إطار مرجعي قصوري

افترض نيوتن وجود فضاء مطلق يُمكن تقريبه جيدًا بإطار مرجعي ثابت بالنسبة للنجوم الثابتة . وكان الإطار المرجعي العطالي هو إطار يتحرك حركةً منتظمةً بالنسبة للفضاء المطلق. مع ذلك، رأى بعض "النسبيين" ^{[ 11 ]} ، حتى في زمن نيوتن، أن الفضاء المطلق يُمثل عيبًا في هذه الصيغة، وأنه ينبغي استبداله.

صاغ لودفيج لانج مصطلح الإطار المرجعي بالقصور الذاتي ( بالألمانية : Inertialsystem ) في عام 1885، ليحل محل تعريفات نيوتن لـ "المكان والزمان المطلقين" بتعريف أكثر عملية : ^{[ 12 ] [ 13 ]}

يُطلق على الإطار المرجعي الذي تتبع فيه نقطة كتلة تُقذف من نفس النقطة في ثلاثة اتجاهات مختلفة (غير مستوية) مسارات مستقيمة في كل مرة تُقذف فيها، اسم الإطار المرجعي العطالي. ^{[ 14 ]}

وقد أوضح بلاجويفيتش عدم كفاية مفهوم "الفضاء المطلق" في الميكانيكا النيوتونية: ^{[ 15 ]}

• إن وجود الفضاء المطلق يتعارض مع المنطق الداخلي للميكانيكا الكلاسيكية، لأنه وفقًا لمبدأ غاليليو النسبي، لا يمكن تمييز أي من الإطارات العطالية.
• لا يفسر الفضاء المطلق قوى القصور الذاتي لأنها مرتبطة بالتسارع بالنسبة لأي إطار من إطارات القصور الذاتي.
• يؤثر الفضاء المطلق على الأجسام المادية عن طريق إحداث مقاومتها للتسارع، لكن لا يمكن التأثير عليه.

لقد تطورت فائدة التعريفات الإجرائية بشكل كبير في النظرية النسبية الخاصة. ^{[ 16 ]} يقدم دي سال بعض الخلفية التاريخية، بما في ذلك تعريف لانج، ويقول باختصار: ^{[ 17 ]}

The original question, "relative to what frame of reference do the laws of motion hold?" is revealed to be wrongly posed. The laws of motion essentially determine a class of reference frames, and (in principle) a procedure for constructing them.

Classical theories that use the Galilean transformation postulate the equivalence of all inertial reference frames. The Galilean transformation transforms coordinates from one inertial reference frame, ${\displaystyle \mathbf {s} }$, to another, ${\displaystyle \mathbf {s} ^{\prime }}$, by simple addition or subtraction of coordinates:

${\displaystyle \mathbf {r} ^{\prime }=\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}-\mathbf {v} t}$

${\displaystyle t^{\prime }=t-t_{0}}$

where r₀ and t₀ represent shifts in the origin of space and time, and v is the relative velocity of the two inertial reference frames. Under Galilean transformations, the time t₂ − t₁ between two events is the same for all reference frames and the distance between two simultaneous events (or, equivalently, the length of any object, |r₂ − r₁|) is also the same.

Within the realm of Newtonian mechanics, an inertial frame of reference, or inertial reference frame, is one in which Newton's first law of motion is valid.^[18] However, the principle of special relativity generalizes the notion of an inertial frame to include all physical laws, not simply Newton's first law.

Newton viewed the first law as valid in any reference frame that is in uniform motion (neither rotating nor accelerating) relative to absolute space; as a practical matter, "absolute space" was considered to be the fixed stars^[19][20] In the theory of relativity the notion of absolute space or a privileged frame is abandoned, and an inertial frame in the field of classical mechanics is defined as:^[21][22]

An inertial frame of reference is one in which the motion of a particle not subject to forces is in a straight line at constant speed.

وبالتالي، بالنسبة للإطار المرجعي العطالي، لا يتسارع الجسم إلا عند تطبيق قوة فيزيائية عليه، ووفقًا لقانون نيوتن الأول للحركة ، في غياب قوة محصلة، يبقى الجسم الساكن ساكنًا ، ويستمر الجسم المتحرك في حركته المنتظمة - أي في خط مستقيم وبسرعة ثابتة . وتتحول الأطر المرجعية العطالية النيوتونية فيما بينها وفقًا لمجموعة تناظرات غاليليو .

إذا فُسِّرت هذه القاعدة على أنها تعني أن الحركة في خط مستقيم مؤشر على انعدام محصلة القوى، فإنها لا تُحدِّد أطر الإسناد العطالية، لأن الحركة في خط مستقيم يُمكن رصدها في أطر متنوعة. أما إذا فُسِّرت القاعدة على أنها تُحدِّد إطار إسناد عطالي، فإن القدرة على تحديد متى تُطبَّق محصلة القوى المنعدمة تُصبح بالغة الأهمية. وقد لخَّص آينشتاين هذه المشكلة على النحو التالي: ^{[ 23 ]}

يكمن ضعف مبدأ القصور الذاتي في أنه ينطوي على حجة في دائرة: تتحرك الكتلة بدون تسارع إذا كانت بعيدة بما فيه الكفاية عن الأجسام الأخرى؛ ونحن نعلم أنها بعيدة بما فيه الكفاية عن الأجسام الأخرى فقط من خلال حقيقة أنها تتحرك بدون تسارع.

