طرق مونت كارلو لتسعير الخيارات

في التمويل الرياضي ، يستخدم نموذج خيارات مونت كارلو أساليب مونت كارلو ^{[ ملاحظات 1 ]} لحساب قيمة خيار ذي مصادر متعددة للشك أو ذي خصائص معقدة. ^{[ 1 ]} كان أول تطبيق لتسعير الخيارات من قِبل فيليم بويل عام 1977 ( للخيارات الأوروبية ). وفي عام 1996، أوضح كلٌ من إم. برودي وبي. جلاسرمن كيفية تسعير الخيارات الآسيوية باستخدام مونت كارلو. وكان من التطورات المهمة تقديم كارير في عام 1996 لأساليب مونت كارلو للخيارات ذات خصائص الممارسة المبكرة .

كما هو معتاد ، يعتمد تقييم مونت كارلو على التقييم المحايد للمخاطر . ^{[ 1 ]} هنا، سعر الخيار هو قيمته المتوقعة بعد خصمها ؛ انظر الحياد عن المخاطر والتسعير الرشيد . وتتلخص التقنية المطبقة فيما يلي: (1) توليد عدد كبير من مسارات الأسعار المحتملة، ولكن العشوائية ، للأصل الأساسي (أو الأصول الأساسية) عبر المحاكاة ، و(2) حساب قيمة ممارسة الخيار (أي "العائد") لكل مسار. (3) ثم يتم حساب متوسط ​​هذه العوائد و(4) خصمها إلى قيمتها الحالية. هذه النتيجة هي قيمة الخيار. ^{[ 2 ]}

هذا النهج، على الرغم من بساطته النسبية، يسمح بزيادة التعقيد:

• يمكن نمذجة خيار الأسهم مع وجود مصدر واحد للشك: سعر السهم الأساسي المعني . ^{[ 2 ]} هنا سعر الأداة الأساسية${\displaystyle \ S_{t}\,}$عادةً ما يتم تصميمها بحيث تتبع حركة براونية هندسية ذات انجراف ثابت${\displaystyle \mu \,}$والتقلب​${\displaystyle \sigma \,}$. لذا:${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}\,}$، أين${\displaystyle dW_{t}\,}$يتم الحصول على القيمة من خلال أخذ عينة عشوائية من توزيع طبيعي ؛ انظر المزيد في قسم بلاك-شولز . بما أن العملية العشوائية الأساسية هي نفسها، فإنه بالنسبة لعدد كافٍ من مسارات الأسعار، يجب أن تكون قيمة الخيار الأوروبي هنا هي نفسها كما في بلاك-شولز . على نحو أعم، تُستخدم المحاكاة للمشتقات الغريبة المعتمدة على المسار ، مثل الخيارات الآسيوية .

• في حالات أخرى، قد يكون مصدر عدم اليقين بعيدًا. على سبيل المثال، بالنسبة لخيارات السندات ^{[ 3 ]} ، يكون الأصل الأساسي سندًا ، لكن مصدر عدم اليقين هو معدل الفائدة السنوي (أي سعر الفائدة قصير الأجل ). هنا، لكل منحنى عائد مُولّد عشوائيًا ، نلاحظ سعر سند مختلفًا في تاريخ ممارسة الخيار؛ ويُستخدم سعر السند هذا كمدخل لتحديد عائد الخيار. يُستخدم النهج نفسه في تقييم خيارات المقايضة ^{[ 4 ]} ، حيث تكون قيمة المقايضة الأساسية أيضًا دالةً لسعر الفائدة المتغير. (بينما تُقيّم هذه الخيارات عادةً باستخدام نماذج قائمة على الشبكة ، كما ذُكر أعلاه، بالنسبة لمشتقات سعر الفائدة المعتمدة على المسار - مثل سندات الرهن العقاري المضمونة - تُعد المحاكاة هي الأسلوب الأساسي المُستخدم ^{[ 5 ]} ). للاطلاع على النماذج المستخدمة لمحاكاة سعر الفائدة، انظر المزيد تحت "نموذج سعر الفائدة قصير الأجل "؛ "لإنشاء محاكاة واقعية لسعر الفائدة". تُستخدم أحيانًا نماذج سعر الفائدة قصير الأجل متعددة العوامل . ^{[ 6 ]} لتطبيق المحاكاة هنا، يجب على المحلل أولاً "معايرة" معلمات النموذج، بحيث تتناسب أسعار السندات التي ينتجها النموذج بشكل أفضل مع أسعار السوق المرصودة.

