دالة غاما غير مكتملة

📅 آخر تحديث: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 116 صور
الموسوعة الحرة

دالة جاما غير الكاملة العليا لبعض قيم s: 0 (أزرق)، 1 (أحمر)، 2 (أخضر)، 3 (برتقالي)، 4 (بنفسجي).
رسم بياني لدالة غاما غير الكاملة المنتظمة Q(2,z) في المستوى المركب من -2-2i إلى 2+2i، مع ألوان تم إنشاؤها باستخدام دالة ComplexPlot3D في برنامج Mathematica 13.1
رسم بياني لدالة غاما غير الكاملة المنتظمة Q(2,z) في المستوى المركب من -2-2i إلى 2+2i، مع ألوان تم إنشاؤها باستخدام دالة ComplexPlot3D في برنامج Mathematica 13.1

في الرياضيات ، تعتبر دوال غاما غير الكاملة العليا والسفلى من أنواع الدوال الخاصة التي تظهر كحلول لمسائل رياضية مختلفة مثل بعض التكاملات .

تُستمد أسماء هذه الدوال من تعريفاتها التكاملية، والتي تُعرَّف بشكل مشابه لدالة غاما، ولكن بحدود تكاملية مختلفة أو "غير مكتملة". تُعرَّف دالة غاما بأنها تكامل من الصفر إلى اللانهاية. وهذا يختلف عن دالة غاما غير المكتملة السفلى، التي تُعرَّف بأنها تكامل من الصفر إلى حد أعلى متغير. وبالمثل، تُعرَّف دالة غاما غير المكتملة العليا بأنها تكامل من حد أدنى متغير إلى اللانهاية.

تعريف

تُعرَّف دالة غاما غير الكاملة العليا على النحو التالي: Γ(s،x)=∫x∞تs-1هـ-تدت،{\displaystyle \Gamma (s,x)=\int _{x}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,dt,} بينما تُعرَّف دالة غاما غير الكاملة الدنيا على النحو التالي: γ(s،x)=∫0xتs-1هـ-تدت.{\displaystyle \gamma (s,x)=\int _{0}^{x}t^{s-1}\,e^{-t}\,dt.} في كلتا الحالتين، يكون s عبارة عن معلمة مركبة، بحيث يكون الجزء الحقيقي من s موجبًا.

ملكيات

من خلال التكامل بالتجزئة نجد العلاقات التكراريةΓ(s+1،x)=sΓ(s،x)+xsهـ-x{\displaystyle \Gamma (s+1,x)=s\Gamma (s,x)+x^{s}e^{-x}} و γ(s+1،x)=sγ(s،x)-xsهـ-x.{\displaystyle \gamma (s+1,x)=s\gamma (s,x)-x^{s}e^{-x}.} بما أن دالة غاما العادية تُعرَّف على النحو التالي Γ(s)=∫0∞تs-1هـ-تدت{\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,dt} لدينا Γ(s)=Γ(s،0)=ليمx→∞γ(s،x){\displaystyle \Gamma (s)=\Gamma (s,0)=\lim _{x\to \infty }\gamma (s,x)} و γ(s،x)+Γ(s،x)=Γ(s).{\displaystyle \gamma (s,x)+\Gamma (s,x)=\Gamma (s).}

استمرارًا للقيم المعقدة

يمكن تطوير دالة غاما غير الكاملة السفلى ودالة غاما غير الكاملة العليا، كما تم تعريفهما أعلاه للأعداد الحقيقية الموجبة s و x ، إلى دوال تحليلية ، بالنسبة لكل من x و s ، معرفة لجميع تركيبات x و s المركبة تقريبًا . [ 1 ] يوضح التحليل المركب كيف تمتد خصائص دوال غاما غير الكاملة الحقيقية إلى نظائرها التحليلية.

وظيفة جاما غير المكتملة المنخفضة

التمديد الهولومورفي

يؤدي التطبيق المتكرر لعلاقة التكرار لدالة جاما غير الكاملة السفلى إلى توسيع سلسلة القوى : [ 2 ]γ(s،x)=∑ك=0∞xsهـ-xxكs(s+1)⋯(s+ك)=xsΓ(s)هـ-x∑ك=0∞xكΓ(s+ك+1).{\displaystyle \gamma (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{s}e^{-x}x^{k}}{s(s+1)\cdots (s+k)}}=x^{s}\,\Gamma (s)\,e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{\Gamma (s+k+1)}}.} بالنظر إلى النمو السريع في القيمة المطلقة لـ Γ( z + k ) عندما k → ∞ ، وحقيقة أن مقلوب Γ( z ) دالة تامة ، فإن معاملات المجموع الأيمن محددة جيدًا، ويتقارب المجموع محليًا بانتظام لجميع قيم s و x المركبة . وبحسب نظرية فايرشتراس [ 3 ]، فإن الدالة الحدية، والتي يُشار إليها أحيانًا بـγ*{\displaystyle \gamma ^{*}}, [ 4 ]γ*(s،z):=هـ-z∑ك=0∞zكΓ(s+ك+1){\displaystyle \gamma ^{*}(s,z):=e^{-z}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (s+k+1)}}} كاملة بالنسبة لكل من z (لـ s ثابتة ) و s (لـ z ثابتة )، [ 1 ] وبالتالي، فهي تحليلية على C × C وفقًا لنظرية هارتوغز . [ 5 ] ومن ثم، فإن التفكيك التالي [ 1 ]γ(s،z)=zsΓ(s)γ*(s،z)،{\displaystyle \gamma (s,z)=z^{s}\,\Gamma (s)\,\gamma ^{*}(s,z),} يمدد هذا المفهوم دالة غاما الحقيقية غير الكاملة السفلى كدالة تحليلية ، سواء بشكل مشترك أو منفصل في z و s . وينتج ذلك من خصائصzs{\displaystyle z^{s}}ودالة غاما ، التي يجسد العاملان الأولان فيها حالات التفرد لـγ(s،z){\displaystyle \gamma (s,z)}(عند z = 0 أو s عدد صحيح غير موجب)، بينما يساهم العامل الأخير في أصفاره.

تعدد القيم

يُحدد اللوغاريتم المركب log z = log | z | + i arg z حتى مضاعفات 2πi فقط، مما يجعله متعدد القيم . وترث الدوال التي تتضمن اللوغاريتم المركب هذه الخاصية عادةً. ومن بين هذه الدوال دالة الأس المركب ، ودالة غاما أيضًا ، نظرًا لظهور z s في تحليلها .

