خاتم متدرج

في الرياضيات ، وتحديدًا في الجبر المجرد ، الحلقة المتدرجة هي حلقة تكون فيها المجموعة الجمعية الأساسية عبارة عن مجموع مباشر للمجموعات الأبيلية${\displaystyle R_{i}}$بحيث​${\displaystyle R_{i}R_{j}\subseteq R_{i+j}}$مجموعة الفهرس عادةً ما تكون مجموعة الأعداد الصحيحة غير السالبة أو مجموعة الأعداد الصحيحة، ولكن يمكن أن تكون أي أحادي . يُشار عادةً إلى تحليل المجموع المباشر بالتدرج أو التصنيف .

يُعرَّف النموذج المتدرج بشكل مشابه (انظر أدناه للتعريف الدقيق). وهو يُعمِّم فضاءات المتجهات المتدرجة . يُطلق على النموذج المتدرج الذي هو أيضًا حلقة متدرجة اسم الجبر المتدرج . ويمكن أيضًا اعتبار الحلقة المتدرجة بمثابة جبر متدرج .${\displaystyle \mathbb {Z} }$-الجبر .

إن خاصية التجميع ليست مهمة (في الواقع لا تستخدم على الإطلاق) في تعريف الحلقة المتدرجة؛ وبالتالي، ينطبق المفهوم على الجبر غير التجميعي أيضًا؛ على سبيل المثال، يمكن للمرء أن ينظر في جبر لي المتدرج .

بشكل عام، يُفترض أن مجموعة مؤشرات الحلقة المتدرجة هي مجموعة الأعداد الصحيحة غير السالبة، ما لم يُنص صراحةً على خلاف ذلك. وهذا هو الحال في هذه المقالة.

الحلقة المتدرجة هي حلقة يتم تحليلها إلى مجموع مباشر

${\displaystyle R=\bigoplus _{n=0}^{\infty }R_{n}=R_{0}\oplus R_{1}\oplus R_{2}\oplus \cdots }$

من المجموعات المضافة ، بحيث

${\displaystyle R_{m}R_{n}\subseteq R_{m+n}}$

لجميع الأعداد الصحيحة غير السالبة${\displaystyle m}$و​${\displaystyle n}$⁠ .

عنصر غير صفري من${\displaystyle R_{n}}$يقال إنه متجانس من الدرجة ⁠${\displaystyle n}$بحسب تعريف المجموع المباشر، فإن كل عنصر غير صفري${\displaystyle a}$ل${\displaystyle R}$يمكن كتابتها بشكل فريد كمجموع${\displaystyle a=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n}}$حيث كل${\displaystyle a_{i}}$إما أن تكون قيمتها صفرًا أو متجانسة من الدرجة ⁠${\displaystyle i}$. غير الصفري${\displaystyle a_{i}}$هي المكونات المتجانسة لـ ${\displaystyle a}$⁠ .

بعض الخصائص الأساسية هي:

• ${\displaystyle R_{0}}$هي حلقة فرعية من${\displaystyle R}$; على وجه الخصوص، العنصر المحايد الضربي${\displaystyle 1}$هو عنصر متجانس من الدرجة الصفرية.
• لأي${\displaystyle n}$،${\displaystyle R_{n}}$هو ذو وجهين${\displaystyle R_{0}}$- وحدة ،وتفكيك المجموع المباشر هو مجموع مباشر لـ${\displaystyle R_{0}}$-الوحدات .
• ${\displaystyle R}$هو ارتباطي​${\displaystyle R_{0}}$-الجبر .​

