مشكلة المغناطيس المتحرك والموصل

تُعدّ مسألة المغناطيس المتحرك والموصل تجربة فكرية شهيرة ، تعود أصولها إلى القرن التاسع عشر، وتتناول التقاطع بين الكهرومغناطيسية الكلاسيكية والنسبية الخاصة . في هذه المسألة، يُحسب التيار في موصل يتحرك بسرعة ثابتة ( v ) بالنسبة إلى مغناطيس ، وذلك في إطار مرجعي خاص بالمغناطيس وفي إطار مرجعي خاص بالموصل. الكمية القابلة للرصد في التجربة، وهي التيار، تبقى ثابتة في كلتا الحالتين، وفقًا للمبدأ الأساسي للنسبية الذي ينص على: "لا يُرصد إلا الحركة النسبية ؛ فلا يوجد معيار مطلق للسكون". ^{[ 1 ]} مع ذلك، ووفقًا لمعادلات ماكسويل، تتعرض الشحنات في الموصل لقوة مغناطيسية في إطار المغناطيس وقوة كهربائية في إطار الموصل. ويبدو أن الظاهرة نفسها لها وصفان مختلفان تبعًا للإطار المرجعي للمراقب.

شكلت هذه المشكلة، إلى جانب تجربة فيزو ، وانحراف الضوء ، وبشكل غير مباشر اختبارات انجراف الأثير السلبي مثل تجربة ميكلسون-مورلي ، أساس تطوير أينشتاين لنظرية النسبية. ^{[ 2 ]}

تبدأ ورقة أينشتاين لعام 1905 التي قدمت للعالم نظرية النسبية بوصف لمشكلة المغناطيس/الموصل: ^{[ 3 ]}

من المعروف أن الديناميكا الكهربائية لماكسويل - كما هو مفهوم حاليًا - عند تطبيقها على الأجسام المتحركة، تؤدي إلى عدم تناظر لا يبدو أنه متأصل في الظاهرة نفسها. لنأخذ، على سبيل المثال، الفعل الكهروديناميكي المتبادل بين مغناطيس وموصل. تعتمد الظاهرة الملحوظة هنا فقط على الحركة النسبية بين الموصل والمغناطيس، بينما يميز الرأي السائد بوضوح بين حالتين: الأولى عندما يكون أحد هذين الجسمين متحركًا، والثانية عندما يكون الموصل ساكنًا. فإذا كان المغناطيس متحركًا والموصل ساكنًا، ينشأ في جوار المغناطيس مجال كهربائي ذو طاقة محددة، مما يُنتج تيارًا كهربائيًا في مواضع أجزاء الموصل. أما إذا كان المغناطيس ساكنًا والموصل متحركًا، فلا ينشأ أي مجال كهربائي في جوار المغناطيس. ومع ذلك، نجد في الموصل قوة دافعة كهربائية، لا يوجد لها في حد ذاتها طاقة مقابلة، ولكنها تؤدي - بافتراض تساوي الحركة النسبية في الحالتين اللتين تمت مناقشتهما - إلى تيارات كهربائية لها نفس المسار والشدة مثل تلك التي تنتجها القوى الكهربائية في الحالة السابقة.

يُعدّ الاتساق شرطًا أساسيًا في وصف المفاهيم ضمن مختلف الأطر النظرية . ويُشكّل الاتساق إشكاليةً نظرًا لأنّ الميكانيكا النيوتونية تتنبأ بتحويل واحد (ما يُعرف بثبات غاليليو ) للقوى التي تُحرّك الشحنات وتُسبّب التيار، بينما تتنبأ الديناميكا الكهربائية، كما تُعبّر عنها معادلات ماكسويل، بأنّ المجالات التي تُولّد هذه القوى تتحوّل بشكل مختلف (وفقًا لثبات لورنتز ). وقد أثبتت ملاحظات انحراف الضوء، التي بلغت ذروتها في تجربة ميكلسون-مورلي ، صحة ثبات لورنتز، وساهم تطوير النسبية الخاصة في حلّ التناقض الناتج مع الميكانيكا النيوتونية. وقد نقّحت النسبية الخاصة تحويل القوى في الأطر المرجعية المتحركة ليتوافق مع ثبات لورنتز. وسيتمّ تناول تفاصيل هذه التحويلات لاحقًا.

