العلاقة (الرياضيات)

في الرياضيات ، تُشير العلاقة إلى نوع من الارتباط بين عنصرين في مجموعة ، وقد تكون هذه العلاقة صحيحة أو خاطئة. ^{[ 1 ]} على سبيل المثال، " أصغر من " علاقة على مجموعة الأعداد الطبيعية ؛ فهي صحيحة، على سبيل المثال، بين القيمتين $1$ و $3$ (يُرمز لها بـ $1 < 3$ )، وكذلك بين $3$ و $4$ (يُرمز لها بـ $3 < 4$ )، ولكنها غير صحيحة بين القيمتين $3$ و $1$ ، ولا بين $4$ و $4$ ، أي أن $3 < 1$ و $4 < 4$ كلاهما خاطئ. كمثال آخر، " شقيقة " علاقة على مجموعة جميع الأشخاص، وهي صحيحة، على سبيل المثال، بين ماري كوري وبرونيسوافا دوسكا ، والعكس صحيح. قد لا تكون عناصر المجموعة مرتبطة "بدرجة معينة" - إما أن تكون مرتبطة أو غير مرتبطة.

بصورة رسمية، يمكن اعتبار العلاقة $R$ على مجموعة $X$ مجموعة من الأزواج المرتبة $(x, y)$ لعناصر $X.$ ^{[ 2} ] تتحقق العلاقة $R$ بين $x$ و $y$ إذا كان $(x, y)$ عنصرًا من $R.$ على سبيل المثال، العلاقة " أصغر من " على مجموعة الأعداد الطبيعية هي مجموعة لانهائية $R $ ^l $$ من أزواج الأعداد الطبيعية التي تحتوي على كل من $(1,3)$ و $(3,4)$ ، ولكنها لا تحتوي على $(3,1)$ ولا $(4,4)$ . العلاقة " قاسم غير تافه لـ " على مجموعة الأعداد الطبيعية المكونة من رقم واحد صغيرة بما يكفي لإثباتها هنا: $R dv = {(2,4), (2,6), (2,8), (3,6), (3,9), (4,8)}$ ؛ على سبيل المثال $، 2$ هو قاسم غير تافه للعدد $8$ ، ولكن ليس العكس، وبالتالي فإن $(2,8) \in R dv$ ، ولكن $(8,2) \notin R dv$ .

إذا كانت $R$ علاقة صحيحة بين $x$ و $y$ ، فغالبًا ما يُكتب $xRy$ . أما بالنسبة لمعظم العلاقات الشائعة في الرياضيات، فتُستخدم رموز خاصة، مثل " $<$ " للدلالة على "أصغر من" ، و" $|$ " للدلالة على "قاسم لـ" ، والأكثر شيوعًا " $=$ " للدلالة على "يساوي" . على سبيل المثال، " $1 < 3$ "، و" $1$ أصغر من $3$ "، و" $(1,3) \in R أصغر$ " تعني جميعها الشيء نفسه؛ ويكتب بعض المؤلفين أيضًا " $(1,3) \in (<)$ ".

تُدرس خصائص متنوعة للعلاقات. تُوصف العلاقة $R$ بأنها انعكاسية إذا تحققت $xRx$ لجميع $قيم x$ ، وغير انعكاسية إذا لم تتحقق $xRx$ $لأي قيمة x$ . وتكون متناظرة إذا $كانت xRy$ تستلزم دائمًا $yRx$ ، وغير متناظرة إذا كانت $xRy$ تستلزم استحالة $yRx$ . وتكون متعدية إذا $كانت xRy$ و $yRz$ تستلزمان دائمًا $xRz$ . على سبيل المثال، العلاقة " أصغر من " غير انعكاسية وغير متناظرة ومتعدية، ولكنها ليست انعكاسية ولا متناظرة. أما العلاقة "أخت " فهي ليست انعكاسية (مثلاً، بيير كوري ليس أخت نفسه)، ولا متناظرة، ولا غير متناظرة؛ في حين أن كونها غير انعكاسية أو لا قد يكون مسألة تعريف (هل كل امرأة أخت لنفسها؟)، فإن العلاقة "سلف ^"^متعدية^، بينما العلاقة " والد " ليست متعدية. وتُعرف نظريات رياضية حول تركيبات خصائص العلاقات، مثل "العلاقة المتعدية تكون غير انعكاسية إذا، وفقط إذا، كانت غير متناظرة".

تُعدّ العلاقات التي تُحقق توليفات مُحددة من الخصائص ذات أهمية خاصة. فالترتيب الجزئي هو علاقة انعكاسية، ومتناظرة عكسيًا، ومتعدية، ^{[ 3 ]} وعلاقة التكافؤ هي علاقة انعكاسية، ومتناظرة، ومتعدية، ^{[ 4 ]} والدالة هي علاقة فريدة من اليمين وكلية من اليسار (انظر أدناه ) . ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

بما أن العلاقات عبارة عن مجموعات، فإنه يمكن التعامل معها باستخدام عمليات المجموعات، بما في ذلك الاتحاد والتقاطع والمكملة ، ^مما يؤدي إلى جبر المجموعات . علاوة على ذلك، يشمل حساب العلاقات عمليتيّ عكس العلاقات وتركيبها . ^[⁷^]^[⁸^] [ ⁹^]

تم تعميم المفهوم أعلاه للعلاقة ^{[ ب ]} ليشمل العلاقات بين أعضاء مجموعتين مختلفتين ( علاقة غير متجانسة ، مثل " يقع على " بين مجموعة جميع النقاط ومجموعة جميع الخطوط في الهندسة)، والعلاقات بين ثلاث مجموعات أو أكثر ( علاقة نهائية ، مثل "الشخص $س$ يعيش في المدينة $ص$ في الوقت $ع$ " )، والعلاقات بين الفئات ^{[ ج ]} (مثل " هو عنصر من " في فئة جميع المجموعات، انظر العلاقة الثنائية § المجموعات مقابل الفئات ).

