مادهافا من سانغاماجراما

📅 آخر تحديث: ١ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 7 صور
الموسوعة الحرة

كان مادهافا من سانغاماغراما ( مادهافان ) [ 4 ] ( حوالي 1340 - حوالي 1425 ) عالم رياضيات وفلك هنديًا ، ويُعتبر مؤسس مدرسة كيرالا لعلم الفلك والرياضيات في أواخر العصور الوسطى . قدّم مادهافا إسهامات رائدة في دراسة المتسلسلات اللانهائية ، وعلم المثلثات ، والهندسة، والجبر. [ 5 ] وكان أول من استخدم تقريبات المتسلسلات اللانهائية لمجموعة من الدوال المثلثية، وهو ما وُصف بأنه "الخطوة الحاسمة نحو الأمام من الإجراءات المحدودة للرياضيات القديمة لمعالجة انتقالها إلى اللانهاية " . [ 1 ] 

سيرة

لا يُعرف الكثير عن حياة مادهافا على وجه اليقين. مع ذلك، استطاع مؤرخو مدرسة كيرالا، من خلال إشارات متفرقة إليه في مخطوطات متنوعة، تجميع معلومات عن هذا الرياضي. في مخطوطة محفوظة في المعهد الشرقي في بارودا، ورد ذكر مادهافا باسم Mādhavan vēṇvārōhādīnām karttā ... Mādhavan Ilaññippaḷḷi Emprān . [ 4 ] وقد لوحظ أن لقب "إمبران" يشير إلى طائفة إمبرانتيري ، التي ربما كان مادهافا ينتمي إليها. [ 6 ]

يُعتقد أن مصطلح "إيلانيپالي" يشير إلى مسكن مادهافا، وهو ما يؤكده مادهافا نفسه. ففي كتابه الموجز عن مواقع القمر بعنوان " فينفاروها "، يذكر مادهافا أنه وُلد في منزل يُدعى "باكولادهيشتيتا... فيهارا". [ 7 ] وهذا الاسم السنسكريتي هو المقابل لـ "إيلانيپالي" . " إيلاني " هو الاسم المالايالامي لشجرة دائمة الخضرة تُسمى "ميموسوبس إيلينجي" ، واسمها السنسكريتي هو "باكولا ". "بالي" كلمة تعني قرية. أما اسم المنزل السنسكريتي " باكولادهيشتيتا..." فُسِّرَت كلمة "فيهارا" أيضًا على أنها إشارة إلى اسم المنزل المالايالامي "إيراني نينا باهل" ، وقد حاول بعض المؤرخين ربطها بأحد منزلين قائمين حاليًا يحملان اسمي "إرينيانافا" و "إرينيارابالي"، وكلاهما يقع بالقرب من بلدة إرينجالاكودا في وسط ولاية كيرالا. [ 7 ] إلا أن هذا الربط بعيد المنال، إذ لا يوجد تشابه صوتي ولا دلالي بين الاسمين وكلمة "إيلانييبالي". [ 6 ]

أشار معظم مؤلفي الأعمال الفلكية والرياضية الذين عاشوا بعد عصر مادهافا إلى مادهافا باسم "سانغاماغراما مادهافا"، ولذا من المهم توضيح المعنى الحقيقي لكلمة "سانغاماغراما". ويرى العديد من الباحثين أن سانغاماغراما هي بلدة إرينجالاكودا، التي تقع على بُعد حوالي 70 كيلومترًا جنوب نهر نيلا، وحوالي 70 كيلومترًا شمال كوتشي . [ 6 ] ويبدو أنه لا يوجد أساس متين لهذا الاعتقاد، باستثناء ربما حقيقة أن الإله الرئيسي لمعبد كودالمانيكيام، وهو معبد يعود إلى أوائل العصور الوسطى في البلدة، يُعبد باسم سانغاميسوارا، أي سيد سامغاما، وبالتالي يمكن تفسير سانغاماغراما على أنها قرية سامغاميسوارا. لكن توجد عدة أماكن في كارناتاكا تحمل اسم سامغاما أو ما يعادلها كودالا، وفيها معبد مخصص لسامغاميسوارا، سيد ملتقى الأنهار. ( تعتبر كودالاسانغاما في مقاطعة باغالكوت واحدة من هذه الأماكن التي تضم معبدًا شهيرًا مخصصًا لرب سامغاما.) [ 6 ]