إضافةً إلى الاتساق، من المستحسن توحيد الأوصاف بحيث تبدو مستقلة عن الإطار المرجعي. ومن دلائل هذا الاستقلال ملاحظة أن المجالات المغناطيسية في إطار مرجعي ما تتحول إلى مجالات كهربائية في إطار آخر. وبالمثل، يتحول الجزء اللولبي من المجالات الكهربائية (الجزء غير الناجم عن الشحنات الكهربائية) إلى مجال مغناطيسي في إطار آخر؛ أي أن المجالات الكهربائية والمغناطيسية اللولبية هي جوانب لشيء واحد. ^{[ 4 ]} وهذا يعني أن مفارقة اختلاف الأوصاف قد تكون دلالية فقط . ويتجنب الوصف الذي يستخدم الكمون القياسي والمتجهي φ و A بدلًا من B و E هذا المأزق الدلالي. ويحل متجه رباعي ثابت لورنتز Aα ⁼ (φ / c , A ) محل E و B ^{[ 5 ]} ، مما يوفر وصفًا مستقلًا عن الإطار المرجعي (وإن كان أقل وضوحًا من وصف E – B ). ^{[ 6 ]} يتمثل أحد التوحيدات البديلة للأوصاف في اعتبار الكيان الفيزيائي بمثابة موتر المجال الكهرومغناطيسي ، كما هو موضح لاحقًا. يحتوي هذا الموتر على كل من المجالين E و B كمكونات، وله نفس الشكل في جميع أطر الإسناد.

لا يمكن رصد المجالات الكهرومغناطيسية بشكل مباشر. ويمكن الاستدلال على وجود المجالات الكهرومغناطيسية الكلاسيكية من حركة الجسيمات المشحونة، التي يمكن رصد مساراتها. وتفسر المجالات الكهرومغناطيسية الحركات المرصودة للجسيمات المشحونة الكلاسيكية.

من المتطلبات الأساسية في الفيزياء أن يتفق جميع مراقبي حركة الجسيم على مساره. فعلى سبيل المثال، إذا لاحظ أحد المراقبين أن جسيمًا ما يصطدم بمركز هدف، فيجب على جميع المراقبين التوصل إلى النتيجة نفسها. يفرض هذا الشرط قيودًا على طبيعة المجالات الكهرومغناطيسية وعلى تحولها من إطار مرجعي إلى آخر. كما يفرض قيودًا على كيفية تأثير هذه المجالات على تسارع الجسيمات المشحونة، وبالتالي على مساراتها.

لعلّ أبسط مثال، والذي أشار إليه أينشتاين في بحثه عام 1905 الذي قدّم فيه النسبية الخاصة ، هو مسألة موصل يتحرك في مجال مغناطيسي. ففي إطار المغناطيس، يتعرض الموصل لقوة مغناطيسية . أما في إطار الموصل المتحرك بالنسبة للمغناطيس، فيتعرض لقوة ناتجة عن مجال كهربائي . يجب أن يُنتج المجال المغناطيسي في إطار المغناطيس والمجال الكهربائي في إطار الموصل نتائج متسقة في الموصل. في زمن أينشتاين عام 1905، كانت معادلات المجال، كما تمثلها معادلات ماكسويل، متسقة تمامًا. إلا أن قانون نيوتن للحركة كان لا بد من تعديله لتوفير مسارات متسقة للجسيمات. ^{[ 7 ]}

بافتراض أن إطار المغناطيس وإطار الموصل مرتبطان بتحويل غاليليو ، فمن السهل حساب المجالات والقوى في كلا الإطارين. وهذا يُثبت أن التيار المستحث هو نفسه في كلا الإطارين. وكنتيجة ثانوية، ستُسفر هذه الحجة أيضًا عن صيغة عامة للمجالين الكهربائي والمغناطيسي في أحد الإطارين بدلالة المجالات في الإطار الآخر. ^{[ 8 ]}

في الواقع، لا ترتبط الإطارات بتحويل غاليليو، بل بتحويل لورنتز . ومع ذلك، سيكون هذا التحويل غاليليو بتقريب جيد جدًا ، عند سرعات أقل بكثير من سرعة الضوء.

الكميات غير المميزة بعلامة (') تُشير إلى إطار سكون المغناطيس، بينما الكميات المميزة بعلامة (') تُشير إلى إطار سكون الموصل. لنفترض أن v هي سرعة الموصل كما تُرى من إطار المغناطيس.

