نظرية داروين لاغرانج

يصف لاغرانج داروين (المسمى على اسم تشارلز غالتون داروين ، حفيد عالم الطبيعة ) التفاعل من أجل${\textstyle {v^{2}}/{c^{2}}}$بين جسيمين مشحونين في الفراغ، حيث c هي سرعة الضوء . وقد تم اشتقاق هذا النموذج قبل ظهور ميكانيكا الكم ، وكان نتاجًا لدراسة أكثر تفصيلًا للتفاعلات الكهرومغناطيسية الكلاسيكية للإلكترونات في الذرة. ومن نموذج بور، كان معروفًا أن هذه الإلكترونات تتحرك بسرعات تقترب من سرعة الضوء. ^{[ 1 ]}

الدالة اللاغرانجية الكاملة لجسيمين متفاعلين هي $${\displaystyle L=L_{\text{f}}+L_{\text{int}},}$$ حيث يكون جزء الجسيم الحر$${\displaystyle L_{\text{f}}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{8c^{2}}}m_{1}v_{1}^{4}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}+{\frac {1}{8c^{2}}}م_{2}v_{2}^{4},}$$ يتم وصف التفاعل بواسطة $${\displaystyle L_{\text{int}}=L_{\text{C}}+L_{\text{D}},}$$ حيث يكون تفاعل كولوم بوحدات غاوسية$${\displaystyle L_{\text{C}}=-{\frac {q_{1}q_{2}}{r}},}$$ بينما تفاعل داروين$${\displaystyle L_{\text{D}}={\frac {q_{1}q_{2}}{r}}{\frac {1}{2c^{2}}}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}.}$$ هنا _{، q1} و q2 هما شحنتا الجسيمين 1 و2 على التوالي، _{و m1} و m2 هما كتلتا الجسيمين، _وv1 و v2 هما سرعتا الجسيمين، _و c هي سرعة الضوء ، _و r هو المتجه بين الجسيمين، و${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$هو متجه الوحدة في اتجاه r .

الجزء الأول هو متسلسلة تايلور للدالة لاغرانجية الحرة لجسيمين نسبيين حتى الرتبة الثانية في السرعة v . ينشأ حد تفاعل داروين من تفاعل أحد الجسيمين مع المجال المغناطيسي الناتج عن الجسيم الآخر. إذا تم الاحتفاظ بالحدود ذات الرتب الأعلى في v / c ، فيجب أخذ درجات حرية المجال في الاعتبار، ولا يمكن اعتبار التفاعل آنيًا بين الجسيمين. في هذه الحالة، يجب مراعاة تأثيرات التأخير . ^{[ 2 ] : 596-598}

دالة لاغرانج للتفاعل النسبي لجسيم ذي شحنة q يتفاعل مع مجال كهرومغناطيسي هي ^{[ 2 ] : 580-581}$${\displaystyle L_{\text{int}}=-q\Phi +{\frac {q}{c}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {A} ,}$$ حيث u هي السرعة النسبية للجسيم. يُولّد الحد الأول على اليمين تفاعل كولوم، بينما يُولّد الحد الثاني تفاعل داروين.

يُوصَف الجهد الشعاعي في مقياس كولوم بالمعادلة ^{[ 2 ] : 242}$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {J} _{t}}$$حيث يمثل التيار المستعرض J _t التيار اللولبي (انظر تحليل هيلمهولتز ) الناتج عن جسيم ثانٍ. تباعد التيار المستعرض يساوي صفرًا.

التيار الناتج عن الجسيم الثاني هو $${\displaystyle \mathbf {J} =q_{2}\mathbf {v} _{2}\delta {\left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}\right)},}$$ والذي له تحويل فورييه$${\displaystyle \mathbf {J} \left(\mathbf {k} \right)\equiv \int d^{3}r\exp \left(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \right)\mathbf {J} \left(\mathbf {r} \right)=q_{2}\mathbf {v} _{2}\exp \left(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{2}\right).}$$

المكون العرضي للتيار هو $$// {ص} _{2}}.}$$

من السهل التحقق من ذلك $${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {J} _{t}(\mathbf {k} )=0,}$$ وهذا ما يجب أن يكون صحيحًا إذا كان تباعد التيار المستعرض يساوي صفرًا. نرى أن${\displaystyle \mathbf {J} _{t}(\mathbf {k} )}$هو المكون الخاص بالتيار المحول بواسطة فورييه العمودي على k .

من معادلة الكمون الشعاعي، يكون تحويل فورييه للكمون الشعاعي هو $${\displaystyle \mathbf {A} \left(\mathbf {k} \right)={\frac {4\pi }{c}}{\frac {q_{2}}{k^{2}}}\left[\mathbf {1} -{\hat {\mathbf {k} }}{\hat {\mathbf {k} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{2}}}$$ حيث احتفظنا فقط بالحد الأدنى رتبة في v / c .

التحويل العكسي لفورييه للجهد الشعاعي هو $${\displaystyle \mathbf {A} \left(\mathbf {r} \right)=\int {\frac {d^{3}k}{\left(2\pi \right)^{3}}}\;\mathbf {A} (\mathbf {k} )\;e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{1}}={\frac {q_{2}}{2c}}{\frac {1}{r}}\left[\mathbf {1} +{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}}$$ أين $${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}$$ (انظر التكاملات الشائعة في نظرية المجال الكمومي §  الجهد المستعرض مع الكتلة ).

