نظرية ميرسر

في الرياضيات ، وتحديدًا في التحليل الوظيفي ، تُعدّ نظرية ميرسر تمثيلًا لدالة متناظرة موجبة التحديد على مربع كمجموع متتالية متقاربة من دوال الضرب. تُعتبر هذه النظرية، التي عُرضت في ( ميرسر 1909 ) ، من أبرز نتائج أعمال جيمس ميرسر (1883-1932). وهي أداة نظرية مهمة في نظرية المعادلات التكاملية ؛ وتُستخدم في نظرية فضاء هيلبرت للعمليات العشوائية ، على سبيل المثال نظرية كارونين-لوف ؛ كما تُستخدم أيضًا في نظرية فضاء هيلبرت ذات النواة المُولِّدة، حيث تُعرِّف النواة المتناظرة موجبة التحديد بأنها نواة مُولِّدة. ^{[ 1 ]}

لشرح نظرية ميرسر، سننظر أولًا في حالة خاصة مهمة؛ انظر أدناه لصياغة أكثر عمومية. النواة ، في هذا السياق، هي دالة متناظرة متصلة.

${\displaystyle K:[a,b]\times [a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$

أين${\displaystyle K(x,y)=K(y,x)}$للجميع${\displaystyle x,y\in [a,b]}$.

يُقال إن K نواة موجبة التحديد إذا وفقط إذا

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}K(x_{i},x_{j})c_{i}c_{j}\geq 0}$

لكل متتابعات منتهية من النقاط x₁ , ..., xₙ من الفترة [ _a , b ] ولكل اختيارات الأعداد الحقيقية c₁ _, ... , cₙ _. تجدر الإشارة إلى أن مصطلح "موجب-محدد" راسخ في الأدبيات على الرغم من ضعف المتباينة في التعريف ^. _[ ^{2 ] [ 3 ]}     

التوصيف الأساسي للنوى الموجبة المحددة الثابتة (حيث${\displaystyle K(x,y)=K(x-y)}$تُعطى ) بواسطة نظرية بوخنر . تنص هذه النظرية على أن الدالة المتصلة${\displaystyle K(x-y)}$تكون موجبة التحديد إذا وفقط إذا أمكن التعبير عنها بتحويل فورييه لمقياس غير سالب محدود${\displaystyle \mu }$:

${\displaystyle K(x-y)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i(x-y)\omega }\,d\mu (\omega )}$

يكشف هذا التمثيل الطيفي عن العلاقة بين التحديد الإيجابي والتحليل التوافقي، مما يوفر توصيفًا أقوى وأكثر مباشرة للتحديد الإيجابي من التعريف المجرد من حيث المتباينات عندما تكون النواة ثابتة، على سبيل المثال، عندما يمكن التعبير عنها كدالة ذات متغير واحد للمسافة بين النقاط بدلاً من دالة ذات متغيرين لمواضع أزواج النقاط.

يرتبط بـ K مؤثر خطي (وبشكل أكثر تحديدًا مؤثر تكاملي من نوع هيلبرت-شميدت عندما تكون الفترة مضغوطة) على الدوال المعرفة بواسطة التكامل

${\displaystyle [T_{K}\varphi ](x)=\int _{a}^{b}K(x,s)\varphi (s)\,ds.}$

نفترض${\displaystyle \varphi }$يمكن أن يمتد نطاقها عبر فضاء الدوال التربيعية الحقيقية L² [ a , b ]؛ ومع ذلك ، في كثير من الحالات، ^{قد يكون} فضاء هيلبرت ذو النواة المُستنسخة أكبر من L² ^[ a , b ]. وبما أن _TK مؤثر خطي، فإن _القيم الذاتية والدوال الذاتية لـ TK موجودة.  

نظرية . لنفترض أن K نواة متصلة ومتناظرة وموجبة التحديد. عندئذٍ ، توجد قاعدة متعامدة { eᵢ _{} ᵢ} من L² [ a , b ] تتكون من دوال ذاتية لـ ^TK _بحيث تكون متتالية القيم الذاتية المناظرة { λᵢ _{} ᵢ} غير سالبة. الدوال الذاتية المناظرة للقيم الذاتية غير الصفرية متصلة على [ a , b ]، و K لها التمثيل التالي :  

${\displaystyle K(s,t)=\sum _{j=1}^{\infty }\lambda _{j}\,e_{j}(s)\,e_{j}(t)}$

حيث يكون التقارب مطلقًا وموحدًا.

