حالة الحامل

في الرياضيات ، نقول إن الدالة تحقق شرط هولدر ، أو أنها${\displaystyle \alpha }$-دالة هولدر متصلة أو ببساطة متصلة هولدر ، إذا كانت الدالة حقيقية أو مركبة القيم${\displaystyle f}$على${\displaystyle d}$الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد n ، أي${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$أو${\displaystyle \mathbb {C} }$(أين${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{d}}$أو${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$) عندما تكون هناك ثوابت حقيقية${\displaystyle C\geq 0}$،${\displaystyle \alpha >0}$بحيث $${\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq C\|xy\|^{\alpha }}$$ للجميع${\displaystyle x,y\in \Omega }$^{[ 1 ]} وبشكل أعم ، يمكن صياغة الشرط للدوال بين أي فضاءين متريين . العدد${\displaystyle \alpha }$يُطلق عليه اسم أس شرط هولدر. دالة على فترة تحقق الشرط مع${\displaystyle \alpha >1}$ثابت (انظر البرهان أدناه). إذا${\displaystyle \alpha =1}$إذاً، فإن الدالة تحقق شرط ليبشيتز . لأي${\displaystyle \alpha >0}$هذا الشرط يعني أن الدالة متصلة بانتظام . سُمّي هذا الشرط نسبةً إلى أوتو هولدر . إذا${\displaystyle \alpha =0}$الدالة محدودة ببساطة (أي قيمتين)${\displaystyle f}$الانتقادات في أقصى حد${\displaystyle C}$منفصل).

لدينا سلسلة التضمينات التالية للدوال المعرفة على فترة مغلقة ومحدودة [ a , b ] من خط الأعداد الحقيقية مع a < b :

متصل ليبشيتز ⊂${\displaystyle \alpha }$- هولدر متصل ⊂ متصل بانتظام ⊂ متصل ،

حيث 0 < α ≤ 1 .

تُعدّ فضاءات هولدر، التي تتألف من دوال تُحقق شرط هولدر، أساسية في مجالات التحليل الوظيفي ذات الصلة بحل المعادلات التفاضلية الجزئية ، وفي الأنظمة الديناميكية . يتألف فضاء هولدر C ^{_{k , α}} (Ω) ، حيث Ω مجموعة جزئية مفتوحة من فضاء إقليدي ما، و k ≥ 0 عدد صحيح ، من تلك الدوال على Ω التي لها مشتقات متصلة حتى الرتبة k ، بحيث تكون المشتقات الجزئية من الرتبة k متصلة هولدر بمعامل α ، حيث 0 < α ≤ 1. هذا فضاء متجهي طوبولوجي محدب محليًا . إذا كان معامل هولدر $${\displaystyle \left|f\right|_{C^{0,\alpha }}=\sup _{x,y\in \Omega ,x\neq y}{\frac {|f(x)-f(y)|}{\left\|xy\right\|^{\alpha }}},}$$ إذا كانت الدالة f محدودة، فإنها تُوصف بأنها متصلة هولدر (بشكل منتظم) بمعامل α في Ω . في هذه الحالة، يعمل معامل هولدر كمعيار شبهي . أما إذا كان معامل هولدر محدودًا فقط على مجموعات جزئية مضغوطة من Ω ، فإن الدالة f تُوصف بأنها متصلة هولدر محليًا بمعامل α في Ω .

إذا كانت الدالة f ومشتقاتها حتى الرتبة k محدودة على إغلاق Ω، فإن فضاء هولدر${\displaystyle C^{k,\alpha }({\overline {\Omega }})}$يمكن تحديد المعيار $${\displaystyle \left\|f\right\|_{C^{k,\alpha }}=\left\|f\right\|_{C^{k}}+\max _{|\beta |=k}\left|D^{\beta }f\right|_{C^{0,\alpha }}}$$ حيث تتراوح قيمة β عبر مؤشرات متعددة و $${\displaystyle \|f\|_{C^{k}}=\max _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }\left|D^{\beta }f(x)\right|.}$$

غالباً ما يُشار إلى هذه المعايير شبه الأساسية والمعايير الأساسية ببساطة${\displaystyle \left|f\right|_{0,\alpha }}$و${\displaystyle \left\|f\right\|_{k,\alpha }}$أو أيضاً${\displaystyle \left|f\right|_{0,\alpha ,\Omega }\;}$و${\displaystyle \left\|f\right\|_{k,\alpha ,\Omega }}$للتأكيد على اعتماد الدالة f على مجالها . إذا كانت Ω مفتوحة ومحدودة، فإن${\displaystyle C^{k,\alpha }({\overline {\Omega }})}$هو فضاء باناخ بالنسبة للمعيار${\displaystyle \|\cdot \|_{C^{k,\alpha }}}$.

