النظرية الرئيسية لنظرية الحذف

في الهندسة الجبرية ، تنص النظرية الرئيسية لنظرية الحذف على أن كل مخطط إسقاطي هو مخطط إسقاطي حقيقي . وقد سبقت صيغة من هذه النظرية وجود نظرية المخططات . ويمكن صياغتها وإثباتها وتطبيقها في السياق الكلاسيكي التالي. ليكن k حقلاً ، ولنرمز بـ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$الفضاء الإسقاطي ذو البعد n على k . تنص النظرية الرئيسية لنظرية الحذف على أنه لأي n وأي تنوع جبري V معرف على k ، فإن خريطة الإسقاط${\displaystyle V\times \mathbb {P} _{k}^{n}\to V}$يرسل المجموعات الفرعية المغلقة وفقًا لـ Zariski إلى المجموعات الفرعية المغلقة وفقًا لـ Zariski.

تُعدّ النظرية الرئيسية لنظرية الحذف نتيجةً وتعميمًا لنظرية ماكولاي للمحصلة متعددة المتغيرات . محصلة n من كثيرات الحدود المتجانسة في n من المتغيرات هي قيمة دالة كثيرة الحدود للمعاملات، والتي تأخذ القيمة صفرًا إذا وفقط إذا كان لكثيرات الحدود جذر مشترك غير تافه على حقل ما يحتوي على المعاملات.

يندرج هذا ضمن نظرية الحذف ، إذ أن حساب الناتج يعني حذف المتغيرات بين المعادلات متعددة الحدود. في الواقع، إذا كان لدينا نظام من المعادلات متعددة الحدود متجانسًا في بعض المتغيرات، فإن الناتج يحذف هذه المتغيرات المتجانسة من خلال توفير معادلة في المتغيرات الأخرى، والتي تكون حلولها هي قيم هذه المتغيرات الأخرى في حلول النظام الأصلي.

المستوى الأفيني فوق حقل k هو الضرب المباشر${\displaystyle A_{2}=L_{x}\times L_{y}}$لنفترض وجود نسختين من k .

${\displaystyle \pi \colon L_{x}\times L_{y}\to L_{x}}$

كن الإسقاط

${\displaystyle (x,y)\mapsto \pi (x,y)=x.}$

هذا الإسقاط ليس مغلقًا بالنسبة لطوبولوجيا زاريسكي (ولا بالنسبة للطوبولوجيا المعتادة إذا${\displaystyle k=\mathbb {R} }$أو${\displaystyle k=\mathbb {C} }$)، لأن الصورة بواسطة${\displaystyle \pi }$من القطع الزائد H في المعادلة${\displaystyle xy-1=0}$يكون${\displaystyle L_{x}\setminus \{0\},}$وهو ليس مغلقًا، على الرغم من أن H مغلق، كونه صنفًا جبريًا .

إذا قام المرء بتمديد${\displaystyle L_{y}}$إلى خط إسقاطي${\displaystyle P_{y},}$تصبح معادلة الإكمال الإسقاطي للقطع الزائد

${\displaystyle xy_{1}-y_{0}=0,}$

ويحتوي

${\displaystyle {\overline {\pi }}(0,(1,0))=0,}$

أين${\displaystyle {\overline {\pi }}}$هو إطالة لـ${\displaystyle \pi }$ل${\displaystyle L_{x}\times P_{y}.}$

ويتم التعبير عن ذلك عادة بالقول إن أصل المستوى الأفيني هو إسقاط نقطة القطع الزائد الموجودة في اللانهاية، في اتجاه المحور y .

وبشكل أعم، الصورة من${\displaystyle \pi }$لكل مجموعة جبرية في${\displaystyle L_{x}\times L_{y}}$إما أن يكون عدد النقاط محدودًا، أو${\displaystyle L_{x}}$مع إزالة عدد محدود من النقاط، بينما الصورة بواسطة${\displaystyle {\overline {\pi }}}$لأي مجموعة جبرية في${\displaystyle L_{x}\times P_{y}}$إما أن يكون عدد النقاط محدودًا أو الخط بأكمله${\displaystyle L_{y}.}$ويترتب على ذلك أن الصورة بواسطة${\displaystyle {\overline {\pi }}}$أي مجموعة جبرية هي مجموعة جبرية، أي أن${\displaystyle {\overline {\pi }}}$هي خريطة مغلقة لطوبولوجيا زاريسكي.

تُعدّ النظرية الرئيسية لنظرية الحذف تعميماً واسعاً لهذه الخاصية.

لصياغة النظرية باستخدام الجبر التبادلي ، يجب على المرء أن ينظر في حلقة متعددة الحدود${\displaystyle R[\mathbf {x} ]=R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$على حلقة نوثرية تبديلية R ، ومثالي متجانس I مولد بواسطة كثيرات حدود متجانسة${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}.}$(في البرهان الأصلي لماكولي ، كان k يساوي n ، وكانت R حلقة متعددة الحدود على الأعداد الصحيحة، وكانت متغيراتها غير المحددة هي جميع معاملات${\displaystyle f_{i}\mathrm {s} .}$)

أي تشاكل حلقي${\displaystyle \varphi }$من R إلى حقل K ، يُعرّف تشاكلًا حلقيًا${\displaystyle R[\mathbf {x} ]\to K[\mathbf {x} ]}$(يشار إليه أيضًا بـ${\displaystyle \varphi }$) عن طريق تطبيق${\displaystyle \varphi }$إلى معاملات كثيرات الحدود.