تقع بلدة صغيرة على الضفة الجنوبية لنهر نيلا، على بُعد حوالي 10 كيلومترات من تيرونافايا ، تُدعى كودالور. والترجمة الحرفية الدقيقة لاسم هذا المكان في اللغة السنسكريتية هي سامغاماغرام: حيث تعني كلمة "كوتال" في المالايالامية ملتقى الأنهار (والتي تُسمى سامغاما في السنسكريتية )، و "أور" تعني قرية (والتي تُسمى غراما في السنسكريتية ). كما تقع البلدة عند ملتقى نهر نيلا ورافده الرئيسي، نهر كونتي. (لا يوجد ملتقى أنهار بالقرب من إرينجالاكوادا). ومن الجدير بالذكر أن هناك عائلة نامبوديري (براهمة مالاياليين) تُدعى كوتالور مانا، على بُعد بضعة كيلومترات من قرية كودالور. تعود أصول هذه العائلة إلى قرية كودالور نفسها. ولأجيال عديدة، استضافت هذه العائلة مدرسة غورو كولام عظيمة متخصصة في الفيدانغا . [ 6 ] إن كون المخطوطة الوحيدة المتاحة لكتاب "سفوتاكاندراپتي" ، وهو من تأليف مادهافا، قد تم الحصول عليها من مجموعة مخطوطات " كوتالور مانا"، قد يعزز الفرضية القائلة بأن مادهافا ربما كان على صلة ما بـ "كوتالور مانا" . [ 8 ] وبالتالي، فإن الاحتمال الأكثر ترجيحًا هو أن أسلاف مادهافا هاجروا من أرض التولو أو ما حولها ليستقروا في قرية كودالور، الواقعة على الضفة الجنوبية لنهر نيلا غير بعيد عن تيرونافايا، قبل جيل أو جيلين من ولادته، وسكنوا في منزل يُعرف باسم "إيلانيبالي" الذي لا تزال هويته الحالية مجهولة. [ 6 ]

تاريخ

لا توجد أدلة قاطعة لتحديد الفترة التي ازدهر فيها مادهافا. في كتابه "فينفاروها"، يذكر مادهافا عام 1400 ميلاديًا كفترة ازدهاره. من المعروف أن تلميذه باراميشوارا نامبوديري ، وهو التلميذ المباشر الوحيد المعروف لمادهافا، قد أنجز عمله المحوري "دريغانيتا" عام 1430، وقد حُدد تاريخ باراميشوارا بين عامي 1360 و 1455 تقريبًا . بناءً على هذه الأدلة الظرفية، نسب المؤرخون تاريخ مادهافا إلى الفترة بين عامي 1340 و 1425 تقريبًا . 

علم التأريخ

على الرغم من وجود بعض الأدلة على أعمال رياضية في ولاية كيرالا قبل مادهافا ( مثل كتاب " سادراتنامالا " حوالي عام 1300، ومجموعة من النتائج المجزأة [ 9 ] )، إلا أنه من الواضح من المراجع أن مادهافا كان الدافع الإبداعي لتطوير تراث رياضي غني في كيرالا في العصور الوسطى. ومع ذلك، باستثناء عملين أو ثلاثة، فقد فُقدت معظم أعمال مادهافا الأصلية. ويُشار إليه في أعمال علماء الرياضيات اللاحقين في كيرالا، وخاصة في كتاب " تانتراسانغراها " لنيلاكانثا سوماياجي (حوالي عام 1500)، باعتباره مصدرًا للعديد من متسلسلات البسط والمقامات اللانهائية، بما في ذلك sin θ و arctan θ . ويذكر نص "ماهاجيانايانا براكارا" (طريقة حساب الجيوب الكبرى) الذي يعود إلى القرن السادس عشر، مادهافا كمصدر للعديد من مشتقات المتسلسلات لـ π . في كتاب Jyeṣṭhadeva 's Yuktibhāṣā (حوالي 1530)، [ 10 ] المكتوب باللغة المالايالامية ، يتم تقديم هذه المتسلسلات مع البراهين من حيث توسعات متسلسلة تايلور لكثيرات الحدود مثل 1/(1+ x 2 )، مع x = tan θ ، إلخ. 