يُسبب عدم تحديد الدوال متعددة القيم تعقيدات، إذ يجب تحديد كيفية اختيار قيمة معينة. ومن الاستراتيجيات المُتبعة للتعامل مع هذه المشكلة ما يلي:

  • (الطريقة الأكثر عمومية) استبدال المجال C للدوال متعددة القيم بمتشعب مناسب في C × C يُسمى سطح ريمان . في حين أن هذا يزيل تعدد القيم، إلا أنه يجب معرفة النظرية الكامنة وراءه؛ [ 6 ]
  • تقييد المجال بحيث تتحلل الدالة متعددة القيم إلى فروع منفصلة أحادية القيمة ، والتي يمكن التعامل معها بشكل فردي.

يمكن استخدام مجموعة القواعد التالية لتفسير الصيغ الواردة في هذا القسم بشكل صحيح. ما لم يُذكر خلاف ذلك، يُفترض ما يلي:

القطاعات

تُعدّ القطاعات في المستوى C التي يكون رأسها عند z = 0 مجالات مناسبة للتعبيرات المركبة. يتكون القطاع D من جميع قيم z المركبة التي تحقق الشرطين z ≠ 0 و α − δ < arg z < α + δ ، حيث α قيمة معينة و 0 < δ ≤ π . في كثير من الأحيان، يمكن اختيار قيمة α بشكل عشوائي دون تحديدها. إذا لم تُحدد قيمة δ ، يُفترض أنها π ، ويكون القطاع في الواقع هو المستوى C بأكمله ، باستثناء نصف خط يبدأ من z = 0 ويتجه نحو − α ، ويُستخدم عادةً كنقطة تفرع . ملاحظة: في العديد من التطبيقات والمراجع، تُعتبر قيمة α ضمنيًا صفرًا، مما يجعل القطاع يتمركز حول المحور الحقيقي الموجب.

الفروع

على وجه الخصوص، يوجد لوغاريتم أحادي القيمة وكامل الشكل على أي قطاع D من هذا القبيل، ويكون جزؤه التخيلي محصورًا في المدى ( α - δ , α + δ ) . بناءً على هذا اللوغاريتم المقيد، تتحول دالة z ودوال غاما غير الكاملة بدورها إلى دوال أحادية القيمة وكاملة الشكل على D (أو C × D )، وتُسمى فروعًا لنظائرها متعددة القيم على D. إضافة مضاعف للعدد 2π إلى α ينتج عنه مجموعة مختلفة من الفروع المترابطة على نفس المجموعة D. مع ذلك، في أي سياق مُعطى هنا، يُفترض أن α ثابتة، وأن جميع الفروع المعنية مرتبطة بها. إذا كانت | α | < δ ، تُسمى الفروع رئيسية ، لأنها تُساوي نظائرها الحقيقية على المحور الحقيقي الموجب. ملاحظة: في العديد من التطبيقات والنصوص، لا تنطبق الصيغ إلا على الفروع الرئيسية.

العلاقة بين الفروع

يمكن اشتقاق قيم الفروع المختلفة لكل من دالة القوة المركبة ودالة غاما غير الكاملة السفلى من بعضها البعض عن طريق ضربهـ2πأناكs{\displaystyle e^{2\pi iks}}، [ 1 ] لـ k عدد صحيح مناسب.

السلوك بالقرب من نقطة التفرع

يُظهر التحليل أعلاه كذلك أن γ تتصرف بالقرب من z = 0 بشكل تقاربي مثل: γ(s،z)≍zsΓ(s)γ*(s،0)=zsΓ(s)/Γ(s+1)=zs/s.{\displaystyle \gamma (s,z)\asymp z^{s}\,\Gamma (s)\,\gamma ^{*}(s,0)=z^{s}\,\Gamma (s)/\Gamma (s+1)=z^{s}/s.}

بالنسبة للأعداد الحقيقية الموجبة x و y و s ، فإن xy / y → 0 عندما ( x , y ) → (0, s ) . يبدو هذا مبررًا لوضع γ ( s , 0) = 0 للأعداد الحقيقية s > 0. مع ذلك، يختلف الأمر نوعًا ما في مجال الأعداد المركبة. فقط إذا كان (أ) الجزء الحقيقي من s موجبًا، و(ب) تم اختيار القيم u و v من مجموعة محدودة من الفروع، فإنها تتقارب إلى الصفر عندما ( u , v ) → (0, s ) ، وكذلك γ ( u , v ) . على فرع واحد ، يتحقق الشرط γ ( b ) بشكل طبيعي، لذا فإن γ ( s , 0) = 0 للأعداد s ذات الجزء الحقيقي الموجب هي نهاية متصلة . تجدر الإشارة أيضًا إلى أن هذا الاستمرار ليس تحليليًا بأي حال من الأحوال .

العلاقات الجبرية

جميع العلاقات الجبرية والمعادلات التفاضلية التي تُلاحظ في الدالة الحقيقية γ ( s , z ) تنطبق أيضًا على نظيرتها التحليلية. وهذا نتيجة لنظرية الهوية ، التي تنص على أن المعادلات بين الدوال التحليلية الصالحة على فترة حقيقية، تبقى صحيحة في كل مكان. وعلى وجه الخصوص، تبقى علاقة التكرار [ 2 ] والمعادلة ∂γ ( s , z )/ ∂z = z s −1 e − z [ 2 ] محفوظة على الفروع المناظرة.

التمثيل التكاملي

تخبرنا العلاقة الأخيرة أنه بالنسبة لقيمة ثابتة لـ s ، فإن γ هي دالة أولية أو دالة أصلية للدالة التحليلية z s −1 e − z . وبالتالي، لأي عدد مركب u ، v ≠ 0 ، ∫uvتs-1هـ-تدت=γ(s،v)-γ(s،u){\displaystyle \int _{u}^{v}t^{s-1}\,e^{-t}\,dt=\gamma (s,v)-\gamma (s,u)} يتحقق ذلك طالما أن مسار التكامل يقع بالكامل ضمن نطاق فرع من الدالة المراد تكاملها. وإذا كان الجزء الحقيقي من s موجبًا، فإن النهاية γ ( s , u ) → 0 عندما u → 0 تنطبق، مما يؤدي في النهاية إلى تعريف التكامل المركب لـ γ [ 1 ].γ(s،z)=∫0zتs-1هـ-تدت،ℜ(s)>0.{\displaystyle \gamma (s,z)=\int _{0}^{z}t^{s-1}\,e^{-t}\,dt,\,\Re (s)>0.}

أي مسار تكامل يحتوي على 0 فقط في بدايته، وإلا فإنه يقتصر على مجال فرع من الدالة المراد تكاملها، يكون صالحًا هنا، على سبيل المثال، الخط المستقيم الذي يربط 0 و z .