تعريف

بالنظر إلى مجموعة $X$ ، فإن العلاقة $R$ على $X$ هي مجموعة من الأزواج المرتبة من العناصر من $X$ ، بشكل رسمي: $R \subseteq { (x, y) | x, y \in X}$ . ^{[ 2 ]}^{[ 10 ]}

العبارة $(x, y) \in R$ تُقرأ " $x$ مرتبط بـ $y$ $في R$ " ، وتُكتب بالصيغة الوسطية xRy $.$ ^[⁷^]^[⁸^] ترتيب العناصر مهم؛ فإذا كان $x$ $\neq$ $y،$ فإن $yRx$ يمكن أن تكون صحيحة أو خاطئة بغض النظر عن $xRy$ . على سبيل المثال، $3$ يقسم $9$ ، لكن $9$ لا يقسم $3$ .

تمثيل العلاقات

y x	1	2	3	4	6	12
1
2
3
4
6
12
تمثيل $R div$ كمصفوفة منطقية

يمكن تمثيل العلاقة $R$ على مجموعة منتهية $X على النحو التالي:$

الرسم البياني الموجه : كل عنصر من عناصر $X$ يتوافق مع رأس؛ يوجد ضلع موجه من $x$ إلى $y$ إذا وفقط إذا كان $(x, y) \in R.$
المصفوفة المنطقية : يتم ترتيب عناصر $X$ في تسلسل ثابت $x 1$ ، ... ، $x n$ ؛ المصفوفة لها أبعاد $n \times n$ ، مع العنصر الموجود في السطر $i$ ، العمود $j$ ، يكون ، إذا كان $(x i ، x j) \in R$ ، و ، خلاف ذلك.
الرسم البياني ثنائي الأبعاد : كتعميم للمصفوفة البولية، يمكن تمثيل العلاقة على المجموعة اللانهائية $R$ من الأعداد الحقيقية كشكل هندسي ثنائي الأبعاد: باستخدام الإحداثيات الديكارتية ، ارسم نقطة عند $(x ، y)$ كلما كان $(x ، y) \in R.$

يمكن أيضًا تمثيل ^{العلاقة} المتعدية $R$ على مجموعة منتهية ^X $على$ النحو التالي ^:

مخطط هاس : يُمثل كل عنصر من $عناصر X$ رأسًا؛ تُرسَم الحواف الموجهة بحيث يوجد مسار موجه من $x$ إلى $y$ إذا وفقط إذا كان $(x, y) \in R.$ بالمقارنة مع تمثيل الرسم البياني الموجه، يحتاج مخطط هاس إلى عدد أقل من الحواف، مما يؤدي إلى صورة أقل تعقيدًا. ولأن العلاقة " يوجد مسار موجه من $x$ إلى $y$ " علاقة متعدية، فلا يمكن تمثيل سوى العلاقات المتعدية في مخططات هاس. عادةً ما يُصمَّم المخطط بحيث تشير جميع الحواف إلى الأعلى، وتُحذف الأسهم.

على سبيل المثال، على مجموعة جميع قواسم العدد $12$ ، عرّف العلاقة $R div$ by

x R div y

if

x

is a divor of

y

and

x \neq y

.

بصورة رسمية، $X = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 }$ و $R div = { (1,2), (1,3), (1,4), (1,6), (1,12), (2,4), (2,6), (2,12), (3,6), (3,12), (4,12), (6,12) }$ . يوضح الجدول الأوسط تمثيل $R div$ كمصفوفة منطقية، بينما يوضح الشكل الأيسر تمثيلها كمخطط هاس وكرسم بياني موجه.

ما يلي متكافئ:

$x R div y$ صحيح.
$(x, y) \in R div$ .
يوجد مسار من $x$ إلى $y$ في مخطط هاس الذي يمثل $R div$ .
توجد حافة من $x$ إلى $y$ في الرسم البياني الموجه الذي يمثل $R div$ .
في المصفوفة المنطقية التي تمثل $R div$ ، العنصر الموجود في السطر $x$ ، العمود $y$ هو " ".

كمثال آخر، عرّف العلاقة $R el$ على $R$ كما يلي:

x R el y

if

x 2 + xy + y 2 = 1

.

يُظهر تمثيل $R el$ كرسم بياني ثنائي الأبعاد شكلًا بيضاويًا، كما هو موضح في الصورة على اليمين. ولأن $R$ ليست مجموعة بيانات محدودة، فلا يمكن استخدام أي رسم بياني موجه، أو مصفوفة منطقية محدودة، أو مخطط هاس لتمثيل $R el$ .