إطار الموصل

في إطار الموصل، يوجد مجال مغناطيسي متغير مع الزمن B ′ مرتبط بالمجال المغناطيسي B في إطار المغناطيس وفقًا لما يلي: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \mathbf {B} '(\mathbf {r'} ,t')=\mathbf {B} (\mathbf {r_{t'}} )}$$أين${\displaystyle \mathbf {r_{t'}} =\mathbf {r'} +\mathbf {v} t'}$

في هذا الإطار، يوجد مجال كهربائي، ويتم تحديد التفافه بواسطة معادلة ماكسويل-فاراداي : $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} '=-{\frac {\partial \mathbf {B} '}{\partial t'}}.}$$

وهذا ينتج عنه: $${\displaystyle \mathbf {E} '=\mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$$

  شرح هذه المعادلة لـ${\displaystyle \mathbf {E} '}$.

ولتوضيح ذلك: إذا تحرك موصل عبر مجال مغناطيسي ذي تدرج${\displaystyle \partial B_{z}/\partial z}$، على طول المحور z بسرعة ثابتة${\displaystyle v_{z}=\partial z/\partial t}$وبالتالي، فإنه في إطار الموصل$${\displaystyle {\frac {\partial B'_{z}}{\partial t}}=v_{z}{\frac {\partial B_{z}}{\partial z}}=-(\nabla \times \mathbf {E'} )_{z}={\frac {\partial E'_{x}}{\partial y}}-{\frac {\partial E'_{y}}{\partial x}}.}$$يتضح أن هذه المعادلة متسقة مع$${\displaystyle \mathbf {E'} =\mathbf {v} \times \mathbf {B} =v_{z}B_{x}{\hat {y}}-v_{z}B_{y}{\hat {x}},}$$عن طريق تحديد${\displaystyle \partial E'_{x}/\partial y}$و${\displaystyle \partial E_{y}'/\partial x}$من هذا التعبير واستبداله في التعبير الأول أثناء استخدام ذلك$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} ={\frac {\partial B_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial B_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial B_{z}}{\partial z}}=0.}$$حتى في حالة التدرجات الصغيرة للغاية${\displaystyle \partial B_{z}/\partial z}$تبقى هذه العلاقات قائمة، وبالتالي فإن معادلة قوة لورنتز صالحة أيضًا إذا كان المجال المغناطيسي في إطار الموصل ثابتًا مع الزمن. عند السرعات النسبية، يلزم عامل تصحيح، انظر أدناه: الكهرومغناطيسية الكلاسيكية والنسبية الخاصة وتحويل لورنتز.

ستكون الشحنة q في الموصل ساكنة في إطار الموصل. لذلك، لا يؤثر حد القوة المغناطيسية لقوة لورنتز، وتُعطى القوة المؤثرة على الشحنة بالعلاقة التالية: $${\displaystyle \mathbf {F} '=q\mathbf {E} '=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$$

يُبيّن هذا أن القوة متساوية في كلا الإطارين (كما هو متوقع)، وبالتالي فإن أي نتائج ملحوظة لهذه القوة، مثل التيار المستحث، ستكون متماثلة في كلا الإطارين. وذلك على الرغم من أن القوة تُعتبر قوة كهربائية في إطار الموصل، وقوة مغناطيسية في إطار المغناطيس.

في إطار يتحرك بسرعة v ، يتحول المجال الكهربائي في الإطار المتحرك عندما لا يوجد مجال كهربائي في إطار المغناطيس الثابت، معادلات ماكسويل على النحو التالي: ^{[ 10 ]}$${\displaystyle \mathbf {E} '=\gamma \mathbf {v} \times \mathbf {B} }$$ أين $${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{(v/c)}^{2}}}}}$$ يُسمى هذا العامل عامل لورنتز، و c هي سرعة الضوء في الفضاء الحر. هذه النتيجة هي نتيجة حتمية لاشتراط أن يصل المراقبون في جميع الأطر المرجعية العطالية إلى نفس الصيغة لمعادلات ماكسويل. على وجه الخصوص، يجب أن يرى جميع المراقبين نفس سرعة الضوء c . يؤدي هذا الشرط إلى تحويل لورنتز للمكان والزمان. بافتراض تحويل لورنتز، فإن ثبات معادلات ماكسويل يؤدي إلى التحويل المذكور أعلاه للحقول في هذا المثال.

وبالتالي، فإن القوة المؤثرة على الشحنة هي $${\displaystyle \mathbf {F} '=q\mathbf {E} '=q\gamma \mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$$

يختلف هذا التعبير عن التعبير المستمد من قانون نيوتن للحركة غير النسبية بمعامل قدره${\displaystyle \gamma }$. تعمل النسبية الخاصة على تعديل المكان والزمان بطريقة تجعل القوى والمجالات تتحول باستمرار.