توجد عدة مقاربات لهذه المسألة. إحدى هذه المقاربات هي القول بأن جميع القوى الحقيقية تتلاشى مع المسافة من مصادرها بطريقة معروفة، لذا يكفي أن يكون الجسم بعيدًا بما يكفي عن جميع المصادر لضمان عدم وجود أي قوة. ^{[ 24 ]} ومن المشكلات المحتملة لهذه المقاربة الاعتقاد السائد تاريخيًا بأن الكون البعيد قد يؤثر على المادة ( مبدأ ماخ ). مقاربة أخرى هي تحديد جميع المصادر الحقيقية للقوى الحقيقية وأخذها في الحسبان. ومن المشكلات المحتملة لهذه المقاربة إمكانية إغفال بعض المصادر، أو حساب تأثيرها بشكل غير مناسب، ربما، مرة أخرى، بسبب مبدأ ماخ وفهم غير مكتمل للكون. مقاربة ثالثة هي دراسة كيفية تحول القوى عند تغيير الأطر المرجعية. تختفي القوى الوهمية، وهي تلك التي تنشأ بسبب تسارع الإطار، في الأطر المرجعية العطالية، ولها قواعد تحول معقدة في الحالات العامة. وبناءً على عالمية القوانين الفيزيائية، والحاجة إلى أطر تُعبّر عن القوانين بأبسط صورة، تتميز الأطر المرجعية العطالية بغياب هذه القوى الوهمية.

لقد صاغ نيوتن بنفسه مبدأ النسبية في إحدى نتائج قوانين الحركة: ^{[ 25 ] [ 26 ]}

تكون حركات الأجسام الموجودة في حيز معين متماثلة فيما بينها، سواء كان هذا الحيز ساكناً أو يتحرك بشكل منتظم للأمام في خط مستقيم.

يختلف هذا المبدأ عن المبدأ الخاص في جانبين: أولًا، يقتصر على الميكانيكا، وثانيًا، لا يتطرق إلى البساطة. ويشترك مع المبدأ الخاص في ثبات شكل الوصف بين الأطر المرجعية المترجمة. ^{[ 27 ]} وسنتناول دور القوى الوهمية في تصنيف الأطر المرجعية بمزيد من التفصيل لاحقًا.

لنفترض موقفًا شائعًا في الحياة اليومية. تسير سيارتان على طريق واحد، كلتاهما تتحركان بسرعة ثابتة. انظر الشكل 1. في لحظة معينة، تفصل بينهما مسافة 200 متر. تسير السيارة الأمامية بسرعة 22 مترًا في الثانية، بينما تسير السيارة الخلفية بسرعة 30 مترًا في الثانية. إذا أردنا معرفة المدة التي تستغرقها السيارة الثانية للحاق بالأولى، فهناك ثلاثة "أطر مرجعية" واضحة يمكننا اختيارها. ^{[ 28 ]}

أولًا، يمكننا مراقبة السيارتين من جانب الطريق. نُعرّف "إطارنا المرجعي" S كما يلي: نقف على جانب الطريق ونبدأ تشغيل ساعة توقيت في اللحظة التي تمر فيها السيارة الثانية من جانبنا، والتي تصادف أنها عندما تكون المسافة بينهما d = 200 متر . بما أن أيًا من السيارتين لا تتسارع، يمكننا تحديد موقعهما باستخدام الصيغ التالية، حيث${\displaystyle x_{1}(t)}$هو موضع السيارة بالأمتار بعد مرور الوقت t بالثواني و${\displaystyle x_{2}(t)}$هذا هو موضع السيارة الثانية بعد مرور الوقت t .

${\displaystyle x_{1}(t)=d+v_{1}t=200+22t,\quad x_{2}(t)=v_{2}t=30t.}$

لاحظ أن هذه الصيغ تتنبأ بأنه عند الزمن t = 0 ثانية، تكون السيارة الأولى على بُعد 200 متر أسفل الطريق، والسيارة الثانية بجانبنا مباشرةً، كما هو متوقع. نريد إيجاد الزمن الذي${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$لذلك، قمنا بتحديد${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$وحل المعادلة التالية:${\displaystyle t}$، إنه:

${\displaystyle 200+22t=30t,}$

${\displaystyle 8t=200,}$

${\displaystyle t=25\ \mathrm {seconds} .}$

بدلاً من ذلك، يمكننا اختيار إطار مرجعي S′ يقع في السيارة الأولى. في هذه الحالة، تكون السيارة الأولى ثابتة، بينما تقترب منها السيارة الثانية من الخلف بسرعة v₂ - _v₁ = 8 م/ث . للحاق بالسيارة الأولى، سيستغرق الأمر زمنًا قدره d / v₂ - _v₁ = ₂₀₀ / ₈ ثانية ، أي 25 ثانية ، كما في السابق. لاحظ كيف تصبح المسألة أسهل بكثير باختيار إطار مرجعي مناسب. الإطار المرجعي الثالث الممكن سيكون مرتبطًا بالسيارة الثانية. يشبه هذا المثال الحالة التي نوقشت للتو، باستثناء أن السيارة الثانية ثابتة ، بينما تتحرك السيارة الأولى للخلف باتجاهها بسرعة 8 م/ث .