النهاية عندما z → +∞
القيم الحقيقية

بالنظر إلى التمثيل التكاملي لفرع رئيسي من γ ، فإن المعادلة التالية تنطبق على جميع الأعداد الحقيقية الموجبة s و x : [ 7 ]Γ(s)=∫0∞تs-1هـ-تدت=ليمx→∞γ(s،x){\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,dt=\lim _{x\to \infty }\gamma (s,x)}

معقد​

تمتد هذه النتيجة إلى الأعداد المركبة s . لنفترض أولاً أن 1 ≤ Re( s ) ≤ 2 و 1 < a < b . عندئذٍ |γ(s،ب)-γ(s،أ)|≤∫أب|تs-1|هـ-تدت=∫أبتℜs-1هـ-تدت≤∫أبتهـ-تدت{\displaystyle \left|\gamma (s,b)-\gamma (s,a)\right|\leq \int _{a}^{b}\left|t^{s-1}\right|e^{-t}\,dt=\int _{a}^{b}t^{\Re s-1}e^{-t}\,dt\leq \int _{a}^{b}te^{-t}\,dt} حيث [ 8 ]|zs|=|z|ℜsهـ-ℑsarg⁡z{\displaystyle \left|z^{s}\right|=\left|z\right|^{\Re s}\,e^{-\Im s\arg z}} استُخدمت في المنتصف. بما أن التكامل النهائي يصبح صغيرًا جدًا إذا كانت قيمة a كبيرة بما يكفي، فإن γ ( s , x ) تتقارب بانتظام عندما x → ∞ على الشريط 1 ≤ Re(s) ≤ 2 نحو دالة تحليلية، [ 3 ] والتي يجب أن تكون Γ(s) بسبب نظرية الهوية. بأخذ النهاية في علاقة التكرار γ ( s , x ) = ( s − 1) γ ( s − 1, x ) − x s − 1 e − x ، وملاحظة أن lim x n e − x = 0 عندما x → ∞ ولجميع قيم n ، يتضح أن γ ( s , x ) تتقارب خارج الشريط أيضًا نحو دالة تخضع لعلاقة التكرار لدالة Γ. ويترتب على ذلك Γ(s)=ليمx→∞γ(s،x){\displaystyle \Gamma (s)=\lim _{x\to \infty }\gamma (s,x)} لجميع الأعداد المركبة s التي ليست عددًا صحيحًا غير موجب، و x عدد حقيقي و γ عدد رئيسي.

التقارب القطاعي

لنفترض الآن أن u من القطاع | arg z | < δ < π /2 مع قيمة ثابتة لـ δ ( α = 0 )، و γ هو الفرع الرئيسي في هذا القطاع، ولننظر إلى Γ(s)-γ(s،u)=Γ(s)-γ(s،|u|)+γ(s،|u|)-γ(s،u).{\displaystyle \Gamma (s)-\gamma (s,u)=\Gamma (s)-\gamma (s,|u|)+\gamma (s,|u|)-\gamma (s,u).}

كما هو موضح أعلاه، يمكن جعل الفرق الأول صغيرًا جدًا إذا كانت قيمة | u | كبيرة بما يكفي. أما الفرق الثاني فيتيح التقدير التالي: |γ(s،|u|)-γ(s،u)|≤∫u|u||zs-1هـ-z|دz=∫u|u||z|ℜs-1هـ-ℑsarg⁡zهـ-ℜzدz،{\displaystyle \left|\gamma (s,|u|)-\gamma (s,u)\right|\leq \int _{u}^{|u|}\left|z^{s-1}e^{-z}\right|dz=\int _{u}^{|u|}\left|z\right|^{\Re s-1}\,e^{-\Im s\,\arg z}\,e^{-\Re z}\,dz,} حيث استخدمنا التمثيل التكاملي لـ γ والصيغة المتعلقة بـ | z s | المذكورة أعلاه. إذا أجرينا التكامل على طول القوس ذي نصف القطر R = | u | حول الصفر الذي يربط بين u و | u | ، فإن التكامل الأخير هو ≤R|arg⁡u|Rℜs-1هـℑs|arg⁡u|هـ-Rكوس⁡arg⁡u≤دلتاRℜsهـℑsدلتاهـ-Rكوس⁡دلتا=م(Rكوس⁡دلتا)ℜsهـ-Rكوس⁡دلتا{\displaystyle \leq R\left|\arg u\right|R^{\Re s-1}\,e^{\Im s\,|\arg u|}\,e^{-R\cos \arg u}\leq \delta \,R^{\Re s}\,e^{\Im s\,\delta }\,e^{-R\cos \delta }=M\,(R\,\cos \delta )^{\Re s}\,e^{-R\cos \delta }} حيث M = δ (cos δ ) −Re s e Im sδ ثابت مستقل عن u أو R. وبالرجوع إلى سلوك x n e − x لقيم x الكبيرة ، نلاحظ أن التعبير الأخير يقترب من الصفر مع ازدياد R نحو اللانهاية . وبذلك نحصل على ما يلي: Γ(s)=ليم|z|→∞γ(s،z)،|arg⁡z|<π/2-ϵ،{\displaystyle \Gamma (s)=\lim _{|z|\to \infty }\gamma (s,z),\quad \left|\arg z\right|<\pi /2-\epsilon ,} إذا لم يكن s عددًا صحيحًا غير سالب، فإن 0 < ε < π /2 صغير بشكل تعسفي، ولكنه ثابت، و γ يشير إلى الفرع الرئيسي على هذا المجال.

ملخص

γ(s،z){\displaystyle \gamma (s,z)}يكون:

  • كامل في z لعدد صحيح موجب ثابت s ؛
  • دالة متعددة القيم في z لـ s ثابتة ليست عددًا صحيحًا، مع نقطة تفرع عند z = 0 ؛
  • على كل فرع ميرومورفي في s لـ z ≠ 0 ثابت ، مع أقطاب بسيطة عند الأعداد الصحيحة غير الموجبة s.