تتخذ قوة لورنتز نفس الشكل في كلا الإطارين، على الرغم من اختلاف الحقول، وهي: $${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right].}$$

انظر الشكل 1. ولتبسيط الأمر، لنفترض أن المجال المغناطيسي يشير إلى الاتجاه z ويتغير بتغير الموقع x ، وأن الموصل يتحرك في الاتجاه الموجب x بسرعة v . بالتالي، في إطار المغناطيس حيث يتحرك الموصل، تشير قوة لورنتز إلى الاتجاه السالب y ، عموديًا على كل من السرعة والمجال المغناطيسي B. القوة المؤثرة على الشحنة، هنا بسبب المجال المغناطيسي B فقط ، هي $${\displaystyle F_{y}=-qvB,}$$ بينما في إطار الموصل حيث يتحرك المغناطيس، تكون القوة أيضًا في الاتجاه السالب للمحور y ، وهي الآن ناتجة فقط عن المجال الكهربائي بقيمة: $${\displaystyle {F_{y}}'=qE'=-q\gamma vB.}$$

تختلف القوتان بمعامل لورنتز γ. هذا الاختلاف متوقع في النظرية النسبية، وذلك بسبب التغير في الزمكان بين الأطر المرجعية، كما سيتم مناقشته لاحقاً.

تعتمد النسبية على تحويل لورنتز للزمكان، الذي اقترحته ثبات معادلات ماكسويل، وتفرضه على الديناميكا أيضًا (وهو بمثابة مراجعة لقوانين نيوتن للحركة ). في هذا المثال، يؤثر تحويل لورنتز على الاتجاه السيني فقط (الحركة النسبية للإطارين تكون على طول الاتجاه السيني ). العلاقات التي تربط الزمان والمكان هي ( تشير الفتحات إلى إطار الموصل المتحرك)  : ^{[ 11 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=\gamma \left(x-vt\right),&x&=\gamma \left(x'+vt'\right),\\[1ex]t'&=\gamma \left(t-{\tfrac {vx}{c^{2}}}\right),&t&=\gamma \left(t'+{\tfrac {vx'}{c^{2}}}\right).\end{aligned}}}$$

تؤدي هذه التحولات إلى تغيير في المركبة الصادية للقوة : $${\displaystyle {F_{y}}'=\gamma F_{y}.}$$

أي أنه في إطار ثبات لورنتز ، لا تكون القوة متساوية في جميع الأطر المرجعية، على عكس ثبات غاليليو. ولكن، من التحليل السابق القائم على قانون قوة لورنتز: $${\displaystyle \gamma F_{y}=-q\gamma vB,\quad {F_{y}}'=-q\gamma vB,}$$ وهذا يتفق تماماً. لذا فإن القوة المؤثرة على الشحنة ليست متساوية في كلا الإطارين المرجعيين، ولكنها تتحول كما هو متوقع وفقاً لنظرية النسبية.

• أينشتاين، أ. (1916). النسبية: النظرية الخاصة والعامة . نيويورك: كراون. ISBN 0-517-02961-8.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• فاينمان، ريتشارد ب .؛ لايتون، روبرت ب .؛ ساندز، ماثيو (2006). محاضرات فاينمان في الفيزياء . المجلد  2. بيرسون/أديسون-ويسلي. الصفحات  13-16، الفصل 13. ISBN 0-8053-9045-6.(نسبية المجالات المغناطيسية والكهربائية)
• ميسنر، تشارلز؛ ثورن، كيب س. وويلر، جون أرشيبالد (1973). الجاذبية . سان فرانسيسكو: دبليو إتش فريمان. ISBN 0-7167-0344-0.
• لاندو، إل دي وليفشيتز، إي إم (1975). النظرية الكلاسيكية للحقول (الطبعة الإنجليزية الرابعة المنقحة  ). أكسفورد: بيرغامون. ISBN 0-08-018176-7.
• جاكسون، جون د. (1998). الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية (الطبعة الثالثة) . وايلي. ISBN 0-471-30932-X.
• سي مولر (1976). نظرية النسبية (  الطبعة الثانية). أكسفورد، المملكة المتحدة: مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 0-19-560539-X. OCLC 220221617 . 

• المغناطيس والموصلات في النسبية الخاصة