سنشرح الآن بمزيد من التفصيل بنية برهان نظرية ميرسر، وخاصة كيف ترتبط بنظرية الطيف للمؤثرات المدمجة .

• التطبيق K ↦ T _K هو تطبيق أحادي .
• T _K هو مؤثر متماثل مضغوط غير سالب على L ² [ a , b ]؛ علاوة على ذلك K ( x , x ) ≥ 0.

لإثبات التراص، أثبت أن صورة كرة الوحدة لـ L ² [ a , b ] تحت T _K متصلة بشكل متساوي وقم بتطبيق نظرية أسكولي ، لإثبات أن صورة كرة الوحدة متراصة نسبيًا في C([ a , b ]) مع المعيار المنتظم ، ومن باب أولى في L ² [ a , b ].

الآن قم بتطبيق نظرية الطيف للمؤثرات المدمجة على فضاءات هيلبرت على T _K لإظهار وجود الأساس المتعامد { e _i } _i لـ L ² [ a , b ]

${\displaystyle \lambda _{i}e_{i}(t)=[T_{K}e_{i}](t)=\int _{a}^{b}K(t,s)e_{i}(s)\,ds.}$

إذا كانت λ _i ≠ 0، فإن المتجه الذاتي ( الدالة الذاتية ) e _i يكون متصلاً على الفترة [ a , b ]. الآن

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}|e_{i}(t)e_{i}(s)|\leq \sup _{x\in [a,b]}|K(x,x)|,}$

مما يدل على أن التسلسل

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}e_{i}(t)e_{i}(s)}$

يتقارب بشكل مطلق ومنتظم إلى نواة K ₀ والتي من السهل ملاحظة أنها تُعرّف نفس المؤثر الذي تُعرّفه النواة K. ومن ثم K = K _0، ومن ثمّ تستنتج نظرية ميرسر.

وأخيرًا، لإثبات عدم سلبية القيم الذاتية، يمكن كتابة${\displaystyle \lambda \langle f,f\rangle =\langle f,T_{K}f\rangle }$والتعبير عن الطرف الأيمن كتكامل يمكن تقريبه جيدًا بواسطة مجاميع ريمان الخاصة به، والتي تكون غير سالبة بسبب خاصية التحديد الموجب لـ K ، مما يعني${\displaystyle \lambda \langle f,f\rangle \geq 0}$، مما يعني${\displaystyle \lambda \geq 0}$.

ما يلي فوري:

نظرية . لنفترض أن K نواة متصلة متناظرة موجبة التحديد؛ وأن T K _لها متتالية من القيم الذاتية غير السالبة { λᵢ _{} ᵢ} . عندئذٍ

${\displaystyle \int _{a}^{b}K(t,t)\,dt=\sum _{i}\lambda _{i}.}$

هذا يدل على أن المؤثر T _K هو مؤثر من فئة التتبع و

${\displaystyle \operatorname {trace} (T_{K})=\int _{a}^{b}K(t,t)\,dt.}$

إن نظرية ميرسر نفسها هي تعميم للنتيجة التي مفادها أن أي مصفوفة متماثلة موجبة شبه محددة هي مصفوفة غرامية لمجموعة من المتجهات.

يستبدل التعميم الأول الفترة [ a , b ] بأي فضاء هاوسدورف متراص ، ويستبدل مقياس ليبيغ على [ a , b ] بمقياس μ محدود قابل للعد والجمع على جبر بوريل للفضاء X ، والذي يكون حامله X. هذا يعني أن μ ( U ) > 0 لأي مجموعة جزئية مفتوحة غير فارغة U من X.  

يستبدل تعميم حديث هذه الشروط بما يلي: المجموعة X هي فضاء طوبولوجي قابل للعد من الدرجة الأولى مزود بمقياس بوريل (كامل) μ . X هو حامل μ ، ولكل x في X ، توجد مجموعة مفتوحة U تحتوي على x ولها قياس منتهٍ. عندئذٍ، تبقى النتيجة نفسها أساسًا.

