صنف أفيني

في الهندسة الجبرية ، المجموعة الجبرية التآلفية هي مجموعة الأصفار المشتركة على حقل مغلق جبريًا k لبعض عائلات كثيرات الحدود في حلقة كثيرات الحدود. المتنوع التآلفي أو المتنوع الجبري التآلفي ، هو مجموعة جبرية تآلفية بحيث يكون المثال المثالي الناتج عن كثيرات الحدود المحددة أوليًا . ${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}].}$

تستخدم بعض النصوص مصطلح التنوع لأي مجموعة جبرية، والتنوع غير القابل للاختزال للمجموعة الجبرية التي يكون المثل الأعلى المحدد لها هو العدد الأولي (التنوع التآلفي بالمعنى المذكور أعلاه).

في بعض السياقات (انظر، على سبيل المثال، Nullstellensatz لهيلبرت )، من المفيد التمييز بين المجال k الذي تُؤخذ فيه المعاملات، والحقل المغلق جبريًا K (الذي يحتوي على k ) الذي تُؤخذ عليه الأصفار المشتركة (أي أن نقاط المجموعة الجبرية التآلفية تكون في K ⁿ ). في هذه الحالة، يُقال عن التنوع أنه مُعرف على k ، ويُقال عن نقاط التنوع التي تنتمي إلى k ⁿ أنها نسبية k أو نسبية على k . في الحالة المشتركة حيث يكون k هو مجال الأعداد الحقيقية ، تُسمى النقطة النسبية k نقطة حقيقية . ^[1] عندما لا يتم تحديد المجال k ، تكون النقطة النسبية هي نقطة نسبية على الأعداد النسبية . على سبيل المثال، تؤكد نظرية فيرما الأخيرة أن التنوع الجبري التآلفي (إنه منحنى) المُحدد بواسطة x ⁿ  +  y ⁿ  − 1 = 0 ليس له نقاط نسبية لأي عدد صحيح n أكبر من اثنين.

المجموعة الجبرية الأفينية هي مجموعة الحلول في مجال مغلق جبريًا k لنظام معادلات متعددة الحدود ذات معاملات في k . وبشكل أكثر دقة، إذا كانت متعددة الحدود ذات معاملات في k ، فإنها تحدد مجموعة جبرية أفينية ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}}$

${\displaystyle V(f_{1},\ldots ,f_{m})=\left\{(a_{1},\ldots ,a_{n})\in k^{n}\;\;f_{1}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\ldots =f_{m}(a_{1},\ldots ,a_{n})=0\right\}.}$

المتغير الجبري هو مجموعة جبرية أفينية لا تمثل اتحاد مجموعتين جبريتين أفينيتين صحيحتين. غالبًا ما يُقال إن مثل هذه المجموعة الجبرية الأفينية غير قابلة للاختزال .

إذا كانت X مجموعة جبرية أفينية، و I هي المثالية لجميع الحدوديات التي تساوي صفرًا على X ، فإن حلقة القسمة تسمى${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/I}$حلقة إحداثيات X.إذاXصنفًا أفينيًا، فإنIأولي، لذا فإن حلقة الإحداثيات هيمجال تكامليتُسمىعناصر حلقة الإحداثياتRبالدوال المنتظمةأوالدوال متعددة الحدودعلى الصنف. إنها تشكل حلقةالدوال المنتظمة على الصنف، أو ببساطةحلقةالصنف؛ بعبارة أخرى (انظر #حزمة البنية)، إنها مساحة المقاطع العالمية لحزمة البنيةلـ X.

إن بُعد التنوع هو عدد صحيح مرتبط بكل تنوع، وحتى بكل مجموعة جبرية، وتعتمد أهميته على العدد الكبير من التعريفات المكافئة له (انظر بُعد التنوع الجبري ).

