جدول جيب مادهافا

جدول مادهافا للجيوب هو جدولٌ للجيوب المثلثية وضعه عالم الرياضيات والفلك مادهافا من سانغاماغراما (حوالي 1340 - حوالي 1425) من ولاية كيرالا في القرن الرابع عشر . يسرد الجدول قيم الجيب المثلثي ( أو Rsine) للزوايا الأربع والعشرين من 3.75 درجة إلى 90 درجة، بزيادات قدرها 3.75 درجة (أي 1/24 من الزاوية القائمة ، 90 درجة). ويُحسب Rsine ببساطة بضرب الجيب في نصف قطر مُختار ، ويُعطى كعدد صحيح. في هذا الجدول، كما في جدول أريابهاتا السابق ، يُؤخذ R على أنه 21600 ÷ 2π ≈ 3437.75.   

تم ترميز الجدول بأحرف الأبجدية السنسكريتية باستخدام نظام كاتابايادي ، مما يعطي المدخلات مظهر أبيات القصيدة.

لم يُعثر على العمل الأصلي لمادهافا الذي يحتوي على الجدول. وقد نُشر الجدول في كتاب "أريابهاتيابهاشيا" لنيلاكانثا سوماياجي ^{[ 1 ]} (1444-1544)، وكذلك في شرح "يوكتيديبكا/لاغوفيفرتي" لكتاب "تانتراسامغراها" لشانكارا فاريار (حوالي 1500-1560). ^{[ 2 ] : 114-123}

الآيات الواردة أدناه مأخوذة من كتاب "الأسس الثقافية للرياضيات" لـ سي كي راجو. ^{[ 2 ] : 114-123.} وهي واردة أيضاً في التعليق المالايالامي على كتاب "كاراناباداتي" لـ بي كي كورو ^{[ 3 ]} ولكن بصيغة مختلفة قليلاً.

الآيات هي:

تمثل أرباع الأبيات الستة الأولى قيم الزوايا الأربع والعشرين من 3.75° إلى 90° بزيادات قدرها 3.75° (العمود الأول). يحتوي العمود الثاني على قيم Rsine مُشفّرة بكلمات سنسكريتية (بالخط الديفاناغاري). ويحتوي العمود الثالث على القيم نفسها مُترجمةً وفقًا لمعيار ISO 15919. أما العمود الرابع فيحتوي على الأرقام مُفكّكة إلى دقائق قوسية، وثوانٍ قوسية، وأثلاث قوسية بالأرقام الحديثة. وتُعطى القيم الحديثة مُقاسةً بنصف القطر التقليدي (21600 ÷ 2π ) ، مع القيمة الحديثة لـ π برقمين عشريين في الأثلاث القوسية، في العمود الخامس.

ويعني البيت الأخير: "هذه هي جيوب R العظيمة كما قال مادهافا، والتي تشمل الدقائق القوسية والثواني والأثلاث. طرح كل منها من سابقتها يعطي فروق جيوب R."

بالمقارنة، يمكن للمرء أن يلاحظ أن قيم مادهافا معطاة بدقة مقربة إلى الدقة المعلنة للثلث باستثناء Rsin(15°) حيث يشعر المرء أنه كان ينبغي عليه التقريب إلى 889′45″16‴ بدلاً من ذلك.

لاحظ أنه في نظام كاتابايادي، تُكتب الأرقام بترتيب عكسي، فعلى سبيل المثال، القيمة الحرفية المقابلة لـ 15° هي 51549880، والتي تُعكس ثم تُقرأ 0889′45″15‴. لاحظ أن الصفر لا يحمل قيمة، وإنما يُستخدم فقط للدلالة على وزن القصيدة.

دون الخوض في فلسفة سبب اختيار قيمة R  =  21600  ÷  2 π وما إلى ذلك، فإن أبسط طريقة لربط جداول jya بمفهومنا الحديث لجداول الجيب هي كما يلي:

حتى اليوم، تُعطى جداول الجيب بصيغة عشرية بدقة معينة. فإذا عُبِّر عن sin(15°) بالقيمة 0.1736، فهذا يعني أن الكسر النسبي 1736 ÷ 10000 يُمثل تقريبًا جيدًا للعدد الفعلي ذي الدقة اللانهائية. والفرق الوحيد هو أنه في الماضي لم تكن القيم العشرية (أو قوى العشرة كمقام) للكسور موحدة. لذا، استُخدمت مقامات أخرى بناءً على اعتبارات أخرى (لن نتناولها هنا).

