مُوَحِّد ومُعَدِّل

مركز المجموعة الفرعية${\displaystyle S}$يتم تعريف المجموعة (أو شبه المجموعة) G على النحو التالي ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \mathrm {C} _{G}(S)=\left\{g\in G\mid gs=sg{\text{ for all }}s\in S\right\}=\left\{g\in G\mid gsg^{-1}=s{\text{ for all }}s\in S\right\},}$

حيث ينطبق التعريف الأول فقط على أنصاف الزمر. إذا لم يكن هناك أي لبس بشأن الزمرة المعنية، فيمكن حذف G من الترميز. عندما${\displaystyle S=\{a\}}$إذا كانت المجموعة أحادية ، نكتب C_{_G} ( a ) بدلاً من C _{_G} ({ a }). وهناك رمز آخر أقل شيوعًا للمركزية وهو Z( a )، وهو رمز موازٍ لرمز المركز . مع هذا الرمز الأخير، يجب توخي الحذر لتجنب الخلط بين مركز المجموعة G ، Z( G )، ومركزية العنصر g في G ، Z( g ) .

يُعرَّف مُعَيِّر المجموعة S في المجموعة (أو شبه المجموعة) G على النحو التالي :

${\displaystyle \mathrm {N} _{G}(S)=\left\{g\in G\mid gS=Sg\right\}=\left\{g\in G\mid gSg^{-1}=S\right\},}$

ومرة أخرى، ينطبق التعريف الأول فقط على أنصاف المجموعات. إذا كانت المجموعة${\displaystyle S}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle G}$ثم المُعَدِّل${\displaystyle N_{G}(S)}$وهي أكبر مجموعة فرعية${\displaystyle G'\subseteq G}$أين${\displaystyle S}$هي مجموعة فرعية طبيعية من${\displaystyle G'}$تتشابه تعريفات المُوَسِّط والمُعَيِّر ، لكنها ليست متطابقة. إذا كانت g في المُوَسِّط لـ${\displaystyle S}$و s في${\displaystyle S}$إذن، يجب أن يكون gs = sg ، ولكن إذا كانت g في المُعَيِّر، فإن gs = tg لبعض t في${\displaystyle S}$، حيث قد يختلف t عن s . أي عناصر مركزية${\displaystyle S}$يجب التنقل بشكل مباشر مع${\displaystyle S}$لكن عناصر مُعَيِّر المجموعة S تحتاج فقط إلى التبادل مع S كمجموعة . تنطبق نفس اصطلاحات الترميز المذكورة أعلاه للمُوَضِّعات المركزية على المُعَيِّرات أيضًا. يجب عدم الخلط بين المُعَيِّر والإغلاق الطبيعي .

بوضوح${\displaystyle C_{G}(S)\subseteq N_{G}(S)}$وكلاهما مجموعتان فرعيتان من${\displaystyle G}$.

إذا كانت R حلقة أو جبرًا على حقل ، و${\displaystyle S}$إذا كانت مجموعة جزئية من R ، فإن مركزية${\displaystyle S}$يتم تعريفها تمامًا كما هو محدد للمجموعات، مع استبدال R بـ G.

لو${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$إذا كانت جبر لي (أو حلقة لي ) مع جداء لي [ x , y ]، فإن مركز مجموعة جزئية${\displaystyle S}$ل${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$يُعرَّف بأنه ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \mathrm {C} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]=0{\text{ for all }}s\in S\}.}$

يرتبط تعريف مركزيات حلقات لي بتعريف الحلقات على النحو التالي: إذا كانت R حلقة تجميعية، فيمكن إعطاء R حاصل الضرب بين قوسين [ x , y ] = xy - yx . وبالطبع ، يكون xy = yx إذا وفقط إذا كان [ x , y ] = 0. إذا رمزنا للمجموعة R مع حاصل الضرب بين قوسين بـ L_{_R} ، فمن الواضح أن مركزية الحلقة هي${\displaystyle S}$في R يساوي مركز حلقة لي لـ${\displaystyle S}$ في اليسار _{واليمين} .

يمكن أيضًا اعتبار قوس لي عملية من عمليات المجموعة${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$على حد ذاته، لأنه${\displaystyle [*,*]:{\mathfrak {L}}\times {\mathfrak {L}}\rightarrow {\mathfrak {L}}}$. قوس الكذب يجعل${\displaystyle ({\mathfrak {L}},[*,*])}$ستكون المجموعة ومركزها جميع العناصر${\displaystyle \{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]=[s,x]{\text{ for all }}s\in S\}.}$لكن بما أن قوس لي متناوب، فإن هذا الشرط يعادل${\displaystyle \{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]=0{\text{ for all }}s\in S\}.}$وبالتالي، يتم تعريف المركز بنفس الطريقة بالنسبة لجبر لي كما هو الحال بالنسبة للمجموعات.

المعيار لمجموعة فرعية${\displaystyle S}$من جبر لي (أو حلقة لي)${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$يتم تحديده بواسطة ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]\in S{\text{ for all }}s\in S\}.}$

على الرغم من أن هذا هو الاستخدام القياسي لمصطلح "المُعَيِّر" في جبر لي، إلا أن هذا البناء هو في الواقع المُثَلِّي للمجموعة${\displaystyle S}$في${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$. لو${\displaystyle S}$هي مجموعة فرعية جمعية من${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$، ثم${\displaystyle \mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)}$هي أكبر حلقة فرعية من حلقات لي (أو جبر لي الفرعي، حسب الحالة) التي${\displaystyle S}$هو مثال للكذب . ^{[ 5 ]}

يترك${\displaystyle S'}$يشير إلى مركزية${\displaystyle S}$في المجموعة النصفية${\displaystyle A}$؛ أي${\displaystyle S'=\{x\in A\mid sx=xs{\text{ for every }}s\in S\}.}$ثم${\displaystyle S'}$يشكل شبه مجموعة فرعية و${\displaystyle S'=S'''=S'''''}$أي أن العنصر المتبادل هو عنصره المتبادل الثنائي .

