التشوه (الهندسة)

تُطبَّق دراسة التشوه المؤقت أو المرن في حالة الإجهاد الهندسي على المواد المستخدمة في الهندسة الميكانيكية والإنشائية، مثل الخرسانة والفولاذ ، والتي تتعرض لتشوهات صغيرة جدًا. ويتم نمذجة الإجهاد الهندسي بنظرية الإجهاد المتناهي الصغر ، والتي تُسمى أيضًا نظرية الإجهاد الصغير ، أو نظرية التشوه الصغير ، أو نظرية الإزاحة الصغيرة ، أو نظرية تدرج الإزاحة الصغيرة، حيث يكون كل من الإجهاد والدوران صغيرين.

بالنسبة لبعض المواد، كالمطاط والبوليمرات، التي تتعرض لتشوهات كبيرة، لا ينطبق التعريف الهندسي للانفعال، حيث تتجاوز الانفعالات الهندسية النموذجية 1%، ^{[ 1 ]} لذا يلزم تعريفات أخرى أكثر تعقيدًا للانفعال، مثل التمدد ، والانفعال اللوغاريتمي ، وانفعال غرين ، وانفعال ألمانسي . يُظهر المطاط والمعادن ذات الذاكرة الشكلية ، مثل النيتينول، نطاقات واسعة من التشوه المرن، كما هو الحال في المطاط . مع ذلك، فإن المرونة غير خطية في هذه المواد.

تُظهر المعادن العادية والسيراميك ومعظم البلورات مرونة خطية ونطاق مرونة أصغر.

يخضع التشوه المرن الخطي لقانون هوك ، الذي ينص على ما يلي:

${\displaystyle \sigma =E\varepsilon }$

أين

• σ هو الإجهاد المطبق؛
• E هو ثابت مادي يسمى معامل يونغ أو معامل المرونة ؛
• ε هو الإجهاد الناتج .

تنطبق هذه العلاقة فقط في نطاق المرونة، وتشير إلى إمكانية استخدام ميل منحنى الإجهاد مقابل الانفعال لحساب معامل يونغ ( E ). يستخدم المهندسون هذه الحسابات عادةً في اختبارات الشد. تُعرف المساحة الواقعة أسفل هذا النطاق المرن بالمرونة.

تجدر الإشارة إلى أن ليس كل المواد المرنة تخضع لتشوه مرن خطي؛ فبعضها، مثل الخرسانة والحديد الزهر الرمادي والعديد من البوليمرات، تستجيب بطريقة غير خطية. بالنسبة لهذه المواد، لا ينطبق قانون هوك. ^{[ 2 ]}

لا يمكن عكس هذا النوع من التشوه بمجرد إزالة القوة المؤثرة. أما الجسم الواقع ضمن نطاق التشوه اللدن، فإنه يكون قد خضع أولًا لتشوه مرن، والذي يمكن عكسه ببساطة بإزالة القوة المؤثرة، وبالتالي يعود الجسم جزئيًا إلى شكله الأصلي. تتميز المواد البلاستيكية الحرارية اللينة بنطاق تشوه لدن واسع نسبيًا ، وكذلك المعادن المطيلية مثل النحاس والفضة والذهب . وينطبق الأمر نفسه على الفولاذ ، ولكن ليس على الحديد الزهر . أما المواد البلاستيكية الحرارية الصلبة والمطاط والبلورات والسيراميك، فلها نطاقات تشوه لدن ضيقة. ومن الأمثلة على المواد ذات نطاق التشوه اللدن الواسع العلكة المبللة ، التي يمكن شدها عشرات المرات إلى طولها الأصلي.

تحت تأثير إجهاد الشد، يتميز التشوه اللدن بمنطقة تصلب الإجهاد ومنطقة التخصر ، وينتهي بالكسر (أو التمزق). خلال مرحلة تصلب الإجهاد، تزداد قوة المادة نتيجة حركة الانخلاعات الذرية . وتُشير مرحلة التخصر إلى انخفاض مساحة المقطع العرضي للعينة. يبدأ التخصر بعد بلوغ أقصى مقاومة. خلال هذه المرحلة، لا تستطيع المادة تحمل الإجهاد الأقصى، ويزداد الانفعال في العينة بسرعة. وينتهي التشوه اللدن بكسر المادة.

