التوزيع الطبيعي

أبسط حالات التوزيع الطبيعي تُعرف بالتوزيع الطبيعي القياسي أو التوزيع الطبيعي الوحدوي . وهذه حالة خاصة عندما${\textstyle \mu =0}$و${\textstyle \sigma ^{2}=1}$ويتم وصفها بواسطة دالة كثافة الاحتمال هذه (أو الكثافة): ^{[ 11 ]}$${\displaystyle \varphi (z)={\frac {e^{-z^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\,.}$$ المتغير ⁠${\displaystyle z}$يبلغ متوسطها صفرًا، وتباينها وانحرافها المعياري واحدًا. الكثافة${\textstyle \varphi (z)}$تبلغ قيمتها القصوى${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$في${\textstyle z=0}$ونقاط الانعطاف عند${\textstyle z=+1}$و​${\displaystyle z=-1}$⁠ .

على الرغم من أن الكثافة المذكورة أعلاه تُعرف عادةً باسم التوزيع الطبيعي القياسي، فقد استخدم بعض المؤلفين هذا المصطلح لوصف إصدارات أخرى من التوزيع الطبيعي. فعلى سبيل المثال، عرّف كارل فريدريش غاوس التوزيع الطبيعي القياسي على النحو التالي:${\textstyle \varphi (z)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}},}$والذي يبلغ تباينه ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$وقد عرّف ستيفن ستيجلر المعيار الطبيعي ذات مرة على النحو التالي:${\textstyle \varphi (z)=e^{-\pi z^{2}},}$والتي لها شكل وظيفي بسيط وتباين قدره${\textstyle \sigma ^{2}={\frac {1}{2\pi }}.}$^{[ 12 ]}

إذا​${\displaystyle Z}$إذا كان الانحراف المعياري طبيعيًا ، فإن${\textstyle X=\sigma Z+\mu }$سيكون له توزيع طبيعي بقيمة متوقعة${\displaystyle \mu }$والانحراف المعياري​${\displaystyle \sigma }$وهذا يعادل القول بأن التوزيع الطبيعي القياسي${\displaystyle Z}$يمكن تكبير / تصغير/تمديد الصورة بمعامل ⁠${\displaystyle \sigma }$وتم تحريكها بواسطة${\displaystyle \mu }$للحصول على توزيع طبيعي مختلف، يسمى${\displaystyle X}$⁠ .

وعلى العكس من ذلك، إذا${\displaystyle X}$هو انحراف طبيعي ذو معلمات${\displaystyle \mu }$و​${\textstyle \sigma ^{2}}$ثم هذا${\displaystyle X}$يمكن إعادة ضبط التوزيع وتغيير حجمه باستخدام الصيغة${\textstyle Z=(X-\mu )/\sigma }$لتحويلها إلى التوزيع الطبيعي القياسي. يُطلق على هذا المتغير أيضًا اسم الشكل المعياري لـ${\displaystyle X}$⁠ .

وعلى وجه الخصوص، دالة كثافة الاحتمال لـ${\displaystyle X}$يمكن كتابة ذلك بدلالة التوزيع الطبيعي القياسي${\displaystyle \varphi }$( بمتوسط ​​صفر وتباين يساوي واحدًا): $${\displaystyle f(x\mid \mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sigma }}\varphi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\,.}$$ يجب تعديل كثافة الاحتمال بواسطة${\textstyle 1/\sigma }$بحيث يظل التكامل  يساوي 1.

يُرمز عادةً إلى دالة كثافة الاحتمال للتوزيع الطبيعي القياسي بالحرف اليوناني فاي ( φ).${\displaystyle \phi }$[ ¹³ ]الصيغة البديلة^​​${\displaystyle \varphi }$يُستخدم أيضًا.

يُرمز عادةً إلى دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي القياسي بالحرف اليوناني الكبير فاي (φ) ،${\displaystyle \Phi }$⁠ .