• المكمل لسطح فائق في تنوع أفيني X (أي X \ { f = 0 } لبعض الحدوديات f ) هو أفيني. يتم الحصول على معادلاته المحددة عن طريق تشبع المثل الأعلى المحدد لـ X بواسطة f . وبالتالي فإن حلقة الإحداثيات هي التوطين . ${\displaystyle k[X][f^{-1}]}$
• على وجه الخصوص، (الخط الأفيني مع إزالة الأصل) هو أفيني.${\displaystyle \mathbb {C} -0}$
• من ناحية أخرى، (المستوى الأفيني مع إزالة الأصل) ليس تنوعًا أفينيًا؛ راجع نظرية توسع هارتوجس .${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}-0}$
• الأصناف الفرعية للبعد المشترك الأول في الفضاء الأفيني هي بالضبط الأسطح الفائقة، أي الأصناف التي يتم تحديدها بواسطة كثير حدود واحد.${\displaystyle k^{n}}$
• إن تطبيع الصنف الأفيني غير القابل للاختزال هو تطبيع؛ وحلقة إحداثيات التطبيع هي الإغلاق التكاملي لحلقة إحداثيات الصنف. (وبالمثل، فإن تطبيع الصنف الإسقاطي هو صنف إسقاطي.)

بالنسبة لمتغير أفيني على حقل مغلق جبريًا K ، وحقل فرعي k من K ، فإن النقطة النسبية k لـ V هي نقطة أي نقطة V إحداثياتها عناصر k . غالبًا ما يشار إلى مجموعة النقاط النسبية k لمتغير أفيني V غالبًا، إذا كان الحقل الأساسي هو الأعداد المركبة C ، فإن النقاط النسبية R (حيث R هي الأعداد الحقيقية ) تسمى نقاطًا حقيقية للمتغير، وغالبًا ما تسمى النقاط النسبية Q ( Q الأعداد النسبية ) ببساطة نقاط نسبية . ${\displaystyle V\subseteq K^{n}}$${\displaystyle p\in V\cap k^{n}.}$${\displaystyle V(k).}$

على سبيل المثال، (1، 0) هي نقطة نسبية Q ونقطة نسبية R من التنوع كما هي في V وجميع إحداثياتها أعداد صحيحة. النقطة ( √ 2 /2، √ 2 /2) هي نقطة حقيقية من V ليست نسبية Q ، وهي نقطة من V ليست نسبية R. تسمى هذه التنوعة دائرة ، لأن مجموعة نقاطها النسبية R هي دائرة الوحدة . لديها عدد لا نهائي من النقاط النسبية Q التي هي النقاط ${\displaystyle V=V(x^{2}+y^{2}-1)\subseteq \mathbf {C} ^{2},}$${\displaystyle (i,{\sqrt {2}})}$

${\displaystyle \left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)}$

حيث t هو عدد نسبي.

الدائرة هي مثال لمنحنى جبري من الدرجة الثانية ليس له نقطة نسبية Q. يمكن استنتاج ذلك من حقيقة أنه، وفقًا لـ modulo 4 ، لا يمكن أن يكون مجموع مربعين 3 . ${\displaystyle V(x^{2}+y^{2}-3)\subseteq \mathbf {C} ^{2}}$

يمكن إثبات أن المنحنى الجبري من الدرجة الثانية بنقطة نسبية Q له عدد لا نهائي من النقاط النسبية Q الأخرى ؛ كل نقطة من هذه النقاط هي نقطة التقاطع الثانية للمنحنى وخط ذو ميل نسبي يمر عبر النقطة النسبية.

