Branched covering

The set of exceptional points on ${\displaystyle W}$ is called the ramification locus (i.e. this is the complement of the largest possible open set ${\displaystyle W'}$). In general monodromy occurs according to the fundamental group of ${\displaystyle W'}$ acting on the sheets of the covering (this topological picture can be made precise also in the case of a general base field).

Branched coverings are easily constructed as Kummer extensions, i.e. as algebraic extension of the function field. The hyperelliptic curves are prototypic examples.

An unramified covering then is the occurrence of an empty ramification locus.

Morphisms of curves provide many examples of ramified coverings. For example, let C be the elliptic curve of equation

${\displaystyle y^{2}-x(x-1)(x-2)=0.}$

إسقاط C على المحور x هو غطاء متفرع ذو موضع تفرع معطى بواسطة

${\displaystyle x(x-1)(x-2)=0.}$

وذلك لأن الألياف هي النقطة المزدوجة بالنسبة لهذه القيم الثلاث لـ x${\displaystyle y^{2}=0,}$بينما بالنسبة لأي قيمة أخرى لـ x ، يتكون الليف من نقطتين متميزتين (على حقل مغلق جبريًا ).

يُنتج هذا الإسقاط امتدادًا جبريًا من الدرجة الثانية لحقول الدوال : كذلك، إذا أخذنا حقول الكسور للحلقات التبديلية الأساسية، فسنحصل على التشكل

${\displaystyle \mathbb {C} (x)\to \mathbb {C} (x)[y]/(y^{2}-x(x-1)(x-2))}$

وبالتالي، فإن هذا الإسقاط عبارة عن غطاء متفرع من الدرجة الثانية. ويمكن تجانسه لإنشاء غطاء متفرع من الدرجة الثانية للمنحنى الإهليلجي الإسقاطي المقابل للخط الإسقاطي.

يمكن تعميم المثال السابق على أي منحنى جبري مستوٍ على النحو التالي. ليكن C منحنىً مستويًا مُعرَّفًا بالمعادلة f ( x , y ) = 0 ، حيث f دالة متعددة الحدود قابلة للفصل وغير قابلة للاختزال في متغيرين. إذا كانت n هي درجة f في y ، فإن الليف يتكون من n نقطة متميزة، باستثناء عدد محدود من قيم x . وبالتالي، فإن هذا الإسقاط هو غطاء متفرع من الدرجة n .

القيم الاستثنائية لـ x هي جذور معامل${\displaystyle y^{n}}$في f ، وجذور مميز f بالنسبة إلى y .

فوق جذر r للمميز، توجد على الأقل نقطة متفرعة، وهي إما نقطة حرجة أو نقطة شاذة . إذا كان r أيضًا جذرًا لمعامل${\displaystyle y^{n}}$في f ، فإن هذه النقطة المتفرعة تكون " عند اللانهاية ".

على جذر s لمعامل${\displaystyle y^{n}}$في f ، يمتلك المنحنى C فرعًا لانهائيًا، ويحتوي الليف عند s على أقل من n نقطة. مع ذلك، إذا مددنا الإسقاط إلى الإكمالات الإسقاطية لـ C والمحور x ، وإذا لم يكن s جذرًا للمميز، يصبح الإسقاط غطاءً على جوار s .

يمكن أيضًا ملاحظة أن هذا الإسقاط عبارة عن غطاء متفرع من الدرجة n من خلال النظر في حقول الدوال . في الواقع، يتوافق هذا الإسقاط مع امتداد الحقل من الدرجة n

${\displaystyle \mathbb {C} (x)\to \mathbb {C} (x)[y]/f(x,y).}$

يمكننا أيضًا تعميم التغطيات المتفرعة للخط بدرجات تفرع متفاوتة. لنفترض متعددة حدود من الشكل التالي:

${\displaystyle f(x,y)=g(x)}$

بينما نختار نقاطًا مختلفة${\displaystyle x=\alpha }$الألياف التي يُحددها موضع التلاشي لـ${\displaystyle f(\alpha ,y)-g(\alpha )}$تختلف. عند أي نقطة يكون فيها تعدد أحد الحدود الخطية في تحليل${\displaystyle f(\alpha ,y)-g(\alpha )}$إذا زاد بمقدار واحد، فهناك تبعات.