لذا، يُعدّ تحديد ما يُنسب صراحةً إلى مادهافا موضع جدل. يُقدّم كتاب "يوكتي-ديبكا " (المعروف أيضًا باسم " تانتراسانغراها-فياخيا" )، الذي يُحتمل أن يكون قد ألّفه شانكارا فاريار ، أحد تلاميذ جيشتاديفا، عدّة صيغ لمتسلسلات جيب الزاوية (sin θ) ، وجيب تمام الزاوية (cos θ )، وظل الزاوية العكسي (arctan θ) ، بالإضافة إلى بعض نواتج ضرب نصف القطر وطول القوس، وتظهر معظم هذه الصيغ في "يوكتي بهاشا". أما بالنسبة للصيغ التي لا تظهر في "يوكتي بهاشا"، فقد جادل راجاجوبال ورانغاتشاري، مستشهدين بكثرة من النص السنسكريتي الأصلي، [ 1 ] بأنه بما أن نيلاكانثا قد نسب بعض هذه الصيغ إلى مادهافا، فقد تكون بعض الصيغ الأخرى أيضًا من تأليف مادهافا.

وقد تكهن آخرون بأن النص المبكر كاراناباداتي (حوالي 1375-1475)، أو ماهاجيانايانا براكارا، قد كتبه مادهافا، لكن هذا غير مرجح. [ 5 ]

تناولت دراسة كاراناباداتي ، إلى جانب كتاب الرياضيات الكيرالي السابق سادراتنامالا ، بالإضافة إلى كتابي تانتراسانغراها ويوكتيبهاشا ، في مقالٍ نُشر عام 1834 بقلم سي إم ويش ، الذي كان أول من لفت الانتباه إلى أسبقيتها على نيوتن في اكتشاف التدفق (اسم نيوتن للتفاضلات). [ 9 ] وفي منتصف القرن العشرين، أعاد الباحث الروسي جوشكيفيتش النظر في إرث مادهافا، [ 11 ] وقدم سارما نظرة شاملة على مدرسة كيرالا في عام 1972. [ 12 ]

لاغنابراكارانام

تمت مؤخرًا رقمنة مخطوطة "لاغنابراكارانام" المكتوبة على أوراق النخيل، وهي العمل الرابع من بين ثمانية أعمال لسانغاماغراما مادهافان، بما يتوافق مع المعايير البريطانية لفهرسة هذه الكتابة السنسكريتية. وقد أنجز قسم أبحاث وحفظ المخطوطات في كلية القديس يوسف، إيريجالاكودا، تحت إشراف البروفيسور ليتي تشاكو، عملية الرقمنة هذه. كما حرص القسم على حفظ المخطوطة الأصلية المكتوبة على أوراق النخيل من خلال تنظيفها بالغبار ووضع زيت الكافور عليها لمنع المزيد من التلف وضمان حفظها للأجيال القادمة.

السلالة

رسم توضيحي مصاحب لإثبات نظرية فيثاغورس في يوكتيبهاسا

سبق مادهافا العديد من علماء الفلك المعروفين، بمن فيهم كاتالور كيزهار (القرن الثاني الميلادي)، [ 13 ] وفاراروتشي (القرن الرابع الميلادي) ، وشانكارانارايانا (866 ميلادي). ومن المحتمل أن يكون هناك شخصيات أخرى غير معروفة سبقته. ومع ذلك، لدينا سجل أوضح للتقاليد بعد مادهافا. كان باراميشوارا تلميذًا مباشرًا له. ووفقًا لمخطوطة على ورقة نخيل لشرح باللغة المالايالامية لكتاب سوريا سيدانتا ، كان نيلاكانثا سوماياجي أحد تلاميذ دامودارا، ابن باراميشوارا (حوالي 1400-1500 ميلادي). وكان جيشتاديفا تلميذًا لنيلاكانثا. ويُذكر أتشيوثا بيشارادي من تريكانتيور كتلميذ لجيشتاديفا، والنحوي ميلباثور نارايانا بهاتاتيري كتلميذ له. [ 10 ]

المساهمات

إذا نظرنا إلى الرياضيات باعتبارها تطورًا من العمليات الجبرية المحدودة إلى دراسة اللانهاية، فإن الخطوات الأولى نحو هذا الانتقال عادةً ما تكون عبر متسلسلات لانهائية. يُنسب هذا الانتقال إلى المتسلسلات اللانهائية إلى مادهافا. في أوروبا، طوّر جيمس غريغوري أولى هذه المتسلسلات عام 1667. يتميز عمل مادهافا بهذه المتسلسلات، ولكن ما يثير الإعجاب حقًا هو تقديره لحد الخطأ (أو حد التصحيح). [ 14 ] وهذا يدل على فهمه العميق لطبيعة المتسلسلات اللانهائية. وبالتالي، ربما يكون مادهافا قد ابتكر الأفكار الكامنة وراء متسلسلات الدوال اللانهائية ، ومتسلسلات القوى ، والمتسلسلات المثلثية ، والتقريبات الكسرية للمتسلسلات اللانهائية. [ 15 ]