يُشار غالبًا إلى التوزيع الطبيعي باسم${\textstyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$أو​${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$[ ^{14 ]} عندما ^يكون المتغير العشوائي${\displaystyle X}$يتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط${\displaystyle \mu }$والانحراف المعياري​${\displaystyle \sigma }$قد يكتب المرء

$${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}).}$$

يدعو بعض المؤلفين إلى استخدام الدقة${\displaystyle \tau }$⁠ كمعامل يحدد عرض التوزيع، بدلاً من الانحراف المعياري ⁠${\displaystyle \sigma }$أو التباين​${\displaystyle \sigma ^{2}}$. تُعرَّف الدقة عادةً بأنها مقلوب التباين، ⁠${\displaystyle 1/\sigma ^{2}}$[ ¹⁵ ] ^{تصبح صيغة} التوزيع ^عندئذٍ$${\displaystyle f(x)={\sqrt {\frac {\tau }{2\pi }}}e^{-\tau (x-\mu )^{2}/2}.}$$

يُزعم أن هذا الخيار له مزايا في الحسابات العددية عندما${\displaystyle \sigma }$⁠ قريب جدًا من الصفر، ويبسط الصيغ في بعض السياقات، كما هو الحال في الاستدلال البايزي للمتغيرات ذات التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات .

أو بدلاً من ذلك، مقلوب الانحراف المعياري${\textstyle \tau '=1/\sigma }$يمكن تعريفها بأنها الدقة ، وفي هذه الحالة يصبح تعبير التوزيع الطبيعي $${\displaystyle f(x)={\frac {\tau '}{\sqrt {2\pi }}}e^{-(\tau ')^{2}(x-\mu )^{2}/2}.}$$

وفقًا لستيجلر، فإن هذه الصيغة مفيدة نظرًا لأنها أبسط بكثير وأسهل في التذكر، بالإضافة إلى صيغ تقريبية بسيطة لنسب التوزيع .

تشكل التوزيعات الطبيعية عائلة أسية ذات معلمات طبيعية${\textstyle \textstyle \theta _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{2}}}}$و${\textstyle \textstyle \theta _{2}=-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}}$والإحصاءات الطبيعية x و x ^2. معلمات التوقع المزدوجة للتوزيع الطبيعي هي η ₁ = μ و η ₂ = μ ² + σ ² .

دالة التوزيع التراكمي (CDF) للتوزيع الطبيعي القياسي، والتي يُرمز لها عادةً بالحرف اليوناني الكبير ⁠${\displaystyle \Phi }$، هو التكامل $${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-t^{2}/2}\,dt\,.}$$

دالة الخطأ ذات الصلة${\textstyle \operatorname {erf} (x)}$يُعطي هذا الاحتمال احتمال وقوع متغير عشوائي، ذي توزيع طبيعي بمتوسط ​​0 وتباين 1/2، ضمن النطاق ⁠${\displaystyle [-x,x]}$أي : $${\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{-x}^{x}e^{-t^{2}}\,dt={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt\,.}$$

لا يمكن التعبير عن هذه التكاملات بدلالة الدوال الأولية، وغالبًا ما يُطلق عليها اسم الدوال الخاصة . ومع ذلك، توجد العديد من التقريبات العددية المعروفة؛ انظر أدناه للمزيد.

الوظيفتان مرتبطتان ارتباطاً وثيقاً، وهما: $${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right].}$$

بالنسبة للتوزيع الطبيعي العام ذي الكثافة ⁠${\displaystyle f}$، متوسط​${\displaystyle \mu }$والتباين​${\textstyle \sigma ^{2}}$، دالة التوزيع التراكمي هي $${\displaystyle F(x)=\Phi {\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right].}$$

وبالتالي فإن احتمال أن تقع قيمة x بين a و b حيث a < b هو ^{[ 16 ] : 84}$${\displaystyle \operatorname {P} (a<x\leq b)={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {b-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)-\operatorname {erf} \left({\frac {a-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]}$$