دالة غاما غير المكتملة العليا

أما بالنسبة لدالة غاما غير الكاملة العليا ، فإن الامتداد الهولومورفي ، بالنسبة إلى z أو s ، يتم إعطاؤه بواسطة [ 1 ]Γ(s،z)=Γ(s)-γ(s،z){\displaystyle \Gamma (s,z)=\Gamma (s)-\gamma (s,z)} عند النقاط ( s , z ) ، حيث يوجد الطرف الأيمن. بما أنγ{\displaystyle \gamma }إذا كانت متعددة القيم، فإن الأمر نفسه ينطبق علىΓ{\displaystyle \Gamma }لكن الاقتصار على القيم الرئيسية لا ينتج عنه سوى الفرع الرئيسي ذي القيمة الواحدة لـΓ{\displaystyle \Gamma }.

عندما يكون s عددًا صحيحًا غير موجب في المعادلة أعلاه، لا يكون أي من جزئي الفرق مُعرَّفًا، وتُستخدم عملية تقريبية ، مُطوَّرة هنا عندما s → 0 ، لملء القيم المفقودة. يضمن التحليل العقدي خاصية التحليل التام ، لأنΓ(s،z){\displaystyle \Gamma (s,z)}يثبت أنه محدود في جوار تلك النهاية لقيمة ثابتة لـ z .

لتحديد النهاية، تُستخدم متسلسلة القوى لـγ*{\displaystyle \gamma ^{*}}يكون ذلك مفيدًا عند z = 0. عند الاستبدالهـ-x{\displaystyle e^{-x}}من خلال متسلسلتها الأسية في التعريف التكاملي لـγ{\displaystyle \gamma }، نحصل على (بافتراض أن x و s أعداد حقيقية موجبة في الوقت الحالي): γ(s،x)=∫0xتs-1هـ-تدت=∫0x∑ك=0∞(-1)كتs+ك-1ك!دت=∑ك=0∞(-1)كxs+كك!(s+ك)=xs∑ك=0∞(-x)كك!(s+ك){\displaystyle {\begin{aligned}\gamma (s,x)&=\int _{0}^{x}t^{s-1}e^{-t}\,dt=\int _{0}^{x}\sum _{k=0}^{\infty }\left(-1\right)^{k}\,{\frac {t^{s+k-1}}{k!}}\,dt\\[1ex]&=\sum _{k=0}^{\infty }\left(-1\right)^{k}\,{\frac {x^{s+k}}{k!(s+k)}}=x^{s}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{k!(s+k)}}\end{aligned}}} أو [ 4 ]γ*(s،x)=∑ك=0∞(-x)كك!Γ(s)(s+ك)،{\displaystyle \gamma ^{*}(s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{k!\,\Gamma (s)(s+k)}},} والتي تمثل سلسلة كاملةγ*{\displaystyle \gamma ^{*}}الدالة تتقارب لجميع قيم x المركبة (وجميع قيم s المركبة التي ليست عددًا صحيحًا غير موجب).

وبإزالة قيد القيم الحقيقية، تسمح السلسلة بالتوسع: γ(s،z)-1s=-1s+zs∑ك=0∞(-z)كك!(s+ك)=zs-1s+zs∑ك=1∞(-z)كك!(s+ك)،ℜ(s)>-1،s≠0.{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma (s,z)-{\frac {1}{s}}&=-{\frac {1}{s}}+z^{s}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k!(s+k)}}\\[1ex]&={\frac {z^{s}-1}{s}}+z^{s}\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(-z\right)^{k}}{k!(s+k)}},&\Re (s)>-1,\,s\neq 0.\end{aligned}}}

عندما s → 0 : [ 9 ]zs-1s→ln⁡(z)،Γ(s)-1s=1s-γ+يا(s)-1s→-γ،{\displaystyle {\frac {z^{s}-1}{s}}\to \ln(z),\quad \Gamma (s)-{\frac {1}{s}}={\frac {1}{s}}-\gamma +O(s)-{\frac {1}{s}}\to -\gamma ,} (γ{\displaystyle \gamma }(حيث يمثل ثابت أويلر-ماسكيروني هنا)، وبالتالي، Γ(0،z)=ليمs→0(Γ(s)-1s-(γ(s،z)-1s))=-γ-ln⁡(z)-∑ك=1∞(-z)كك(ك!){\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (0,z)&=\lim _{s\to 0}\left(\Gamma (s)-{\tfrac {1}{s}}-\left(\gamma (s,z)-{\tfrac {1}{s}}\right)\right)\\&=-\gamma -\ln(z)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(-z\right)^{k}}{k\,(k!)}}\end{aligned}}} هي الدالة الحدية لدالة غاما غير الكاملة العليا عندما s → 0 ، والمعروفة أيضًا باسم التكامل الأسيهـ1(z){\displaystyle E_{1}(z)}[ 10 ]​

عن طريق العلاقة التكرارية، قيمΓ(-ن،z){\displaystyle \Gamma (-n,z)}بالنسبة للأعداد الصحيحة الموجبة n يمكن استنتاجها من هذه النتيجة، [ 11 ]Γ(-ن،z)=1ن!(هـ-zzن∑ك=0ن-1(-1)ك(ن-ك-1)!zك+(-1)نΓ(0،z)){\displaystyle \Gamma (-n,z)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {e^{-z}}{z^{n}}}\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}(n-k-1)!\,z^{k}+\left(-1\right)^{n}\Gamma (0,z)\right)} وبالتالي فإن دالة غاما غير الكاملة العليا تثبت أنها موجودة وأنها هولومورفية، بالنسبة لكل من z و s ، لجميع s و z ≠ 0 .

Γ(s،z){\displaystyle \Gamma (s,z)}يكون:

  • كاملة في z لقيمة ثابتة وموجبة للتكامل s ؛
  • دالة متعددة القيم في z لـ s ثابتة غير صفرية وليست عددًا صحيحًا موجبًا، مع نقطة تفرع عند z = 0 ؛
  • يساويΓ(s){\displaystyle \Gamma (s)}بالنسبة لـ s ذات الجزء الحقيقي الموجب و z = 0 (النهاية عندما(sأنا،zأنا)→(s،0){\displaystyle (s_{i},z_{i})\to (s,0)}), لكن هذا امتداد مستمر، وليس امتدادًا تحليليًا ( لا ينطبق على s الحقيقية < 0 !)؛
  • على كل فرع كامل في s لـ z ثابت ≠ 0 .