إذن، يكون مصطلح تفاعل داروين في لاغرانجيان هو $${\displaystyle L_{\text{D}}={\frac {q_{1}q_{2}}{r}}{\frac {1}{2c^{2}}}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}}$$ حيث احتفظنا مرة أخرى بالحد الأدنى رتبة فقط في v / c .

معادلة حركة أحد الجسيمات هي $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {v} _{1}}}L\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {v} _{1}\right)=\nabla _{1}L\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {v} _{1}\right)}$$$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {p} _{1}}{dt}}=\nabla _{1}L\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {v} _{1}\right)}$$ حيث p ₁ هو زخم الجسيم.

يرتبط هاميلتونيان داروين لجسيمين في الفراغ باللاغرانجيان عن طريق تحويل ليجندر$${\displaystyle H=\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}+\mathbf {p} _{2}\cdot \mathbf {v} _{2}-L.}$$

يصبح الهاميلتوني $${\displaystyle H\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {p} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {p} _{2}\right)=\left(1-{\frac {1}{4}}{\frac {p_{1}^{2}}{m_{1}^{2}c^{2}}}\right){\frac {p_{1}^{2}}{2m_{1}}}\;+\;\left(1-{\frac {1}{4}}{\frac {p_{2}^{2}}{m_{2}^{2}c^{2}}}\right){\frac {p_{2}^{2}}{2m_{2}}}\;+\;{\frac {q_{1}q_{2}}{r}}\;-\;{\frac {q_{1}q_{2}}{r}}{\frac {1}{2m_{1}m_{2}c^{2}}}\mathbf {p} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {p} _{2}.}$$

يُعطي هذا الهاميلتوني طاقة التفاعل بين الجسيمين. وقد طُرحت مؤخرًا فكرة أنه عند التعبير عنها بدلالة سرعات الجسيمات، ينبغي ببساطة وضع${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$في الحد الأخير واعكس إشارته. ^{[ 3 ]}

يمكن ملاحظة بنية تفاعل داروين بوضوح في الديناميكا الكهربائية الكمومية ^، وذلك نتيجة لتبادل الفوتونات في أدنى رتبة من ^نظرية الاضطراب . عندما يمتلك الفوتون زخمًا رباعيًا pμ = ħkμ مع متجه موجة kμ = ( ω / c , k )، ^فإن مُوَصِّله في مقياس كولوم له مُركِّبان . ^{[ 4 ]}

${\displaystyle D_{00}(k)={1 \over \mathbf {k} ^{2}}}$

يوضح التفاعل الكولومبي بين جسيمين مشحونين، بينما

${\displaystyle D_{ij}(k)={1 \over \omega ^{2}-c^{2}\mathbf {k} ^{2}}\left(\delta _{ij}-{k_{i}k_{j} \over \mathbf {k} ^{2}}\right)}$

يصف هذا التبادل الفوتوني المستعرض. وله متجه استقطاب.${\displaystyle \mathbf {e} _{\lambda }}$ويرتبط بجسيم ذي شحنة${\displaystyle q}$وثلاثة زخم${\displaystyle \mathbf {p} }$بقوة${\displaystyle -q{\sqrt {4\pi }}\,\mathbf {e} _{\lambda }\cdot \mathbf {p} /m.}$منذ${\displaystyle \mathbf {e} _{\lambda }\cdot \mathbf {k} =0}$في هذا المقياس، لا يهم ما إذا كان المرء يستخدم زخم الجسيم قبل أو بعد اقتران الفوتون به.

في عملية تبادل الفوتون بين الجسيمين، يمكن تجاهل التردد.${\displaystyle \omega }$مقارنة بـ${\displaystyle c\mathbf {k} }$في جهاز الانتشار الذي يعمل بدقة في${\displaystyle v^{2}/c^{2}}$هذا ما نحتاجه هنا. عندئذٍ، يُعطي الجزءان من المُوَصِّل معًا الهاميلتوني الفعال.

${\displaystyle H_{int}(\mathbf {k} )={4\pi q_{1}q_{2} \over \mathbf {k} ^{2}}-{4\pi q_{1}q_{2} \over m_{1}m_{2}c^{2}\mathbf {k} ^{2}}\mathbf {p} _{1}\cdot \left(\mathbf {1} -{\hat {\mathbf {k} }}{\hat {\mathbf {k} }}\right)\cdot \mathbf {p} _{2}}$

وذلك لتفاعلهما في فضاء k . وهذا الآن مطابق للنتيجة الكلاسيكية، ولا يوجد أي أثر للتأثيرات الكمومية المستخدمة في هذا الاشتقاق.

يمكن إجراء حساب مماثل عندما يقترن الفوتون بجسيمات ديراك ذات اللف المغزلي s = 1/2 ، ويُستخدم هذا الحساب لاشتقاق معادلة برايت . ويعطي هذا الحساب نفس تفاعل داروين، بالإضافة إلى حدود إضافية تتعلق بدرجات حرية اللف المغزلي وتعتمد على ثابت بلانك . ^{[ 4 ]}

• القوى الساكنة وتبادل الجسيمات الافتراضية
• معادلة بريت
• نظرية ويلر-فاينمان للامتصاص