}f^{2}\,{\text{d}}z={\frac {1}{g}}c_{p}c_{g}\quad {\text{and}}\\G&=\int _{h}^{0}\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\right)^{2}{\text{d}}z={\frac {1}{g}}\left(\omega _{0}^{2}-k^{2}c_{p}c_{g}\right).\end{aligned}}}

توضح المعادلات التالية المعتمدة على الزمن تطور ارتفاع السطح الحرζ(x،y،ت){\displaystyle \zeta (x,y,t)}وجهد السطح الحرϕ(x،y،ت):{\displaystyle \phi (x,y,t):}[ 4 ]ز∂ζ∂ت+∇⋅(جصجز∇φ)+(ك2جصجز-ω02)φ=0،∂φ∂ت+زζ=0،معω02=زكtanh⁡(كح).{\displaystyle {\begin{aligned}g\,{\frac {\partial \zeta }{\partial {t}}}&+\nabla \cdot \left(c_{p}c_{g}\,\nabla \varphi \right)+\left(k^{2}c_{p}c_{g}-\omega _{0}^{2}\right)\varphi =0,\\{\frac {\partial \varphi }{\partial {t}}}&+g\zeta =0,\quad {\text{with}}\quad \omega _{0}^{2}=gk\tanh(kh).\end{aligned}}}

من معادلتي التطور، أحد المتغيراتφ{\displaystyle \varphi }أوζ{\displaystyle \zeta }يمكن حذفها، للحصول على الشكل المعتمد على الزمن لمعادلة الميل المعتدل: [ 4 ]-∂2ζ∂ت2+∇⋅(جصجز∇ζ)+(ك2جصجز-ω02)ζ=0،{\displaystyle -{\frac {\partial ^{2}\zeta }{\partial t^{2}}}+\nabla \cdot \left(c_{p}c_{g}\,\nabla \zeta \right)+\left(k^{2}c_{p}c_{g}-\omega _{0}^{2}\right)\zeta =0,} والمعادلة المقابلة لجهد السطح الحر هي نفسها، معζ{\displaystyle \zeta }تم استبدالها بـφ.{\displaystyle \varphi .}يمكن استخدام معادلة الميل المعتدل المعتمدة على الزمن لنمذجة الموجات في نطاق ضيق من الترددات حولω0.{\displaystyle \omega _{0}.}

موجات أحادية اللون

ضع في اعتبارك الموجات أحادية اللون ذات السعة المركبةη(x،y){\displaystyle \eta (x,y)}والتردد الزاويω{\displaystyle \omega }: ζ(x،y،ت)=ℜ{η(x،y)هـ-أناωأنات}،{\displaystyle \zeta (x,y,t)=\Re \left\{\eta (x,y)\,e^{-i\omega it}\right\},} معω{\displaystyle \omega }وω0{\displaystyle \omega _{0}}تم اختيارهم على قدم المساواة،ω=ω0.{\displaystyle \omega =\omega _{0}.}باستخدام هذا في الشكل المعتمد على الزمن لمعادلة الميل الخفيف، يتم استعادة معادلة الميل الخفيف الكلاسيكية لحركة الموجة التوافقية الزمنية: [ 4 ]∇⋅(جصجز∇η)+ك2جصجزη=0.{\displaystyle \nabla \cdot \left(c_{p}\,c_{g}\,\nabla \eta \right)\,+\,k^{2}\,c_{p}\,c_{g}\,\eta \,=\,0.}

مدى قابلية تطبيق وصحة معادلة الميل الطفيف

تُقدّم معادلة الميل المعتدل القياسية، دون إضافة حدود لميل قاع النهر وانحنائه، نتائج دقيقة لحقل الأمواج فوق ميول القاع التي تتراوح من صفر إلى حوالي ثلث الميل. [ 11 ] مع ذلك، قد تكون بعض الجوانب الدقيقة، مثل سعة الأمواج المنعكسة، خاطئة تمامًا، حتى بالنسبة للميول التي تقترب من الصفر. لا تُعدّ هذه الظاهرة الرياضية ذات أهمية عملية تُذكر عمومًا، إذ يصبح هذا الانعكاس ضئيلاً للغاية عند ميول القاع الصغيرة.