القيم الخاصة

  • Γ(s+1،1)=⌊هـs!⌋هـ{\displaystyle \Gamma (s+1,1)={\frac {\lfloor es!\rfloor }{e}}}إذا كان s عددًا صحيحًا موجبًا ،
  • Γ(s،x)=(s-1)!هـ-x∑ك=0s-1xكك!{\displaystyle \Gamma (s,x)=(s-1)!\,e^{-x}\sum _{k=0}^{s-1}{\frac {x^{k}}{k!}}}إذا كان s عددًا صحيحًا موجبًا ، [ 12 ]
  • Γ(s،0)=Γ(s)،ℜ(s)>0{\displaystyle \Gamma (s,0)=\Gamma (s),\Re (s)>0}،
  • Γ(1،x)=هـ-x{\displaystyle \Gamma (1,x)=e^{-x}}،
  • γ(1،x)=1-هـ-x{\displaystyle \gamma (1,x)=1-e^{-x}}،
  • Γ(0،x)=-إي⁡(-x){\displaystyle \Gamma (0,x)=-\operatorname {Ei} (-x)}لx>0{\displaystyle x>0}،
  • Γ(s،x)=xsهـ1-s⁡(x){\displaystyle \Gamma (s,x)=x^{s}\operatorname {E} _{1-s}(x)}،
  • Γ(12،x)=πerfc⁡(x){\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}},x\right)={\sqrt {\pi }}\operatorname {erfc} \left({\sqrt {x}}\right)}،
  • γ(12،x)=πقطعة أرض⁡(x){\displaystyle \gamma \left({\tfrac {1}{2}},x\right)={\sqrt {\pi }}\operatorname {erf} \left({\sqrt {x}}\right)}.

هنا،إي{\displaystyle \operatorname {Ei} }هو التكامل الأسي ،هـن{\displaystyle \operatorname {E} _{n}}هو التكامل الأسي المعمم ،قطعة أرض{\displaystyle \operatorname {erf} }هي دالة الخطأ ، وerfc{\displaystyle \operatorname {erfc} }هي دالة الخطأ التكميلية ،erfc⁡(x)=1-قطعة أرض⁡(x){\displaystyle \operatorname {erfc} (x)=1-\operatorname {erf} (x)}.

السلوك التقاربي

  • γ(s،x)xs→1s{\displaystyle {\frac {\gamma (s,x)}{x^{s}}}\to {\frac {1}{s}}}مثلx→0{\displaystyle x\to 0}،
  • Γ(s،x)xs→-1s{\displaystyle {\frac {\Gamma (s,x)}{x^{s}}}\to -{\frac {1}{s}}}مثلx→0{\displaystyle x\to 0}وℜ(s)<0{\displaystyle \Re (s)<0}(بالنسبة لـ s الحقيقية ، يكون خطأ Γ( s , x ) ~ − x s / s من رتبة O ( x min{ s + 1, 0} ) إذا كان s ≠ −1 و O (ln( x )) إذا كان s = −1 )،
  • Γ(s،x)∼Γ(s)-∑ن=0∞(-1)نxs+نن!(s+ن){\displaystyle \Gamma (s,x)\sim \Gamma (s)-\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{s+n}}{n!(s+n)}}}كسلسلة تقاربية حيثx→0+{\displaystyle x\to 0^{+}}وs≠0،-1،-2،...{\displaystyle s\neq 0,-1,-2,\dots }[ 13 ]​
  • Γ(-شمال،x)∼جشمال+(-1)شمال+1شمال!ln⁡x-∑ن=0،ن≠شمال∞(-1)نxن-شمالن!(ن-شمال){\displaystyle \Gamma (-N,x)\sim C_{N}+{\frac {(-1)^{N+1}}{N!}}\ln x-\sum _{n=0,n\neq N}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{n-N}}{n!(n-N)}}}كسلسلة تقاربية حيثx→0+{\displaystyle x\to 0^{+}}وشمال=1،2،...{\displaystyle N=1,2,\dots }، أينجشمال=(-1)شمال+1شمال!(γ-∑ن=1شمال1ن){\textstyle C_{N}={\frac {(-1)^{N+1}}{N!}}\left(\gamma -\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}\right)}، أينγ{\displaystyle \gamma }هو ثابت أويلر-ماسكيروني . [ 13 ]
  • γ(s،x)→Γ(s){\displaystyle \gamma (s,x)\to \Gamma (s)}مثلx→∞{\displaystyle x\to \infty }[ 14 ]​
  • Γ(s،x)xs-1هـ-x→1{\displaystyle {\frac {\Gamma (s,x)}{x^{s-1}e^{-x}}}\to 1}مثلx→∞{\displaystyle x\to \infty }[ 15 ] ،
  • لوs{\displaystyle s}≥ 0 قيمة حقيقية،Γ(s،z)∼zs-1هـ-z∑ك=0Γ(s)Γ(s-ك)z-ك{\displaystyle \Gamma (s,z)\sim z^{s-1}e^{-z}\sum _{k=0}{\frac {\Gamma (s)}{\Gamma (s-k)}}z^{-k}}كسلسلة تقاربية حيث|z|→∞{\displaystyle |z|\to \infty }و|arg⁡z|<32π{\displaystyle \left|\arg z\right|<{\tfrac {3}{2}}\pi }[ 16 ]​

صيغ التقييم

يمكن تقييم دالة جاما السفلية باستخدام توسيع سلسلة القوى: [ 17 ]γ(s،z)=∑ك=0∞zsهـ-zzكs(s+1)...(s+ك)=zsهـ-z∑ك=0∞zكsك+1¯{\displaystyle \gamma (s,z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{s}e^{-z}z^{k}}{s(s+1)\dots (s+k)}}=z^{s}e^{-z}\sum _{k=0}^{\infty }{\dfrac {z^{k}}{s^{\overline {k+1}}}}} أينsك+1¯{\displaystyle s^{\overline {k+1}}}هو رمز بوتشامر .