تنص النظرية على ما يلي: يوجد مثال${\displaystyle {\mathfrak {r}}}$في R ، يتم تحديدها بشكل فريد بواسطة I ، بحيث يكون لكل تشاكل حلقي${\displaystyle \varphi }$من R إلى حقل K ، كثيرات الحدود المتجانسة${\displaystyle \varphi (f_{1}),\ldots ,\varphi (f_{k})}$يكون لها جذر مشترك غير تافه (في إغلاق جبري لـ K ) إذا وفقط إذا${\displaystyle \varphi ({\mathfrak {r}})=\{0\}.}$

علاوة على ذلك،${\displaystyle {\mathfrak {r}}=0}$إذا كان k < n ، و${\displaystyle {\mathfrak {r}}}$يكون رئيسيًا إذا كان k = n . في هذه الحالة الأخيرة، مولد لـ${\displaystyle {\mathfrak {r}}}$يُطلق عليه اسم محصلة${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}.}$

باستخدام الرموز المذكورة أعلاه، يجب أولاً تحديد الشرط الذي${\displaystyle \varphi (f_{1}),\ldots ,\varphi (f_{k})}$لا يوجد لها أي صفر مشترك غير تافه. هذا هو الحال إذا كان المثالي المتجانس الأقصى${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle }$هو المثالي الأولي المتجانس الوحيد الذي يحتوي${\displaystyle \varphi (I)=\langle \varphi (f_{1}),\ldots ,\varphi (f_{k})\rangle .}$تؤكد نظرية هيلبرت الصفرية أن هذا هو الحال إذا وفقط إذا${\displaystyle \varphi (I)}$يحتوي على قوة كل${\displaystyle x_{i},}$أو، على نحو مماثل، أن${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{d}\subseteq \varphi (I)}$لبعض الأعداد الصحيحة الموجبة d .

في هذه الدراسة، قدم ماكولي مصفوفة تُسمى الآن مصفوفة ماكولي من الدرجة d . يتم فهرسة صفوفها بواسطة أحاديات الحدود من الدرجة d في${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$وأعمدتها هي متجهات المعاملات على أساس أحادي الحد لكثيرات الحدود من الشكل${\displaystyle m\varphi (f_{i}),}$حيث m حد أحادي من الدرجة${\displaystyle d-\deg(f_{i}).}$يمتلك المرء${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{d}\subseteq \varphi (I)}$إذا وفقط إذا كانت رتبة مصفوفة ماكولاي تساوي عدد صفوفها.

إذا كان k < n ، فإن رتبة مصفوفة ماكولاي تكون أقل من عدد صفوفها لكل قيمة d ، وبالتالي،${\displaystyle \varphi (f_{1}),\ldots ,\varphi (f_{k})}$دائماً ما يكون لها صفر مشترك غير تافه.

وإلا، فليكن${\displaystyle d_{i}}$أن تكون درجة${\displaystyle f_{i},}$ولنفترض أن المؤشرات يتم اختيارها بحيث${\displaystyle d_{2}\geq d_{3}\geq \cdots \geq d_{k}\geq d_{1}.}$الدرجة

${\displaystyle D=d_{1}+d_{2}+\cdots +d_{n}-n+1=1+\sum _{i=1}^{n}(d_{i}-1)}$

يُطلق عليها درجة ماكولاي أو حد ماكولاي لأن ماكولاي أثبت ذلك.${\displaystyle \varphi (f_{1}),\ldots ,\varphi (f_{k})}$يكون للمصفوفة صفر مشترك غير تافه إذا وفقط إذا كانت رتبة مصفوفة ماكولاي من الدرجة D أقل من عدد صفوفها. بعبارة أخرى، يمكن اختيار قيمة d المذكورة أعلاه مرة واحدة فقط لتكون مساوية لـ D.

لذلك، فإن الوضع المثالي${\displaystyle {\mathfrak {r}},}$الذي تم تأكيد وجوده من خلال النظرية الرئيسية لنظرية الحذف، هو المثالي الصفري إذا كان k < n ، وإلا فإنه يتم توليده بواسطة المحددات القصوى لمصفوفة ماكولاي في الدرجة D.

إذا كان k = n ، فقد أثبت ماكولاي أيضًا أن${\displaystyle {\mathfrak {r}}}$هو مثالي رئيسي (على الرغم من أن مصفوفة ماكولاي من الدرجة D ليست مصفوفة مربعة عندما k > 2 )، والذي يتم توليده بواسطة محصلة${\displaystyle \varphi (f_{1}),\ldots ,\varphi (f_{n}).}$هذا المثال هو أيضًا مثال أولي بشكل عام ، لأنه أولي إذا كانت R هي حلقة كثيرات الحدود الصحيحة التي جميع معاملاتها${\displaystyle \varphi (f_{1}),\ldots ,\varphi (f_{k})}$باعتبارها غير محددة.

في الصيغة السابقة، حلقة كثير الحدود${\displaystyle R[\mathbf {x} ]=R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$يُعرّف تشاكل المخططات (وهي أصناف جبرية إذا تم توليد R بشكل نهائي على حقل)

${\displaystyle \mathbb {P} _{R}^{n-1}=\operatorname {Proj} (R[\mathbf {x} ])\to \operatorname {Spec} (R).}$

تنص النظرية على أن صورة المجموعة المغلقة زاريسكي V ( I ) المعرفة بواسطة I هي المجموعة المغلقة V ( r ) . وبالتالي فإن التشاكل مغلق.

• إزالة أدوات التحديد الكمي
• نتيجة ماكولي
• قاعدة غروبنر

• مومفورد، ديفيد (1999). الكتاب الأحمر للأصناف والمخططات . سبرينغر. ISBN 9783540632931.
• أيزنبد، ديفيد (2013). الجبر التبادلي: مع نظرة نحو الهندسة الجبرية . سبرينغر. ISBN 9781461253501.
• ميلن، جيمس س. ( 2014). "أعمال جون تيت". جائزة أبيل 2008-2012 . سبرينغر. ISBN 9783642394492.