الصنف المعقد لا يحتوي على نقاط نسبية R ، ولكنه يحتوي على العديد من النقاط المعقدة. ${\displaystyle V(x^{2}+y^{2}+1)\subseteq \mathbf {C} ^{2}}$

إذا كان V تنوعًا أفينيًا في C ² مُعرَّفًا على الأعداد المركبة C ، فيمكن رسم النقاط النسبية R لـ V على قطعة من الورق أو باستخدام برنامج رسم بياني. يوضح الشكل الموجود على اليمين النقاط النسبية R لـ${\displaystyle V(y^{2}-x^{3}+x^{2}+16x)\subseteq \mathbf {C} ^{2}.}$

ليكن V تنوعًا أفينيًا محددًا بواسطة كثيرات الحدود وليكن نقطة V.${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{r}\in k[x_{1},\dots ,x_{n}],}$${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})}$

مصفوفة جاكوبيان J _V ( a ) لـ V عند a هي مصفوفة المشتقات الجزئية

${\displaystyle {\frac {\partial f_{j}}{\partial {x_{i}}}}(a_{1},\dots ,a_{n}).}$

تكون النقطة أ منتظمة إذا كانت رتبة J _V ( أ ) تساوي البعد المشترك لـ V ، وتكون مفردة بخلاف ذلك.

إذا كانت a منتظمة، فإن الفضاء المماس لـ V عند a هو الفضاء الفرعي الأفيني لـ المحدد بواسطة المعادلات الخطية ^[2]${\displaystyle k^{n}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f_{j}}{\partial {x_{i}}}}(a_{1},\dots ,a_{n})(x_{i}-a_{i})=0,\quad j=1,\dots ,r.}$

إذا كانت النقطة مفردة، فإن الفضاء الفرعي التآلفي الذي تحدده هذه المعادلات يُطلق عليه أيضًا اسم الفضاء المماس من قبل بعض المؤلفين، بينما يقول مؤلفون آخرون أنه لا يوجد فضاء مماس عند نقطة مفردة. ^[3] يُعطى تعريف أكثر جوهرية، والذي لا يستخدم الإحداثيات بواسطة فضاء الظل لزاريسكي .

تشكل المجموعات الجبرية الأفينية k ⁿ المجموعات المغلقة لطوبولوجيا على k ⁿ ، والتي تسمى طوبولوجيا زاريسكي . وهذا يتبع من حقيقة أن و (في الواقع، فإن التقاطع القابل للعد للمجموعات الجبرية الأفينية هو مجموعة جبرية أفينية). ${\displaystyle V(0)=k^{n},}$ ${\displaystyle V(1)=\emptyset ,}$ ${\displaystyle V(S)\cup V(T)=V(ST),}$${\displaystyle V(S)\cap V(T)=V(S,T)}$

يمكن أيضًا وصف طوبولوجيا زاريسكي من خلال المجموعات المفتوحة الأساسية ، حيث تكون مجموعات زاريسكي المفتوحة اتحادات قابلة للعد لمجموعات من الشكل لـ هذه المجموعات المفتوحة الأساسية هي المكملات في k ⁿ للمجموعات المغلقة التي تحتوي على مواضع صفرية لحدودية واحدة. إذا كانت k نوثرية (على سبيل المثال، إذا كانت k مجالًا أو مجالًا مثاليًا رئيسيًا )، فإن كل مثالية لـ k يتم إنشاؤها بشكل منتهٍ، وبالتالي فإن كل مجموعة مفتوحة هي اتحاد منتهٍ للمجموعات المفتوحة الأساسية. ${\displaystyle U_{f}=\{p\in k^{n}:f(p)\neq 0\}}$${\displaystyle f\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}].}$${\displaystyle V(f)=D_{f}=\{p\in k^{n}:f(p)=0\},}$

إذا كانت V هي تنوع فرعي متآلف لـ k ^n، فإن طوبولوجيا Zariski على V هي ببساطة طوبولوجيا الفضاء الفرعي الموروثة من طوبولوجيا Zariski على k ⁿ .