تُقدّم التشكلات المنحنية العديد من الأمثلة على التغطيات المتفرعة للمخططات. على سبيل المثال، التشكل من منحنى إهليلجي أفيني إلى خط مستقيم

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\mathbb {C} [x,y]}/{(y^{2}-x(x-1)(x-2)}\right)\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x])}$

هو غطاء متفرع مع موضع تفرع معطى بواسطة

${\displaystyle X={\text{Spec}}\left({\mathbb {C} [x]}/{(x(x-1)(x-2))}\right)}$

وذلك لأنه في أي نقطة من${\displaystyle X}$في${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$الألياف هي المخطط

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\mathbb {C} [y]}/{(y^{2})}\right)}$

كذلك، إذا أخذنا حقول الكسور للحلقات التبديلية الأساسية، فسنحصل على تشاكل الحقول

${\displaystyle \mathbb {C} (x)\to {\mathbb {C} (x)[y]}/{(y^{2}-x(x-1)(x-2))},}$

وهو امتداد جبري من الدرجة الثانية؛ ومن ثم حصلنا على غطاء متفرع من الدرجة الثانية لمنحنى إهليلجي إلى الخط الأفيني. ويمكن تجانس هذا لإنشاء تشاكل لمنحنى إهليلجي إسقاطي إلى${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$.

يوفر المنحنى الزائد الإهليلجي تعميمًا للدرجة المذكورة أعلاه${\displaystyle 2}$غطاء الخط الأفيني، من خلال النظر في المخطط الأفيني المعرف على${\displaystyle \mathbb {C} }$بواسطة متعددة حدود من الشكل

${\displaystyle y^{2}-\prod (x-a_{i})}$أين${\displaystyle a_{i}\neq a_{j}}$ل${\displaystyle i\neq j}$

يمكننا تعميم المثال السابق بأخذ التشكل

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f(y)-g(x))}}\right)\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x])}$

أين${\displaystyle g(x)}$ليس لها جذور متكررة. عندئذٍ، يُعطى موضع التفرع بالصيغة التالية:

${\displaystyle X={\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x]}{(f(x))}}\right)}$

حيث تُعطى الألياف بواسطة

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [y]}{(f(y))}}\right)}$

ثم نحصل على تشاكل مستحث لحقول الكسور

${\displaystyle \mathbb {C} (x)\to {\frac {\mathbb {C} (x)[y]}{(f(y)-g(x))}}}$

هناك${\displaystyle \mathbb {C} (x)}$تماثل الوحدة النمطية للهدف مع

${\displaystyle \mathbb {C} (x)\oplus \mathbb {C} (x)\cdot y\oplus \cdots \oplus \mathbb {C} (x)\cdot y^{{\text{deg}}(f(y))}}$

وبالتالي فإن الغطاء من الدرجة${\displaystyle {\text{deg}}(f)}$.

تُعد المنحنيات فوق الإهليلجية تعميمًا للمنحنيات فوق الإهليلجية وتخصيصًا لمجموعة الأمثلة السابقة نظرًا لأنها تُعطى بواسطة مخططات أفينية.${\displaystyle X/\mathbb {C} }$من كثيرات الحدود من الشكل

${\displaystyle y^{k}-f(x)}$أين${\displaystyle k>2}$و${\displaystyle f(x)}$ليس له جذور متكررة.

هناك فئة أخرى مفيدة من الأمثلة تأتي من الأغطية المتفرعة للفضاء الإسقاطي. بالنظر إلى متعددة حدود متجانسة${\displaystyle f\in \mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}$يمكننا بناء غطاء متفرع من${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$مع موضع التفرع

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}{f(x)}}\right)}$

من خلال النظر في تشاكل المخططات الإسقاطية

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}][y]}{y^{{\text{deg}}(f)}-f(x)}}\right)\to \mathbb {P} ^{n}}$

مرة أخرى، سيكون هذا تغطية لدرجة${\displaystyle {\text{deg}}(f)}$.