التوسع البديل هو γ(s،z)=∑ك=0∞(-1)كك!zs+كs+ك=zssم(s،s+1،-z)،{\displaystyle \gamma (s,z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{\frac {z^{s+k}}{s+k}}={\frac {z^{s}}{s}}M(s,s+1,-z),} حيث M هي دالة كومر الهندسية الفائقة المتقاربة .

العلاقة مع دالة كومر الهندسية الفائقة المتقاربة

عندما يكون الجزء الحقيقي من z موجباً، γ(s،z)=s-1zsهـ-zم(1،s+1،z){\displaystyle \gamma (s,z)=s^{-1}z^{s}e^{-z}M(1,s+1,z)} أينم(1،s+1،z)=1+z(s+1)+z2(s+1)(s+2)+z3(s+1)(s+2)(s+3)+⋯{\displaystyle M(1,s+1,z)=1+{\frac {z}{(s+1)}}+{\frac {z^{2}}{(s+1)(s+2)}}+{\frac {z^{3}}{(s+1)(s+2)(s+3)}}+\cdots }لها نصف قطر تقارب لانهائي.

مرة أخرى باستخدام الدوال الهندسية الفائقة المتقاربة وتوظيف متطابقة كومر، Γ(s،z)=هـ-zيو(1-s،1-s،z)=zsهـ-zΓ(1-s)∫0∞هـ-uus(z+u)دu=هـ-zzsيو(1،1+s،z)=هـ-z∫0∞هـ-u(z+u)s-1دu=هـ-zzs∫0∞هـ-zu(1+u)s-1دu.{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (s,z)&=e^{-z}U(1{-}s,1{-}s,z)={\frac {z^{s}e^{-z}}{\Gamma (1-s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-u}}{u^{s}(z+u)}}du\\&=e^{-z}z^{s}U(1,1{+}s,z)=e^{-z}\int _{0}^{\infty }e^{-u}(z+u)^{s-1}du\\&=e^{-z}z^{s}\int _{0}^{\infty }e^{-zu}(1+u)^{s-1}du.\end{aligned}}}

بالنسبة للحساب الفعلي للقيم العددية، يوفر كسر جاوس المستمر توسيعًا مفيدًا: γ(s،z)=zsهـ-zs-szs+1+zs+2-(s+1)zs+3+2zs+4-(s+2)zs+5+3zs+6-⋱.{\displaystyle \gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{s-{\cfrac {sz}{s+1+{\cfrac {z}{s+2-{\cfrac {(s+1)z}{s+3+{\cfrac {2z}{s+4-{\cfrac {(s+2)z}{s+5+{\cfrac {3z}{s+6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}

يتقارب هذا الكسر المستمر لجميع قيم z المركبة ، بشرط ألا يكون s عددًا صحيحًا سالبًا.

دالة غاما العليا لها الكسر المستمر [ 18 ]Γ(s،z)=zsهـ-zz+1-s1+1z+2-s1+2z+3-s1+⋱{\displaystyle \Gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{z+{\cfrac {1-s}{1+{\cfrac {1}{z+{\cfrac {2-s}{1+{\cfrac {2}{z+{\cfrac {3-s}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}} وΓ(s،z)=zsهـ-z1+z-s+s-13+z-s+2(s-2)5+z-s+3(s-3)7+z-s+4(s-4)9+z-s+⋱{\displaystyle \Gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{1+z-s+{\cfrac {s-1}{3+z-s+{\cfrac {2(s-2)}{5+z-s+{\cfrac {3(s-3)}{7+z-s+{\cfrac {4(s-4)}{9+z-s+\ddots }}}}}}}}}}}

نظرية الضرب

تنطبق نظرية الضرب التالية : Γ(s،z)=1تs∑أنا=0∞(1-1ت)أناأنا!Γ(s+أنا،تz)=Γ(s،تz)-(تz)sهـ-تz∑أنا=1∞(1ت-1)أناأنالأنا-1(s-أنا)(تz).{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (s,z)&={\frac {1}{t^{s}}}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{i}}{i!}}\Gamma (s+i,tz)\\&=\Gamma (s,tz)-(tz)^{s}e^{-tz}\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{i}}{i}}L_{i-1}^{(s-i)}(tz).\end{aligned}}}

تنفيذ البرمجيات

تتوفر دوال غاما غير الكاملة في العديد من أنظمة الجبر الحاسوبي .

حتى وإن لم تكن القيم متاحة مباشرةً، يمكن حساب قيم الدوال غير المكتملة باستخدام الدوال الشائعة في جداول البيانات (وبرامج الجبر الحاسوبي). في برنامج إكسل ، على سبيل المثال، يمكن حسابها باستخدام دالة جاما مع دالة توزيع جاما .

  • الدالة غير المكتملة الدنيا:γ(s،x){\displaystyle \gamma (s,x)} = EXP(GAMMALN(s))*GAMMA.DIST(x,s,1,TRUE).
  • الدالة غير المكتملة العليا:Γ(s،x){\displaystyle \Gamma (s,x)} = EXP(GAMMALN(s))*(1-GAMMA.DIST(x,s,1,TRUE)).

وتنتج هذه النتائج من تعريف دالة التوزيع التراكمي لتوزيع جاما .

في لغة بايثون ، توفر مكتبة Scipy تطبيقات لدوال غاما غير الكاملة scipy.special، إلا أنها لا تدعم القيم السالبة للوسيط الأول. أما الدالة gammaincمن مكتبة mpmath فتدعم جميع الوسائط المركبة.

دوال غاما المنتظمة ومتغيرات بواسون العشوائية

الدالتان المرتبطتان هما دالتا جاما المنتظمتان: P(s،x)=γ(s،x)Γ(s)،سؤال(s،x)=Γ(s،x)Γ(s)=1-P(s،x).{\displaystyle {\begin{aligned}P(s,x)&={\frac {\gamma (s,x)}{\Gamma (s)}},\\[1ex]Q(s,x)&={\frac {\Gamma (s,x)}{\Gamma (s)}}=1-P(s,x).\end{aligned}}}P(s،x){\displaystyle P(s,x)}هي دالة التوزيع التراكمي لمتغيرات جاما العشوائية ذات معامل الشكلs{\displaystyle s}ومعامل المقياس 1.