كان من الممكن اختيار إطار مرجعي دوّار ومتسارع، يتحرك بطريقة معقدة، لكن ذلك كان سيزيد المسألة تعقيدًا بلا داعٍ. يمكن تحويل القياسات المُجراة في نظام إحداثيات إلى آخر. على سبيل المثال، لنفترض أن ساعتك تتقدم خمس دقائق عن التوقيت المحلي. إذا كنت تعلم ذلك، فعندما يسألك أحدهم عن الوقت، يمكنك طرح خمس دقائق من الوقت المعروض على ساعتك للحصول على الوقت الصحيح. وبالتالي، تعتمد القياسات التي يجريها مراقب ما حول نظام ما على إطاره المرجعي (قد تقول إن الحافلة وصلت في الساعة الثالثة وخمس دقائق، بينما في الواقع وصلت في الساعة الثالثة).

كمثال بسيط يتعلق فقط باتجاه شخصين، تخيل شخصين يقفان متقابلين على جانبي شارع يمتد من الشمال إلى الجنوب. انظر الشكل 2. تمر سيارة بجانبهما متجهة جنوبًا. بالنسبة للشخص المواجه للشرق، كانت السيارة تتحرك إلى اليمين. أما بالنسبة للشخص المواجه للغرب، فكانت السيارة تتحرك إلى اليسار. يعود هذا الاختلاف إلى استخدام الشخصين إطارين مرجعيين مختلفين لدراسة هذا النظام.

للحصول على مثال أكثر تعقيدًا يتضمن مراقبين في حركة نسبية، لنفترض ألفريد، الواقف على جانب الطريق يراقب سيارة تمر من أمامه من اليسار إلى اليمين. في إطاره المرجعي، يُعرّف ألفريد النقطة التي يقف فيها بأنها نقطة الأصل، والطريق بأنه المحور السيني ، والاتجاه أمامه بأنه المحور الصادي الموجب . بالنسبة له، تتحرك السيارة على طول المحور السيني بسرعة v في الاتجاه الموجب للمحور السيني. يُعتبر إطار ألفريد المرجعي إطارًا قصوريًا لأنه لا يتسارع ، متجاهلًا تأثيرات مثل دوران الأرض والجاذبية.

والآن، لنفترض أن بيتسي هي من تقود السيارة. عند اختيارها لإطارها المرجعي، تُعرّف بيتسي موقعها كنقطة الأصل، والاتجاه إلى يمينها كمحور السينات الموجب ، والاتجاه أمامها كمحور الصادات الموجب . في هذا الإطار المرجعي، تكون بيتسي ثابتة بينما العالم من حولها هو المتحرك - على سبيل المثال، عندما تمر بألفريد، تلاحظه يتحرك بسرعة v في الاتجاه السالب لمحور الصادات . إذا كانت تقود شمالًا، فإن الشمال هو اتجاه محور الصادات الموجب ؛ وإذا اتجهت شرقًا، يصبح الشرق هو اتجاه محور الصادات الموجب .

أخيرًا، كمثال على المراقبين غير العطاليين، لنفترض أن كانديس تُسرّع سيارتها. عندما تمر بجانبه، يقيس ألفريد تسارعها ويجده a في الاتجاه السالب لمحور x . بافتراض أن تسارع كانديس ثابت، ما هو التسارع الذي تقيسه بيتسي؟ إذا كانت سرعة بيتسي v ثابتة، فهي في إطار مرجعي عطالي، وستجد أن التسارع هو نفسه الذي وجده ألفريد في إطارها المرجعي، أي a في الاتجاه السالب لمحور y . مع ذلك، إذا كانت تتسارع بمعدل A في الاتجاه السالب لمحور y (أي أنها تُبطئ)، فستجد أن تسارع كانديس هو a′ = a − A في الاتجاه السالب لمحور y ، وهي قيمة أصغر مما قاسه ألفريد. وبالمثل، إذا كانت تتسارع بمعدل A في الاتجاه الموجب للمحور y (تتسارع)، فسوف تلاحظ تسارع كانديس على أنه a′ = a + A في الاتجاه السالب للمحور y - وهي قيمة أكبر من قياس ألفريد.

في إطار مرجعي قصوري، يتحقق قانون نيوتن الأول ، قانون القصور الذاتي : أي حركة حرة لها مقدار واتجاه ثابتان. ^{[ 29 ]} أما قانون نيوتن الثاني للجسيم فيأخذ الشكل التالي:

${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} \ ,}$

حيث F هي القوة المحصلة ( كمية متجهة )، وm كتلة الجسيم، و a تسارع الجسيم (كمية متجهة أيضاً) الذي يقيسه مراقب ساكن في الإطار المرجعي. القوة F هي المجموع الاتجاهي لجميع القوى "الحقيقية" المؤثرة على الجسيم، مثل قوى التلامس ، والقوى الكهرومغناطيسية، وقوى الجاذبية، والقوى النووية.

