أساليب مونت كارلو في التمويل

تتضمن العديد من مسائل التمويل الرياضي حساب تكامل معين (على سبيل المثال، مسألة إيجاد القيمة الخالية من المراجحة لمشتق معين ). في كثير من الحالات، يمكن حساب هذه التكاملات تحليليًا ، وفي حالات أخرى يمكن حسابها باستخدام التكامل العددي ، أو باستخدام معادلة تفاضلية جزئية . مع ذلك، عندما يكون عدد الأبعاد (أو درجات الحرية) في المسألة كبيرًا، تصبح المعادلات التفاضلية الجزئية والتكاملات العددية غير قابلة للتطبيق، وفي هذه الحالات غالبًا ما تعطي طرق مونت كارلو نتائج أفضل.

بالنسبة لأكثر من ثلاثة أو أربعة متغيرات حالة، لا توجد صيغ رياضية مثل معادلة بلاك-شولز (أي الحلول التحليلية )، بينما تواجه الطرق العددية الأخرى ، مثل نموذج تسعير الخيارات ذي الحدين وطرق الفروق المحدودة ، صعوبات عديدة وتجعلها غير عملية. في هذه الحالات، تتقارب طرق مونت كارلو نحو الحل بشكل أسرع من الطرق العددية، وتتطلب ذاكرة أقل، كما أنها أسهل في البرمجة. أما في الحالات الأبسط، فلا تُعد المحاكاة الحل الأمثل لأنها تستغرق وقتًا طويلاً وتتطلب موارد حاسوبية كبيرة.

تستطيع طرق مونت كارلو التعامل مع المشتقات ذات العوائد المعتمدة على المسار بطريقة مباشرة نسبياً. في المقابل، تواجه حلول الفروق المحدودة (المعادلات التفاضلية الجزئية) صعوبة في التعامل مع الاعتماد على المسار.

تُعدّ طرق مونت كارلو أكثر صعوبة في الاستخدام مع الخيارات الأمريكية . وذلك لأنّ طريقة مونت كارلو، على عكس المعادلة التفاضلية الجزئية ، لا تُقدّر قيمة الخيار إلا بافتراض نقطة بداية ووقت مُحدّدين.

مع ذلك، في المراحل المبكرة من التمرين، نحتاج أيضًا إلى معرفة قيمة الخيار في الفترات الزمنية المتوسطة بين وقت بدء المحاكاة ووقت انتهاء صلاحية الخيار. في منهج معادلة بلاك-شولز التفاضلية الجزئية، يمكن الحصول على هذه الأسعار بسهولة، لأن المحاكاة تعمل عكسيًا بدءًا من تاريخ انتهاء الصلاحية. أما في مونت كارلو، فيصعب الحصول على هذه المعلومات، ولكن يمكن القيام بذلك، على سبيل المثال، باستخدام خوارزمية المربعات الصغرى لكاريير (انظر الرابط إلى الورقة البحثية الأصلية)، والتي اشتهرت بعد بضع سنوات بفضل لونجستاف وشوارتز (انظر الرابط إلى الورقة البحثية الأصلية) .

تنص النظرية الأساسية للتسعير الخالي من المراجحة على أن قيمة المشتقة تساوي القيمة المتوقعة المخصومة لعائد المشتقة، حيث تُحسب القيمة المتوقعة وفقًا لمقياس الحياد عن المخاطر ^[1] . والقيمة المتوقعة، بلغة الرياضيات البحتة ، هي ببساطة تكامل بالنسبة لهذا المقياس. وتُعدّ طرق مونت كارلو مثالية لتقييم التكاملات المعقدة (انظر أيضًا طريقة مونت كارلو ).