مع ذلك، وكما ذُكر آنفًا، يصعب تحديد النتائج التي تُنسب تحديدًا إلى مادهافا وتلك التي تُنسب إلى خلفائه. فيما يلي ملخص للنتائج التي نسبها باحثون مختلفون إلى مادهافا.

سلسلة لا نهائية

من بين إسهاماته العديدة، اكتشف متسلسلات لانهائية للدوال المثلثية للجيب وجيب التمام وظل الزاوية العكسي ، بالإضافة إلى العديد من الطرق لحساب محيط الدائرة . إحدى متسلسلات مادهافا معروفة من نص "يوكتيبهاشا" ، الذي يتضمن اشتقاق وبرهان متسلسلة القوى لظل الزاوية العكسي ، التي اكتشفها مادهافا. [ 16 ] [ 15 ] في هذا النص، يصف جيشتاديفا المتسلسلة على النحو التالي:

الحد الأول هو حاصل ضرب جيب القوس المطلوب ونصف قطره، مقسومًا على جيب تمام القوس. تُحسب الحدود اللاحقة بتكرار العملية، حيث يُضرب الحد الأول مرارًا في مربع الجيب ويُقسم على مربع جيب التمام. ثم تُقسم جميع الحدود على الأعداد الفردية 1، 3، 5، ... يُحسب طول القوس بجمع وطرح الحدود ذات الرتب الفردية والزوجية على التوالي. يُشترط هنا أن يكون جيب القوس أو متممه، أيهما أصغر، هو الجيب المعطى. وإلا فلن تؤول الحدود الناتجة عن هذه العملية التكرارية إلى الصفر. [ 17 ]

وهذا ينتج عنه:

رθ=رالخطيئة⁡θكوس⁡θ-(1/3)ر(الخطيئة⁡θ)3(كوس⁡θ)3+(1/5)ر(الخطيئة⁡θ)5(كوس⁡θ)5-(1/7)ر(الخطيئة⁡θ)7(كوس⁡θ)7+⋯{\displaystyle r\theta ={\frac {r\sin \theta }{\cos \theta }}-(1/3)\,r\,{\frac {\left(\sin \theta \right)^{3}}{\left(\cos \theta \right)^{3}}}+(1/5)\,r\,{\frac {\left(\sin \theta \right)^{5}}{\left(\cos \theta \right)^{5}}}-(1/7)\,r\,{\frac {\left(\sin \theta \right)^{7}}{\left(\cos \theta \right)^{7}}}+\cdots }

أو ما يعادل ذلك:

θ=لون برونزي⁡θ-لون برونزي3⁡θ3+لون برونزي5⁡θ5-لون برونزي7⁡θ7+⋯{\displaystyle \theta =\tan \theta -{\frac {\tan ^{3}\theta }{3}}+{\frac {\tan ^{5}\theta }{5}}-{\frac {\tan ^{7}\theta }{7}}+\cdots }

هذه المتسلسلة هي متسلسلة غريغوري (نسبةً إلى جيمس غريغوري ، الذي أعاد اكتشافها بعد ثلاثة قرون من مادهافا). حتى لو اعتبرنا هذه المتسلسلة تحديدًا من عمل جيشتاديفا ، فإنها تسبق غريغوري بقرن، ومن المؤكد أن مادهافا قد وضع متسلسلات لانهائية أخرى ذات طبيعة مماثلة. تُعرف اليوم باسم متسلسلة مادهافا-غريغوري-لايبنيتز . [ 17 ] [ 18 ]

علم المثلثات

وضع مادهافا جدولًا دقيقًا للجيوب. بلغت دقة قيم مادهافا سبعة أرقام عشرية. قام برسم ربع دائرة على أربعة وعشرين فاصلًا متساويًا، وحدد أطوال أنصاف الأوتار (الجيوب) المقابلة لكل منها. يُعتقد أنه ربما يكون قد حسب هذه القيم بناءً على متسلسلات التفاضل والتكامل: [ 5 ]

sin q = q − q 3 /3! + q 5 /5! − q 7 /7! + ...
cos q = 1 − q 2 /2! + q 4 /4! − q 6 /6! + ...