المصدر: ^{[ 6 ]}

• المُوَحِّد والمُعَدِّل لـ${\displaystyle S}$كلاهما مجموعتان فرعيتان من G.
• من الواضح أن CG ( _S ) ⊆ NG ₍ S ) . في الواقع، CG ₍ S ) هي دائمًا زمرة جزئية طبيعية من NG ₍ S ) ، كونها نواة التشاكل NG ( S ) → Bij( S)، وتعمل الزمرة NG( S ) / CG _{( S} ) بالاقتران _كزمرة تقابل على S. على سبيل المثال ، تُعرَّف زمرة ويل لزمرة لي متراصة G ذات طارة T على أنها W ( G , T ) = NG ( T ) / _CG ( T ) _، وخاصةً إذا كانت الطارة عظمى (أي CG ( _T ) = T )، فهي أداة مركزية في نظرية زمر لي.
• C _G (C _G ( S )) يحتوي${\displaystyle S}$لكن C _G ( S ) ليس بالضرورة أن تحتوي${\displaystyle S}$يحدث الاحتواء بالضبط عندما${\displaystyle S}$هو أبيلي.
• إذا كانت H مجموعة جزئية من G ، فإن _NG ( H ) تحتوي على H.
• إذا كانت H مجموعة جزئية من G ، فإن أكبر مجموعة جزئية من G التي تكون فيها H طبيعية هي المجموعة الجزئية N _G ( H ).
• لو${\displaystyle S}$إذا كانت S مجموعة جزئية من G بحيث تكون جميع عناصر S قابلة للتبديل فيما بينها، فإن أكبر مجموعة جزئية من G التي يحتوي مركزها على${\displaystyle S}$هي المجموعة الفرعية C _G ( S ).
• تُسمى المجموعة الجزئية H من المجموعة G بـالمجموعة الفرعية ذاتية التطبيع منGإذا كانN _G ( H ) = H .
• مركز G هو بالضبط C _G (G) و G هي مجموعة تبديلية إذا وفقط إذا كان C _G (G) = Z( G ) = G .
• بالنسبة للمجموعات الفردية، C _G ( a ) = N _G ( a ) .
• بالتناظر، إذا${\displaystyle S}$و T هما مجموعتان جزئيتان من G ، T ⊆ C _G ( S ) إذا وفقط إذا كان S ⊆ C _G ( T ) .
• بالنسبة لمجموعة جزئية H من المجموعة G ، تنص نظرية N/C على أن مجموعة العوامل NG ( _H ) /CG ₍ H ) متماثلة مع مجموعة جزئية من Aut( H )، وهي مجموعة التشاكلات الذاتية لـ H. وبما أن NG ( G ) = _G و CG ( G ) = Z( _G ) ، فإن نظرية N/C تشير أيضًا إلى أن G / Z ( G ) متماثلة مع Inn( G ) ، وهي المجموعة الجزئية من Aut( G ) التي تتكون من جميع التشاكلات الذاتية الداخلية لـ G.
• إذا عرّفنا تشاكلًا زمرّيًا T  : G → Inn( G ) بالعلاقة T ( x )( g ) = T _x ( g ) = xgx ⁻¹ ، فإنه يمكننا وصف N _G ( S ) و C _G ( S ) بدلالة تأثير الزمرة Inn( G ) على G : مُثبِّت${\displaystyle S}$في Inn( G ) هو T (NG ₍ S ) )، والمجموعة الفرعية من Inn( G ) التي تثبت${\displaystyle S}$نقطة بنقطة هي T (C _G ( S )).
• يُقال إن المجموعة الجزئية H من المجموعة G مغلقة من النوع C أو ذاتية التبادل إذا كانت H = C _G ( S ) لمجموعة جزئية S ⊆ G. إذا كان الأمر كذلك، فإن H = C _G (C _G ( H )) .

المصدر: ^{[ 4 ]}

• تُعتبر الحلقات الفرعية والجبر الفرعي فوق الحقل بمثابة مراكز في الحلقات وفي الجبر فوق الحقل، على التوالي؛ أما في حلقات لي وفي جبر لي، فتُعتبر الحلقات الفرعية لي والجبر الفرعي لي بمثابة مراكز في حلقات لي، على التوالي.
• مُعَيِّرُ النَّظِيرِ لـ${\displaystyle S}$تحتوي حلقة لي على مركزية${\displaystyle S}$.
• _يحتوي CR (CR ₍ S ) )${\displaystyle S}$لكنها ليست بالضرورة متساوية. تتناول نظرية المركزية المزدوجة الحالات التي تتحقق فيها المساواة.
• لو${\displaystyle S}$إذا كانت مجموعة فرعية جمعية من حلقة لي A ، فإن NA ₍ S ) هي أكبر حلقة فرعية من A حيث${\displaystyle S}$هو مثال للكذب.
• لو${\displaystyle S}$إذا كانت حلقة فرعية من حلقة لي A ، فإن S ⊆ N _A ( S ) .