عادة ما يؤدي الإجهاد الانضغاطي المطبق على القضبان والأعمدة وما إلى ذلك إلى تقصيرها.

يؤدي تحميل عنصر هيكلي أو عينة إلى زيادة إجهاد الضغط حتى يصل إلى مقاومته للضغط . ووفقًا لخصائص المادة، فإن أنماط الفشل تكون إما خضوعًا للمواد ذات السلوك المطيل (معظم المعادن ، وبعض أنواع التربة والبلاستيك ) أو تمزقًا للمواد ذات السلوك الهش (المواد الجيولوجية، والحديد الزهر ، والزجاج ، وما إلى ذلك).

في العناصر الهيكلية الطويلة والنحيلة - مثل الأعمدة أو قضبان الجمالون - تؤدي زيادة قوة الضغط F إلى فشل هيكلي بسبب الانبعاج عند إجهاد أقل من قوة الضغط.

يحدث الكسر بعد أن تصل المادة إلى نهاية نطاق التشوه المرن، ثم التشوه اللدن. عند هذه النقطة، تتراكم القوى حتى تصبح كافية لإحداث الكسر. جميع المواد ستنكسر في النهاية إذا طُبقت عليها قوى كافية.

لنفترض وجود قضيب ذي مساحة مقطع عرضي أصلية A _{= 0} يتعرض لقوتين متساويتين ومتعاكستين F تسحبان عند طرفيه، مما يجعله تحت تأثير الشد. يتعرض هذا القضيب لإجهاد يُعرَّف بأنه نسبة القوة إلى مساحة المقطع العرضي، بالإضافة إلى استطالة محورية.

معادلات الإجهاد والانفعال في الهندسة

ضغط	أَضْنَى
${\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A_{0}}}}$	${\displaystyle \varepsilon ={\frac {L-L_{0}}{L_{0}}}={\frac {\Delta L}{L_{0}}}}$

يشير الرمز السفلي 0 إلى الأبعاد الأصلية للعينة. وحدة الإجهاد في النظام الدولي للوحدات هي نيوتن لكل متر مربع، أو باسكال (1 باسكال = 1  Pa = 1  نيوتن/م² ⁾ ، أما الانفعال فهو بلا وحدة . يُرسم منحنى الإجهاد-الانفعال لهذه المادة عن طريق إطالة العينة وتسجيل تغير الإجهاد مع الانفعال حتى تنكسر العينة . اصطلاحًا، يُوضع الانفعال على المحور الأفقي والإجهاد على المحور الرأسي. تجدر الإشارة إلى أنه لأغراض هندسية، نفترض غالبًا أن مساحة المقطع العرضي للمادة لا تتغير خلال عملية التشوه بأكملها. هذا غير صحيح، إذ أن المساحة الفعلية ستنخفض أثناء التشوه نتيجة التشوه المرن واللدن. يُسمى المنحنى المُستند إلى المقطع العرضي الأصلي وطول القياس بمنحنى الإجهاد-الانفعال الهندسي ، بينما يُسمى المنحنى المُستند إلى مساحة المقطع العرضي اللحظية والطول بمنحنى الإجهاد-الانفعال الحقيقي . ما لم يُذكر خلاف ذلك، يُستخدم منحنى الإجهاد-الانفعال الهندسي بشكل عام.