في المقابل، يأخذ قانون نيوتن الثاني في إطار مرجعي دوار (نوع من الإطار المرجعي غير العطالي )، يدور بمعدل زاوي Ω حول محور، الشكل التالي:

${\displaystyle \mathbf {F} '=m\mathbf {a} \ ,}$

والذي يبدو مماثلاً لما هو عليه في إطار مرجعي قصوري، ولكن الآن القوة F ′ هي محصلة ليس فقط F ، ولكن أيضًا حدود إضافية (تقدم الفقرة التالية لهذه المعادلة النقاط الرئيسية دون رياضيات تفصيلية):

${\displaystyle \mathbf {F} '=\mathbf {F} -2m\mathbf {\Omega } \times \mathbf {v} _{B}-m\mathbf {\Omega } \times (\mathbf {\Omega } \times \mathbf {x} _{B})-m{\frac {d\mathbf {\Omega } }{dt}}\times \mathbf {x} _{B}\ ,}$

حيث يتم التعبير عن الدوران الزاوي للإطار بواسطة المتجه Ω الذي يشير في اتجاه محور الدوران، وبمقدار يساوي معدل الدوران الزاوي Ω ، ويرمز الرمز × إلى الضرب الاتجاهي للمتجه ، ويحدد المتجه x _B موقع الجسم، والمتجه v _B هو سرعة الجسم وفقًا لمراقب دوار (مختلفة عن السرعة التي يراها المراقب العطالي).

الحدود الإضافية في القوة F ′ هي قوى "وهمية" لهذا الإطار، وأسبابها خارجية عن النظام في هذا الإطار. الحد الإضافي الأول هو قوة كوريوليس ، والثاني قوة الطرد المركزي ، والثالث قوة أويلر . تتميز هذه الحدود بالخصائص التالية: تتلاشى عندما Ω = 0؛ أي أنها تساوي صفرًا في الإطار المرجعي العطالي (الذي لا يدور بالطبع)؛ وتتخذ مقدارًا واتجاهًا مختلفين في كل إطار مرجعي دوار، تبعًا لقيمة Ω الخاصة به ؛ وهي موجودة في كل مكان في الإطار المرجعي الدوار (تؤثر على كل جسيم، بغض النظر عن الظروف)؛ وليس لها مصدر ظاهر في مصادر فيزيائية محددة، وخاصة المادة . كذلك، لا تتلاشى القوى الوهمية مع المسافة (على عكس القوى النووية أو الكهربائية ، على سبيل المثال ). فعلى سبيل المثال، تزداد قوة الطرد المركزي التي تبدو وكأنها تنبعث من محور الدوران في إطار مرجعي دوار مع المسافة من هذا المحور.

يتفق جميع المراقبين على القوى الحقيقية، F ؛ ولا يحتاج إلى قوى وهمية إلا المراقبون غير العطاليين. وتكون قوانين الفيزياء في الإطار العطالي أبسط لعدم وجود قوى غير ضرورية.

في زمن نيوتن، استُخدمت النجوم الثابتة كإطار مرجعي، يُفترض أنها في حالة سكون بالنسبة للفضاء المطلق . في الأطر المرجعية التي كانت إما ساكنة بالنسبة للنجوم الثابتة أو في حركة منتظمة بالنسبة لها، كان يُفترض أن قوانين نيوتن للحركة تنطبق. في المقابل، في الأطر المتسارعة بالنسبة للنجوم الثابتة، ومن أهمها الأطر الدوارة بالنسبة لها، لم تكن قوانين الحركة تنطبق في أبسط صورها، بل كان لا بد من استكمالها بإضافة قوى وهمية ، مثل قوة كوريوليس وقوة الطرد المركزي . ابتكر نيوتن تجربتين لتوضيح كيفية اكتشاف هذه القوى، وبالتالي كشف للمراقب أنها ليست في إطار مرجعي قصوري: مثال الشد في الحبل الذي يربط كرتين تدوران حول مركز ثقلهما، ومثال انحناء سطح الماء في دلو دوار . في كلتا الحالتين، لن ينجح تطبيق قانون نيوتن الثاني بالنسبة للمراقب الدوار دون اللجوء إلى قوى الطرد المركزي وقوى كوريوليس لتفسير ملاحظاتهم (التوتر في حالة الكرات؛ سطح الماء المكافئ في حالة الدلو الدوار).