• يمكن إعطاء أي حلقة R (غير متدرجة) تدرجًا عن طريق وضع ⁠${\displaystyle R_{0}=R}$، و${\displaystyle R_{i}=0}$بالنسبة لـ i ≠ 0. وهذا ما يسمى بالتدرج التافه على R. 
• حلقة كثيرات الحدود${\displaystyle R=k[t_{1},\ldots ,t_{n}]}$يتم تصنيفها حسب الدرجة : وهي مجموع مباشر لـ${\displaystyle R_{i}}$تتكون من كثيرات حدود متجانسة من الدرجة i .
• ليكن S مجموعة جميع العناصر المتجانسة غير الصفرية في مجال تكاملي متدرج R. عندئذٍ يكون تحديد موقع R بالنسبة إلى S هو${\displaystyle \mathbb {Z} }$خاتم مصنف.
• إذا كان I مثاليًا في حلقة تبديلية R ، فإن${\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$هي حلقة متدرجة تسمى الحلقة المتدرجة المرتبطة بـ R على طول I ؛ هندسيًا، هي حلقة الإحداثيات للمخروط الطبيعي على طول الصنف الفرعي المحدد بواسطة I.
• ليكن X فضاءً طوبولوجيًا ، ^و Hᵢ ( X ; R ) زمرة التماثل من الرتبة i ذات معاملات في حلقة R. عندئذٍ، فإن H ^* ( X ; R )، وهي حلقة التماثل لـ X ذات معاملات في R ، هي حلقة متدرجة زمرتها الأساسية هي${\textstyle \bigoplus _{i=0}^{\infty }H^{i}(X;R)}$مع البنية الضربية المعطاة بواسطة حاصل ضرب الكأس .

الفكرة المقابلة في نظرية الوحدات النمطية هي فكرة الوحدة النمطية المتدرجة ، أي الوحدة النمطية اليسرى M على حلقة متدرجة R بحيث

${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }M_{i},}$

و

${\displaystyle R_{i}M_{j}\subseteq M_{i+j}}$

لكل i و j .

أمثلة:

• الفضاء المتجهي المتدرج هو مثال على وحدة متدرجة على حقل (مع وجود تدرج تافه في الحقل).
• الحلقة المتدرجة هي وحدة متدرجة فوق نفسها. يكون المثالي في الحلقة المتدرجة متجانسًا إذا وفقط إذا كان وحدة فرعية متدرجة. مُفني الوحدة المتدرجة هو مثالي متجانس.
• بفرض وجود مثالي I في حلقة تبديلية R ووحدة نمطية R - M ، فإن المجموع المباشر${\displaystyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}M/I^{n+1}M}$هو وحدة متدرجة فوق الحلقة المتدرجة المرتبطة بها${\textstyle \bigoplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$.

التشكل​${\displaystyle f:N\to M}$التشاكل المتدرج، الذي يُسمى تشاكلًا متدرجًا أو تماثلًا متدرجًا ، هو تشاكل للوحدات الأساسية يحترم التدرج؛ أي ،${\displaystyle f(N_{i})\subseteq M_{i}}$الوحدة الفرعية المتدرجة هي وحدة فرعية تُعتبر وحدة متدرجة بحد ذاتها، بحيث يكون تضمينها في نظرية المجموعات تشاكلاً بين الوحدات المتدرجة. وبالتحديد ، تكون الوحدة المتدرجة N وحدة فرعية متدرجة من M إذا وفقط إذا كانت وحدة فرعية من M وتُحقق الشرط التالي :${\displaystyle N_{i}=N\cap M_{i}}$⁠ . النواة وصورة تشاكل الوحدات المتدرجة هي وحدات فرعية متدرجة.

ملاحظة: إن إعطاء شكل متدرج من حلقة متدرجة إلى حلقة متدرجة أخرى مع وجود الصورة في المركز هو نفسه إعطاء بنية جبر متدرج للحلقة الأخيرة.

بافتراض وجود وحدة دراسية مصنفة${\displaystyle M}$، ال${\displaystyle \ell }$-لفة من${\displaystyle M}$هي وحدة دراسية مصنفة محددة بواسطة${\displaystyle M(\ell )_{n}=M_{n+\ell }}$(انظر حزمة سير الملتوية في الهندسة الجبرية ).