يرتبط الهيكل الهندسي للتنوع الأفيني ارتباطًا عميقًا بالهيكل الجبري لحلقة إحداثياته. دع I و J تكونان مثاليتين لـ k[V] ، حلقة إحداثيات التنوع الأفيني V. دع I(V) تكون مجموعة كل الحدوديات في التي تختفي في V ، ودعها تشير إلى الجذر المثالي I ، مجموعة الحدوديات f التي يوجد فيها بعض قوى f في I. والسبب في ضرورة إغلاق الحقل الأساسي جبريًا هو أن التنوعات الأفينية تلبي تلقائيًا شرط هيلبرت الصفري : بالنسبة للمثالي J في حيث k هو حقل مغلق جبريًا،${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}],}$${\displaystyle {\sqrt {I}}}$${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}],}$${\displaystyle I(V(J))={\sqrt {J}}.}$

تتوافق المثل العليا الجذرية (المثل العليا التي تمثل الجذر الخاص بها) لـ k[V] مع مجموعات جبرية فرعية من V. في الواقع، بالنسبة للمثل العليا الجذرية I و J ، إذا وفقط إذا وبالتالي V(I)=V(J) إذا وفقط إذا I=J . علاوة على ذلك، فإن الدالة التي تأخذ مجموعة جبرية أفينية W وتعيد I(W) ، مجموعة جميع الدوال التي تتلاشى أيضًا عند جميع نقاط W ، هي معكوس الدالة التي تعين مجموعة جبرية لمثالية جذرية، بواسطة nullstellensatz. ومن ثم فإن المراسلات بين المجموعات الجبرية الأفينية والمثل العليا الجذرية هي مطابقة. يتم تقليل حلقة الإحداثيات لمجموعة جبرية أفينية (خالية من الإمكانات الصفرية)، حيث يكون المثال I في الحلقة R جذريًا إذا وفقط إذا تم تقليل حلقة الحاصل R/I . ${\displaystyle I\subseteq J}$${\displaystyle V(J)\subseteq V(I).}$

تتوافق المثل العليا الأولية لحلقة الإحداثيات مع الأصناف الفرعية التآلفية. يمكن كتابة المجموعة الجبرية التآلفية V(I) على أنها اتحاد لمجموعتين جبريتين أخريين إذا وفقط إذا كان I=JK للمثل العليا الصحيحة J و K لا تساوي I (في هذه الحالة ). تكون هذه هي الحالة إذا وفقط إذا لم يكن I أوليًا. الأصناف الفرعية التآلفية هي على وجه التحديد تلك التي تكون حلقة إحداثياتها مجالًا صحيحًا. وذلك لأن المثل يكون أوليًا إذا وفقط إذا كان حاصل قسمة الحلقة على المثل هو مجال صحيح. ${\displaystyle V(I)=V(J)\cup V(K)}$

تتوافق المثل العليا القصوى لـ k[V] مع نقاط V. إذا كانت I و J مثل عليا جذرية، فعندئذٍ إذا وفقط إذا بما أن المثل العليا القصوى جذرية، فإن المثل العليا القصوى تتوافق مع المجموعات الجبرية الدنيا (تلك التي لا تحتوي على مجموعات جبرية فرعية مناسبة)، وهي نقاط في V. إذا كانت V تنوعًا أفينيًا بحلقة إحداثيات، تصبح هذه المراسلات واضحة من خلال الخريطة حيث تشير إلى الصورة في جبر الحاصل R للحدودية تكون المجموعة الجزئية الجبرية نقطة إذا وفقط إذا كانت حلقة إحداثيات المجموعة الجزئية حقلًا، حيث أن حاصل قسمة حلقة على المثل الأعلى هو حقل. ${\displaystyle V(J)\subseteq V(I)}$${\displaystyle I\subseteq J.}$${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/\langle f_{1},\ldots ,f_{m}\rangle ,}$${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\mapsto \langle {\overline {x_{1}-a_{1}}},\ldots ,{\overline {x_{n}-a_{n}}}\rangle ,}$${\displaystyle {\overline {x_{i}-a_{i}}}}$${\displaystyle x_{i}-a_{i}.}$