في التعريفات المذكورة أعلاه للإجهاد والانفعال الهندسي، تم تجاهل سلوكين للمواد في اختبارات الشد:

• تقلص مساحة المقطع
• تطور الاستطالة المركب

يُعرَّف الإجهاد الحقيقي والانفعال الحقيقي بشكل مختلف عن الإجهاد والانفعال الهندسيين لمراعاة هذه السلوكيات. ويتم تقديمهما على النحو التالي:

معادلات الإجهاد والانفعال الحقيقيين

ضغط	أَضْنَى
${\displaystyle \sigma _{\mathrm {t} }={\frac {F}{A}}}$	${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {t} }=\int {\frac {\delta L}{L}}}$

هنا، تمثل الأبعاد قيمًا لحظية. بافتراض أن حجم العينة ثابت وأن التشوه يحدث بشكل منتظم،

${\displaystyle A_{0}L_{0}=AL}$

يمكن التعبير عن الإجهاد والانفعال الحقيقيين باستخدام الإجهاد والانفعال الهندسيين. بالنسبة للإجهاد الحقيقي،

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {t} }={\frac {F}{A}}={\frac {F}{A_{0}}}{\frac {A_{0}}{A}}={\frac {F}{A_{0}}}{\frac {L}{L_{0}}}=\sigma (1+\varepsilon )}$

بالنسبة للسلالة،

${\displaystyle \delta \varepsilon _{\mathrm {t} }={\frac {\delta L}{L}}}$

قم بتكامل كلا الجانبين وطبق شرط الحدود،

${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {t} }=\ln \left({\frac {L}{L_{0}}}\right)=\ln(1+\varepsilon )}$

في اختبار الشد ، يكون الإجهاد الحقيقي أكبر من الإجهاد الهندسي، ويكون الانفعال الحقيقي أقل من الانفعال الهندسي. لذا، تُزاح النقطة التي تحدد منحنى الإجهاد-الانفعال الحقيقي إلى الأعلى وإلى اليسار لتحديد منحنى الإجهاد-الانفعال الهندسي المكافئ. يزداد الفرق بين الإجهاد والانفعال الحقيقي والهندسي مع التشوه اللدن . عند الانفعالات المنخفضة (مثل التشوه المرن )، يكون الفرق بينهما ضئيلاً. أما بالنسبة لنقطة مقاومة الشد، فهي النقطة القصوى في منحنى الإجهاد-الانفعال الهندسي، ولكنها ليست نقطة مميزة في منحنى الإجهاد-الانفعال الحقيقي. ولأن الإجهاد الهندسي يتناسب طرديًا مع القوة المطبقة على طول العينة، يمكن تحديد معيار تشكل التخصر على النحو التالي:${\displaystyle \delta F=0.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\delta F=\sigma _{\text{t}}\,\delta A+A\,\delta \sigma _{\text{t}}=0\\&-{\frac {\delta A}{A}}={\frac {\delta \sigma _{\mathrm {t} }}{\sigma _{\mathrm {t} }}}\end{aligned}}}$

يشير هذا التحليل إلى طبيعة نقطة مقاومة الشد القصوى . ويتوازن تأثير تقوية العمل تمامًا مع انكماش مساحة المقطع عند نقطة مقاومة الشد القصوى.

بعد تشكل منطقة التخصر، تتعرض العينة لتشوه غير متجانس، لذا فإن المعادلات المذكورة أعلاه غير صالحة. ويمكن التعبير عن الإجهاد والانفعال عند منطقة التخصر كما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\mathrm {t} }&={\frac {F}{A_{\mathrm {neck} }}}\\\varepsilon _{\mathrm {t} }&=\ln \left({\frac {A_{0}}{A_{\mathrm {neck} }}}\right)\end{aligned}}}$

تُستخدم معادلة تجريبية بشكل شائع لوصف العلاقة بين الإجهاد الحقيقي والانفعال الحقيقي.

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {t} }=K(\varepsilon _{\mathrm {t} })^{n}}$

هنا، يُمثل n معامل التصلب الإجهادي، بينما يُمثل K معامل المقاومة. يُعد n مقياسًا لسلوك التصلب الإجهادي للمادة. تتميز المواد ذات قيمة n الأعلى بمقاومة أكبر للتخصر. عادةً، تتراوح قيمة n للمعادن عند درجة حرارة الغرفة بين 0.02 و 0.5. ^{[ 3 ]}

مناقشة

بما أننا نتجاهل تغير المساحة أثناء التشوه المذكور أعلاه، فإنه يجب إعادة اشتقاق منحنى الإجهاد والانفعال الحقيقيين. ولاشتقاق منحنى الإجهاد والانفعال، يمكننا افتراض أن تغير الحجم يساوي صفرًا حتى لو قمنا بتشويه المواد. يمكننا أن نفترض ما يلي:

${\displaystyle A_{i}\times \varepsilon _{i}=A_{f}\times \varepsilon _{f}}$

ويمكن التعبير عن الإجهاد الحقيقي كما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{T}={\frac {F}{A_{f}}}&={\frac {F}{A_{i}}}\times {\frac {A_{i}}{A_{f}}}\\&=\sigma _{e}\times {\frac {l_{f}}{l_{i}}}\\[2pt]&=\sigma _{E}\times {\frac {l_{i}+\delta l}{l_{i}}}\\[2pt]&=\sigma _{E}(1+\varepsilon _{E})\end{aligned}}}$

بالإضافة إلى ذلك، يمكن التعبير عن الإجهاد الحقيقي ε _{T كما يلي:}

${\displaystyle \varepsilon _{T}={\frac {dl}{l_{0}}}+{\frac {dl}{l_{1}}}+{\frac {dl}{l_{2}}}+\cdots =\sum _{i}{\frac {dl}{l_{i}}}}$

بعد ذلك، يمكننا التعبير عن القيمة على النحو التالي:

${\displaystyle \int _{l_{0}}^{l_{i}}{\frac {dl}{l}}\,dx=\ln \left({\frac {l_{i}}{l_{0}}}\right)=\ln(1+\varepsilon _{E})}$

وبالتالي، يمكننا استنتاج الرسم البياني من حيث${\displaystyle \sigma _{T}}$و${\displaystyle \varepsilon _{E}}$كما هو موضح في الشكل الصحيح.

بالإضافة إلى ذلك، واستنادًا إلى منحنى الإجهاد والانفعال الحقيقي، يمكننا تقدير المنطقة التي يبدأ فيها التخصر. وبما أن التخصر يبدأ بالظهور بعد بلوغ أقصى إجهاد شد عند تطبيق أقصى قوة، فيمكننا التعبير عن هذه الحالة كما يلي:

${\displaystyle dF=0=\sigma _{T}dA_{i}+A_{i}d\sigma _{T}}$

لذا يمكن التعبير عن هذا الشكل كما يلي:

${\displaystyle {\frac {d\sigma _{T}}{\sigma _{T}}}=-{\frac {dA_{i}}{A_{i}}}}$

يشير ذلك إلى أن ظاهرة التخصر تبدأ بالظهور عندما يصبح انخفاض المساحة ملحوظًا بشكل كبير مقارنةً بتغير الإجهاد. عندئذٍ، يتركز الإجهاد في منطقة محددة حيث يظهر التخصر.

بالإضافة إلى ذلك، يمكننا استنتاج علاقات مختلفة بناءً على منحنى الإجهاد والانفعال الحقيقي.

1) يمكن التعبير عن منحنى الإجهاد والانفعال الحقيقيين بعلاقة خطية تقريبية عن طريق أخذ اللوغاريتم الطبيعي للإجهاد والانفعال الحقيقيين. ويمكن التعبير عن هذه العلاقة كما يلي:

${\displaystyle \sigma _{T}=K\times (\varepsilon _{T})^{n}}$

أين${\displaystyle K}$معامل الإجهاد و${\displaystyle n}$هو معامل التصلب الإجهادي. عادةً ما تكون قيمة${\displaystyle n}$يتراوح نطاقها بين 0.02 و 0.5 عند درجة حرارة الغرفة. إذا${\displaystyle n}$إذا كانت قيمة 1، فيمكننا التعبير عن هذه المادة بأنها مادة مرنة مثالية. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

2) في الواقع، يعتمد الإجهاد بشكل كبير على معدل تغير الانفعال. وبالتالي، يمكننا استنتاج المعادلة التجريبية بناءً على تغير معدل الانفعال.