مكمل دالة التوزيع التراكمي الطبيعي القياسي،${\textstyle Q(x)=1-\Phi (x)}$تُسمى هذه الدالة غالبًا بدالة Q ، خاصة في النصوص الهندسية. ^{[ 17 ] [ 18 ]} وهي تعطي احتمال أن تكون قيمة متغير عشوائي طبيعي معياري${\displaystyle X}$سيتجاوز​​${\displaystyle x}$⁠ : ⁠${\displaystyle P(X>x)}$تعريفات أخرى لـ${\displaystyle Q}$-دالة ، وكلها عبارة عن تحويلات بسيطة لـ${\displaystyle \Phi }$تُستخدم أيضًا في بعض الأحيان ^{. [} 19 ^]

رسم بياني لدالة التوزيع التراكمي الطبيعي القياسي${\displaystyle \Phi }$يتمتع بتناظر دوراني ثنائيحول النقطة (0، 1/2)؛ أي أن${\displaystyle \Phi (-x)=1-\Phi (x)}$ويمكن التعبير عن مشتقته الأصلية ( التكامل غير المحدد) على النحو التالي:$${\displaystyle \int \Phi (x)\,dx=x\Phi (x)+\varphi (x)+C.}$$

يمكن اشتقاق توسيع تقاربي لدالة التوزيع التراكمي لقيم x الكبيرة باستخدام التكامل بالتجزئة : $${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!!}}x^{2n+1}\,.}$$ أين${\textstyle$ يشير الرمز !!} إلى المضروب المزدوج . لمزيد من المعلومات، انظر دالة الخطأ §  التوسع التقاربي . ^{[ 20 ]}

الانحراف المعياري والتغطية

حوالي 68% من القيم المسحوبة من التوزيع الطبيعي تقع ضمن انحراف معياري واحد σ عن المتوسط؛ وحوالي 95% من القيم تقع ضمن انحرافين معياريين؛ وحوالي 99.7% تقع ضمن ثلاثة انحرافات معيارية. ^{[ 9 ]} يُعرف هذا بقاعدة 68-95-99.7 (التجريبية) ، أو قاعدة 3 سيجما .

وبشكل أدق، فإن احتمال أن يقع الانحراف الطبيعي في النطاق بين${\textstyle \mu -n\sigma }$و${\textstyle \mu +n\sigma }$يُعطى بواسطة $${\displaystyle F(\mu +n\sigma )-F(\mu -n\sigma )=\Phi (n)-\Phi (-n)=\operatorname {erf} \left({\frac {n}{\sqrt {2}}}\right).}$$ إلى 12 رقمًا معنويًا، القيم لـ${\textstyle n=1,2,\ldots ,6}$نكون:

⁠${\displaystyle n}$⁠	${\textstyle p=F(\mu +n\sigma )-F(\mu -n\sigma )}$	${\textstyle 1-p}$	${\textstyle {\text{or }}1{\text{ in }}(1-p)}$	OEIS
1	0.682 689 492 137	0.317 310 507 863	3 .151 487 187 53	OEIS : A178647
2	0.954 499 736 104	0.045 500 263 896	21 9778945080​​	OEIS : A110894
3	0.997 300 203 937	0.002 699 796 063	370 .398 347 345	OEIS : A270712
4	0.999 936 657 516	0.000 063 342 484	15787​ 0.192 7673
5	0.999 999 426 697	0.000 000 573 303	1 744 277 0.893 62
6	0.999 999 998 027	0.000 000 001 973	506 797 345 0.897

للأحجام الكبيرة${\displaystyle n}$، يمكن استخدام التقريب$${\displaystyle 1-p\approx {\frac {\sqrt {2}}{n{\sqrt {\pi e^{n^{2}}}}}}}$$