وبالتالي، يمكن اعتبار قيم الجيب الممثلة في الجداول تقريبية ببساطة عن طريق القيم الصحيحة المعطاة مقسومة على R المختارة للجدول.

من بين نقاط الالتباس المحتملة الأخرى استخدام قياسات الزوايا، مثل الدقائق القوسية، في التعبير عن الجيب النسبي. فالجيب الحديث نسب بلا وحدات. والجيب النسبي هو نفسه مضروبًا في وحدة قياس طول أو مسافة. مع ذلك، ولأن هذه الجداول كانت تُستخدم في الغالب في علم الفلك، ولأن المسافة على الكرة السماوية تُقاس بالزوايا، فقد أُعطيت هذه القيم بالمثل. لكن الوحدة ليست مهمة حقًا، ولا داعي لأخذها على محمل الجد، إذ ستُستخدم القيمة في أي حال كجزء من عدد كسري، وستُحذف الوحدة.

مع ذلك، أدى هذا أيضًا إلى استخدام التقسيمات الستينية في تنقيح مادهافا للجدول السابق لأريابهاتا. فبدلًا من اختيار قيمة أكبر لـ R ، أضاف الدقة التي حددها بنفسه إلى الدقائق المذكورة سابقًا باستخدام الثواني والأثلاث. وكما في السابق، يمكن اعتبار هذه ببساطة طريقة مختلفة للتعبير عن الكسور، وليس بالضرورة قياسات للزوايا.

لنفترض زاوية قياسها A. ولنفترض دائرة نصف قطرها وحدة واحدة ومركزها O. ليكن القوس PQ من الدائرة يقابل الزاوية A عند المركز O. أسقط العمود QR من Q إلى OP؛ عندئذٍ يكون طول القطعة المستقيمة RQ مساويًا لقيمة الجيب المثلثي للزاوية A. ليكن PS قوسًا من الدائرة طوله يساوي طول القطعة المستقيمة RQ. بالنسبة لزوايا A المختلفة ، يُعطي جدول مادهافا قياسات الزوايا المناظرة.  ${\displaystyle \angle }$نقطة الموقع بالدقائق القوسية ، والثواني القوسية، وأجزاء من ستين من الثانية القوسية .

على سبيل المثال، لنفترض أن A هي زاوية قياسها 22.50 درجة. في جدول مادهافا، المدخل المقابل لـ 22.50 درجة هو القياس بالدقائق القوسية والثواني القوسية وأجزاء من ستين من الثانية القوسية للزاوية التي قياسها بالراديان هو قيمة sin 22.50°، وهو 0.3826834؛

اضرب 0.3826834 راديان في 180/ π لتحويلها إلى 21.92614 درجة، وهو ما يعادل

1315 دقيقة قوسية 34 ثانية قوسية 07 أجزاء من ستين من الثانية القوسية، مختصرة 13153407.

بالنسبة لزاوية قياسها A ، ليكن

${\displaystyle \angle POS=m{\text{ arcminutes, }}s{\text{ arcseconds, }}t{\text{ sixtieths of an arcsecond}}}$

ثم:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(A)&=RQ\\&={\text{length of arc }}PS\\&=\angle POS{\text{ in radians}}\\\end{aligned}}}$

يُحدد كل سطر في الجدول ثمانية أرقام. ولتكن الأرقام المقابلة للزاوية أ (تُقرأ من اليسار إلى اليمين) هي:

${\displaystyle d_{1}\quad d_{2}\quad d_{3}\quad d_{4}\quad d_{5}\quad d_{6}\quad d_{7}\quad d_{8}}$

ثم وفقًا لقواعد نظام كاتابايادي، يجب أخذها من اليمين إلى اليسار، ولدينا:

${\displaystyle {\begin{aligned}m&=d_{8}\times 1000+d_{7}\times 100+d_{6}\times 10+d_{5}\\s&=d_{4}\times 10+d_{3}\\t&=d_{2}\times 10+d_{1}\end{aligned}}}$

${\displaystyle B=m^{\prime }s^{\prime \prime }t^{\prime \prime \prime }={\frac {1^{\circ }}{60}}\left(m+{\frac {s}{60}}+{\frac {t}{60\times 60}}\right)}$

قيمة الزاوية B المذكورة أعلاه ، معبر عنها بالراديان، ستتوافق مع قيمة جيب الزاوية A.