كما هو معروف الآن، فإن النجوم الثابتة ليست ثابتة. فالنجوم الموجودة في مجرة ​​درب التبانة تدور معها، مُظهرةً حركات ذاتية . أما النجوم التي تقع خارج مجرتنا (مثل السدم التي كانت تُعتبر نجومًا في السابق) فتشارك في حركتها الذاتية أيضًا، ويعود ذلك جزئيًا إلى تمدد الكون ، وجزئيًا إلى سرعاتها الخاصة . ^{[ 30 ]} على سبيل المثال، مجرة ​​أندروميدا في مسار تصادمي مع مجرة ​​درب التبانة بسرعة 117  كم/ث. ^{[ 31 ]} لم يعد مفهوم الأطر المرجعية العطالية مرتبطًا لا بالنجوم الثابتة ولا بالفضاء المطلق. بل يعتمد تحديد الإطار العطالي على بساطة قوانين الفيزياء فيه. تتخذ قوانين الطبيعة شكلًا أبسط في الأطر المرجعية العطالية لأنه في هذه الأطر لا حاجة لإدخال قوى القصور الذاتي عند صياغة قانون نيوتن للحركة. ^{[ 32 ]}

عملياً، لا يُحدث استخدام إطار مرجعي قائم على النجوم الثابتة، كما لو كان إطاراً مرجعياً قصورياً، فرقاً يُذكر. فعلى سبيل المثال، يبلغ التسارع المركزي للأرض نتيجة دورانها حول الشمس حوالي ثلاثين مليون ضعف تسارع الشمس حول مركز المجرة. ^{[ 33 ]}

لتوضيح ذلك أكثر، لننظر في السؤال: "هل يدور الكون؟" قد يُفسر أحد الحلول شكل مجرة ​​درب التبانة باستخدام قوانين الفيزياء، ^{[ 34 ]} مع أن بعض الملاحظات الأخرى قد تكون أكثر دقة؛ أي أنها قد تُقدم اختلافات أكبر أو دقة قياس أقل ، مثل تباين إشعاع الخلفية الكونية الميكروي أو عملية التخليق النووي في الانفجار العظيم . ^{[ 35 ] [ 36 ]} يعتمد تسطح مجرة ​​درب التبانة على معدل دورانها في إطار مرجعي قصوري. إذا نُسب معدل دورانها الظاهري بالكامل إلى الدوران في إطار مرجعي قصوري، فسيتم التنبؤ بتسطح مختلف عما لو افترضنا أن جزءًا من هذا الدوران ناتج في الواقع عن دوران الكون، وبالتالي لا ينبغي تضمينه في دوران المجرة نفسها. بناءً على قوانين الفيزياء، يتم وضع نموذج يكون فيه أحد المتغيرات هو معدل دوران الكون. إذا توافقت قوانين الفيزياء مع الملاحظات بدقة أكبر في نموذج يتضمن الدوران مقارنةً بنموذج لا يتضمنه، فإننا نميل إلى اختيار القيمة الأنسب للدوران، مع مراعاة جميع الملاحظات التجريبية الأخرى ذات الصلة. إذا لم تكن أي قيمة لمعامل الدوران مناسبة، وكانت النظرية خارج نطاق الخطأ الرصدي، يُنظر في تعديل القانون الفيزيائي، على سبيل المثال، يُستعان بالمادة المظلمة لتفسير منحنى دوران المجرة . حتى الآن، تُظهر الملاحظات أن أي دوران للكون بطيء للغاية، ولا يتجاوز سرعة دورانه مرة واحدة كل 1000 دورة في الدقيقة.6 × 10^ ¹³ سنة (10 ^{^-13}  راديان/سنة)، ^{[ 37 ]} ولا يزال الجدل قائمًا حول وجود أي دوران. مع ذلك، إذا ثبت وجود دوران، فسيتعين تصحيح تفسير الملاحظات في إطار مرجعي مرتبط بالكون، وذلك لمراعاة القوى الوهمية الكامنة في هذا الدوران في الفيزياء الكلاسيكية والنسبية الخاصة، أو تفسيره على أنه انحناء الزمكان وحركة المادة على طول الخطوط الجيوديسية في النسبية العامة. ^{[ 38 ]}

عندما تكون التأثيرات الكمومية مهمة، تظهر تعقيدات مفاهيمية إضافية في الأطر المرجعية الكمومية .

غالباً ما يتم تحديد الإطار المرجعي المتسارع على أنه الإطار "المُهيأ"، ويتم ترميز جميع المتغيرات التي تعتمد على هذا الإطار بعلامات الفتحة، على سبيل المثال x′ و y′ و a′ .

يُرمز عادةً إلى المتجه من أصل إطار مرجعي قصوري إلى أصل إطار مرجعي متسارع بالرمز R. وبالنظر إلى نقطة اهتمام موجودة في كلا الإطارين، يُطلق على المتجه من الأصل القصوري إلى النقطة اسم r ، ويُطلق على المتجه من الأصل المتسارع إلى النقطة اسم r′ .

انطلاقاً من هندسة الموقف

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {R} +\mathbf {r} '.}$

بأخذ المشتقة الأولى والثانية لهذا بالنسبة للزمن

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {V} +\mathbf {v} ',}$

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {A} +\mathbf {a} '.}$

حيث V و A هما سرعة وتسارع النظام المتسارع بالنسبة للنظام العطالي، و v و a هما سرعة وتسارع النقطة محل الاهتمام بالنسبة للإطار العطالي.