قيمة π (باي)

يُستشهد بعمل مادهافا حول قيمة الثابت الرياضي باي في كتاب ماهاجيانايانا براكارا ("طرق حساب الجيوب الكبيرة"). وبينما يرى بعض الباحثين، مثل سارما [ 10 ]، أن هذا الكتاب ربما يكون من تأليف مادهافا نفسه، إلا أنه من المرجح أن يكون من تأليف أحد خلفائه في القرن السادس عشر. [ 5 ] ينسب هذا النص معظم التوسعات إلى مادهافا، ويقدم متسلسلة لانهائية لباي ، تُعرف الآن باسم متسلسلة مادهافا-لايبنيتز : [ 19 ] [ 20 ]

π4=1-13+15-17+⋯=∑ن=1∞(-1)ن-12ن-1،{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}},}

والتي حصل عليها من متسلسلة القوى لدالة الظل العكسي. ومع ذلك، فإن الأمر الأكثر إثارة للإعجاب هو أنه قدم أيضًا حد تصحيح R n للخطأ بعد حساب المجموع حتى n حدًا، [ 5 ] وهو:

R n = (−1) n / (4 n ), أو
R n = (−1) n ⋅ n / (4 n 2 + 1)، أو
R n = (−1) n ⋅( n 2 + 1) / (4 n 3 + 5 n ),

حيث يؤدي التصحيح الثالث إلى حسابات دقيقة للغاية لـ π .

لطالما دارت التكهنات حول كيفية توصل مادهافا إلى هذه الحدود التصحيحية. [ 21 ] وهي الحدود الثلاثة الأولى المتقاربة لكسر مستمر محدود، والذي، عند دمجه مع متسلسلة مادهافا الأصلية المحسوبة إلى n حدًا، ينتج عنه حوالي 3n / 2 رقمًا صحيحًا:

π4≈1-13+15-17+⋯+(-1)ن-12ن-1+(-1)ن4ن+12ن+224ن+32ن+42⋯+...⋯+ن2ن[4-3(نتعديل2)].{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}+{\cfrac {(-1)^{n}}{4n+{\cfrac {1^{2}}{n+{\cfrac {2^{2}}{4n+{\cfrac {3^{2}}{n+{\cfrac {4^{2}}{\dots +{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{2}}{n[4-3(n{\bmod {2}})]}}}}}}}}}}}}}}}.}

القيمة المطلقة لحد التصحيح في الرتبة الأعلى التالية هي

| R n | = (4 n 3 + 13 n ) / (16 n 4 + 56 n 2 + 9).

كما قدم متسلسلة متقاربة بشكل أسرع عن طريق تحويل المتسلسلة اللانهائية الأصلية لـ π ، وحصل على المتسلسلة اللانهائية

π=12(1-13⋅3+15⋅32-17⋅33+⋯).{\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}-{\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\cdots \right).}

باستخدام أول 21 حدًا لحساب قيمة تقريبية لـ π ، حصل على قيمة صحيحة إلى 11 منزلة عشرية (3.14159265359). [ 22 ] تُنسب القيمة 3.1415926535898، الصحيحة إلى 13 منزلة عشرية، أحيانًا إلى مادهافا، [ 23 ] ولكن قد تكون من أحد أتباعه. كانت هذه أدق التقريبات لـ π منذ القرن الخامس (انظر تاريخ التقريبات العددية لـ π ).

يبدو أن نص "سادراتنامالا" يُعطي قيمة دقيقة بشكل مذهل لـ π  تساوي  3.14159265358979324 (صحيحة إلى 17 منزلة عشرية). وبناءً على ذلك، اقترح ر. غوبتا أن هذا النص قد ألفه مادهافا أيضًا. [ 5 ] [ 22 ]

كما أجرى مادهافا تحقيقات في سلاسل أخرى لأطوال الأقواس والتقريبات المرتبطة بها للكسور النسبية لـ π . [ 5 ]