خصائص العلاقات

من الخصائص المهمة التي قد تمتلكها العلاقة $R$ على مجموعة $X ما يلي:$

انعكاسي: لكل $x \in X$ ، $xRx$ . على سبيل المثال، $\geq$ علاقة انعكاسية، لكن $>$ ليست كذلك.

غير انعكاسي (أو صارم ): لكل $x \in X$ ، وليس $xRx$ . على سبيل المثال، $>$ علاقة غير انعكاسية، لكن $\geq$ ليست كذلك.

البديلان السابقان ليسا شاملين؛ على سبيل المثال، العلاقة الحمراء $y = x 2$ الموضحة في الرسم البياني أدناه ليست غير انعكاسية ولا انعكاسية، لأنها تحتوي على الزوج $(0,0)$ ، ولكن ليس $(2,2)$ ، على التوالي.

متماثل: لكل $x و y \in X$ ، إذا كان $xRy$ فإن $yRx$ . على سبيل المثال، "هو قريب من الدرجة الأولى" هي علاقة متناظرة، لأن $x$ يكون قريبًا من الدرجة الأولى لـ $y$ إذا وفقط إذا كان $y$ قريبًا من الدرجة الأولى لـ $x$ .

مضاد للتناظر: لكل $x و y \in X$ ، إذا كان $xRy$ و $yRx$ فإن $x = y$ . على سبيل المثال، $\geq$ علاقة مضادة للتناظر؛ وكذلك $>$ ، ولكن بشكل بديهي (الشرط في التعريف خاطئ دائمًا). ^{[ 11 ]}

غير متماثل: لكل $x و y \in X$ ، إذا كان $xRy$ فإن $yRx$ ليس كذلك . تكون العلاقة غير متناظرة إذا وفقط إذا كانت مضادة للتناظر وغير انعكاسية. ^{[ 12 ]} على سبيل المثال، $>$ علاقة غير متناظرة، بينما $\geq$ ليست كذلك.

مرة أخرى، البدائل الثلاثة السابقة بعيدة كل البعد عن كونها شاملة؛ على سبيل المثال، بالنسبة للأعداد الطبيعية، فإن العلاقة $xRy$ المعرفة بواسطة $x > 2$ ليست متناظرة (على سبيل المثال $5 R 1$ ، ولكن ليس $1 R 5$ ) ولا مضادة للتناظر (على سبيل المثال $6 R 4$ ، ولكن أيضًا $4 R 6$ )، ناهيك عن كونها غير متناظرة.

متعدٍ: لكل $x و y و z \in X$ ، إذا كان $xRy$ و $yRz$ فإن $xRz$ . تكون العلاقة المتعدية غير انعكاسية إذا وفقط إذا كانت غير متناظرة. ^{[ 13 ]} على سبيل المثال، "سلف لـ" علاقة متعدية، بينما "والد لـ" ليست كذلك.

متصل: لكل $x و y \in X$ ، إذا كان $x \neq y$ فإن $xRy$ أو $yRx$ . على سبيل المثال، في الأعداد الطبيعية، $<$ متصلة، بينما " قاسم لـ " غير متصل (مثلاً $5 R 7$ ولا $7 R 5$ ).

مترابطة بقوة: لكل $x و y \in X$ ، $xRy$ أو $yRx$ . على سبيل المثال، في الأعداد الطبيعية، $\leq$ علاقة قوية، بينما $<$ ليست كذلك. تكون العلاقة قوية إذا، وفقط إذا، كانت متصلة وانعكاسية.

خصائص التفرد

حقني ^{[ e ]} (يسمى أيضًا وحيد من اليسار ^{[ 14 ]} ): لكل $x و y و z \in X$ ، إذا كان $xRy$ و $zRy$ فإن $x = z$ . على سبيل المثال، العلاقات الخضراء والزرقاء في الرسم البياني أحادية، لكن العلاقة الحمراء ليست كذلك (لأنها تربط كلاً $من -1$ و $1$ بـ $1$ )، وكذلك العلاقة السوداء (لأنها تربط كلاً $من -1$ و $1$ بـ $0$ ).
وظيفي ^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}^{[ e ]} (يسمى أيضًا فريد من اليمين ، ^{[ 14 ]} محدد من اليمين ^{[ 18 ]} أو أحادي القيمة ^{[ 9 ]} ): لكل $x و y و z \in X$ ، إذا كان $xRy$ و $xRz$ فإن $y = z$ . تُسمى هذه العلاقة دالة جزئية . على سبيل المثال، العلاقتان الحمراء والخضراء في الرسم البياني دالتان، لكن العلاقة الزرقاء ليست كذلك (لأنها تربط $1$ بكل من $-1$ و $1$ )، وكذلك العلاقة السوداء (لأنها تربط 0 بكل من -1 و 1).