• تسمح طرق مونت كارلو بتراكم عدم اليقين . ^{[ 7 ]} على سبيل المثال، عندما يكون الأصل الأساسي مقومًا بعملة أجنبية، يصبح سعر الصرف مصدرًا إضافيًا لعدم اليقين : يجب محاكاة سعر الأصل الأساسي وسعر الصرف بشكل منفصل، ثم دمجهما لتحديد قيمة الأصل الأساسي بالعملة المحلية. في جميع هذه النماذج، يتم أيضًا تضمين الارتباط بين مصادر المخاطر الأساسية؛ انظر تحليل تشوليسكي §  محاكاة مونت كارلو . يمكن أيضًا إدخال تعقيدات أخرى، مثل تأثير أسعار السلع أو التضخم على الأصل الأساسي. نظرًا لأن المحاكاة قادرة على استيعاب المشكلات المعقدة من هذا النوع، فإنها تُستخدم غالبًا في تحليل الخيارات الحقيقية ^{[ 1 ]} حيث يكون قرار الإدارة في أي لحظة دالةً لمتغيرات أساسية متعددة.

• يمكن استخدام المحاكاة بالمثل لتقييم الخيارات التي يعتمد عائدها على قيمة أصول أساسية متعددة ^{[ 8 ]} مثل خيار السلة أو خيار قوس قزح . وهنا، يتم تضمين الارتباط بين عوائد الأصول أيضًا. ^{[ 9 ]}

• يمكن استخدام محاكاة مونت كارلو، حسب الحاجة، مع أي نوع من التوزيعات الاحتمالية ، بما في ذلك التوزيعات المتغيرة: لا يقتصر النموذج على العوائد الطبيعية أو اللوغاريتمية الطبيعية ؛ ^{[ 10 ]} انظر على سبيل المثال طريقة داتار-ماثيوز لتقييم الخيارات الحقيقية . بالإضافة إلى ذلك، يمكن تحديد العملية العشوائية للأصل (الأصول) الأساسي بحيث تُظهر قفزات أو ارتدادًا إلى المتوسط ​​أو كليهما؛ هذه الميزة تجعل المحاكاة طريقة التقييم الأساسية القابلة للتطبيق على مشتقات الطاقة . ^{[ 11 ]} علاوة على ذلك، تسمح بعض النماذج بتغيير المعلمات الإحصائية (وغيرها) لمصادر عدم اليقين بشكل عشوائي. على سبيل المثال، في النماذج التي تتضمن التقلب العشوائي ، يتغير تقلب الأصل الأساسي مع مرور الوقت؛ انظر نموذج هيستون .

طريقة مونت كارلو للمربعات الصغرى هي تقنية لتقييم خيارات الممارسة المبكرة (مثل خيارات برمودا أو الخيارات الأمريكية ). وقد قدمها جاك كاريير لأول مرة في عام 1996. ^{[ 12 ]}

يعتمد ذلك على تكرار إجراء من خطوتين:

• أولًا، تُجرى عملية استقراء عكسي تُسند فيها قيمة بشكل متكرر لكل حالة في كل خطوة زمنية. تُعرَّف هذه القيمة بأنها انحدار المربعات الصغرى مقابل سعر السوق لقيمة الخيار في تلك الحالة والوقت (الخطوة السابقة). تُعرَّف قيمة الخيار لهذا الانحدار بأنها قيمة إمكانيات التنفيذ (التي تعتمد على سعر السوق) بالإضافة إلى قيمة الخطوة الزمنية التي سينتج عنها هذا التنفيذ (المحددة في الخطوة السابقة من العملية). ^{[ 13 ]}
• ثانيًا، عند تقييم جميع الحالات لكل خطوة زمنية، تُحسب قيمة الخيار من خلال الانتقال عبر الخطوات الزمنية والحالات، وذلك باتخاذ القرار الأمثل بشأن ممارسة الخيار في كل خطوة بناءً على مسار السعر وقيمة الحالة الناتجة. يمكن تنفيذ هذه الخطوة الثانية باستخدام مسارات سعرية متعددة لإضافة تأثير عشوائي إلى العملية. ^{[ 12 ]}