دالة الكمية

دالة الكمية لتوزيع ما هي معكوس دالة التوزيع التراكمي. تُسمى دالة الكمية للتوزيع الطبيعي القياسي دالة البروبيت ، ويمكن التعبير عنها بدلالة دالة الخطأ العكسية . $${\displaystyle \Phi ^{-1}(p)={\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1),\quad p\in (0,1).}$$ بالنسبة لمتغير عشوائي طبيعي بمتوسط ​​⁠${\displaystyle \mu }$والتباين​${\textstyle \sigma ^{2}}$، دالة الكمية هي $${\displaystyle F^{-1}(p)=\mu +\sigma \Phi ^{-1}(p)=\mu +\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1),\quad p\in (0,1).}$$ الكمية​${\textstyle \Phi ^{-1}(p)}$يُشار عادةً إلى توزيع التوزيع الطبيعي القياسي بـ ⁠${\displaystyle z_{p}}$تُستخدم هذه القيم في اختبار الفرضيات ، وبناء فترات الثقة ، ورسم مخططات Q-Q . متغير عشوائي طبيعي .${\displaystyle X}$سيتجاوز​${\textstyle \mu +z_{p}\sigma }$باحتمال${\textstyle 1-p}$، وستقع خارج الفترة${\textstyle \mu \pm z_{p}\sigma }$باحتمالية​${\displaystyle 2(1-p)}$. على وجه الخصوص، الكمية المئوية${\textstyle z_{0.975}}$تساوي 1.96 ؛ لذلك فإن المتغير العشوائي الطبيعي سيقع خارج هذه الفترة.${\textstyle \mu \pm 1.96\sigma }$في 5% فقط من الحالات.

يوضح الجدول التالي النسبة المئوية${\textstyle z_{p}}$بحيث​${\displaystyle X}$سيقع ضمن النطاق${\textstyle \mu \pm z_{p}\sigma }$باحتمالية محددة${\displaystyle p}$تُفيد هذه القيم في تحديد نطاق التسامح لمتوسطات العينات وغيرها من المُقدِّرات الإحصائية ذات التوزيعاتالطبيعية (أو شبه الطبيعية). ^{[ 23 ]} يُبيِّن الجدول التالي${\textstyle {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(p)=\Phi ^{-1}\left({\frac {p+1}{2}}\right)}$، لا${\textstyle \Phi ^{-1}(p)}$كما هو موضح أعلاه.

⁠${\displaystyle p}$⁠	${\textstyle z_{p}}$		⁠${\displaystyle p}$⁠	${\textstyle z_{p}}$
0.80	1.281 551 565 545		0.999	3.290 526 731 492
0.90	1.644 853 626 951		0.9999	3.890 591 886 413
0.95	1.959 963 984 540		0.99999	4.417 173 413 469
0.98	2.326 347 874 041		0.999999	4.891 638 475 699
0.99	2.575 829 303 549		0.9999999	5.326 723 886 384
0.995	2.807 033 768 344		0.99999999	5.730 728 868 236
0.998	3.090 232 306 168		0.999999999	6.109 410 204 869

للصغار​${\displaystyle p}$، دالة الكمية لها التوسع التقاربي المفيد${\textstyle \Phi ^{-1}(p)=-{\sqrt {\ln {\frac {1}{p^{2}}}-\ln \ln {\frac {1}{p^{2}}}-\ln(2\pi )}}+{\mathcal {o}}(1).}$

التوزيع الطبيعي ذو الكثافة${\textstyle f(x)}$(متوسط ​​⁠${\displaystyle \mu }$والتباين​${\textstyle \sigma ^{2}>0}$) له الخصائص التالية:

• إنه متناظر حول النقطة${\textstyle x=\mu ,}$وهو في الوقت نفسه المنوال والوسيط والمتوسط ​​للتوزيع ^. [ ^{28 ]}
• إنها أحادية النمط : مشتقتها الأولى موجبة لـ${\textstyle x<\mu ,}$سلبي لـ${\textstyle x>\mu ,}$والصفر فقط عند${\textstyle x=\mu .}$
• المنطقة المحصورة بين المنحنى و${\displaystyle x}$المحور - يساوي الوحدة (أي يساوي واحدًا).
• مشتقها الأول هو${\textstyle f'(x)=-{\frac {x-\mu }{\sigma ^{2}}}f(x).}$
• مشتقته الثانية هي${\textstyle f''(x)={\frac {(x-\mu )^{2}-\sigma ^{2}}{\sigma ^{4}}}f(x).}$
• تحتوي كثافتها على نقطتي انعطاف (حيث تكون المشتقة الثانية لـ ⁠${\displaystyle f}$( تساوي صفرًا وتغير إشارتها)، وتقع على بعد انحراف معياري واحد من المتوسط، أي عند${\textstyle x=\mu -\sigma }$و${\textstyle x=\mu +\sigma .}$^{[ 28 ]}
• كثافتها مقعرة لوغاريتميًا . ^{[ 28 ]}
• كثافتها قابلة للتفاضل إلى ما لا نهاية ، بل فائقة النعومة من الرتبة 2. ^{[ 29 ]}