خصائص الشمولية

التسلسل ^{[ هـ ]} (يسمى أيضًا المجموع الكلي أو المجموع الكلي الأيسر ): لكل $x \in X$ ، يوجد $y \in X$ بحيث $xRy$ . على سبيل المثال، العلاقتان الحمراء والخضراء في الرسم البياني علاقتان كليتان، لكن العلاقة الزرقاء ليست كذلك (لأنها لا تربط $-1$ بأي عدد حقيقي)، وكذلك العلاقة السوداء (لأنها لا تربط $2$ بأي عدد حقيقي). كمثال آخر، $>$ علاقة تسلسلية على الأعداد الصحيحة. لكنها ليست علاقة تسلسلية على الأعداد الصحيحة الموجبة، لأنه لا يوجد $y$ في الأعداد الصحيحة الموجبة بحيث $1 > y$ . ^{[ 19 ]} مع ذلك، $<$ علاقة تسلسلية على الأعداد الصحيحة الموجبة والأعداد النسبية والأعداد الحقيقية. كل علاقة انعكاسية هي علاقة تسلسلية: لأي $x$ معطى ، اختر $y = x$ .

شامل ^{[ هـ ]} (يسمى أيضًا إجمالي يميني ^{[ 14 ]} أو شامل ): لكل $y \in X$ ، يوجد $x \in X$ بحيث $xRy$ . على سبيل المثال، العلاقتان الخضراء والزرقاء في الرسم البياني شاملتان، لكن العلاقة الحمراء ليست كذلك (لأنها لا تربط أي عدد حقيقي بـ $-1$ )، وكذلك العلاقة السوداء (لأنها لا تربط أي عدد حقيقي بـ $2$ ).

مجموعات من الخصائص

العلاقات حسب الملكية
	الانعكاسية	التناظر	خاصية التعدي	رجال متصلون	مثال
طلب جزئي	انعكاس	مضاد التناظر	نعم		مجموعة فرعية
ترتيب جزئي صارم	انعكاس غير عاكس	عدم التماثل	نعم		مجموعة فرعية صارمة
إجمالي الطلب	انعكاس	مضاد التناظر	نعم	نعم	الترتيب الأبجدي
إجمالي الطلب الصارم	انعكاس غير عاكس	عدم التماثل	نعم	نعم	الترتيب الأبجدي الصارم
علاقة التكافؤ	انعكاس	طبيعي	نعم		المساواة

العلاقات التي تحقق مجموعات معينة من الخصائص المذكورة أعلاه مفيدة بشكل خاص، وبالتالي فقد حصلت على أسماء خاصة بها.

علاقة التكافؤ: علاقة انعكاسية، متناظرة، ومتعدية. وهي أيضاً علاقة متناظرة، ومتعدية، ومتسلسلة، لأن هذه الخصائص تستلزم الانعكاسية.

الطلبات

طلب جزئي: علاقة انعكاسية، وغير متناظرة، ومتعدية.

ترتيب جزئي صارم: علاقة غير انعكاسية، وغير متناظرة، ومتعدية.

إجمالي الطلب: علاقة انعكاسية، غير متناظرة، متعدية، ومتصلة. ^{[ 20 ]}

إجمالي الطلب الصارم: علاقة غير انعكاسية، وغير متناظرة، ومتعدية، ومتصلة.

خصائص التفرد

واحد لواحد ^{[ هـ ]}: العلاقات أحادية ووظيفية. على سبيل المثال، العلاقة الخضراء في الرسم التخطيطي هي علاقة واحد لواحد، لكن العلاقات الحمراء والزرقاء والسوداء ليست كذلك.
من واحد إلى كثير ^{[ هـ ]}: هي علاقة حقنية وليست وظيفية. على سبيل المثال، العلاقة الزرقاء في الرسم التخطيطي هي علاقة واحد إلى متعدد، بينما العلاقات الحمراء والخضراء والسوداء ليست كذلك.
متعدد إلى واحد ^{[ هـ ]}: وظيفية وليست حقنية. على سبيل المثال، العلاقة الحمراء في الرسم التخطيطي هي علاقة متعدد إلى واحد، لكن العلاقات الخضراء والزرقاء والسوداء ليست كذلك.
علاقة متعددة الأطراف ^{[ هـ ]}: ليست علاقة حقنية ولا وظيفية. على سبيل المثال، العلاقة السوداء في الرسم التخطيطي هي علاقة متعددة الأطراف، بينما العلاقات الحمراء والخضراء والزرقاء ليست كذلك.

خصائص التفرد والكمال

دالة ^[^هـ^]: علاقة وظيفية وشاملة. على سبيل المثال، العلاقات الحمراء والخضراء في الرسم البياني هي علاقات وظيفية، بينما العلاقات الزرقاء والسوداء ليست كذلك.
حقنة ^[^هـ^]: الدالة أحادية التقابل. على سبيل المثال، العلاقة الخضراء في الرسم التخطيطي أحادية التقابل، بينما العلاقات الحمراء والزرقاء والسوداء ليست كذلك.
إسقاط شامل ^{[ هـ ]}: الدالة الشاملة. على سبيل المثال، العلاقة الخضراء في الرسم التخطيطي هي علاقة شاملة، بينما العلاقات الحمراء والزرقاء والسوداء ليست كذلك.
تقابل ^[^هـ^]: دالةٌ أحادية وشاملة. على سبيل المثال، العلاقة الخضراء في الرسم البياني هي علاقة تقابل، بينما العلاقات الحمراء والزرقاء والسوداء ليست كذلك.