يلخص الجدول التالي هذه المراسلات، للمجموعات الجبرية من التنوع الأفيني ومثاليات حلقة الإحداثيات المقابلة:

نوع المجموعة الجبرية	نوع من المثالي	نوع حلقة الإحداثيات
مجموعة جبرية أفينية	المثل الأعلى الجذري	حلقة مخفضة
صنف فرعي أفيني	المثالي الأول	المجال المتكامل
نقطة	الحد الأقصى المثالي	مجال

يمكن تعريف حاصل ضرب الأصناف الأفينية باستخدام التماثل A ⁿ  ×  A ^m  =  A ^{n + m} ، ثم تضمين الحاصل في هذا الفضاء الأفيني الجديد. دع A ⁿ و A ^m لهما حلقات إحداثيات k [ x ₁ ,...,  x _n ] و k [ y ₁ ,...,  y _m ] على التوالي، بحيث يكون حاصل ضربهما A ^{n + m} له حلقة إحداثيات k [ x ₁ ,...,  x _n ,  y ₁ ,...,  y _m ] . دع V  =  V (  f ₁ ,...,  f _N ) تكون مجموعة جبرية من A ⁿ ، و W  =  V (  g ₁ ,...,  g _M ) تكون مجموعة جبرية من A ^m . عندئذٍ تكون كل f _i كثيرة حدود في k [ x ₁ ,...,  x _n ] ، وكل g _j تكون في k [ y ₁ ,...,  y _m ] . يُعرَّف حاصل ضرب V وW بأنه المجموعة الجبرية V × W = V (  f  1  ,  ... ,  f _N ,  g ₁ ,  ... _, g  M ₎ في A n ^{+ m .} ويكون حاصل الضرب غير قابل للاختزال إذا كان كل من V و W غير قابل للاختزال. ^[4]

إن طوبولوجيا زاريسكي على A ⁿ  ×  A ^m  ليست حاصل الضرب الطوبولوجي لطوبولوجيا زاريسكي على الفضاءين. في الواقع، يتم إنشاء طوبولوجيا الضرب من خلال حاصل ضرب المجموعات المفتوحة الأساسية U _f  =  A ⁿ  −  V (  f  ) و T _g  =  A ^m  −  V (  g  ). وبالتالي، فإن الحدوديات الموجودة في k [ x ₁ ,...,  x _n ,  y ₁ ,...,  y _m ] ولكن لا يمكن الحصول عليها كحاصل ضرب حدودية في k [ x ₁ ,...,  x _n ] مع حدودية في k [ y ₁ ,...,  y _m ] ستحدد مجموعات جبرية موجودة في طوبولوجيا زاريسكي على A ⁿ  ×  A ^m  ، ولكن ليست في طوبولوجيا الضرب.

التشكل، أو الخريطة المنتظمة، للأصناف الأفينية هي دالة بين الأصناف الأفينية تكون متعددة الحدود في كل إحداثي: وبشكل أكثر دقة، بالنسبة للأصناف الأفينية V ⊆ k ⁿ و W ⊆ k ^m ، فإن التشكل من V إلى W هو خريطة φ  : V → W من الشكل φ ( a ₁ , ..., a _n ) = ( f ₁ ( a ₁ , ..., a _n ), ..., f _m ( a ₁ , ..., a _n ))، حيث f _i ∈ k [ X ₁ , ..., X _n ] لكل i = 1, ..., m . هذه هي التشكلات في فئة الأصناف الأفينية.

يوجد تطابق واحد لواحد بين تماثلات الأصناف الأفينية على حقل مغلق جبريًا k ، وتماثلات حلقات الإحداثيات للأصناف الأفينية على k التي تسير في الاتجاه المعاكس. وبسبب هذا، إلى جانب حقيقة وجود تطابق واحد لواحد بين الأصناف الأفينية على k وحلقات إحداثياتها، فإن فئة الأصناف الأفينية على k مزدوجة لفئة حلقات الإحداثيات للأصناف الأفينية على k . إن فئة حلقات الإحداثيات للأصناف الأفينية على k هي على وجه التحديد فئة الجبر المولد بشكل محدود والخالي من العدم على k .