متىs{\displaystyle s}هو عدد صحيح،سؤال(s+1،λ){\displaystyle Q(s+1,\lambda )}هي دالة التوزيع التراكمي لمتغيرات بواسون العشوائية : إذاX{\displaystyle X}هوPoأنا(λ){\displaystyle \mathrm {Poi} (\lambda )}ثم متغير عشوائي برو(X≤s)=∑أنا≤sهـ-λλأناأنا!=Γ(s+1،λ)Γ(s+1)=سؤال(s+1،λ).{\displaystyle \Pr(X\leq s)=\sum _{i\leq s}e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}={\frac {\Gamma (s+1,\lambda )}{\Gamma (s+1)}}=Q(s+1,\lambda ).}

يمكن اشتقاق هذه الصيغة عن طريق التكامل المتكرر بالتجزئة.

P(s،x){\displaystyle P(s,x)}وسؤال(s،x){\displaystyle Q(s,x)}يتم تنفيذها على النحو gammainc[ 19 ] و gammaincc[ 20 ] في scipy .

المشتقات الجزئية

باستخدام التمثيل التكاملي أعلاه، فإن مشتقة دالة غاما غير الكاملة العلياΓ(s،x){\displaystyle \Gamma (s,x)}بالنسبة إلى x هو ∂Γ(s،x)∂x=-xs-1هـ-x{\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (s,x)}{\partial x}}=-x^{s-1}e^{-x}} المشتق بالنسبة لمتغيره الأولs{\displaystyle s}يتم تحديده بواسطة [ 21 ]∂Γ(s،x)∂s=ln⁡xΓ(s،x)+xتي(3،s،x){\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (s,x)}{\partial s}}=\ln x\Gamma (s,x)+x\,T(3,s,x)} والمشتقة الثانية بواسطة ∂2Γ(s،x)∂s2=ln2⁡xΓ(s،x)+2x[ln⁡xتي(3،s،x)+تي(4،s،x)]{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Gamma (s,x)}{\partial s^{2}}}=\ln ^{2}x\Gamma (s,x)+2x\left[\ln x\,T(3,s,x)+T(4,s,x)\right]} حيث الدالةتي(م،s،x){\displaystyle T(m,s,x)}هي حالة خاصة من دالة ماير جيتي(م،s،x)=جيم-1،مم،0(0،0،...،0s-1،-1،...،-1|x).{\displaystyle T(m,s,x)=G_{m-1,\,m}^{\,m,\,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,0,\dots ,0\\s-1,-1,\dots ,-1\end{matrix}}\;\right|\,x\right).} تتميز هذه الحالة الخاصة بخصائص الإغلاق الداخلي ، إذ يمكن استخدامها للتعبير عن جميع المشتقات المتتالية. بشكل عام، ∂مΓ(s،x)∂sم=lnم⁡xΓ(s،x)+مx∑ن=0م-1Pنم-1lnم-ن-1⁡xتي(3+ن،s،x){\displaystyle {\frac {\partial ^{m}\Gamma (s,x)}{\partial s^{m}}}=\ln ^{m}x\Gamma (s,x)+mx\,\sum _{n=0}^{m-1}P_{n}^{m-1}\ln ^{m-n-1}x\,T(3+n,s,x)} أينPجن{\displaystyle P_{j}^{n}}هل التبديل المحدد بواسطة رمز بوخامر هو : Pجن=(نج)ج!=ن!(ن-ج)!.{\displaystyle P_{j}^{n}={\binom {n}{j}}j!={\frac {n!}{(n-j)!}}.} يمكن توليد جميع هذه المشتقات بالتتابع من: ∂تي(م،s،x)∂s=ln⁡x تي(م،s،x)+(م-1)تي(م+1،s،x){\displaystyle {\frac {\partial T(m,s,x)}{\partial s}}=\ln x~T(m,s,x)+(m-1)T(m+1,s,x)} و ∂تي(م،s،x)∂x=-تي(م-1،s،x)+تي(م،s،x)x{\displaystyle {\frac {\partial T(m,s,x)}{\partial x}}=-{\frac {T(m-1,s,x)+T(m,s,x)}{x}}} هذه الوظيفةتي(م،s،x){\displaystyle T(m,s,x)}يمكن حسابها من تمثيلها المتسلسل الصالح لـ|z|<1{\displaystyle |z|<1}، تي(م،s،z)=-(-1)م-1(م-2)!دم-2دتم-2[Γ(s-ت)zت-1]|ت=0+∑ن=0∞(-1)نzs-1+نن!(-s-ن)م-1{\displaystyle T(m,s,z)=-{\frac {\left(-1\right)^{m-1}}{(m-2)!}}\left.{\frac {d^{m-2}}{dt^{m-2}}}\left[\Gamma (s-t)z^{t-1}\right]\right|_{t=0}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}z^{s-1+n}}{n!\left(-s-n\right)^{m-1}}}} مع العلم أن s ليس عددًا صحيحًا سالبًا أو صفرًا. في هذه الحالة، يجب استخدام النهاية. نتائج لـ|z|≥1{\displaystyle |z|\geq 1}يمكن الحصول عليها عن طريق الاستمرار التحليلي . ويمكن تبسيط بعض الحالات الخاصة لهذه الدالة. على سبيل المثال،تي(2،s،x)=Γ(s،x)/x{\displaystyle T(2,s,x)=\Gamma (s,x)/x}،xتي(3،1،x)=هـ1(x){\displaystyle x\,T(3,1,x)=\mathrm {E} _{1}(x)}، أينهـ1(x){\displaystyle \mathrm {E} _{1}(x)}هو التكامل الأسي . هذه المشتقات والدالةتي(م،s،x){\displaystyle T(m,s,x)}توفير حلول دقيقة لعدد من التكاملات عن طريق التفاضل المتكرر لتعريف التكامل لدالة غاما غير الكاملة العليا. [ 22 ] [ 23 ] على سبيل المثال، ∫x∞تs-1lnم⁡تهـتدت=∂م∂sم∫x∞تs-1هـتدت=∂م∂sمΓ(s،x){\displaystyle \int _{x}^{\infty }{\frac {t^{s-1}\ln ^{m}t}{e^{t}}}dt={\frac {\partial ^{m}}{\partial s^{m}}}\int _{x}^{\infty }{\frac {t^{s-1}}{e^{t}}}dt={\frac {\partial ^{m}}{\partial s^{m}}}\Gamma (s,x)} يمكن توسيع هذه الصيغة أو تعميمها لتشمل فئة واسعة من تحويلات لابلاس وتحويلات ميلين . وعند دمجها مع نظام جبر حاسوبي ، يوفر استغلال الدوال الخاصة طريقة فعالة لحل التكاملات المحددة، ولا سيما تلك التي تواجهها التطبيقات الهندسية العملية (انظر التكامل الرمزي لمزيد من التفاصيل).