العمليات المتعلقة بالعلاقات

الاتحاد ^{[ f ]}: إذا كانت $R$ و $S$ علاقتين على $X،$ فإن $R \cup S = { (x, y) | xRy or xSy}$ هي علاقة الاتحاد بين $R$ و $S.$ العنصر المحايد لهذه العملية هو العلاقة الفارغة. على سبيل المثال، $\leq$ هو اتحاد $<$ و $=$ ، و $\geq$ هو اتحاد $>$ و $=$ .

التقاطع ^{[ f ]}: إذا كانت $R$ و $S$ علاقتين على $X،$ فإن $R \cap S = { (x, y) | xRy و xSy}$ هي علاقة التقاطع بين $R$ و $S.$ العنصر المحايد لهذه العملية هو العلاقة الشاملة. على سبيل المثال، "هي ورقة دنيا من نفس النوع مثل" هي تقاطع "هي ورقة دنيا من" و "تنتمي إلى نفس النوع مثل".

التركيب ^{[ f ]}: إذا كانت $R$ و $S$ علاقتين على $X،$ فإن $S \circ R = { (x, z) | يوجد y \in X بحيث xRy و ySz}$ (ويُرمز لها أيضًا بـ $R; S$ ) هي حاصل الضرب النسبي لـ $R$ و $S.$ العنصر المحايد هو علاقة التطابق. يتوافق ترتيب $R$ و $S$ في الترميز $S \circ R$ ، المستخدم هنا، مع الترتيب القياسي لتركيب الدوال . على سبيل المثال، التركيب "أم لـ" $\circ$ "والد لـ" ينتج عنه "جدة أم لـ"، بينما التركيب "والد لـ" $\circ$ "أم لـ" ينتج عنه "جدة لـ". في الحالة الأولى، إذا كان $x$ والد $y$ و $y$ أم $z$ ، فإن $x$ هو جد أم لـ $z$ .

كونفرس ^{[ f ]}: إذا كانت $R$ علاقة على المجموعتين $X$ و $Y،$ فإن $R T = { (y, x) | xRy}$ هي العلاقة العكسية لـ $R$ على $Y$ و $X.$ على سبيل المثال، $=$ هي عكس نفسها، وكذلك $\neq$ ، و $<$ و $>$ هما عكس بعضهما البعض، وكذلك $\leq$ و $\geq$ .

المكمل ^{[ f ]}: إذا كانت $R$ علاقة على $X،$ فإن $R = { (x, y) | x, y \in X و \cap xRy}$ (ويُرمز لها أيضًا بـ $R$ أو $\negR)$ هي العلاقة المُكمِّلة لـ $R.$ على سبيل المثال، $=$ و $\neq$ مُكمِّلان لبعضهما البعض، وكذلك $\subseteq$ و $⊈$ ، و $\supseteq$ و $⊉$ ، و $\in$ و $\notin$ ، وبالنسبة للرتب الكلية ، كذلك $<$ و $\geq$ ، و $>$ و $\leq$ . مُكمِّل العلاقة العكسية $R T$ هو عكس المُكمِّل. ${\overline {R^{\mathsf {T}}}}={\bar {R}}^{\mathsf {T}}.$

التقييد ^{[ و ]}: إذا كانت $R$ علاقة على $X$ و $S$ مجموعة جزئية من $X،$ فإن $R | S = { (x, y) | xRy و x, y \in S}$ هيالعلاقة التقييدية بين $R$ و $S.$ العبارة $R | S = { (x, y) | xRy و x \in S}$ هيعلاقة التقييد الأيسر بين $R$ و $S$ ؛ يُطلق على التعبير $R | S = { (x, y) | xRy و y \in S}$ اسمعلاقة التقييد الأيمن بين $R$ و $S.$ إذا كانت العلاقةانعكاسية، أو غير انعكاسية، أومتناظرة، أوغير متناظرة،غير متناظرة،متعدية،أو كلية، أوثلاثية التفرع، أوترتيبًا جزئيًا،ترتيبًا كليًا،ترتيبًا ضعيفًا صارمًا، أوترتيبًا كليًا جزئيًا(ترتيبًا ضعيفًا)، أوعلاقة تكافؤ، فإن قيودها تكون كذلك أيضًا. مع ذلك، فإنالإغلاق المتعديللتقييد هو مجموعة جزئية من تقييد الإغلاق المتعدي، أي أنهما ليسا متساويين بشكل عام. على سبيل المثال، تقييد العلاقة " $س$ هي والدة $ص$ " بالنساء ينتج عنه العلاقة " $س$ هي أم المرأة $ص$ "؛ إغلاقها المتعدي لا يربط المرأة بجدتها لأبيها. من ناحية أخرى، الإغلاق المتعدي لـ "هي والدة" هو "هي سلف"؛ تقييدها بالنساء يربط المرأة بجدتها لأبيها.