بتعبير أدق، لكل تماثل φ  : V → W للأصناف الأفينية، يوجد تماثل φ ^#  : k [ W ] → k [ V ] بين حلقات الإحداثيات (تسير في الاتجاه المعاكس)، ولكل تماثل من هذا القبيل، يوجد تماثل للأصناف المرتبطة بحلقات الإحداثيات. يمكن إظهار ذلك صراحةً: دع V ⊆ k ⁿ و W ⊆ k ^m أصناف أفينية ذات حلقات إحداثيات k [ V ] = k [ X ₁ , ..., X _n ] / I و k [ W ] = k [ Y ₁ , ..., Y _m ] / J على التوالي. دع φ  : V → W يكون تماثلًا. في الواقع، فإن التماثل بين الحلقات متعددة الحدود θ  : k [ Y ₁ , ..., Y _m ] / J → k [ X ₁ , ..., X _n ] / I يمر بشكل فريد عبر الحلقة k [ X ₁ , ..., X _n ]، والتماثل ψ  : k [ Y ₁ , ..., Y _m ] / J → k [ X ₁ , ..., X _n ] يتم تحديده بشكل فريد من خلال صور Y ₁ , ..., Y _m . وبالتالي، فإن كل تماثل φ ^#  : k [ W ] → k [ V ] يتوافق بشكل فريد مع اختيار صورة لكل Y _i . ثم بالنظر إلى أي تماثل φ = ( f ₁ , ..., f _m ) من V إلى W ، يمكن إنشاء تماثل φ ^#  : k [ W ] → k [ V ] الذي يرسل Y _i إلى حيث تكون فئة التكافؤ لـ f _i في k [ V ]. ${\displaystyle {\overline {f_{i}}},}$${\displaystyle {\overline {f_{i}}}}$

وبالمثل، بالنسبة لكل تماثل لحلقات الإحداثيات، يمكن إنشاء تماثل للأصناف الأفينية في الاتجاه المعاكس. وانعكاسًا للفقرة أعلاه، يرسل التماثل φ ^#  : k [ W ] → k [ V ] Y _i إلى كثير حدود في k [ V ] . وهذا يتوافق مع تماثل الأصناف φ  : V → W المحدد بواسطة φ ( a ₁ , ..., a _n ) = ( f ₁ ( a ₁ , ..., a _n ), ..., f _m ( a ₁ , ..., a _n )). ${\displaystyle f_{i}(X_{1},\dots ,X_{n})}$

مجهز بحزمة البنية الموضحة أدناه، يعد الصنف الأفيني عبارة عن مساحة محاطة بحلقة محلية .

بالنظر إلى الصنف الأفيني X مع حلقة الإحداثيات A ، فإن حزمة الجبر k يتم تعريفها بالسماح بـ تكون حلقة الدوال المنتظمة على U.${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}$

دع D ( f ) = { x | f ( x ) ≠ 0} لكل f في A. وتشكلان قاعدة لطوبولوجيا X وبالتالي يتم تحديدها من خلال قيمها على المجموعات المفتوحة D ( f ). (انظر أيضًا: حزمة من الوحدات النمطية#حزمة مرتبطة بوحدة نمطية .) ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

الحقيقة الأساسية، التي تعتمد على مبدأ هيلبرت nullstellensatz بطريقة أساسية، هي ما يلي:

الدليل: ^[5] إن التضمين ⊃ واضح. وبالنسبة للعكس، دع g يكون في الطرف الأيسر و ، وهو مثالي. إذا كان x في D ( f )، إذن، بما أن g منتظم بالقرب من x ، فهناك جوار أفيني مفتوح D ( h ) لـ x بحيث ؛ أي أن h ^m g في A وبالتالي فإن x ليس في V ( J ). بعبارة أخرى، وبالتالي فإن Hilbert nullstellensatz يعني أن f في الجذر التربيعي لـ J ؛ أي، .${\displaystyle J=\{h\in A|hg\in A\}}$${\displaystyle g\in k[D(h)]=A[h^{-1}]}$ ${\displaystyle V(J)\subset \{x|f(x)=0\}}$${\displaystyle f^{n}g\in A}$${\displaystyle \square }$

يتضمن الادعاء، أولاً وقبل كل شيء، أن X هي مساحة "محاطة محليًا" نظرًا لأن

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}=\varinjlim _{f(x)\neq 0}A[f^{-1}]=A_{{\mathfrak {m}}_{x}}}$

حيث . ثانيًا، يشير الادعاء إلى أن حزمة؛ في الواقع، يقول إنه إذا كانت الدالة منتظمة (نقطة بنقطة) على D ( f )، فيجب أن تكون في حلقة إحداثيات D ( f )؛ أي أنه يمكن تجميع "الانتظام" معًا. ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}=\{f\in A|f(x)=0\}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

ومن ثم، فهي مساحة محاطة بحلقة محلية. ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$

تعطي نظرية سيري توصيفًا متجانسًا للتنوع التآلفي؛ حيث تقول إن التنوع الجبري يكون متجانسًا إذا وفقط إذا كان لأي حزمة شبه متماسكة F على X. (راجع نظرية كارتان B ). وهذا يجعل الدراسة المتجانسة للتنوع التآلفي غير موجودة، في تناقض حاد مع الحالة الإسقاطية حيث تكون مجموعات التجانس لحزم الخطوط ذات أهمية مركزية. ${\displaystyle H^{i}(X,F)=0}$${\displaystyle i>0}$

تُسمى المجموعة الأفينية G على حقل مغلق جبريًا k مجموعة جبرية أفينية إذا كان لديها:

• عملية الضرب μ :  G  ×  G  →  G ، وهي تماثل منتظم يتبع بديهية الترابطية - أي، بحيث μ ( μ ( f ,  g ),  h ) =  μ ( f ,  μ ( g ,  h )) لجميع النقاط f , g و h في G ؛
• عنصر هوية e بحيث μ ( e ,  g ) =  μ ( g ,  e ) =  g لكل g في G ؛
• شكل معكوس ، اقتران منتظم ι :  G  →  G بحيث μ ( ι ( g ) ,  g ) =  μ ( g ,  ι ( g )) =  e لكل g في G .

معًا، تحدد هذه بنية المجموعة على الصنف. غالبًا ما تُكتب التشكلات أعلاه باستخدام تدوين المجموعة العادي: يمكن كتابة μ ( f ،  g ) على هيئة f  +  g أو f ⋅ g أو fg ؛ ويمكن كتابة العكس ι ( g ) على هيئة − g أو g ⁻¹ . باستخدام التدوين المضاعف، يمكن إعادة كتابة قوانين الترابط والهوية والعكس على هيئة: f ( gh ) = ( fg ) h و ge  =  eg  =  g و gg ⁻¹  =  g ⁻¹ g  =  e .

أبرز مثال على المجموعة الجبرية التآلفية هو GL _n ( k )، المجموعة الخطية العامة من الدرجة n . هذه هي مجموعة التحويلات الخطية لمساحة المتجه k ⁿ ؛ إذا كان أساس k ⁿ ثابتًا ، فإن هذا يعادل مجموعة n × n من المصفوفات القابلة للعكس مع الإدخالات في k . يمكن إظهار أن أي مجموعة جبرية تآلفية متماثلة لمجموعة فرعية من GL _n ( k ) . لهذا السبب، غالبًا ما تسمى المجموعات الجبرية التآلفية مجموعات جبرية خطية .