${\displaystyle \sigma _{T}=K'\times ({\dot {\varepsilon _{T}}})^{m}}$

أين${\displaystyle K'}$ثابت مرتبط بإجهاد تدفق المادة.${\displaystyle {\dot {\varepsilon _{T}}}}$يشير إلى مشتق الإجهاد بالنسبة للزمن، والذي يُعرف أيضًا باسم معدل الإجهاد.${\displaystyle m}$هي حساسية معدل الإجهاد. علاوة على ذلك، قيمة${\displaystyle m}$يرتبط ذلك بمقاومة التضيّق. عادةً، تكون قيمة${\displaystyle m}$يتراوح بين 0-0.1 في درجة حرارة الغرفة ويصل إلى 0.8 عند زيادة درجة الحرارة.

بدمج النقطتين 1) و 2)، يمكننا إنشاء العلاقة النهائية كما يلي:

${\displaystyle \sigma _{T}=K''\times (\varepsilon _{T})^{n}({\dot {\varepsilon _{T}}})^{m}}$

أين${\displaystyle K''}$هو الثابت العالمي الذي يربط بين الإجهاد ومعدل الإجهاد والضغط.

3) بناءً على منحنى الإجهاد والانفعال الحقيقي وصيغته المشتقة، يمكننا تقدير الانفعال اللازم لبدء التخصر. ويمكن حساب ذلك بناءً على نقطة تقاطع منحنى الإجهاد والانفعال الحقيقي كما هو موضح على اليمين.

يوضح هذا الشكل أيضًا اعتماد إجهاد التخصر على درجات الحرارة المختلفة. في حالة المعادن ذات التركيب البلوري المكعب المتمركز على الوجوه (FCC)، يعتمد منحنى الإجهاد-الانفعال ومشتقه بشكل كبير على درجة الحرارة. لذلك، عند درجات الحرارة المرتفعة، يبدأ التخصر بالظهور حتى مع قيم انفعال منخفضة.

تشير كل هذه الخصائص إلى أهمية حساب منحنى الإجهاد والانفعال الحقيقي لمزيد من تحليل سلوك المواد في بيئة مفاجئة.

4) يمكن لطريقة بيانية، تُسمى "طريقة كونسيدر للبناء"، أن تساعد في تحديد سلوك منحنى الإجهاد والانفعال، سواء حدث تضيّق أو سحب في العينة. من خلال تحديد${\displaystyle \lambda =L/L_{0}}$وباعتبارها عاملاً محدداً، يمكن التعبير عن الإجهاد والانفعال الحقيقيين باستخدام الإجهاد والانفعال الهندسي كما يلي:

${\displaystyle \sigma _{T}=\sigma _{e}\times \lambda ,\qquad \varepsilon _{T}=\ln \lambda .}$

لذلك، يمكن التعبير عن قيمة الإجهاد الهندسي بواسطة الخط القاطع الناتج عن الإجهاد الحقيقي و${\displaystyle \lambda }$القيمة حيث${\displaystyle \lambda =0}$ل${\displaystyle \lambda =1}$من خلال تحليل شكل${\displaystyle \sigma _{T}-\lambda }$من خلال الرسم التخطيطي وخط القاطع، يمكننا تحديد ما إذا كانت المواد تظهر سحباً أو تضيقاً.

في الشكل (أ)، يوجد منحنى مقعر لأعلى فقط. يشير هذا إلى عدم وجود انخفاض في حد المرونة، وبالتالي ستتعرض المادة للكسر قبل أن تصل إلى حد المرونة. في الشكل (ب)، توجد نقطة محددة يتطابق فيها المماس مع القاطع عند النقطة التي${\displaystyle \lambda =\lambda _{Y}}$بعد هذه القيمة، يصبح الميل أصغر من خط القاطع حيث يبدأ التخصر بالظهور. في الشكل (ج)، توجد نقطة يبدأ عندها الخضوع بالظهور، ولكن عندما${\displaystyle \lambda =\lambda _{d}}$ثم تبدأ عملية الرسم. بعد الرسم، تتمدد جميع المواد وتظهر عليها علامات التصدع في النهاية.${\displaystyle \lambda _{Y}}$و${\displaystyle \lambda _{d}}$المادة نفسها لا تتمدد، بل يبدأ العنق فقط في التمدد.