سلسلة فرعية

في الرياضيات ، وتحديدًا نظرية المجموعات ، سلسلة المجموعات الفرعية للمجموعة هي سلسلة من المجموعات الفرعية : ${\displaystyle G}$

${\displaystyle 1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq A_{n}=G}$

أين المجموعة الفرعية التافهة . يمكن لسلسلة المجموعات الفرعية تبسيط دراسة المجموعة إلى دراسة المجموعات الفرعية الأكثر بساطة وعلاقاتها، ويمكن تعريف العديد من سلاسل المجموعات الفرعية بشكل ثابت وهي ثوابت مهمة للمجموعات. تُستخدم سلسلة المجموعات الفرعية في طريقة المجموعات الفرعية . ${\displaystyle 1}$

تشكل السلاسل الفرعية مثالاً خاصًا لاستخدام الترشيحات في الجبر المجرد .

السلسلة الفرعية الطبيعية (وتسمى أيضًا السلسلة الطبيعية ، أو البرج الطبيعي ، أو السلسلة الفرعية الثابتة ، أو مجرد سلسلة ) للمجموعة G هي تسلسل من المجموعات الفرعية ، كل منها مجموعة فرعية طبيعية للمجموعة التالية. في التدوين القياسي

${\displaystyle 1=A_{0}\triangleleft A_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft A_{n}=G.}$

لا يوجد شرط بأن تكون A _i مجموعة فرعية طبيعية لـ G ، فقط مجموعة فرعية طبيعية لـ A _{i  +1} . تسمى مجموعات الحاصل A _{i  +1} / A _i مجموعات العوامل للسلسلة.

إذا كان كل A _i طبيعيًا في G بالإضافة إلى ذلك ، فإن السلسلة تسمى سلسلة طبيعية ، عندما لا يُستخدم هذا المصطلح للمعنى الأضعف، أو سلسلة ثابتة .

تُسمى السلسلة التي تحتوي على الخاصية الإضافية التي مفادها أن A _i ≠ A _{i  +1} لجميع i سلسلة بدون تكرار ؛ وعلى نحو مكافئ، فإن كل A _i هي مجموعة فرعية حقيقية من A _{i  +1} . طول السلسلة هو عدد التضمينات الصارمة A _i < A _{i  +1} . إذا لم يكن للسلسلة أي تكرار، فإن طولها يكون n .

بالنسبة لسلسلة دون الطبيعية، يكون الطول هو عدد مجموعات العوامل غير التافهة . تحتوي كل مجموعة غير تافهة على سلسلة طبيعية بطول 1، أي ، وأي مجموعة فرعية طبيعية غير تافهة تعطي سلسلة طبيعية بطول 2. بالنسبة للمجموعات البسيطة ، فإن السلسلة التافهة بطول 1 هي أطول سلسلة دون طبيعية ممكنة. ${\displaystyle 1\triangleleft G}$

يمكن تدوين السلسلة بترتيب تصاعدي:

${\displaystyle 1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq A_{n}=G}$

أو ترتيب تنازلي:

${\displaystyle G=B_{0}\geq B_{1}\geq \cdots \geq B_{n}=1.}$

بالنسبة لسلسلة محدودة معينة، لا يوجد تمييز بين "سلسلة تصاعدية" أو "سلسلة تنازلية" خارج التدوين. ومع ذلك، بالنسبة للسلسلة اللانهائية ، هناك تمييز: السلسلة التصاعدية

${\displaystyle 1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq G}$

يحتوي على أصغر حد، وثاني أصغر حد، وما إلى ذلك، ولكن لا يوجد أكبر حد صحيح، ولا يوجد ثاني أكبر حد، وما إلى ذلك، بينما على العكس من ذلك، فإن السلسلة الهابطة

${\displaystyle G=B_{0}\geq B_{1}\geq \cdots \geq 1}$

له أكبر مصطلح، ولكن لا يوجد له أصغر مصطلح صحيح.

علاوة على ذلك، إذا أعطينا صيغة متكررة لإنتاج سلسلة، فإن المصطلحات الناتجة تكون إما تصاعدية أو تنازلية، ونسمي السلسلة الناتجة سلسلة تصاعدية أو تنازلية على التوالي. على سبيل المثال، السلسلة المشتقة والسلسلة المركزية السفلية عبارة عن سلسلة تنازلية، بينما السلسلة المركزية العلوية عبارة عن سلسلة تصاعدية.

المجموعة التي تلبي شرط السلسلة الصاعدة (ACC) في المجموعات الفرعية تسمى مجموعة نوثرية ، والمجموعة التي تلبي شرط السلسلة الهابطة (DCC) تسمى مجموعة أرتينية (لا ينبغي الخلط بينها وبين مجموعات أرتين )، قياسًا على حلقات نوثرية وحلقات أرتينية . شرط السلسلة الصاعدة يعادل الشرط الأقصى : كل مجموعة غير فارغة من المجموعات الفرعية لها عضو أقصى، وشرط السلسلة الهابطة يعادل الشرط الأدنى التناظري .

يمكن أن تكون المجموعة نوثرية ولكنها ليست أرتينية، مثل المجموعة الدائرية اللانهائية ، وعلى عكس الحلقات ، يمكن أن تكون المجموعة أرتينية ولكنها ليست نوثرية، مثل مجموعة بروفر . من الواضح أن كل مجموعة منتهية هي نوثرية وأرتينية.

الصور المتماثلة والمجموعات الفرعية للمجموعات النوثيرية هي مجموعات نوثيرية، والامتداد لمجموعة نوثيرية بواسطة مجموعة نوثيرية هو نوثيري. وتنطبق النتائج المماثلة على المجموعات الأرتينية.