لنفترض أن M و N وحدات دراسية مصنفة. إذا${\displaystyle f\colon M\to N}$إذا كان f تشاكلاً بين وحدات، فإن f يُقال إن درجته d إذا${\displaystyle f(M_{n})\subseteq N_{n+d}}$. المشتق الخارجي للأشكال التفاضلية في الهندسة التفاضلية هو مثال على هذا النوع من التشاكلات التي لها درجة 1.

بفرض وجود وحدة نمطية متدرجة M على حلقة متدرجة تبديلية R ، يمكن ربط متسلسلة القوى الرسمية ⁠${\displaystyle P(M,t)\in \mathbb {Z} [\![t]\!]}$⁠ :

${\displaystyle P(M,t)=\sum \ell (M_{n})t^{n}}$

(بافتراض${\displaystyle \ell (M_{n})}$( محدود). وتسمى متسلسلة هيلبرت-بوانكاريه لـ M.

يُقال إن الوحدة المتدرجة مولدة بشكل نهائي إذا كانت الوحدة الأساسية مولدة بشكل نهائي . ويمكن اعتبار المولدات متجانسة (عن طريق استبدال المولدات بأجزائها المتجانسة).

لنفترض أن R هي حلقة متعددة الحدود${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$، kحقل، و M وحدة متدرجة مولدة بشكل نهائي فوقه. إذن الدالة${\displaystyle n\mapsto \dim _{k}M_{n}}$تُسمى هذه الدالة دالة هيلبرت لـ M. وتتطابق هذه الدالة مع متعددة الحدود ذات القيم الصحيحة لـ n الكبيرة والتي تسمى متعددة حدود هيلبرت لـ M.

الجبر الترابطي A على حلقة R هو جبر متدرج إذا كان متدرجًا كحلقة.

في الحالة المعتادة حيث لا تكون الحلقة R متدرجة (خاصةً إذا كانت R حقلاً)، فإنها تُعطى التدرج التافه (كل عنصر من عناصر R من الدرجة 0). وبالتالي،${\displaystyle R\subseteq A_{0}}$والقطع المصنفة${\displaystyle A_{i}}$هي وحدات R.

في حالة كون الحلقة R حلقة متدرجة أيضًا، فإنه يلزم أن

${\displaystyle R_{i}A_{j}\subseteq A_{i+j}}$

بمعنى آخر، نحن نشترط أن يكون A وحدة نمطية يسارية متدرجة على R.

تُعد أمثلة الجبر المتدرج شائعة في الرياضيات:

• الحلقات متعددة الحدود . العناصر المتجانسة من الدرجة n هي بالضبط متعددات الحدود المتجانسة من الدرجة n .
• جبر الموترات${\displaystyle T^{\bullet }V}$للفضاء المتجهي V. العناصر المتجانسة من الدرجة n هي الموترات من الرتبة n ،${\displaystyle T^{n}V}$⁠ .
• الجبر الخارجي${\displaystyle \textstyle \bigwedge \nolimits ^{\bullet }V}$والجبر المتناظر${\displaystyle S^{\bullet }V}$وهي أيضاً جبر متدرج.
• حلقة التماثل${\displaystyle H^{\bullet }}$في أي نظرية تماثلية، يكون التدرج أيضًا متدرجًا، وهو المجموع المباشر لمجموعات التماثل .${\displaystyle H^{n}}$⁠ .

تُستخدم الجبر المتدرج بكثرة في الجبر التبادلي والهندسة الجبرية ، والجبر المتجانس ، والطوبولوجيا الجبرية . ومن الأمثلة على ذلك العلاقة الوثيقة بين كثيرات الحدود المتجانسة والأصناف الإسقاطية (انظر: حلقة الإحداثيات المتجانسة ).

مثال آخر على الجبر المتدرج غير التبادلي هو جبر مسار ليفيت الذي يحتوي على عنصر طبيعي${\displaystyle \mathbb {Z} }$التقييم.