حساب التفاضل والتكامل

طوّر مادهافا متسلسلة القوى لبعض الدوال المثلثية، والتي طوّرها خلفاؤه في مدرسة كيرالا لعلم الفلك والرياضيات . [ 24 ] (كانت بعض أفكار التفاضل والتكامل معروفة لدى علماء الرياضيات السابقين ). كما وسّع مادهافا بعض النتائج التي وُجدت في أعمال سابقة، بما في ذلك أعمال بهاسكارا الثاني . [ 24 ] مع ذلك، لم يجمعوا العديد من الأفكار المختلفة تحت موضوعين موحدين هما المشتقة والتكامل، ولم يُظهروا العلاقة بينهما، ولم يحوّلوا التفاضل والتكامل إلى أداة فعّالة لحل المسائل كما نعرفها اليوم. [ 25 ]

أعمال مادهافا

وقد حدد ك. ف. سارما مادهافا كمؤلف للأعمال التالية: [ 26 ] [ 27 ]

  1. جولافادا
  2. ماديامانايانابراكارا
  3. ماهاجيانايانابراكارا (طريقة حساب الجيوب الكبرى)
  4. لاغنابراكارانا ( ग्नप्रकरण )
  5. فينفاروها ( वेण्वारोह ) [ 28 ]
  6. Sphuṭacandrāpti ( स्फुतचन्राप्ति )
  7. أجانيتا جراهاكارا ( अगणित-ग्रहचAR )
  8. تشاندرافاكياني ( चन््रवाक्यानि ) (جدول فن الإستذكار القمري)

مدرسة كيرالا لعلم الفلك والرياضيات

ازدهرت مدرسة كيرالا لعلم الفلك والرياضيات، التي أسسها مادهافا، بين القرنين الرابع عشر والسادس عشر، وضمت في صفوفها باراميشوارا ، ونيلاكانتا سوماياجي ، وجيشتاديفا ، وأتشيوتا بيشاراتي ، وميلباثور نارايانا بهاتاتيري ، وأتشيوتا بانيكار. اشتهرت هذه المجموعة بتوسيع المتسلسلات لثلاث دوال مثلثية هي الجيب وجيب التمام وظل الزاوية العكسي، وقد نُشرت براهين نتائجها لاحقًا في كتاب يوكتيبهاسا . [ 9 ] [ 25 ] [ 29 ] كما أنجزت المجموعة أعمالًا أخرى كثيرة في علم الفلك، حيث خُصصت صفحات أكثر للحسابات الفلكية مقارنةً بالنتائج الرياضية البحتة. [ 10 ]

أسهمت مدرسة كيرالا أيضًا في علم اللغويات (فالعلاقة بين اللغة والرياضيات تقليد هندي عريق، انظر كاتيانا ). ويمكن تتبع التقاليد الأيورفيدية والشعرية في كيرالا إلى هذه المدرسة. وقد نظم نارايانا بهاتاتيري القصيدة الشهيرة نارايانيام .

تأثير

وُصف مادهافا بأنه "أعظم عالم رياضيات وفلك في الهند في العصور الوسطى"، [ 5 ] وتُظهر بعض اكتشافاته في هذا المجال أنه كان يتمتع بحدس استثنائي. [ 30 ] ويذكر أوكونور وروبرتسون أن التقييم العادل لمادهافا هو أنه اتخذ الخطوة الحاسمة نحو التحليل الكلاسيكي الحديث. [ 5 ]

