الدوامة

في ميكانيكا الأوساط المتصلة ، تُعرَّف الدوامية بأنها حقل متجه زائف (أو متجه محوري) يصف الحركة الدورانية الموضعية لوسط متصل بالقرب من نقطة معينة (ميل الجسم للدوران ^{[ 1 ]} )، كما يراها مراقب موجود عند تلك النقطة ويتحرك مع اتجاه التدفق . وهي كمية مهمة في النظرية الديناميكية للموائع ، وتوفر إطارًا مناسبًا لفهم مجموعة متنوعة من ظواهر التدفق المعقدة، مثل توليد قوة الرفع على الأجنحة. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

رياضياً، الدوامة${\displaystyle {\boldsymbol {\أوميغا }}}$هو التفاف سرعة التدفق${\displaystyle \mathbf {v} }$: ^{[ 4 ] [ 3 ]}

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\equiv \nabla \times \mathbf {v} \,,}$

أين${\displaystyle \nabla }$هو عامل نابلا . من الناحية المفاهيمية،${\displaystyle {\boldsymbol {\أوميغا }}}$يمكن تحديد ذلك عن طريق تحديد أجزاء من وسط متصل في جوار صغير للنقطة المعنية، ومراقبة إزاحاتها النسبية أثناء تحركها على طول التدفق. الدوامية${\displaystyle {\boldsymbol {\أوميغا }}}$سيكون هذا ضعف متوسط ​​متجه السرعة الزاوية لتلك الجسيمات بالنسبة إلى مركز كتلتها ، والموجه وفقًا لقاعدة اليد اليمنى . وبحسب تعريفه، فإن متجه الدوامة هو حقل لولبي لأن${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\omega }}=0.}$

في التدفق ثنائي الأبعاد ،${\displaystyle {\boldsymbol {\أوميغا }}}$يكون دائمًا عموديًا على مستوى التدفق، وبالتالي يمكن اعتباره حقلًا قياسيًا .

ترتبط ديناميكيات الدوامة ارتباطًا وثيقًا بالسحب من خلال علاقة جوزيفسون-أندرسون. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

رياضياً، تُعتبر دوامية التدفق ثلاثي الأبعاد حقلاً متجهياً زائفاً، ويُرمز لها عادةً بـ${\displaystyle {\boldsymbol {\أوميغا }}}$، ويُعرَّف بأنه التفاف حقل السرعة${\displaystyle \mathbf {v} }$وصف الحركة المتصلة. في الإحداثيات الديكارتية :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {v} =\left({\dfrac {\partial v_{z}}{\partial y}}-{\dfrac {\partial v_{y}}{\partial z}},{\dfrac {\partial v_{x}}{\partial z}}-{\dfrac {\partial v_{z}}{\partial x}},{\dfrac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\dfrac {\partial v_{x}}{\partial y}}\right)\,.\end{aligned}}}$

يمكننا أيضًا التعبير عن ذلك باستخدام ترميز الفهرس كما يلي:${\displaystyle \omega _{i}=\varepsilon _{ijk}{\frac {\partial v_{k}}{\partial x_{j}}}}$[ ^{7 ] بعبارة أخرى} ، تخبرنا الدوامة كيف يتغير متجه السرعة عندما يتحرك المرء مسافة متناهية الصغر في اتجاه عمودي عليه.

في تدفق ثنائي الأبعاد حيث تكون السرعة مستقلة عن${\displaystyle z}$- إحداثيات وليس لديه${\displaystyle z}$في المركبة -، يكون متجه الدوامة دائمًا موازيًا لـ${\displaystyle z}$المحور -، وبالتالي يمكن التعبير عنه كحقل قياسي مضروب في متجه وحدة ثابت${\displaystyle {\hat {z}}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {v} =\left({\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{z}\,.\end{aligned}}}$

ترتبط الدوامة أيضًا بدوران التدفق (التكامل الخطي للسرعة) على طول مسار مغلق بواسطة نظرية ستوكس (الكلاسيكية) . أي، لأي عنصر سطح متناهي الصغر C ذي اتجاه عمودي${\displaystyle \mathbf {n} }$والمنطقة${\displaystyle dA}$، التداول${\displaystyle d\Gamma }$على طول محيط${\displaystyle C}$هو حاصل الضرب النقطي${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\cdot (\mathbf {n} \,dA)}$أين${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$هي الدوامة في مركز${\displaystyle C}$[ ^{8 ]​}

بما أن الدوامة متجه محوري، فإنه يمكن ربطها بموتر مضاد للتناظر من الدرجة الثانية${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$(ما يسمى بالدوامية أو موتر الدوران)، والذي يقال إنه ثنائي لـ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$العلاقة بين الكميتين، باستخدام الترميز القياسي، تُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle \Omega _{ij}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{ijk}\omega _{k},\qquad \omega _{i}=\varepsilon _{ijk}\Omega _{jk}}$

أين${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$هو موتر ليفي-تشيفيتا ثلاثي الأبعاد . موتر الدوامة هو ببساطة الجزء غير المتناظر من الموتر${\displaystyle \nabla \mathbf {v} }$، أي،