تسمح هذه المعادلات بالتحويلات بين نظامي الإحداثيات؛ على سبيل المثال، يمكن كتابة قانون نيوتن الثاني على النحو التالي:

${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} =m\mathbf {A} +m\mathbf {a} '.}$

عند حدوث تسارع في الحركة نتيجة قوة مؤثرة، يظهر القصور الذاتي. فإذا تم تحويل سيارة كهربائية مصممة لإعادة شحن بطاريتها أثناء التباطؤ إلى وضع الكبح، تُعاد شحن البطاريات، مما يُظهر قوة القصور الذاتي. مع ذلك، لا يمنع القصور الذاتي التسارع (أو التباطؤ)، لأنه يحدث استجابةً لتغير السرعة الناتج عن قوة ما. من منظور إطار مرجعي دوار، يبدو القصور الذاتي وكأنه يُؤثر بقوة (إما في اتجاه الطرد المركزي ، أو في اتجاه عمودي على حركة الجسم، وهو ما يُعرف بتأثير كوريوليس ).

أحد أنواع الأطر المرجعية المتسارعة الشائعة هو الإطار الذي يدور وينتقل في نفس الوقت (مثال على ذلك هو إطار مرجعي مرفق بقرص مضغوط يتم تشغيله أثناء حمل المشغل).

يؤدي هذا الترتيب إلى المعادلة (انظر القوة الوهمية للاطلاع على الاشتقاق):

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} '+{\dot {\boldsymbol {\omega }}}\times \mathbf {r} '+2{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} '+{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} ')+\mathbf {A} _{0},}$

أو، لحساب التسارع في الإطار المتسارع،

${\displaystyle \mathbf {a} '=\mathbf {a} -{\dot {\boldsymbol {\omega }}}\times \mathbf {r} '-2{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} '-{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} ')-\mathbf {A} _{0}.}$

بضرب طرفي المعادلة في الكتلة m نحصل على

${\displaystyle \mathbf {F} '=\mathbf {F} _{\mathrm {physical} }+\mathbf {F} '_{\mathrm {Euler} }+\mathbf {F} '_{\mathrm {كوريوليس} }+\mathbf {F} '_{\mathrm {جاذب مركزي} }-m\mathbf {A} _ {0}،}$

أين

${\displaystyle \mathbf {F} '_{\mathrm {Euler} }=-m{\dot {\boldsymbol {\omega }}}\times \mathbf {r} '}$( قوة أويلر )،

${\displaystyle \mathbf {F} '_{\mathrm {Coriolis} }=-2m{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} '}$( قوة كوريوليس )،

${\displaystyle \mathbf {F} '_{\mathrm {centrifugal} }=-m{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} ')=m(\omega ^{2}\mathbf {r} '-({\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {r} '){\boldsymbol {\omega }})}$( قوة الطرد المركزي ).

يمكن التمييز بين الأطر المرجعية العطالية وغير العطالية من خلال غياب أو وجود قوى وهمية . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

إن تأثير وجود هذا في الإطار غير العطالي هو أنه يتطلب من المراقب إدخال قوة وهمية في حساباته...

يشير وجود القوى الوهمية إلى أن القوانين الفيزيائية ليست أبسط القوانين المتاحة، من حيث المبدأ الخاص للنسبية ، فإن الإطار الذي توجد فيه قوى وهمية ليس إطارًا قصوريًا: ^{[ 39 ]}

تختلف معادلات الحركة في نظام غير قصوري عن معادلات الحركة في نظام قصوري بوجود حدود إضافية تُسمى قوى القصور الذاتي. وهذا يسمح لنا بالكشف تجريبياً عن الطبيعة غير القصورية للنظام.

تخضع الأجسام في الأطر المرجعية غير العطالية لما يُسمى بالقوى الوهمية (القوى الزائفة)؛ أي القوى الناتجة عن تسارع الإطار المرجعي نفسه وليس عن أي قوة فيزيائية تؤثر على الجسم. ومن أمثلة القوى الوهمية قوة الطرد المركزي وقوة كوريوليس في الأطر المرجعية الدوارة .

لتطبيق تعريف نيوتن للإطار المرجعي العطالي، يجب توضيح فهم الفصل بين القوى "الوهمية" والقوى "الحقيقية".

على سبيل المثال، لنفترض وجود جسم ساكن في إطار مرجعي قصوري. نظرًا لسكونه، لا توجد قوة محصلة تؤثر عليه. ولكن في إطار مرجعي يدور حول محور ثابت، يبدو الجسم وكأنه يتحرك في دائرة، ويخضع لقوة مركزية. كيف يمكن الجزم بأن الإطار الدوار ليس إطارًا قصوريًا؟ هناك منهجان لحل هذه المسألة: الأول هو البحث عن مصدر القوى الوهمية (قوة كوريوليس والقوة المركزية). سيتبين أنه لا توجد مصادر لهذه القوى، ولا ناقلات قوة مرتبطة بها ، ولا أجسام مصدرية لها. ^{[ 40 ]} أما المنهج الثاني فهو النظر إلى مجموعة متنوعة من الأطر المرجعية. في أي إطار مرجعي قصوري، تختفي قوة كوريوليس والقوة المركزية، لذا فإن تطبيق مبدأ النسبية الخاصة سيحدد هذه الأطر التي تختفي فيها القوى باعتبارها تشترك في نفس القوانين الفيزيائية وأبسطها، وبالتالي يُستنتج أن الإطار الدوار ليس إطارًا قصوريًا.