وبالتالي، إذا افترضنا أن فضاء الاحتمالات المحايد للمخاطر لدينا هو${\displaystyle \mathbb {P} }$وأن لدينا مشتق H يعتمد على مجموعة من الأدوات الأساسية${\displaystyle S_{1},...,S_{n}}$ثم يتم إعطاء عينة${\displaystyle \omega }$من فضاء الاحتمالات، تكون قيمة المشتقة هي${\displaystyle H(S_{1}(\omega ),S_{2}(\omega ),\dots ,S_{n}(\omega ))=:H(\omega )}$تُحسب القيمة الحالية للمشتقة بأخذ القيمة المتوقعة لجميع العينات الممكنة وخصمها بسعر الفائدة الخالي من المخاطر. أي أن للمشتقة القيمة التالية:

${\displaystyle H_{0}={DF}_{T}\int _{\omega }H(\omega )\,d\mathbb {P} (\omega )}$

أين${\displaystyle {DF}_{T}}$يمثل عامل الخصم المقابل لسعر الفائدة الخالي من المخاطر حتى تاريخ الاستحقاق النهائي بعد T سنة.

لنفترض الآن أن حساب التكامل صعب. يمكننا تقريب التكامل عن طريق توليد مسارات عينة ثم حساب متوسطها. لنفترض أننا قمنا بتوليد N عينة، ثم

${\displaystyle H_{0}\approx {DF}_{T}{\frac {1}{N}}\sum _{\omega \in {\text{sample set}}}H(\omega )}$

وهو أمر أسهل بكثير في الحساب.

في مجال التمويل، يُفترض عادةً أن المتغيرات العشوائية الأساسية (مثل سعر السهم الأساسي) تتبع مسارًا يُمثل دالة للحركة البراونية ^{. على سبيل المثال، في} نموذج بلاك-شولز القياسي ، يتطور سعر السهم وفقًا لـ

${\displaystyle dS=\mu S\,dt+\sigma S\,dW_{t}.}$

لأخذ عينة من مسار يتبع هذا التوزيع من الزمن 0 إلى T، نقوم بتقسيم الفترة الزمنية إلى M وحدة طول${\displaystyle \delta t}$، وتقريب الحركة البراونية على الفترة${\displaystyle dt}$بواسطة متغير طبيعي واحد بمتوسط ​​0 وتباين${\displaystyle \delta t}$وهذا يؤدي إلى مسار عينة من

${\displaystyle S(k\delta t)=S(0)\exp \left(\sum _{i=1}^{k}\left[\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)\delta t+\sigma \varepsilon _{i}{\sqrt {\delta t}}\right]\right)}$

لكل قيمة k بين 1 و M. هنا كل${\displaystyle \varepsilon _{i}}$هي عينة مأخوذة من توزيع طبيعي معياري.

لنفترض أن المشتق H يدفع متوسط ​​قيمة S بين 0 و T، ثم مسار عينة${\displaystyle \omega }$يتوافق مع مجموعة${\displaystyle \{\varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{M}\}}$و

${\displaystyle H(\omega )={\frac {1}{M}}\sum _{k=1}^{M}S(k\delta t).}$

نحصل على قيمة مونت كارلو لهذه المشتقة من خلال توليد N مجموعة من M متغيرات طبيعية، وإنشاء N مسار عينة، وبالتالي N قيمة لـ H ، ثم حساب المتوسط. عادةً ما تعتمد المشتقة على متغيرين أساسيين أو أكثر (قد يكونان مترابطين). يمكن توسيع هذه الطريقة لتوليد مسارات عينة لعدة متغيرات، حيث تكون المتغيرات الطبيعية المكونة لمسارات العينة مترابطة بشكل مناسب.

يستنتج من نظرية النهاية المركزية أن مضاعفة عدد مسارات العينة أربع مرات يقلل الخطأ في السعر المُحاكى إلى النصف تقريبًا (أي أن الخطأ من الرتبة${\displaystyle \epsilon ={\mathcal {O}}\left(N^{-1/2}\right)}$التقارب بمعنى الانحراف المعياري للحل).

تُستخدم طرق مونت كارلو عمليًا للمشتقات الأوروبية التي تتضمن ثلاثة متغيرات على الأقل (ويمكن عادةً استخدام طرق أكثر مباشرة تتضمن التكامل العددي للمسائل التي تحتوي على متغير أساسي واحد أو اثنين فقط. انظر نموذج خيارات مونت كارلو ).