تم تعميم التعريفات المذكورة أعلاه لتشمل الحلقات المصنفة باستخدام أي أحادي G كمجموعة فهارس. الحلقة المصنفة R من النوع G هي حلقة ذات تحليل مجموع مباشر

${\displaystyle R=\bigoplus _{i\in G}R_{i}}$

بحيث

${\displaystyle R_{i}R_{j}\subseteq R_{i\cdot j}.}$

عناصر لغة R التي تقع في الداخل${\displaystyle R_{i}}$بالنسبة للبعض${\displaystyle i\in G}$يقال إنها متجانسة من الدرجة الأولى .

أصبح المفهوم الذي تم تحديده سابقًا لـ "الحلقة المتدرجة" الآن هو نفسه الشيء نفسه الذي يُعرف بـ${\displaystyle \mathbb {N} }$خاتم متدرج، حيث${\displaystyle \mathbb {N} }$هي مجموعة الأعداد الطبيعية تحت عملية الجمع. ويمكن أيضًا توسيع تعريفات الوحدات المتدرجة والجبر بهذه الطريقة، باستبدال مجموعة الفهرسة.${\displaystyle \mathbb {N} }$مع أي أحادي G.

ملاحظات:

• إذا لم نشترط أن تحتوي الحلقة على عنصر محايد ، فقد تحل أنصاف المجموعات محل المونويدات.

أمثلة:

• تقوم المجموعة بشكل طبيعي بتصنيف حلقة المجموعة المقابلة لها ؛ وبالمثل، يتم تصنيف حلقات المونويد بواسطة المونويد المقابل لها.
• الجبر الفائق (التجميعي) هو مصطلح آخر لـ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$الجبر المتدرج. ومن الأمثلة على ذلك جبر كليفورد . هنا تكون العناصر المتجانسة إما من الدرجة 0 (زوجية) أو 1 (فردية).

بشكل بديهي، المونويد المتدرج هو مجموعة جزئية من حلقة متدرجة.${\textstyle \bigoplus _{n\in \mathbb {N} _{0}}R_{n}}$، تم إنشاؤه بواسطة${\displaystyle R_{n}}$بدون استخدام الجزء الجمعي. أي أن مجموعة عناصر المونويد المتدرج هي${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} _{0}}R_{n}}$.

بصورة رسمية، فإنّ المونويد المتدرج ^{[ 1 ]} هو مونويد${\displaystyle (M,\cdot )}$، مع دالة تدرج${\displaystyle \phi :M\to \mathbb {N} _{0}}$بحيث${\displaystyle \phi (m\cdot m')=\phi (m)+\phi (m')}$لاحظ أن تدرج${\displaystyle 1_{M}}$بالضرورة أن تكون القيمة صفرًا. ويطلب بعض المؤلفين كذلك أن${\displaystyle \phi (m)\neq 0}$ عندما لا يكون m هو العنصر المحايد.

بافتراض أن تدرجات العناصر غير المطابقة غير صفرية، فإن عدد عناصر التدرج n يكون على الأكثر${\displaystyle g^{n}}$حيث g هي عدد عناصر المجموعة المولدة G للمونويد. وبالتالي، فإن عدد العناصر ذات التدرج n أو أقل يكون على الأكثر${\displaystyle n+1}$(ل${\displaystyle g=1}$) أو${\textstyle {\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}}$وإلا. في الواقع، كل عنصر من هذا القبيل هو نتاج على الأكثر n عنصرًا من G ، وفقط${\textstyle {\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}}$توجد مثل هذه المنتجات. وبالمثل، لا يمكن كتابة العنصر المحايد كحاصل ضرب عنصرين غير محايدين. أي أنه لا يوجد قاسم محايد في مثل هذه الزمرة المتدرجة.

• خاتم مصنف مرتبط
• الجبر التفاضلي المتدرج
• الجبر المُصفّى ، وهو تعميم
• مُصنّف (رياضيات)
• الفئة المصنفة
• فضاء المتجهات المتدرج
• جبر الموترات
• وحدة تدرج تفاضلي