ملحوظات

  1. ↑ إيكارت، سي. (1952)، "انتشار موجات الجاذبية من المياه العميقة إلى المياه الضحلة" ، منشور رقم 20 ، المكتب الوطني للمعايير: 165-173 ، رمز Bibcode : 1952grwa.conf..165E
  2. ↑ بيركوف، جيه سي دبليو (1972)، "حساب الانكسار والحيود المدمجين"، وقائع المؤتمر الدولي الثالث عشر للهندسة الساحلية ، فانكوفر، ص 471-490 ، doi : 10.9753/icce.v13.23 {{citation}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )
  3. ↑ بيركوف، جيه سي دبليو (1976)، نماذج رياضية لنماذج موجات الماء الخطية التوافقية البسيطة؛ انكسار الموجات وحيودها (ملف PDF) (أطروحة دكتوراه)، جامعة دلفت للتكنولوجيا
  4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 دينجمانز (1997 ، الصفحات 248–256 و378–379) 
  5. ↑ دينغمانز (1997 ، ص 49) 
  6. ^ مي (1994 ، ص 86-89) 
  7. 1 2 3 4 دينجمانز (1997 ، الصفحات من 259 إلى 262) 
  8. ↑ بوي، ن. (1981)، موجات الجاذبية على الماء ذي العمق والتيار غير المنتظمين (ملف PDF) (أطروحة دكتوراه)، جامعة دلفت للتكنولوجيا، رمز Bibcode : 1981PhDT........37B
  9. ↑ لوك، جيه سي (1967)، "مبدأ تبايني لسائل ذي سطح حر"، مجلة ميكانيكا الموائع ، 27 (2): 395-397 ، رمز Bibcode : 1967JFM....27..395L ، doi : 10.1017/S0022112067000412 ، S2CID 123409273 
  10. ↑ مايلز، جيه دبليو (1977)، "حول مبدأ هاميلتون للأمواج السطحية"، مجلة ميكانيكا الموائع ، 83 (1): 153-158 ، رمز Bibcode : 1977JFM....83..153M ، doi : 10.1017/S0022112077001104 ، S2CID 121777750 
  11. ↑ بوي، ن. (1983)، "ملاحظة حول دقة معادلة المنحدر الطفيف"، هندسة السواحل ، 7 (1): 191-203 ، Bibcode : 1983CoasE...7..191B ، doi : 10.1016/0378-3839(83)90017-0

مراجع

  • دينغمانز، إم دبليو (1997)، انتشار موجات الماء فوق القيعان غير المستوية ، سلسلة متقدمة في هندسة المحيطات، المجلد  13، وورلد ساينتيفيك، سنغافورة، ISBN 981-02-0427-2، OCLC 36126836 ، جزآن، 967 صفحة.
  • ليو، ب. ل. ف. (1990)، "تحول الأمواج"، في ب. لو ميهوتيه ود. م. هانز (محرران)، علوم هندسة المحيطات ، البحر، المجلد  9أ، وايلي إنترساينس، الصفحات 27-63 ، رقم ISBN  0-471-52856-0
  • مي، تشيانغ سي. (1994)، الديناميكا التطبيقية لأمواج سطح المحيط ، سلسلة متقدمة في هندسة المحيطات، المجلد  1، وورلد ساينتيفيك، ISBN 9971-5-0789-7، 740 صفحة.
  • بورتر، د.؛ تشامبرلين، ب. ج. (1997)، "تشتت الموجات الخطية بواسطة تضاريس ثنائية الأبعاد"، في ج. ن. هانت (محرر)، موجات الجاذبية في الماء ذي العمق المحدود ، التقدم في ميكانيكا الموائع، المجلد  10، منشورات الميكانيكا الحاسوبية، الصفحات 13-53 ، ISBN  1-85312-351-X
  • بورتر، د. (2003)، "معادلات الميل الطفيف"، مجلة ميكانيكا الموائع ، 494 : 51-63 ، رمز Bibcode : 2003JFM...494...51P ، doi : 10.1017/S0022112003005846 ، S2CID 121112316