التكاملات غير المحددة والمحددة

يمكن الحصول بسهولة على التكاملات غير المحددة التالية باستخدام التكامل بالتجزئة (مع حذف ثابت التكامل في كلتا الحالتين): ∫xب-1γ(s،x)دx=1ب(xبγ(s،x)-γ(s+ب،x))،∫xب-1Γ(s،x)دx=1ب(xبΓ(s،x)-Γ(s+ب،x)).{\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{b-1}\gamma (s,x)\,dx&={\frac {1}{b}}\left(x^{b}\gamma (s,x)-\gamma (s+b,x)\right),\\[1ex]\int x^{b-1}\Gamma (s,x)\,dx&={\frac {1}{b}}\left(x^{b}\Gamma (s,x)-\Gamma (s+b,x)\right).\end{aligned}}} ترتبط دالة غاما غير الكاملة السفلى والعليا عبر تحويل فورييه : ∫-∞∞γ(s2،z2π)(z2π)s2هـ-2πأناكzدz=Γ(1-s2،ك2π)(ك2π)1-s2.{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma \left({\frac {s}{2}},z^{2}\pi \right)}{(z^{2}\pi )^{\frac {s}{2}}}}e^{-2\pi ikz}dz={\frac {\Gamma \left({\frac {1-s}{2}},k^{2}\pi \right)}{(k^{2}\pi )^{\frac {1-s}{2}}}}.} ويتبع ذلك، على سبيل المثال، من خلال التخصص المناسب لـ ( Gradshteyn et al. 2015 ، §7.642) .

ملحوظات

  1. 1 2 3 4 5 6 "DLMF: §8.2 التعريفات والخصائص الأساسية ‣ دوال غاما غير الكاملة ‣ الفصل 8: دوال غاما غير الكاملة والدوال ذات الصلة" . dlmf.nist.gov .
  2. 1 2 3 "DLMF: §8.8 العلاقات التكرارية والمشتقات ‣ دوال غاما غير الكاملة ‣ الفصل 8 دوال غاما غير الكاملة والدوال ذات الصلة" . dlmf.nist.gov .
  3. 1 2 دونالد إي. مارشال (خريف 2009). "التحليل المركب" (ملف PDF) . رياضيات 534 (مذكرة للطلاب). جامعة واشنطن. النظرية 3.9 في الصفحة 56. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 16 مايو 2011. تم الاطلاع عليه في 23 أبريل 2011 .
  4. 1 2 "DLMF: §8.7 متسلسلات التوسع ‣ دوال غاما غير الكاملة ‣ الفصل 8 دوال غاما غير الكاملة والدوال ذات الصلة" . dlmf.nist.gov .
  5. ↑ بول غاريت. "نظرية هارتوغز: التحليلية المنفصلة تستلزم التحليلية المشتركة" (ملف PDF) . cse.umn.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 21 ديسمبر 2023 .
  6. ↑ سي. تيليمان. "أسطح ريمان" (ملف PDF) . berkeley.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 21 ديسمبر 2023 .
  7. ↑ "DLMF: §5.2 التعريفات ‣ الخصائص ‣ الفصل 5 دالة جاما" . dlmf.nist.gov .
  8. ↑ "DLMF: §4.4 القيم الخاصة والنهايات ‣ اللوغاريتمات، والأسس، والقوى ‣ الفصل 4 الدوال الأولية" . dlmf.nist.gov .
  9. ↑ انظر المعادلة الأخيرة.
  10. ↑ "DLMF: §8.4 القيم الخاصة ‣ دوال غاما غير الكاملة ‣ الفصل 8: دوال غاما غير الكاملة والدوال ذات الصلة" . dlmf.nist.gov .
  11. ↑ "DLMF: 8.4 القيم الخاصة" .
  12. ↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "دالة غاما غير المكتملة" . عالم الرياضيات .(المعادلة 2)
  13. 1 2 بندر وأورزاج (1978). أساليب رياضية متقدمة للعلماء والمهندسين . سبرينغر. Bibcode : 1978amms.book.....B .
  14. ↑ "DLMF: §8.11 التقريبات والتوسعات التقاربية ‣ دوال غاما غير الكاملة ‣ الفصل 8: دوال غاما غير الكاملة والدوال ذات الصلة" . dlmf.nist.gov .
  15. ↑ تيمي، ن.م. (1979). "التوسع التقاربي لدوال غاما غير الكاملة". مجلة SIAM للتحليل الرياضي . 10 (4): 757-766 . doi : 10.1137/0510071 .
  16. ↑ "DLMF: §8.11 التقريبات والتوسعات التقاربية ‣ دوال غاما غير الكاملة ‣ الفصل 8: دوال غاما غير الكاملة والدوال ذات الصلة" . dlmf.nist.gov .
  17. ↑ "DLMF: §8.11 التقريبات والتوسعات التقاربية ‣ دوال غاما غير الكاملة ‣ الفصل 8: دوال غاما غير الكاملة والدوال ذات الصلة" . dlmf.nist.gov .
  18. ^ أبراموفيتز وستيجون ص.  263، 6.5.31
  19. ↑ "scipy.special.gammainc — SciPy v1.11.4 Manual" . docs.scipy.org .
  20. ↑ "scipy.special.gammaincc — SciPy v1.11.4 Manual" . docs.scipy.org .
  21. ↑ KO Geddes , ML Glasser, RA Moore and TC Scott, Evaluation of Classes of Definite Integrals Involving Elementary Functions via Differentiation of Special Functions , AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 1, (1990), pp. 149–165,
  22. ↑ ميلغرام، م.س. (1985). "الدالة التكاملية الأسية المعممة" . مجلة الرياضيات الحاسوبية 44 (170): 443-458 . doi : 10.1090/S0025-5718-1985-0777276-4 . MR 0777276 . 
  23. ↑ ماثار (2009). "التقييم العددي للتكامل التذبذبي على exp(i*pi*x)*x^(1/x) بين 1 وما لا نهاية". arXiv : 0912.3844 [ math.CA ].، الملحق ب

مراجع