علاوة على ذلك ، الكثافة${\displaystyle \varphi }$من التوزيع الطبيعي القياسي (أي${\textstyle \mu =0}$و${\textstyle \sigma =1}$كما أن له الخصائص التالية:

• مشتقها الأول هو${\textstyle \varphi '(x)=-x\varphi (x).}$
• مشتقته الثانية هي${\textstyle \varphi ''(x)=(x^{2}-1)\varphi (x)}$
• وبشكل أعم، فإن مشتقته من الرتبة n هي${\textstyle \varphi ^{(n)}(x)=(-1)^{n}\operatorname {He} _{n}(x)\varphi (x),}$أين${\textstyle \operatorname {He} _{n}(x)}$هي متعددة الحدود الهيرميتية من الرتبة n (الاحتمالية) . ^{[ 30 ]}
• احتمال أن يكون المتغير ذو التوزيع الطبيعي${\displaystyle X}$مع المعروف​${\displaystyle \mu }$و​${\textstyle \sigma ^{2}}$إذا كانت تنتمي إلى مجموعة معينة، فيمكن حسابها بمعرفة أن الكسر${\textstyle Z=(X-\mu )/\sigma }$يتبع التوزيع الطبيعي القياسي.

العزوم البسيطة والمطلقة لمتغير${\displaystyle X}$هي القيم المتوقعة لـ${\textstyle X^{p}}$و${\textstyle |X|^{p}}$، على التوالي. إذا كانت القيمة المتوقعة${\displaystyle \mu }$من​​${\displaystyle X}$إذا كانت قيمة تساوي صفرًا، تُسمى هذه المعاملات بالعزوم المركزية؛ وإلا، تُسمى بالعزوم غير المركزية. عادةً ما نهتم فقط بالعزوم ذات الرتبة الصحيحة .${\displaystyle p}$⁠ .

إذا​${\displaystyle X}$إذا كان التوزيع طبيعيًا، فإن العزوم غير المركزية موجودة ومحدودة لأي قيمة لـ${\displaystyle p}$الذي يكون جزؤه الحقيقي أكبر من -1. لأي عدد صحيح غير سالب${\displaystyle p}$، اللحظات المركزية البسيطة هي: ^{[ 31 ]}$${\displaystyle \operatorname {E} \left[(X-\mu )^{p}\right]={\begin{cases}0&{\text{if }}p{\text{ is odd,}}\\\sigma ^{p}(p-1)!!&{\text{if }}p{\text{ is even.}}\end{cases}}}$$ هنا${\textstyle n!!}$يرمز إلى المضروب المزدوج ، أي حاصل ضرب جميع الأعداد من ⁠${\displaystyle n}$إلى 1 التي لها نفس التكافؤ مثل${\textstyle n.}$