يمكن الحصول على تقديرات " اليونانيات " لخيار ما، أي المشتقات الرياضية لقيمة الخيار بالنسبة لمعاملات الإدخال، عن طريق التفاضل العددي. قد تكون هذه العملية مُستهلكة للوقت (إذ يجب إجراء محاكاة مونت كارلو كاملة لكل تغيير طفيف في معاملات الإدخال). علاوة على ذلك، يميل حساب المشتقات العددية إلى إبراز الخطأ (أو التشويش) في قيمة مونت كارلو، مما يستلزم محاكاة عدد كبير من مسارات العينة. يعتبر الممارسون هذه النقاط مشكلة رئيسية في استخدام طرق مونت كارلو.

يُعدّ تقارب الجذر التربيعي بطيئًا، لذا يتطلب استخدام الطريقة البسيطة المذكورة أعلاه عددًا كبيرًا جدًا من مسارات العينة (مليون مسار، على سبيل المثال، في المسألة النموذجية) للحصول على نتيجة دقيقة. تذكر أن مُقدِّر سعر المشتقات هو متغير عشوائي، وفي إطار إدارة المخاطر، قد يؤدي عدم اليقين بشأن سعر محفظة المشتقات و/أو مخاطرها إلى اتخاذ قرارات غير مثالية في إدارة المخاطر.

يمكن التخفيف من حدة هذه الحالة من خلال تقنيات تقليل التباين .

بدلاً من توليد مسارات العينة عشوائياً، يُمكن اختيار نقاط في فضاء احتمالي بشكل منهجي (وبشكل حتمي تماماً، على الرغم من كلمة "شبه عشوائي" في الاسم) لملء هذا الفضاء على النحو الأمثل. ويكون اختيار النقاط عبارة عن متتالية ذات تباين منخفض، مثل متتالية سوبول . وغالباً ما يكون حساب متوسطات عوائد المشتقات عند نقاط في متتالية ذات تباين منخفض أكثر كفاءة من حساب متوسطات العوائد عند نقاط عشوائية.

• بويل، ب.، برودي، م.، وجلاسرمان، ب. طرق مونت كارلو لتسعير الأوراق المالية. مجلة ديناميكيات الاقتصاد والتحكم، المجلد 21، العددان 8-9، الصفحات 1267-1321
• روبنشتاين، سامورودنيتسكي، شاكيد. المتغيرات المتضادة، والاعتماد متعدد المتغيرات، ومحاكاة الأنظمة العشوائية. مجلة علوم الإدارة، المجلد 31، العدد 1، يناير 1985، الصفحات 66-67

• داميانو بريغو ، فابيو ميركوريو (2001). نماذج أسعار الفائدة - النظرية والتطبيق مع نموذج الابتسامة والتضخم والائتمان (الطبعة الثانية، 2006  ). دار نشر سبرينغر. ISBN 978-3-540-22149-4.
• دانيال ج. دافي ويورغ كينيتز (2009). أُطر مونت كارلو: بناء تطبيقات C++ عالية الأداء وقابلة للتخصيص . وايلي. ISBN 978-0470060698.
• برونو دوبير (1998). مونت كارلو: المنهجيات والتطبيقات لتسعير وإدارة المخاطر . المخاطر.
• بول جلاسرمن (2003). أساليب مونت كارلو في الهندسة المالية . سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-00451-3.
• جون سي. هول (2000). الخيارات والعقود الآجلة والمشتقات الأخرى (الطبعة الرابعة) . برنتيس هول. ISBN 0-13-015822-4.
• بيتر جايكل (2002). أساليب مونت كارلو في التمويل . جون وايلي وأولاده. ISBN 0-471-49741-X.
• بيتر إي. كلويدن وإيكهارد بلاتن (1992). الحل العددي للمعادلات التفاضلية العشوائية . سبرينغر - فيرلاغ.
• ديسيسلافا باتشامانوفا وفرانك ج. فابوزي (2010). المحاكاة والتحسين في التمويل: النمذجة باستخدام MATLAB أو @Risk أو VBA . جون وايلي وأولاده. ISBN 978-0-470-37189-3.