ليكن Ω مجموعة جزئية محدودة من فضاء إقليدي ما (أو بشكل أعم، أي فضاء متري محدود كليًا)، وليكن α < β ≤ 1 أسين لهولدر. عندئذٍ، توجد دالة تضمين واضحة لفضاءات هولدر المناظرة: $${\displaystyle C^{0,\beta }(\Omega )\to C^{0,\alpha }(\Omega ),}$$ وهو متصل لأنه، بحسب تعريف معايير هولدر، لدينا: $${\displaystyle \forall f\in C^{0,\beta }(\Omega ):\qquad |f|_{0,\alpha ,\Omega }\leq \mathrm {diam} (\Omega )^{\beta -\alpha }|f|_{0,\beta ,\Omega }.}$$

علاوة على ذلك، فإن هذا التضمين متراص، مما يعني أن المجموعات المحدودة في معيار ‖ · ‖ _0,β متراصة نسبيًا في معيار ‖ · ‖ _0,α . هذه نتيجة مباشرة لنظرية أسكولي-أرزيلا . في الواقع، ليكن ( u _n ) متتالية محدودة في C ^0,β (Ω) . بفضل نظرية أسكولي-أرزيلا، يمكننا أن نفترض، دون فقدان للعمومية، أن u _n → u بشكل منتظم، ويمكننا أيضًا أن نفترض أن u = 0. عندئذٍ $${\displaystyle \left|u_{n}-u\right|_{0,\alpha }=\left|u_{n}\right|_{0,\alpha }\to 0,}$$ لأن $${\displaystyle {\frac {|u_{n}(x)-u_{n}(y)|}{|xy|^{\alpha }}}=\left({\frac {|u_{n}(x)-u_{n}(y)|}{|xy|^{\beta }}}\right)^{\frac {\alpha }{\beta }}\left|u_{n}(x)-u_{n}(y)\right|^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}\leq |u_{n}|_{0,\beta }^{\frac {\alpha }{\beta }}\left(2\|u_{n}\|_{\infty }\right)^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}=o(1).}$$

• إذا كان 0 < α ≥ β ≥ 1 فكل شيء${\displaystyle C^{0,\beta }({\overline {\Omega }})}$الدوال المتصلة وفقًا لقانون هولدر على مجموعة محدودة Ω هي أيضًا${\displaystyle C^{0,\alpha }({\overline {\Omega }})}$متصلة هولدر. وهذا يشمل أيضًا β = 1 ، وبالتالي فإن جميع الدوال المتصلة ليبشيتز على مجموعة محدودة هي أيضًا C ^{0، α} متصلة هولدر.
• تُعدّ الدالة f ( x ) = xβ (حيث β ≤ 1 ) المعرفة على الفترة [ 0, 1 ] مثالًا نموذجيًا لدالة متصلة هولدر من الفئة C0, α عندما ⁰ < ^{α ≤} β ، ولكنها غير متصلة عندما α > β . علاوة على ذلك، إذا عرّفنا f بشكل مماثل على${\displaystyle [0,\infty )}$، ستكون متصلة هولدر C ^{0,α فقط عندما} α = β .
• إذا كانت دالة${\displaystyle f}$يكون${\displaystyle \alpha }$– هولدر مستمر على فاصل زمني و${\displaystyle \alpha >1,}$ثم${\displaystyle f}$ثابت.