${\displaystyle \sin A={\frac {\pi }{180}}B}$

كما ذكرنا سابقاً، هذا يعادل قسمة القيمة المشفرة على قيمة R المأخوذة :

${\displaystyle \sin A={\frac {B}{\frac {21600^{\prime }}{2\pi }}}}$

يسرد الجدول الأرقام التالية التي تتوافق مع الزاوية A = 45.00°:  

${\displaystyle 5\quad 1\quad 1\quad 5\quad 0\quad 3\quad 4\quad 2}$

وهذا ينتج عنه الزاوية التي قياسها:

${\displaystyle {\begin{aligned}m&=2\times 1000+4\times 100+3\times 10+0{\text{ arcminutes}}\\&=2430{\text{ arcminutes}}\\s&=5\times 10+1{\text{ arcseconds}}\\&=51{\text{ arcseconds}}\\t&=1\times 10+5{\text{ sixtieths of an arcsecond}}\\&=15{\text{ sixtieths of an arcsecond}}\end{aligned}}}$

ومنها نحصل على:

${\displaystyle B={\frac {1^{\circ }}{60}}\left(2430+{\frac {51}{60}}+{\frac {15}{60\times 60}}\right)={\frac {116681}{2880}}}$

قيمة جيب الزاوية A  =  45.00° كما هو موضح في جدول مادهافا هي ببساطة B محولة إلى راديان:

${\displaystyle \sin 45^{\circ }={\frac {\pi }{180}}B={\frac {\pi }{180}}\times {\frac {116681}{2880}}}$

بتقييم ما سبق، يمكن للمرء أن يجد أن sin 45° يساوي 0.70710681… وهذا دقيق إلى 6 منازل عشرية.

لم يصلنا أي عمل لمادهافا يشرح بالتفصيل الطرق التي استخدمها لحساب جدول الجيب. ومع ذلك، من كتابات علماء الرياضيات اللاحقين في ولاية كيرالا، بمن فيهم نيلاكانثا سوماياجي ( تانتراسانغراها ) وجيشتاديفا ( يوكتيبهاشا )، والتي تُشير بكثرة إلى إنجازات مادهافا، يُفترض أن مادهافا قد حسب جدول الجيب باستخدام متسلسلة القوى لـ sin x .

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }$

• سلسلة مادهافا
• مصطلح تصحيح مادهافا
• قيمة π عند مادهافا
• جدول جيب أريابهاتا
• جدول بطليموس للأوتار

• باغ، أ.ك. (1976). "متسلسلة مادهافا للجيب وجيب التمام" (ملف PDF) . المجلة الهندية لتاريخ العلوم . 11 (1). الأكاديمية الوطنية الهندية للعلوم: 54-57 . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 5 يوليو 2015. تم الاطلاع عليه في 21 أغسطس 2016 .
• للاطلاع على شرح لحسابات مادهافا لجدول الجيب، انظر  : فان بروميلين، جلين (2009). رياضيات السماوات والأرض : التاريخ المبكر لعلم المثلثات . برينستون: مطبعة جامعة برينستون . الصفحات 113-120 . ISBN   978-0-691-12973-0.
• لمناقشة شاملة لحساب جدول جيب مادهافا مع مراجع تاريخية  : سي كي راجو (2007). الأسس الثقافية للرياضيات: طبيعة البرهان الرياضي وانتقال حساب التفاضل والتكامل من الهند إلى أوروبا في القرن السادس عشر الميلادي. تاريخ الفلسفة والعلوم والثقافة في الحضارة الهندية. المجلد العاشر، الجزء الرابع. دلهي: مركز دراسات الحضارات. الصفحات 114-123 .