المجموعات النويثرية هي تلك التي تكون فيها كل مجموعة فرعية متولدة بشكل نهائي ، وهو ما يكون أقوى من أن المجموعة نفسها متولدة بشكل نهائي: المجموعة الحرة على 2 أو أكثر من المولدات يتم إنشاؤها بشكل نهائي، ولكنها تحتوي على مجموعات حرة من رتبة لا نهائية.

لا يلزم أن تكون المجموعات النوثرية امتدادات محدودة للمجموعات متعددة الحلقات . ^[1]

يمكن أيضًا تعريف سلسلة المجموعات الفرعية اللانهائية وظهورها بشكل طبيعي، وفي هذه الحالة تصبح مجموعة الفهرسة المحددة ( المرتبة تمامًا ) مهمة، وهناك تمييز بين السلاسل الصاعدة والهابطة. يمكن ببساطة تسمية السلسلة الصاعدة حيث يتم فهرستها بالأعداد الطبيعية بسلسلة تصاعدية لا نهائية ، والعكس صحيح بالنسبة للسلسلة التنازلية اللانهائية . إذا تم فهرسة المجموعات الفرعية بشكل عام بالأعداد الترتيبية ، نحصل على سلسلة غير منتهية ، ^[2] مثل هذه السلسلة الصاعدة: ${\displaystyle 1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq G}$${\displaystyle A_{i}}$

${\displaystyle 1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq A_{\omega }\leq A_{\omega +1}=G}$

بالنظر إلى صيغة تكرارية لإنتاج سلسلة، يمكن للمرء تعريف سلسلة ما بعد النهاية عن طريق التكرار ما بعد النهاية عن طريق تعريف السلسلة عند الترتيبات الحدية بواسطة (للسلسلة الصاعدة) أو (للسلسلة الهابطة). الأمثلة الأساسية لهذا البناء هي السلسلة المركزية السفلية ما بعد النهاية والسلسلة المركزية العليا . ${\displaystyle A_{\lambda }:=\bigcup _{\alpha <\lambda }A_{\alpha }}$${\displaystyle A_{\lambda }:=\bigcap _{\alpha <\lambda }A_{\alpha }}$

نادرًا ما تنشأ مجموعات مرتبة تمامًا أخرى، إن وجدت، كمجموعات فهرسة لسلاسل المجموعات الفرعية. ^{[ بحاجة لمصدر ]} على سبيل المثال، يمكننا تعريف سلاسل المجموعات الفرعية ثنائية اللانهائية التي تحدث بشكل طبيعي (سلاسل مفهرسة بالأعداد الصحيحة )، ولكن نادرًا ما نرى ذلك:

${\displaystyle 1\leq \cdots \leq A_{-1}\leq A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq G}$

إن تحسين السلسلة هو سلسلة أخرى تحتوي على كل حد من حدود السلسلة الأصلية. يقال إن السلسلتين دون الطبيعية متكافئتان أو متماثلتان إذا كان هناك تطابق بين مجموعات مجموعات العوامل الخاصة بهما بحيث تكون مجموعات العوامل المقابلة متماثلة . يعطي التحسين ترتيبًا جزئيًا على السلسلة، حتى التكافؤ، وتشكلان شبكة ، بينما تشكل السلاسل دون الطبيعية والسلاسل الطبيعية شبكات فرعية. إن وجود الحد الأعلى لسلسلتين دون الطبيعية هو نظرية تحسين شراير . ومن الأمور ذات الأهمية الخاصة السلاسل القصوى بدون تكرار.

• سلسلة التركيب هي سلسلة فرعية قصوى .

على نحو مكافئ، سلسلة دون طبيعية حيث يكون كل من A _i عبارة عن مجموعة فرعية طبيعية قصوى لـ A _{i  +1} . وعلى نحو مكافئ، فإن سلسلة التركيب هي سلسلة دون طبيعية حيث تكون كل من مجموعات العوامل بسيطة .

• السلسلة الرئيسية هي سلسلة طبيعية قصوى .

• المجموعة القابلة للحل ، أو المجموعة القابلة للذوبان، هي مجموعة تحتوي على سلسلة دون الطبيعية حيث تكون مجموعات عواملها كلها أبيلية .
• السلسلة المعدومة القدرة هي سلسلة دون الطبيعية حيث تكون الحصص المتعاقبة معدومة القدرة .

توجد سلسلة لا نهائية إذا وفقط إذا كانت المجموعة قابلة للحل .

• السلسلة المركزية هي سلسلة دون الطبيعية بحيث تكون الحصص المتعاقبة مركزية ، أي بالنظر إلى السلسلة أعلاه، لـ .${\displaystyle A_{i+1}/A_{i}\subseteq Z(G/A_{i})}$${\displaystyle i=0,1,\ldots ,n-2}$

توجد سلسلة مركزية إذا وفقط إذا كانت المجموعة عديمة القدرة .

يتم تعريف بعض سلاسل المجموعات الفرعية وظيفيًا ، من حيث المجموعات الفرعية مثل المركز والعمليات مثل المبدل. وتشمل هذه:

• السلسلة المركزية السفلى
• السلسلة المركزية العليا
• سلسلة مشتقة
• سلسلة التركيبات السفلية
• سلسلة التركيبات العلوية

هناك سلاسل قادمة من مجموعات فرعية من رتبة القوة الأولية أو مؤشر القوة الأولية، مرتبطة بأفكار مثل مجموعات سيلاو الفرعية .

• سلسلة p السفلى
• سلسلة p العلوية