درس نيوتن هذه المسألة بنفسه باستخدام كرات دوارة، كما هو موضح في الشكلين 2 و3. وأشار إلى أنه إذا لم تكن الكرات تدور، فإن قوة الشد في الخيط الرابط تُقاس بصفر في جميع الأطر المرجعية. ^{[ 41 ]} إذا بدت الكرات وكأنها تدور فقط (أي أننا نراقب كرات ثابتة من إطار مرجعي دوار)، فإن انعدام قوة الشد في الخيط يُعزى إلى ملاحظة أن القوة المركزية ناتجة عن مجموع قوتي الطرد المركزي وكوريوليس، وبالتالي لا حاجة إلى قوة شد. أما إذا كانت الكرات تدور بالفعل، فإن قوة الشد المرصودة هي بالضبط قوة الشد المركزية المطلوبة للحركة الدائرية. وهكذا، يُحدد قياس قوة الشد في الخيط الإطار المرجعي العطالي: فهو الإطار الذي توفر فيه قوة الشد في الخيط قوة الشد المركزية المطلوبة للحركة كما تُلاحظ فيه، وليس قيمة مختلفة. أي أن الإطار المرجعي العطالي هو الإطار الذي تتلاشى فيه القوى الوهمية.

بالنسبة للتسارع الخطي ، عبر نيوتن عن فكرة عدم إمكانية اكتشاف التسارعات في خط مستقيم والتي كانت شائعة: ^{[ 26 ]}

إذا تم دفع الأجسام، مهما كانت طريقة تحريكها فيما بينها، في اتجاه خطوط متوازية بواسطة قوى تسارع متساوية، فإنها ستستمر في التحرك فيما بينها، بنفس الطريقة كما لو لم يتم دفعها بواسطة مثل هذه القوى.

يعمم هذا المبدأ مفهوم الإطار المرجعي العطالي. فعلى سبيل المثال، سيؤكد مراقب محصور في مصعد يسقط سقوطًا حرًا أنه هو نفسه إطار مرجعي عطالي صالح، حتى لو كان يتسارع بفعل الجاذبية، طالما أنه لا يعلم شيئًا عن أي شيء خارج المصعد. لذا، بالمعنى الدقيق، يُعد الإطار المرجعي العطالي مفهومًا نسبيًا. وبناءً على ذلك، يمكن تعريف الأطر المرجعية العطالية مجتمعةً على أنها مجموعة من الأطر الثابتة أو المتحركة بسرعة ثابتة بالنسبة لبعضها البعض، بحيث يُعرَّف الإطار المرجعي العطالي الواحد كعنصر من عناصر هذه المجموعة.

لكي تنطبق هذه الأفكار، يجب أن يخضع كل ما يُرصد في الإطار لتسارع أساسي مشترك بين جميع عناصر الإطار. وينطبق هذا، على سبيل المثال، على المصعد، حيث تخضع جميع الأجسام لنفس تسارع الجاذبية، ويتسارع المصعد نفسه بنفس المعدل.

تستخدم أنظمة الملاحة بالقصور الذاتي مجموعة من الجيروسكوبات ومقاييس التسارع لتحديد التسارعات بالنسبة إلى الفضاء القصوري. بعد تدوير الجيروسكوب في اتجاه معين في الفضاء القصوري، ينص قانون حفظ الزخم الزاوي على احتفاظه بهذا الاتجاه طالما لم تُطبق عليه أي قوى خارجية. ^{[ 42 ] : 59} تُنشئ ثلاثة جيروسكوبات متعامدة إطارًا مرجعيًا قصوريًا، وتقيس مقاييس التسارع التسارع بالنسبة إلى هذا الإطار. يمكن بعد ذلك استخدام التسارعات، بالإضافة إلى الساعة، لحساب التغير في الموقع. وبالتالي، تُعد الملاحة بالقصور الذاتي شكلاً من أشكال الملاحة التقديرية التي لا تتطلب أي مدخلات خارجية، وبالتالي لا يمكن التشويش عليها بواسطة أي مصدر إشارة خارجي أو داخلي. ^{[ 43 ]}

تُستخدم البوصلة الجيروسكوبية في الملاحة البحرية لتحديد الشمال الهندسي. ولا تعتمد في ذلك على استشعار المجال المغناطيسي للأرض، بل على استخدام الفضاء المرجعي. ^{[ 44 ]} يُثبّت الغلاف الخارجي للبوصلة الجيروسكوبية بحيث يبقى محاذيًا لخط الشاقول المحلي. عند تدوير عجلة الجيروسكوب داخل البوصلة، يؤدي تعليقها إلى محاذاة محور دورانها تدريجيًا مع محور الأرض. وتُعدّ المحاذاة مع محور الأرض الاتجاه الوحيد الذي يُمكن فيه لمحور دوران الجيروسكوب أن يكون ثابتًا بالنسبة للأرض دون الحاجة إلى تغيير اتجاهه بالنسبة للفضاء المرجعي. بعد تدويرها، يُمكن للبوصلة الجيروسكوبية الوصول إلى اتجاه المحاذاة مع محور الأرض في غضون ربع ساعة فقط. ^{[ 45 ]}