احتمالية انتشاره في أوروبا

اشتهرت مدرسة كيرالا في القرنين الخامس عشر والسادس عشر، خلال فترة أول اتصال مع الملاحين الأوروبيين بساحل مالابار . في ذلك الوقت، كان ميناء موزيريس ، بالقرب من سانغاماغراما ، مركزًا رئيسيًا للتجارة البحرية، وكان عدد من المبشرين والتجار اليسوعيين نشطين في هذه المنطقة. ونظرًا لشهرة مدرسة كيرالا، والاهتمام الذي أبدته بعض الجماعات اليسوعية خلال تلك الفترة بالدراسات المحلية، فقد اقترح بعض الباحثين، بمن فيهم جي. جوزيف من جامعة مانشستر [ 31 ]، أن كتابات مدرسة كيرالا ربما تكون قد انتقلت إلى أوروبا في ذلك الوقت تقريبًا، أي قبل نيوتن بنحو قرن. [ 32 ] ومع ذلك، لا يوجد دليل مباشر من خلال المخطوطات ذات الصلة على حدوث مثل هذا الانتقال. [ 32 ] ووفقًا لديفيد بريسود ، "لا يوجد دليل على أن الأعمال الهندية المتسلسلة كانت معروفة خارج الهند، أو حتى خارج كيرالا، حتى القرن التاسع عشر". [ 33 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 3 سي. تي. راجاجوبال وإم إس رانغاتشاري (1978). "حول مصدر غير مستغل للرياضيات الكيرالية في العصور الوسطى". أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة . 18 (2): 101. doi : 10.1007/BF00348142 . S2CID 51861422 . 
  2. ↑ روي، رانجان (1990). "اكتشاف صيغة المتسلسلة لـ π بواسطة لايبنتز، غريغوري، ونيلكانثا" (ملف PDF) . مجلة الرياضيات . 63 (5): 291-306 . doi : 10.2307/2690896 . JSTOR 2690896. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 24 فبراير 2012. 
  3. ↑ إيان ج. بيرس (2002). مادهافا من سانغاماغراما . أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات . جامعة سانت أندروز .
  4. 1 2 ك. ف. سارما (1972). تاريخ مدرسة كيرالا لعلم الفلك الهندوسي (من منظور شامل) . هوشياربور: معهد فيشفيشواراناند للدراسات السنسكريتية والهندية، جامعة البنجاب . ص 51. رمز Bibcode : 1972hksh.book.....S . متاح
  5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 جي جي أوكونور وإي إف روبرتسون (2000). "مادهافا سانجاماجراما" .
  6. 1 2 3 4 5 6 ب. ب. ديفاكاران (2018). رياضيات الهند: المفاهيم والأساليب والروابط . كوتشين: سبرينغر - وكالة هندوستان للكتاب. ص 282-290 . ISBN  978-981-13-1773-6.
  7. 1 2 ك. ف. سارما (1973). حساب القمر الحقيقي بواسطة مادهافا من سانغاماغراما . هوشياربور: معهد فيشفيشواراناند للدراسات السنسكريتية والهندية، جامعة البنجاب. ص 12. متاح:(تم الاطلاع عليه في 1 يناير 2023)
  8. ↑ كي في سارما (1973). سبوتاشاندراپتي: حساب القمر الحقيقي بواسطة مادهافا من سانغاماغراما . هوشياربور، البنجاب: معهد فيشفيشواراناند للدراسات السنسكريتية والهندية، جامعة البنجاب. ص 8. 
  9. 1 2 3 تشارلز ويش (1834). "حول التربيع الهندوسي للدائرة والمتسلسلة اللانهائية لنسبة المحيط إلى القطر كما وردت في الشاسترات الأربعة: تانترا ساهغراهام، ويوكتي بهاشا، وكارانا باداتي، وسادراتنامالا" . معاملات الجمعية الملكية الآسيوية لبريطانيا العظمى وأيرلندا . 3 (3). الجمعية الملكية الآسيوية لبريطانيا العظمى وأيرلندا : 509-523 . doi : 10.1017/S0950473700001221 . JSTOR 25581775 . 
  10. ١ ٢ ٣ ٤ ك. ف. سارما ؛ س. هاريهاران (محرران). "كتاب عن المبررات في الرياضيات وعلم الفلك الهندي - تقييم تحليلي" (ملف PDF) . يوكتيبهاشا لجيشتاديفا . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في ٢٨ سبتمبر ٢٠٠٦. تم الاطلاع عليه في ٩ يوليو ٢٠٠٦ .
  11. ↑ أ.ب. جوشكيفيتش (1961).Geschichte der Mathematik im Mittelalter (الترجمة الألمانية، لايبزيغ، 1964، من الأصل الروسي، موسكو، 1961) . موسكو.{{cite book}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )
  12. ↑ كي في سارما (1972). تاريخ مدرسة كيرالا لعلم الفلك الهندوسي . هوشياربور.{{cite book}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )
  13. ↑ بورانانورو 229
  14. ↑ قام مادهافا بتوسيع عمل أرخميدس حول طريقة الاستنفاد الهندسية لقياس المساحات والأعداد مثل π ، بدقة وحدود خطأ تعسفية ، إلى متسلسلة جبرية لانهائية بحد خطأ منفصل تمامًا. سي تي راجاجوبال وإم إس رانغاتشاري (1986). "حول الرياضيات الكيرالية في العصور الوسطى". أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة . 35 (2): 91-99 . doi : 10.1007/BF00357622 . S2CID 121678430 . 
  15. 1 2 بريسود، ديفيد (2002). "هل تم اختراع حساب التفاضل والتكامل في الهند؟". مجلة الرياضيات الجامعية . 33 (1): 2-13 . doi : 10.2307/1558972 . JSTOR 1558972 . 
  16. ↑ جلين فان بروميلين (2009). رياضيات السماوات والأرض: التاريخ المبكر لعلم المثلثات . مطبعة جامعة برينستون . الصفحات 128-129 . ISBN  9780691129730.
  17. 1 2 آر سي غوبتا (1973). "متسلسلة مادهافا-غريغوري". تعليم الرياضيات . 7 : B67– B70.
  18. ↑ راجاجوبال، سي.؛ رانجاتشاري، إم إس (1951)، "حول البرهان الهندوسي لسلسلة غريغوري"، سكريبت ماثيماتيكا ، 17 : 65-74 .
  19. ↑ جورج إي. أندروز، ريتشارد أسكي، رانجان روي (1999). الدوال الخاصة . مطبعة جامعة كامبريدج . ص 58. ISBN  0-521-78988-5.
  20. ↑ غوبتا، آر سي (1992). "حول حد الباقي في متسلسلة مادهافا-لايبنيتز". غانيتا بهاراتي . 14 ( 1-4 ): 68-71 .
  21. ↑ ت. هاياشي، ت. كوسوبا، و م. يانو. "تصحيح متسلسلة مادهافا لمحيط الدائرة"، سنتوروس 33 (الصفحات 149-174). 1990.
  22. 1 2 آر. سي. غوبتا (1975). "قيم مادهافا وغيرها من القيم الهندية في العصور الوسطى لقيمة باي". تعليم الرياضيات . 9 (3): B45– B48.
  23. ↑ يمكن الوصول إلىالقيمة الدقيقة المكونة من 13 رقمًا لـ π ، وهي 3.1415926535898، باستخدام توسيع السلسلة اللانهائية لـ π /4 (المتتالية الأولى) بالصعود إلى n = 76.
  24. 1 2 "الرياضيات الهندية" . تاريخ الرياضيات . تم الاطلاع عليه بتاريخ 15 مارس 2026 .
  25. 1 2 كاتز، فيكتور ج. (1 يونيو 1995). "أفكار التفاضل والتكامل في الإسلام والهند" . مجلة الرياضيات . 68 (3): 163-174 . doi : 10.1080/0025570X.1995.11996307 . ISSN 0025-570X . 
  26. ↑ سارما، ك. ف. (1977). مساهمات في دراسة مدرسة كيرالا لعلم الفلك والرياضيات الهندوسي . هوشياربور: في. في. آر. آي.
  27. ↑ ديفيد إدوين بينغري (1981). إحصاء العلوم الدقيقة في اللغة السنسكريتية . المجلد 4. فيلادلفيا: الجمعية الفلسفية الأمريكية. الصفحات 414-415 .  
  28. ↑ ك. تشاندرا هاري (2003). "حساب القمر الحقيقي بواسطة مادهافا من سانغاماغراما" . المجلة الهندية لتاريخ العلوم . 38 (3): 231-253 . تاريخ الاسترجاع: 27 يناير 2010 .
  29. ↑ "مادهافا - سيرة ذاتية" . تاريخ الرياضيات . تم الاطلاع عليه بتاريخ 10 سبتمبر 2025 .
  30. ↑ جوزيف، جورج غيفيرغيز (أكتوبر 2010) [1991]. قمة الطاووس: الجذور غير الأوروبية للرياضيات ( الطبعة الثالثة). مطبعة جامعة برينستون. ISBN  978-0-691-13526-7.
  31. ↑ «سبق الهنود اكتشاف نيوتن بـ250 عامًا» . بيان صحفي، جامعة مانشستر. 13 أغسطس 2007. مؤرشف من الأصل في 21 مارس 2008. تم الاطلاع عليه في 5 سبتمبر 2007 .
  32. 1 2 د. ف. ألميدا، ج. ك. جون، و أ. زادوروجني (2001). "الرياضيات الكيرالية: إمكانية انتقالها إلى أوروبا وآثارها التعليمية المترتبة على ذلك". مجلة الهندسة الطبيعية . 20 (1): 77-104 .
  33. ↑ Gold, D.; Pingree, D. (1991), "A hithert unknown Sanskrit work regarding Madhava's érivation of the power series for sine and cosine", Historia Scientiarum , 42 : 49– 65.