${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}={\frac {1}{2}}\left[(\nabla \mathbf {v} )^{T}-\nabla \mathbf {v} \right]\quad {\text{or}}\quad \Omega _{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}\right).}$

في كتلة متصلة تدور كجسم صلب، تكون الدوامة ضعف متجه السرعة الزاوية لهذا الدوران. وهذا هو الحال، على سبيل المثال، في النواة المركزية لدوامة رانكين . ^{[ 9 ]}

قد لا تكون الدوامية صفرًا حتى عندما تتدفق جميع الجسيمات على طول مسارات مستقيمة ومتوازية ، في حال وجود قص (أي إذا تباينت سرعة التدفق عبر خطوط الانسياب ). على سبيل المثال، في التدفق الصفائحي داخل أنبوب ذي مقطع عرضي ثابت ، تتحرك جميع الجسيمات موازية لمحور الأنبوب؛ ولكن بسرعة أكبر بالقرب من هذا المحور، وتكون شبه ثابتة بجوار الجدران. ستكون الدوامية صفرًا على المحور، وأقصى قيمة لها بالقرب من الجدران، حيث يكون القص في أقصى حد.

على النقيض، قد ينعدم الدوام في التدفق حتى وإن كانت جسيماته تتحرك على مسارات منحنية. ومن الأمثلة على ذلك الدوامة المثالية غير الدورانية ، حيث تدور معظم الجسيمات حول محور مستقيم، بسرعة تتناسب عكسيًا مع بعدها عن ذلك المحور. أما جزء صغير من الوسط المتصل لا يقع على جانبي المحور، فسيدور في اتجاه معين ولكنه يتعرض للقص في الاتجاه المعاكس، بحيث تكون سرعته الزاوية المتوسطة حول مركز كتلته صفرًا.

أمثلة على التدفقات:
دوامة تشبه الجسم الصلب v ∝ r	تدفق متوازٍ مع قص	الدوامة غير الدورانية v ∝ 1 / r
حيث v هي سرعة التدفق، و r هي المسافة إلى مركز الدوامة، و ∝ تشير إلى التناسب . السرعات المطلقة حول النقطة المظللة:
السرعات النسبية (مكبرة) حول النقطة المحددة
الدوامة ≠ 0	الدوامة ≠ 0	الدوامة = 0

هناك طريقة أخرى لتصوّر الدوامة، وهي تخيّل أن جزءًا صغيرًا من الوسط المتصل يتحوّل فجأةً إلى جسم صلب، بينما يختفي باقي التدفق. إذا كان هذا الجسيم الصلب الصغير يدور، بدلًا من أن يتحرك مع التدفق فحسب، فهذا يعني وجود دوامة في التدفق. في الشكل أدناه، يُظهر الشكل الفرعي الأيسر عدم وجود دوامة، بينما يُظهر الشكل الفرعي الأيمن وجودها.

يتم وصف تطور حقل الدوامة مع مرور الوقت بواسطة معادلة الدوامة ، والتي يمكن اشتقاقها من معادلات نافيير-ستوكس . ^{[ 10 ]}

في العديد من التدفقات الحقيقية التي يمكن فيها إهمال اللزوجة (وتحديدًا في التدفقات ذات عدد رينولدز العالي )، يمكن نمذجة حقل الدوامة بمجموعة من الدوامات المنفصلة، ​​حيث تكون الدوامة ضئيلة في كل مكان باستثناء مناطق صغيرة من الفضاء تحيط بمحاور الدوامات. وينطبق هذا على حالة التدفق الكامن ثنائي الأبعاد (أي التدفق ثنائي الأبعاد عديم اللزوجة)، حيث يمكن نمذجة حقل التدفق كحقل ذي قيم مركبة على المستوى المركب .

تُعدّ الدوامية مفيدةً لفهم كيفية تعديل حلول التدفق الكامن المثالية لمحاكاة التدفقات الحقيقية. وبشكل عام، يؤدي وجود اللزوجة إلى انتشار الدوامية بعيدًا عن مراكز الدوامات إلى مجال التدفق العام؛ ويُفسَّر هذا التدفق بواسطة حد الانتشار في معادلة نقل الدوامية. ^{[ 11 ]}

خط الدوامة أو خط الدوامة هو خط يكون مماساً في كل مكان لمتجه الدوامة المحلي. تُعرَّف خطوط الدوامة بالعلاقة ^{[ 12 ].}

${\displaystyle {\frac {dx}{\omega _{x}}}={\frac {dy}{\omega _{y}}}={\frac {dz}{\omega _{z}}}\,,}$

أين${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=(\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z})}$يمثل متجه الدوامة في الإحداثيات الديكارتية .