تتطابق العزوم المطلقة المركزية مع العزوم العادية لجميع الرتب الزوجية، ولكنها لا تساوي الصفر للرتب الفردية. لأي عدد صحيح غير سالب${\textstyle p,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[|X-\mu |^{p}\right]&=\sigma ^{p}(p-1)!!\cdot {\begin{cases}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}&{\text{if }}p{\text{ is odd}}\\1&{\text{if }}p{\text{ is even}}\end{cases}}\\[8pt]&=\sigma ^{p}\cdot {\frac {2^{p/2}\Gamma \left({\frac {p+1}{2}}\right)}{\sqrt {\pi }}}.\end{aligned}}}$$ الصيغة الأخيرة صالحة أيضاً لأي عدد غير صحيح${\textstyle p>-1.}$عندما يكون المتوسط${\textstyle \mu \neq 0,}$يمكن التعبير عن العزوم المستوية والمطلقة بدلالة الدوال الهندسية الفائقة المتداخلة${\textstyle {}_{1}F_{1}}$و${\textstyle U.}$^{[ 32 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X^{p}\right]&=\sigma ^{p}\cdot {\left(-i{\sqrt {2}}\right)}^{p}\,U{\left(-{\frac {p}{2}},{\frac {1}{2}},-{\frac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)},\\\operatorname {E} \left[|X|^{p}\right]&=\sigma ^{p}\cdot 2^{p/2}{\frac {\Gamma {\left({\frac {1+p}{2}}\right)}}{\sqrt {\pi }}}\,{}_{1}F_{1}{\left(-{\frac {p}{2}},{\frac {1}{2}},-{\frac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}.\end{aligned}}}$$

تظل هذه التعبيرات سارية حتى عندما${\displaystyle p>-1}$ليس عددًا صحيحًا. انظر أيضًا كثيرات حدود هيرميت المعممة .

طلب	لحظة غير مركزية،${\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{p}\right]}$	لحظة محورية،${\displaystyle \operatorname {E} \left[(X-\mu )^{p}\right]}$
0	⁠${\displaystyle 1}$⁠	⁠${\displaystyle 1}$⁠
1	⁠${\displaystyle \mu }$⁠	⁠${\displaystyle 0}$⁠
2	${\textstyle \mu ^{2}+\sigma ^{2}}$	${\textstyle \sigma ^{2}}$
3	${\textstyle \mu ^{3}+3\mu \sigma ^{2}}$	⁠${\displaystyle 0}$⁠
4	${\textstyle \mu ^{4}+6\mu ^{2}\sigma ^{2}+3\sigma ^{4}}$	${\textstyle 3\sigma ^{4}}$
5	${\textstyle \mu ^{5}+10\mu ^{3}\sigma ^{2}+15\mu \sigma ^{4}}$	⁠${\displaystyle 0}$⁠
6	${\textstyle \mu ^{6}+15\mu ^{4}\sigma ^{2}+45\mu ^{2}\sigma ^{4}+15\sigma ^{6}}$	${\textstyle 15\sigma ^{6}}$
7	${\textstyle \mu ^{7}+21\mu ^{5}\sigma ^{2}+105\mu ^{3}\sigma ^{4}+105\mu \sigma ^{6}}$	⁠${\displaystyle 0}$⁠
8	${\textstyle \mu ^{8}+28\mu ^{6}\sigma ^{2}+210\mu ^{4}\sigma ^{4}+420\mu ^{2}\sigma ^{6}+105\sigma ^{8}}$	${\textstyle 105\sigma ^{8}}$

توقع ⁠${\displaystyle X}$مشروطًا بالحدث الذي${\displaystyle X}$يقع في فترة زمنية${\textstyle [a,b]}$يُعطى بواسطة $${\displaystyle \operatorname {E} \left[X\mid a<X<b\right]=\mu -\sigma ^{2}{\frac {f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}}\,,}$$ أين​${\displaystyle f}$و​​${\displaystyle F}$يمثل كل من و دالة الكثافة ودالة التوزيع التراكمي لـ${\displaystyle X}$. لـ${\textstyle b=\infty }$يُعرف هذا باسم نسبة ميلز العكسية . لاحظ أن الكثافة أعلاه${\displaystyle f}$من​​${\displaystyle X}$يُستخدم بدلاً من الكثافة الطبيعية القياسية كما في نسبة ميلز العكسية، لذلك لدينا هنا${\textstyle \sigma ^{2}}$بدلاً من${\displaystyle \sigma }$⁠ .