يُقال إن العلاقة $R$ على المجموعتين $X$ و $Y هي$ يُقال إن $R$ $\subseteq$ $S$ مجموعة جزئية منS $،$ أيأنهلكل $x$ $\in$ $X$ و $y$ $\in Y، إذا كان xRy، فإن xSy. إذا كانت R مجموعة جزئية من S، فإن S مجموعة جزئية من S، أي إذا كان xRy لكل x \in X و y \in$ $Y$ ، $فإن$ xSy. $إذا$ $كانت$ $R$ $مجموعة$ $جزئية$ منS و S مجموعة جزئية من R، $فإن$ R $و$ S $متساويتان$ ، $أي$ $R$ = $S.$ إذاكانتR $مجموعة$ $جزئية$ $من$ S $ولكن$ S $ليست$ مجموعة $جزئية$ من $R$ ، فإن $R$ مجموعة جزئية منأصغر من $S$ ، ويكتب $R ⊊ S.$ على سبيل المثال، فيالأعداد النسبية، تكون العلاقة $>$ أصغر من $\geq$ ، وتساوي التركيب $> \circ >$ .

نظريات حول العلاقات

تكون العلاقة غير متناظرة إذا، وفقط إذا، كانت مضادة للتناظر وغير انعكاسية.
تكون العلاقة المتعدية غير انعكاسية إذا، وفقط إذا، كانت غير متناظرة.
تكون العلاقة انعكاسية إذا، وفقط إذا، كان مكملها غير انعكاسي.
تكون العلاقة قوية إذا، وفقط إذا، كانت مترابطة وانعكاسية.
تكون العلاقة مساوية لعكسها إذا وفقط إذا كانت متناظرة.
تكون العلاقة متصلة إذا، وفقط إذا، كان مكملها مضادًا للتناظر.
تكون العلاقة مترابطة بقوة إذا، وفقط إذا، كان مكملها غير متماثل. ^{[ 21 ]}
إذا كانت R و S علاقتين على مجموعة X ، وكانت R محتواة في S ، فإن
- إذا كانت $R$ انعكاسية، أو متصلة، أو متصلة بقوة، أو كلية يسارية، أو كلية يمينية، فإن $S$ كذلك .
- إذا كانت $S غير انعكاسية، أو غير متناظرة، أو مضادة للتناظر، أو فريدة من اليسار، أو فريدة من اليمين، فإن$ $R$ كذلك .
تكون العلاقة انعكاسية، وغير انعكاسية، ومتماثلة، وغير متماثلة، ومضادة للتماثل، ومتصلة، ومتصلة بقوة، ومتعدية إذا كان عكسها كذلك، على التوالي.

أمثلة

العلاقات النظامية ، بما في ذلك الأوامر الصارمة :
- أكبر من
- أكبر من أو يساوي
- أقل من
- أقل من أو يساوي
- يقسم (بشكل متساوٍ)
- مجموعة فرعية من
علاقات التكافؤ :
- المساواة
- بالتوازي مع ( للفضاءات الأفينية )
- هو في تقابل مع
- متماثل الشكل
علاقة التسامح ، وهي علاقة انعكاسية ومتناظرة:
- علاقة التبعية ، علاقة التسامح المحدودة
- علاقة الاستقلال ، هي مكمل لعلاقة التبعية.
العلاقات الأسرية

التعميمات

تم تعميم مفهوم العلاقة المذكور أعلاه ليشمل العلاقات بين عناصر مجموعتين مختلفتين. فعند وجود مجموعتين $X$ و $Y$ ، تُعرَّف العلاقة غير المتجانسة $R$ على $X$ و $Y$ بأنها مجموعة جزئية من ${(x, y) | x \in X, y \in Y}$ . ^{[ 2 ]}^{[ 22 ]} وعندما $X = Y$ ، نحصل على مفهوم العلاقة الموصوف أعلاه؛ ويُطلق عليها غالبًا اسم العلاقة المتجانسة (أو العلاقة الداخلية ) ^{[ 23 ]}^{[ 24 ]} لتمييزها عن تعميمها. وتُعمَّم الخصائص والعمليات المذكورة أعلاه، والمُشار إليها بـ " ^{[ e ]} " و " ^{[ f ]} " على التوالي، لتشمل العلاقات غير المتجانسة. ومن أمثلة العلاقات غير المتجانسة: "المحيط $x$ يُجاور القارة $y$ ". ومن أشهر الأمثلة الدوال [ ^{g ] ذات} المجالات والمدى المتميزين، مثل $الدالة sqrt : N \to R +$ .

انظر أيضاً

بنية الوقوع ، علاقة غير متجانسة بين مجموعة من النقاط والخطوط
نظرية الترتيب ، تبحث في خصائص علاقات الترتيب
جبر العلاقات

ملحوظات

↑ إذا كان الجواب نعم، فإن عبارة " هي أخت " هي أيضًا فعل متعدٍ.
↑ يُطلق عليها اسم "العلاقة الثنائية المتجانسة (على المجموعات)" عندما يكون التمييز عن تعميماتها مهمًا
↑ تعميم للمجموعات
↑ انظر أدناه
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 هذه الخصائص تعمم أيضًا على العلاقات غير المتجانسة.
1 2 3 4 5 6 7 ويمكن تعميم هذه العملية أيضًا على العلاقات غير المتجانسة.
↑ أي العلاقات غير المتجانسة الفريدة من اليمين والعلاقات غير المتجانسة الكلية من اليسار