الأنبوب الدوامي هو السطح في الوسط المتصل الذي يتشكل من جميع خطوط الدوامات التي تمر عبر منحنى مغلق (قابل للاختزال) معين في الوسط المتصل. تُعرف "قوة" الأنبوب الدوامي (وتُسمى أيضًا تدفق الدوامة ) ^{[ 13 ]} بأنها تكامل الدوامية عبر مقطع عرضي من الأنبوب، وهي متساوية في جميع أنحاء الأنبوب (لأن تباعد الدوامية يساوي صفرًا). ومن نتائج نظريات هيلمهولتز (أو ما يعادلها، نظرية كلفن للدوران ) أن "قوة" الأنبوب الدوامي في المائع غير اللزج تظل ثابتة مع الزمن. وتُسبب التأثيرات اللزجة خسائر احتكاكية وتغيرًا مع الزمن. ^{[ 14 ]}

في التدفق ثلاثي الأبعاد، يمكن تكثيف الدوامة (كما تُقاس بالتكامل الحجمي لمربع مقدارها) عندما يمتد خط الدوامة - وهي ظاهرة تُعرف باسم تمدد الدوامة . ^{[ 15 ]} تحدث هذه الظاهرة في تكوين دوامة حوض الاستحمام في الماء المتدفق للخارج، وتكوين الإعصار بفعل تيارات الهواء الصاعدة.

• معادلة الدوامة الباروتروبية
• مفارقة دالمبير
• الانتروبيا
• بالينستروفي
• جهد السرعة
• دوامة
• أنبوب دوامي
• تمدد الدوامة
• دوامة حدوة الحصان
• دوامات أطراف الأجنحة

• أتشيسون، دي جيه (1990). ديناميكا الموائع الأساسية . مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 0-19-859679-0.
• لانداو، إل دي؛ ليفشيتز، م (1987). ميكانيكا الموائع (  الطبعة الثانية). إلسفير. رقم ISBN 978-0-08-057073-0.
• بوزريكيديس، سي. (2011). مقدمة في الديناميكا النظرية والحسابية للموائع . مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-975207-2.
• جويون، إتيان؛ هولين، جان بيير؛ بيتي، لوك؛ ميتيسكو، كاتالين د. (2001). الديناميكا المائية الفيزيائية . مطبعة جامعة أكسفورد. رقم ISBN 0-19-851746-7.
• باتشيلور، جي كي (2000) [1967]، مقدمة في ديناميكا الموائع ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 0-521-66396-2
• كلانسي، إل جيه (1975)، الديناميكا الهوائية ، دار بيتمان للنشر المحدودة، لندن ، رقم ISBN 0-273-01120-0
• " مسرد مصطلحات الطقس " © قناة الطقس التفاعلية، 2004.
• " الدوامية ". النشر المتكامل.

• أوهكيتاني، ك.، " شرح مبسط للدوامية والمعادلات ذات الصلة ". مطبعة جامعة كامبريدج. 30 يناير 2005. ISBN 0-521-81984-9
• تشورين، ألكسندر ج. ، " الدوامية والاضطراب ". العلوم الرياضية التطبيقية، المجلد 103، سبرينغر-فيرلاغ. 1 مارس 1994. ISBN 0-387-94197-5
• ماجدا، أندرو جيه ، وأندريا إل. بيرتوزي، " الدوامية والتدفق غير القابل للانضغاط ". مطبعة جامعة كامبريدج؛ 2002. ISBN 0-521-63948-4
• تريتون، دي جيه ، " ديناميكا الموائع الفيزيائية ". فان نوستراند رينهولد، نيويورك. 1977. ISBN 0-19-854493-6
• أرفكن، ج.، " الأساليب الرياضية للفيزيائيين "، الطبعة الثالثة. دار النشر الأكاديمية، أورلاندو، فلوريدا. 1985. ISBN 0-12-059820-5

• وايسشتاين، إريك دبليو، " الدوامية ". Scienceworld.wolfram.com.
• دوسويل الثالث، تشارلز أ.، " مقدمة عن الدوامية لتطبيقها في الخلايا الفائقة والأعاصير ". المعهد التعاوني لدراسات الأرصاد الجوية متوسطة النطاق، نورمان، أوكلاهوما.
• كريمر، ماجستير العلوم، " معادلات نافيير-ستوكس - نظريات نقل الدوامة : مقدمة ". أسس ميكانيكا الموائع.
• باركر، دوغلاس، " ENVI 2210 – ديناميكيات الغلاف الجوي والمحيطات، 9: الدوامة ". كلية البيئة، جامعة ليدز. سبتمبر 2001.
• غراهام، جيمس ر. ، " علم الفلك 202: ديناميكا الغازات الفيزيائية الفلكية ". قسم علم الفلك، جامعة كاليفورنيا في بيركلي .
  • " معادلة الدوامة: السوائل غير القابلة للانضغاط والسوائل الباروتروبية ".
  • " تفسير معادلة الدوامة ".
  • " نظرية كلفن للدوامية للتدفق غير القابل للانضغاط أو التدفق الباروتروبي ".
• " Spherepack 3.1 مؤرشف بتاريخ 22-06-2004 في Wayback Machine ". (يتضمن مجموعة من برامج FORTRAN vorticity)
• " توقعات نموذج MC2 في الوقت الحقيقي للمجتمع القابل للانضغاط على نطاق متوسط ". (تحليل الدوامة الكامنة)