كما هو واضح، تُعدّ طرق مونت كارلو مفيدةً للغاية في تقييم الخيارات ذات مصادر عدم اليقين المتعددة أو ذات الخصائص المعقدة، والتي يصعب تقييمها باستخدام حسابات بلاك-شولز أو الشبكات التقليدية . ولذلك، تُستخدم هذه التقنية على نطاق واسع في تقييم الهياكل المعتمدة على المسار، مثل خيارات الانعكاس والخيارات الآسيوية ^{[ 10 ]} ، وفي تحليل الخيارات الحقيقية ^{[ 1 ] [ 7 ]} . إضافةً إلى ذلك، وكما ذُكر سابقًا، لا يتقيد مُصمّم النموذج بتوزيع الاحتمالات المفترض ^{[ 10 ] .}

على النقيض من ذلك، إذا وُجدت تقنية تحليلية لتقييم الخيار، أو حتى تقنية عددية ، مثل شجرة التسعير (المعدلة) ^{[ 10 ]،} فإن طرق مونت كارلو عادةً ما تكون بطيئة للغاية بحيث لا تُنافس. وهي، بمعنى ما، طريقة الملاذ الأخير؛ ^{[ 10 ]} انظر المزيد تحت عنوان "طرق مونت كارلو في التمويل" . ومع توفر قدرات حاسوبية أسرع، يصبح هذا القيد الحسابي أقل أهمية.

• أساليب مونت كارلو في التمويل
• أساليب شبه مونت كارلو في التمويل
• النمذجة العشوائية (التأمين)
• نموذج الأصول العشوائي

ملحوظات

مصادر

المراجع الأساسية

• بويل، فيليم ب. (1977). "الخيارات: منهج مونت كارلو" . مجلة الاقتصاد المالي . 4 (3): 323-338 . doi : 10.1016/0304-405x(77)90005-8 . تاريخ الاسترجاع: 28 يونيو 2012 .
• برودي، م.؛ جلاسرمن، ب. (1996). "تقدير مشتقات أسعار الأوراق المالية باستخدام المحاكاة" (ملف PDF) . مجلة علوم الإدارة . 42 (2): 269-285 . CiteSeerX 10.1.1.196.1128 . doi : 10.1287/mnsc.42.2.269 . تاريخ الاسترجاع: 28 يونيو 2012 . 
• لونغستاف، فرانسيس أ.؛ شوارتز، إدواردو س. (2001). "تقييم الخيارات الأمريكية عن طريق المحاكاة: منهج المربعات الصغرى البسيط" . مراجعة الدراسات المالية . 14 : 113-148 . CiteSeerX 10.1.1.155.3462 . doi : 10.1093/rfs/14.1.113 . تاريخ الاسترجاع: 28 يونيو 2012 . 

فهرس

• برونو دوبير (1998). مونت كارلو: المنهجيات والتطبيقات لتسعير وإدارة المخاطر . المخاطر.
• بول جلاسرمن (2003). أساليب مونت كارلو في الهندسة المالية . سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-0-387-00451-8.
• بيتر جايكل (2002). أساليب مونت كارلو في التمويل . جون وايلي وأولاده. ISBN 978-0-471-49741-7.
• دون إل. ماكليش (2005). محاكاة مونت كارلو والتمويل . ISBN 978-0-471-67778-9.
• كريستيان ب. روبرت، جورج كاسيلا (2004). أساليب مونت كارلو الإحصائية . ISBN 978-0-387-21239-5.

أدوات عبر الإنترنت

• محاكاة مونت كارلو لسلاسل زمنية لأسعار الأسهم ومولد أرقام عشوائية (يسمح باختيار التوزيع)، ستيفن ويتني

أوراق ومناقشات ووثائق

• محاكاة مونت كارلو ، الأستاذ دون إم. تشانس، جامعة ولاية لويزيانا
• تسعير الخيارات المعقدة باستخدام محاكاة مونت كارلو بسيطة ، بيتر فينك (إعادة طبع على quantnotes.com)
• محاكاة مونت كارلو في مجال التمويل ، global-derivatives.com
• تقييم المشتقات باستخدام طريقة مونت كارلو ، تابع ، تيموثي ل. كريبيل، جامعة ولاية أوكلاهوما - ستيلووتر
• تطبيقات أساليب مونت كارلو في التمويل: تسعير الخيارات ، بقلم ي. لاي وج. سبانير، جامعة كليرمونت للدراسات العليا
• تسعير الخيارات عن طريق المحاكاة ، بيرنت آرني أوديجارد، المدرسة النرويجية للإدارة
• تسعير وتحوط الخيارات المعقدة باستخدام محاكاة مونت كارلو ، أوغوستو بيريلا، ديانا أوانسيا، البروفيسور مايكل روكينجر، كلية إدارة الأعمال العليا في لوزان
• طريقة مونت كارلو ، riskglossary.com