تفترض نظرية النسبية الخاصة لأينشتاين ، مثل الميكانيكا النيوتونية، تكافؤ جميع الأطر المرجعية العطالية. ومع ذلك، ولأن النسبية الخاصة تفترض أن سرعة الضوء في الفضاء الحر ثابتة ، فإن التحويل بين الأطر العطالية هو تحويل لورنتز ، وليس تحويل غاليليو المستخدم في الميكانيكا النيوتونية.

يؤدي ثبات سرعة الضوء إلى ظواهر غير بديهية، مثل تمدد الزمن ، وانكماش الطول ، ونسبية التزامن . وقد تم التحقق تجريبياً من تنبؤات النسبية الخاصة على نطاق واسع. ^{[ 46 ]} يتحول تحويل لورنتز إلى تحويل غاليليو عندما تقترب سرعة الضوء من اللانهاية أو عندما تقترب السرعة النسبية بين الأطر المرجعية من الصفر. ^{[ 47 ]}

تستند النسبية العامة إلى مبدأ التكافؤ: ^{[ 48 ] [ 49 ]}

لا توجد تجربة يمكن للمراقبين إجراؤها للتمييز بين ما إذا كان التسارع ناتجًا عن قوة الجاذبية أو بسبب تسارع إطارهم المرجعي.

طُرحت هذه الفكرة في مقالة أينشتاين عام 1907 بعنوان "مبدأ النسبية والجاذبية"، ثم طُوّرت لاحقًا عام 1911. ^{[ 50 ]} ويُستدل على صحة هذا المبدأ من تجربة إيوتفوس ، التي تحدد ما إذا كانت نسبة الكتلة القصور الذاتي إلى الكتلة الجاذبية متساوية لجميع الأجسام، بغض النظر عن حجمها أو تركيبها. وحتى الآن، لم يُرصد أي فرق يُذكر . ^{[ 51 ]} لمزيد من التفاصيل حول تجربة إيوتفوس، مثل توزيع الكتلة المحلي حول موقع التجربة (بما في ذلك تعليق طريف حول كتلة إيوتفوس نفسه)، انظر فرانكلين ^{. [ 52 ]}

تُعدّل نظرية أينشتاين العامة التمييز بين التأثيرات "القصورية" و"غير القصورية" اسميًا، وذلك باستبدال فضاء مينكوفسكي "المسطح" في النسبية الخاصة بمقياس يُنتج انحناءً غير صفري. في النسبية العامة، يُستبدل مبدأ القصور الذاتي بمبدأ الحركة الجيوديسية ، حيث تتحرك الأجسام وفقًا لانحناء الزمكان. ونتيجةً لهذا الانحناء، ليس من المُسلّم به في النسبية العامة أن الأجسام القصورية التي تتحرك بسرعة معينة بالنسبة لبعضها البعض ستستمر في الحركة. تعني ظاهرة الانحراف الجيوديسي هذه أن الأطر المرجعية القصورية لا توجد بشكل شامل كما هو الحال في الميكانيكا النيوتونية والنسبية الخاصة.

مع ذلك، تختزل النظرية العامة إلى النظرية الخاصة في مناطق صغيرة كافية من الزمكان ، حيث تصبح تأثيرات الانحناء أقل أهمية، ويمكن أن تعود حجج الإطار المرجعي العطالي السابقة إلى الظهور. ^{[ 53 ] [ 54 ]} ونتيجة لذلك، تُوصف النسبية الخاصة الحديثة أحيانًا بأنها "نظرية محلية" فقط. ^{[ 55 ]} يمكن أن يشمل مصطلح "محلي"، على سبيل المثال، مجرة ​​درب التبانة بأكملها : فقد رصد الفلكي كارل شوارتزشيلد حركة أزواج من النجوم تدور حول بعضها البعض. ووجد أن مداري النجمين في مثل هذا النظام يقعان في مستوى واحد، وأن نقطة الحضيض لمداري النجمين تظل تشير إلى الاتجاه نفسه بالنسبة للنظام الشمسي . وأشار شوارتزشيلد إلى أن هذا كان يُلاحظ دائمًا: يظل اتجاه الزخم الزاوي لجميع أنظمة النجوم الثنائية المرصودة ثابتًا بالنسبة إلى اتجاه الزخم الزاوي للنظام الشمسي. سمحت له هذه الملاحظات بالاستنتاج بأن الأطر المرجعية العطالية داخل المجرة لا تدور بالنسبة لبعضها البعض، وأن فضاء مجرة ​​درب التبانة هو فضاء غاليليو أو مينكوفسكي تقريبًا. ^{[ 56 ]}