تلعب المجموعات الجبرية الأفينية دورًا مهمًا في تصنيف المجموعات البسيطة المنتهية ، حيث أن مجموعات نوع لي هي جميع مجموعات النقاط النسبية F _q لمجموعة جبرية أفينية، حيث F _q هو مجال منتهٍ.

• إذا كان المؤلف يتطلب أن يكون الحقل الأساسي للتنوع الأفيني مغلقًا جبريًا (كما تفعل هذه المقالة)، فإن المجموعات الجبرية الأفينية غير القابلة للاختزال على الحقول غير المغلقة جبريًا هي تعميم للتنوعات الأفينية. يتضمن هذا التعميم بشكل خاص التنوعات الأفينية على الأعداد الحقيقية .

• يلعب التنوع الأفيني دور المخطط المحلي للتنوعات الجبرية ؛ أي أن التنوعات الجبرية العامة مثل التنوعات الإسقاطية يتم الحصول عليها عن طريق لصق التنوعات الأفينية. الهياكل الخطية المرتبطة بالتنوعات هي أيضًا (بشكل تافه) تنوعات أفينية؛ على سبيل المثال، المساحات المماسية، وألياف حزم المتجهات الجبرية .

• الصنف الأفيني هو حالة خاصة من المخطط الأفيني ، وهو مساحة محاطة بحلقة محلية متماثلة مع طيف حلقة تبديلية (حتى تكافؤ الفئات ). كل صنف أفيني له مخطط أفيني مرتبط به: إذا كان V(I) صنفًا أفينيًا في k ⁿ مع حلقة إحداثية R = k [ x ₁ , ..., x _n ] / I ، فإن المخطط المقابل لـ V(I) هو Spec( R )، مجموعة المثل الأولية لـ R. يحتوي المخطط الأفيني على "نقاط كلاسيكية"، والتي تتوافق مع نقاط الصنف (ومن ثم المثل العليا لحلقة إحداثيات الصنف)، وأيضًا نقطة لكل صنف فرعي مغلق من الصنف (تتوافق هذه النقاط مع المثل الأولية غير القصوى لحلقة الإحداثيات). وهذا يخلق مفهومًا أكثر تحديدًا لـ "النقطة العامة" للصنف الأفيني، عن طريق تعيين نقطة مفتوحة كثيفة في الصنف الفرعي لكل صنف فرعي مغلق. بشكل عام، يكون المخطط الأفيني تنوعًا أفينيًا إذا كان مختزلًا ، وغير قابل للاختزال ، ومن النوع المحدود على حقل مغلق جبريًا k .

• التنوع الجبري
• مخطط أفيني
• تمثيلات على حلقات الإحداثيات

تمت كتابة المقال الأصلي كترجمة بشرية جزئية للمقالة الفرنسية المقابلة.

• هارتشورن، روبن (1977)، الهندسة الجبرية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد 52، نيويورك: سبرينغر فيرلاغ، رقم ISBN 978-0-387-90244-9، السيد  0463157
• فولتون، ويليام (1969). المنحنيات الجبرية (PDF) . أديسون ويسلي. ISBN 0-201-510103.
• ميلن، جيمس س. (2017). "الهندسة الجبرية" (PDF) . www.jmilne.org . تم الاسترجاع في 16 يوليو 2021 .
• ميلن، جيمس س. محاضرات عن علم التجانس في Étale
• مومفورد، ديفيد (1999). الكتاب الأحمر للأصناف والمخططات: يتضمن محاضرات ميشيغان (1974) حول المنحنيات ومخططاتها الجاكوبية . مذكرات محاضرات في الرياضيات. المجلد 1358 (الطبعة الثانية). دار سبرينغر للنشر . doi :10.1007/b62130. ISBN 354063293X.
• ريد، مايلز (1988). الهندسة الجبرية الجامعية . مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 0-521-35662-8.