مراجع

↑ ستول، روبرت ر. (1963). نظرية المجموعات والمنطق . سان فرانسيسكو، كاليفورنيا: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-63829-4.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
1 2 3 كود 1970
↑ هالموس 1968 ، الفصل 14
↑ هالموس 1968 ، الفصل 7
↑ "تعريف العلاقة - رؤى الرياضيات" . mathinsight.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 ديسمبر 2019 .
↑ هالموس 1968 ، الفصل 8
1 2 إرنست شرودر (1895) الجبر ومنطق النسبية ، عبر أرشيف الإنترنت
1 2 سي. آي. لويس (1918) مسح للمنطق الرمزي ، الصفحات 269-279، عبر أرشيف الإنترنت
1 2 شميدت 2010 ، الفصل 5
↑ إندرتون 1977 ، الفصل 3، صفحة 40
^ سميث وإيجن وسانت أندريه 2006 ، ص. 160
↑ نيفيرجيلت 2002 ، ص 158
↑ فلاشكا وآخرون 2007 ، ص.1، المبرهنة 1.1 (رابعاً). يشير هذا المصدر إلى العلاقات غير المتناظرة بأنها "مضادة للتناظر تماماً".
١ ٢ ٣ كيلب، كناور وميخاليف ٢٠٠٠ ، ص ٣. تظهر نفس التعريفات الأربعة في المراجع التالية: باهل ودامراث ٢٠٠١ ، ص ٥٠٦ ، بيست ١٩٩٦ ، ص ١٩-٢١ ، ريمان ١٩٩٩ ، ص ٢١-٢٢
↑ فان جاستيرين 1990، ص 45.
↑ "العلاقة الوظيفية - موسوعة الرياضيات" . encyclopediaofmath.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 13-06-2024 .
↑ "العلاقة الوظيفية في nLab" . ncatlab.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 13-06-2024 .
↑ ماس 2007
^ ياو وونغ 1995
↑ روزنشتاين 1982 ، ص 4
↑ شميدت وستروهلين 1993
↑ إندرتون 1977 ، الفصل 3، صفحة 40
↑ مولر 2012 ، ص 22
^ باهل ودامراث 2001 ، ص. 496

فهرس

بيست، إيك (1996). دلالات البرامج المتسلسلة والمتوازية . برنتيس هول. ISBN 978-0-13-460643-9.
كود، إدغار فرانك (يونيو 1970). "نموذج علائقي للبيانات لبنوك البيانات المشتركة الكبيرة" (ملف PDF) . مجلة اتصالات رابطة الحوسبة الآلية . 13 (6): 377-387 . doi : 10.1145/362384.362685 . S2CID 207549016. تاريخ الاسترجاع: 29 أبريل 2020 .
كود، إدغار فرانك (1990). النموذج العلائقي لإدارة قواعد البيانات: الإصدار 2. بوسطن: أديسون-ويسلي . ISBN 978-0201141924.
إندرتون، هربرت (1977). عناصر نظرية المجموعات . بوسطن: دار النشر الأكاديمية . ISBN 978-0-12-238440-0.
فلاشكا، ف.؛ جيزيك، ج.؛ كيبكا، ت.؛ كورتيلاينن، ج. (2007). الإغلاقات المتعدية للعلاقات الثنائية 1 (ملف PDF) . براغ: كلية الرياضيات والفيزياء، جامعة تشارلز. مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 2 نوفمبر 2013.
هالموس، بول ر. (1968). نظرية المجموعات الساذجة . برينستون: نوستراند.
كيلب، ماتي؛ كناور، أولريش؛ ميخاليف، ألكسندر (2000). المونويدات، والأفعال، والفئات: مع تطبيقات على منتجات الأكاليل والرسوم البيانية . برلين: دي جرويتر . ISBN 978-3-11-015248-7.
ماس، ستيفان (2007)، "الاستدلال حول قيود السلامة الدلالية المكانية"، نظرية المعلومات المكانية: المؤتمر الدولي الثامن، COSIT 2007، ملبورن، أستراليا، 19-23 سبتمبر، وقائع المؤتمر ، سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب، المجلد 4736، سبرينغر، الصفحات 285-302 ، doi : 10.1007/978-3-540-74788-8_18 ، ISBN 978-3-540-74786-4
مولر، م. إي. (2012). اكتشاف المعرفة العلائقية . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-19021-3.
نيفيرجيلت، إيف (2002)، أسس المنطق والرياضيات: تطبيقات في علوم الحاسوب والتشفير ، سبرينغر-فيرلاغ
باهل، بيتر جيه؛ دامراث، رودولف (2001). الأسس الرياضية للهندسة الحاسوبية: دليل . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-3-540-67995-0.
بيرس، تشارلز ساندرز (1873). "وصفٌ لترميز منطق النسب، ناتجٌ عن توسيع مفاهيم حساب بول للمنطق" . مذكرات الأكاديمية الأمريكية للفنون والعلوم . 9 (2): 317-178 . Bibcode : 1873MAAAS...9..317P . doi : 10.2307/25058006 . hdl : 2027/hvd.32044019561034 . JSTOR 25058006. تاريخ الاسترجاع : 2020-05-05 .
ريمان، روبرت-كريستوف (1999). نمذجة الأنظمة المتزامنة: الأساليب الهيكلية والدلالية في حساب شبكات بتري عالي المستوى . دار نشر هربرت أوتز. ISBN 978-3-89675-629-9.
روزنشتاين، جوزيف ج. (1982)، الترتيبات الخطية ، دار النشر الأكاديمية، رقم ISBN 0-12-597680-1
شميدت، غونتر (2010). الرياضيات العلائقية . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-76268-7.
شميدت، غونتر ؛ سترولين، توماس (1993). العلاقات والرسوم البيانية: الرياضيات المتقطعة لعلماء الحاسوب . برلين: سبرينغر. ISBN 978-3-642-77970-1.
سميث، دوغلاس؛ إيجن، موريس؛ سانت أندريه، ريتشارد (2006)، الانتقال إلى الرياضيات المتقدمة (الطبعة السادسة )، بروكس/كول، رقم ISBN 0-534-39900-2
أنتونيتا فان جاسترين (1990). حول شكل الحجج الرياضية . برلين: سبرينغر. رقم ISBN 9783540528494.
ياو، واي واي؛ وونغ، إس كيه إم (1995). "تعميم المجموعات التقريبية باستخدام العلاقات بين قيم السمات" (ملف PDF) . وقائع المؤتمر السنوي المشترك الثاني لعلوم المعلومات : 30-33 .