• توجد أمثلة على دوال متصلة بانتظام ولكنها ليست متصلة وفقًا لشرط هولدر من الرتبة α لأي قيمة لـ α . على سبيل المثال، الدالة المعرفة على الفترة [ 0, 1/2 ] بالعلاقة f (0) = 0 و f ( x ) = 1/log( x ) فيما عدا ذلك، هي دالة متصلة، وبالتالي فهي متصلة بانتظام وفقًا لنظرية هاين-كانتور . مع ذلك، فهي لا تحقق شرط هولدر من أي رتبة.
• دالة فايرشتراسه معرفة كما يلي:$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos \left(b^{n}\pi x\right),}$$ أين${\displaystyle 0<a<1,b}$هو عدد صحيح،${\displaystyle b\geq 2}$و${\displaystyle ab>1+{\tfrac {3\pi }{2}},}$هل هي متصلة من نوع α -Hölder مع ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \alpha =-{\frac {\log(a)}{\log(b)}}.}$$
• تكون دالة كانتور متصلة هولدر لأي أس${\displaystyle \alpha \leq {\tfrac {\log 2}{\log 3}},}$وليس لأكبر من ذلك. (العدد)${\displaystyle {\tfrac {\log 2}{\log 3}}}$(البعد هاوسدورف لمجموعة كانتور القياسية .) في الحالة الأولى، يتحقق عدم المساواة في التعريف مع الثابت C  := 2 .
• يمكن إنشاء منحنيات بيانو من [ 0, 1 ] إلى المربع [0, 1] ² لتكون متصلة وفقًا لـ 1/2 – هولدر. ويمكن إثبات ذلك عندما${\displaystyle \alpha >{\tfrac {1}{2}}}$صورة لـ${\displaystyle \alpha }$-دالة هولدر المتصلة من الفترة 1 إلى المربع لا يمكنها ملء المربع.
• من شبه المؤكد أن مسارات نموذجية للحركة البراونية موجودة في كل مكان محلياً.${\displaystyle \alpha }$حامل لكل${\displaystyle \alpha <{\tfrac {1}{2}}}$.
• الدوال التي تكون قابلة للتكامل محليًا والتي تحقق تكاملاتها شرط نمو مناسب تكون أيضًا دوال هولدر متصلة. على سبيل المثال، إذا وضعنا$${\displaystyle u_{x,r}={\frac {1}{|B_{r}|}}\int _{B_{r}(x)}u(y)\,dy}$$وأنت تُرضي​$${\displaystyle \int _{B_{r}(x)}\left|u(y)-u_{x,r}\right|^{2}dy\leq Cr^{n+2\alpha },}$$إذن، u دالة متصلة هولدر ذات أس α . ^{[ 3 ]}
• الدوال التي تتلاشى تذبذباتها بمعدل ثابت بالنسبة للمسافة تكون متصلة هولدر، ولها أسٌّ يُحدده معدل التلاشي. على سبيل المثال، إذا$${\displaystyle w(u,x_{0},r)=\sup _{B_{r}(x_{0})}u-\inf _{B_{r}(x_{0})}u}$$لبعض الدوال u ( x ) التي تحقق$${\displaystyle w\left(u,x_{0},{\tfrac {r}{2}}\right)\leq \lambda w\left(u,x_{0},r\right)}$$بالنسبة لـ λ ثابتة مع 0 < λ < 1 وجميع القيم الصغيرة بما فيه الكفاية لـ r ، فإن u متصلة هولدر.
• يمكن تضمين الدوال في فضاء سوبوليف في فضاء هولدر المناسب عبر متباينة موري إذا كان البعد المكاني أقل من أس فضاء سوبوليف. بتعبير أدق، إذا${\displaystyle n<p\leq \infty }$إذن يوجد ثابت C ، يعتمد فقط على p و n ، بحيث:$${\displaystyle \forall u\in C^{1}(\mathbf {R} ^{n})\cap L^{p}(\mathbf {R} ^{n}):\qquad \|u\|_{C^{0,\gamma }(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})},}$$أين${\displaystyle \gamma =1-{\tfrac {n}{p}}.}$وبالتالي إذا كان u ∈ W ^{1, p} ( R ⁿ ) ، فإن u في الواقع متصل هولدر ذو الأس γ ، بعد إعادة تعريفه على مجموعة قياسها 0.

• الزمرة الفرعية الجمعية المغلقة لفضاء هيلبرت H ذي الأبعاد اللانهائية ، والمتصلة بأقواس متصلة وفقًا لمعيار هولدر من الرتبة α حيث α > 1/2 ، هي فضاء فرعي خطي . توجد زمر فرعية جمعية مغلقة من H ، وليست فضاءات فرعية خطية، متصلة بأقواس متصلة وفقًا لمعيار هولدر من الرتبة 1/2 . ومن الأمثلة على ذلك الزمرة الفرعية الجمعية L₂ ( R , Z ⁾ لفضاء هيلبرت L₂ ( R , R ⁾ .
• أي دالة متصلة من نوع α- هولدر f على فضاء متري X تقبل تقريبًا ليبشيتز بواسطة سلسلة من الدوال ( f _k ) بحيث تكون f _k دالة ليبشيتز من النوع k و$${\displaystyle \left\|f-f_{k}\right\|_{\infty ,X}=O\left(k^{-{\frac {\alpha }{1-\alpha }}}\right).}$$وعلى العكس من ذلك، فإن أي سلسلة من دوال ليبشيتز ( f _k ) تتقارب إلى حد منتظم مستمر من نوع α – هولدر f .
• أي دالة هولدر من نوع α ، f، على مجموعة جزئية X من فضاء معياري E، تقبل امتدادًا متصلًا بانتظام إلى الفضاء بأكمله، وهو امتداد متصل هولدر بنفس الثابت C ونفس الأس α . أكبر امتداد من هذا النوع هو:$${\displaystyle f^{*}(x):=\inf _{y\in X}\left\{f(y)+C|x-y|^{\alpha }\right\}.}$$
• صورة أي${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$تحت دالة α – Hölder لها بعد Hausdorff على الأكثر${\displaystyle {\tfrac {\dim _{H}(U)}{\alpha }}}$، أين${\displaystyle \dim _{H}(U)}$هو بُعد هاوسدورف لـ${\displaystyle U}$.
• المساحة${\displaystyle C^{0,\alpha }(\Omega ),0<\alpha \leq 1}$لا يمكن فصلها.
• التضمين${\displaystyle C^{0,\beta }(\Omega )\subset C^{0,\alpha }(\Omega ),0<\alpha <\beta \leq 1}$ليس كثيفًا.
• لو${\displaystyle f(t)}$و${\displaystyle g(t)}$تحقق على قوس أملس L${\displaystyle H(\mu )}$و${\displaystyle H(\nu )}$الشروط على التوالي، ثم الدوال${\displaystyle f(t)+g(t)}$و${\displaystyle f(t)g(t)}$إرضاء${\displaystyle H(\alpha )}$الشرط على L ، حيث${\displaystyle \alpha =\min\{\mu ,\nu \}}$.

• التباين p