نظرية . لنفترض أن K نواة ^{متصلة ومتناظرة وموجبة التحديد على X. إذا كانت الدالة κ هي L₁μ} ₍ X ) ، حيث κ ( x ) : = K (x,x ⁾ لكل x في X ، فإنه توجد مجموعة متعامدة { eᵢ _} ᵢ من L₂μ ( X ) تتكون من الدوال الذاتية لـ _TK بحيث تكون متتالية القيم الذاتية المناظرة { λᵢ _{} ᵢ} غير سالبة. الدوال الذاتية المناظرة للقيم الذاتية غير الصفرية متصلة على X، و K لها التمثيل _{التالي :} 

${\displaystyle K(s,t)=\sum _{j=1}^{\infty }\lambda _{j}\,e_{j}(s)\,e_{j}(t)}$

حيث يكون التقارب مطلقًا ومنتظمًا على المجموعات الفرعية المدمجة من X.

يتناول التعميم التالي تمثيلات النوى القابلة للقياس .

ليكن ( X , M , μ ) فضاء قياس منتهيًا من ^النوع σ . النواة L² (أو القابلة للتكامل التربيعي) على X هي دالة

${\displaystyle K\in L_{\mu \otimes \mu }^{2}(X\times X).}$

^{تُعرّف نوى} L2 عاملًا محدودًا T _K بالصيغة التالية

${\displaystyle \langle T_{K}\varphi ,\psi \rangle =\int _{X\times X}K(y,x)\varphi (y)\psi (x)\,d[\mu \otimes \mu ](y,x).}$

T _K هو مؤثر متراص (بل هو في الواقع مؤثر هيلبرت-شميدت ). إذا كانت النواة K متناظرة، فبحسب نظرية الطيف ، فإن T _K يمتلك أساسًا متعامدًا من المتجهات الذاتية. يمكن ترتيب هذه المتجهات الذاتية التي تقابل القيم الذاتية غير الصفرية في متتالية { e _i } _i (بغض النظر عن قابلية الفصل).

نظرية . إذا كانت K نواة متناظرة موجبة التحديد على ( X , M , μ )، فإن

${\displaystyle K(y,x)=\sum _{i\in \mathbb {N} }\lambda _{i}e_{i}(y)e_{i}(x)}$

حيث يكون التقارب في معيار L2 . لاحظ أنه عندما لا يُفترض استمرارية النواة، فإن التوسع لا يتقارب بشكل منتظم ^.

يُقال إن الدالة الحقيقية K ( x , y ) تحقق شرط ميرسر إذا كان لكل دالة قابلة للتكامل التربيعي g ( x )

${\displaystyle \iint g(x)K(x,y)g(y)\,dx\,dy\geq 0.}$

• خدعة النواة
• نظرية التمثيل
• فضاء هيلبرت ذو النواة المُستنسخة
• النظرية الطيفية

• أدريان زانين، التحليل الخطي ، شركة شمال هولندا للنشر، 1960،
• فيريرا، جيه سي، مينغاتو، في إيه، القيم الذاتية للمؤثرات التكاملية المعرفة بواسطة نوى موجبة محددة ملساء ، معادلة التكامل ونظرية المؤثرات، 64 (2009)، العدد 1، 61-81. (يقدم تعميمًا لنظرية ميرسر للفضاءات المترية. ويمكن تكييف النتيجة بسهولة مع الفضاءات الطوبولوجية القابلة للعد الأولى).
• كونراد يورجنز ، عوامل التكامل الخطي ، بيتمان، بوسطن، 1982،
• ريتشارد كوران وديفيد هيلبرت ، أساليب الفيزياء الرياضية ، المجلد 1، إنترساينس 1953،
• روبرت آش، نظرية المعلومات ، منشورات دوفر، 1990
• ميرسر، ج. (1909)، "الدوال من النوع الموجب والسالب وعلاقتها بنظرية المعادلات التكاملية"، المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية أ ، 209 ( 441-458 ): 415-446 ، رمز Bibcode : 1909RSPTA.209..415M ، doi : 10.1098/rsta.1909.0016،
• "نظرية ميرسر" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• H. König, Eigenvalue distribution of compact operators , Birkhäuser Verlag, 1986. (يقدم تعميمًا لنظرية ميرسر للمقاييس المحدودة μ.)