[3] إذا كان الجواب نعم، فإن عبارة " هي أخت " هي أيضًا فعل متعدٍ.

[11] يُطلق عليها اسم "العلاقة الثنائية المتجانسة (على المجموعات)" عندما يكون التمييز عن تعميماتها مهمًا

[12] تعميم للمجموعات

[14] انظر أدناه

[heterogeneous-18] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 هذه الخصائص تعمم أيضًا على العلاقات غير المتجانسة.

[heterogeneous_operation-26] 1 2 3 4 5 6 7 ويمكن تعميم هذه العملية أيضًا على العلاقات غير المتجانسة.

[31] أي العلاقات غير المتجانسة الفريدة من اليمين والعلاقات غير المتجانسة الكلية من اليسار

[1] ستول، روبرت ر. (1963). نظرية المجموعات والمنطق . سان فرانسيسكو، كاليفورنيا: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-63829-4.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )

[FOOTNOTECodd1970-2] 1 2 3 كود 1970

[FOOTNOTEHalmos1968Ch_14-4] هالموس 1968 ، الفصل 14

[FOOTNOTEHalmos1968Ch_7-5] هالموس 1968 ، الفصل 7

[6] "تعريف العلاقة - رؤى الرياضيات" . mathinsight.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 ديسمبر 2019 .

[FOOTNOTEHalmos1968Ch_8-7] هالموس 1968 ، الفصل 8

[Schroder.1895-8] 1 2 إرنست شرودر (1895) الجبر ومنطق النسبية ، عبر أرشيف الإنترنت

[Lewis.1918-9] 1 2 سي. آي. لويس (1918) مسح للمنطق الرمزي ، الصفحات 269-279، عبر أرشيف الإنترنت

[FOOTNOTESchmidt2010Chapt._5-10] 1 2 شميدت 2010 ، الفصل 5

[FOOTNOTEEnderton1977Ch_3._p._40-13] إندرتون 1977 ، الفصل 3، صفحة 40

[FOOTNOTESmithEggenSt._Andre2006160-15] سميث وإيجن وسانت أندريه 2006 ، ص. 160

[FOOTNOTENievergelt2002[httpsbooksgooglecombooksid_H_nJdagqL8CpgPA158_158]-16] نيفيرجيلت 2002 ، ص 158

[FOOTNOTEFlaškaJežekKepkaKortelainen2007p.1_Lemma_1.1_(iv)._This_source_refers_to_asymmetric_relations_as_"strictly_antisymmetric".-17] فلاشكا وآخرون 2007 ، ص.1، المبرهنة 1.1 (رابعاً). يشير هذا المصدر إلى العلاقات غير المتناظرة بأنها "مضادة للتناظر تماماً".

[kkm-19] ١ ٢ ٣ كيلب، كناور وميخاليف ٢٠٠٠ ، ص ٣. تظهر نفس التعريفات الأربعة في المراجع التالية: باهل ودامراث ٢٠٠١ ، ص ٥٠٦ ، بيست ١٩٩٦ ، ص ١٩-٢١ ، ريمان ١٩٩٩ ، ص ٢١-٢٢

[20] فان جاستيرين 1990، ص 45.

[21] "العلاقة الوظيفية - موسوعة الرياضيات" . encyclopediaofmath.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 13-06-2024 .

[22] "العلاقة الوظيفية في nLab" . ncatlab.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 13-06-2024 .

[FOOTNOTEMäs2007-23] ماس 2007

[FOOTNOTEYaoWong1995-24] ياو وونغ 1995

[FOOTNOTERosenstein19824-25] روزنشتاين 1982 ، ص 4

[FOOTNOTESchmidtStröhlein1993-27] شميدت وستروهلين 1993

[28] إندرتون 1977 ، الفصل 3، صفحة 40

[FOOTNOTEMüller201222-29] مولر 2012 ، ص 22

[FOOTNOTEPahlDamrath2001496-30] باهل ودامراث 2001 ، ص. 496

[ 1 ]

[ 2

"

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

مما

[

[

[ ب ]

[ ج ]

[ 10 ]

العلاقة

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ e ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ f ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

g ] ذات

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