تحويل فورييه للكثافة الطبيعية${\displaystyle f}$بمتوسط​​${\displaystyle \mu }$والتباين​${\textstyle \sigma ^{2}}$هو ^{[ 33 ]}

$${\displaystyle {\hat {f}}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-itx}\,dx=e^{-i\mu t}e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}\,,}$$

أين​${\displaystyle i}$هي الوحدة التخيلية . إذا كان المتوسط${\textstyle \mu =0}$، العامل الأول هو 1، وتحويل فورييه، بصرف النظر عن عامل ثابت، هو دالة كثافة طبيعية في مجال التردد ، بمتوسط ​​0 وتباين ⁠${\displaystyle 1/\sigma ^{2}}$. وعلى وجه الخصوص، التوزيع الطبيعي القياسي ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠ هي دالة ذاتية لتحويل فورييه.

في نظرية الاحتمالات، يُعرف تحويل فورييه لتوزيع الاحتمال لمتغير عشوائي ذي قيمة حقيقية بأنه${\displaystyle X}$يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالوظيفة المميزة${\textstyle \varphi _{X}(t)}$من ذلك المتغير، والذي يُعرَّف بأنه القيمة المتوقعة لـ${\textstyle e^{itX}}$، كدالة للمتغير الحقيقي ⁠${\displaystyle t}$( معامل التردد لتحويل فورييه). يمكن توسيع هذا التعريف تحليليًا ليشمل متغيرًا ذا قيمة مركبة .${\displaystyle t}$[ ³⁴ ]العلاقة بينهما ^{هي :}$${\displaystyle \varphi _{X}(t)={\hat {f}}(-t)\,.}$$

الأجزاء الحقيقية والخيالية من${\displaystyle {\hat {f}}(t)=\operatorname {E} [e^{-itx}]=e^{-i\mu t}e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}}$يعطي: $${\displaystyle \operatorname {E} [\cos(tx)]=\cos(\mu t)e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}}$$و $${\displaystyle \operatorname {E} [\sin(tx)]=\sin(\mu t)e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}.}$$

بصورة مماثلة، $${\displaystyle \operatorname {E} [\cosh(tx)]=\cosh(\mu t)e^{{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}}$$و $${\displaystyle \operatorname {E} [\sinh(tx)]=\sinh(\mu t)e^{{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}.}$$

تم تقييم هذه الصيغ عند${\displaystyle t=1}$أوجد القيمة المتوقعة لهذه الدوال المثلثية والزائدية الأساسية على متغير عشوائي غاوسي${\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$، والتي يمكن اعتبارها أيضاً من نتائج نظرية إيسرليس .

دالة توليد العزوم لمتغير عشوائي حقيقي${\displaystyle X}$القيمة المتوقعة لـ${\textstyle e^{tX}}$، كدالة للمعامل الحقيقي ⁠${\displaystyle t}$بالنسبة للتوزيع الطبيعي ذي الكثافة${\displaystyle f}$، متوسط​${\displaystyle \mu }$والتباين​${\textstyle \sigma ^{2}}$توجد دالة توليد العزوم وهي تساوي

$${\displaystyle M(t)=\operatorname {E} \left[e^{tX}\right]={\hat {f}}(it)=e^{\mu t}e^{\sigma ^{2}t^{2}/2}\,.}$$ لأي​${\displaystyle k}$، معامل​${\displaystyle t^{k}/k!}$في دالة توليد العزوم (المعبر عنها كمتسلسلة قوى أسية في${\displaystyle t}$) هي القيمة المتوقعة للتوزيع الطبيعي${\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]}$⁠ .

دالة توليد العزوم التراكمية هي لوغاريتم دالة توليد العزوم، أي $${\displaystyle g(t)=\ln M(t)=\mu t+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\,.}$$

تحدد معاملات متسلسلة القوى الأسية هذه العزوم التراكمية، ولكن نظرًا لأن هذه دالة تربيعية في${\displaystyle t}$، فقط أول اثنين من التراكمات غير صفريين، وهما المتوسط ​​⁠ ${\displaystyle \mu }$والتباين​​ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$⁠ .

يفضل بعض المؤلفين بدلاً من ذلك العمل مع الدالة المميزة E[ e ^itX ] = e ^{iμt − σ 2 t 2 /2} و ln E[ e itX ^] = iμt − 1 / 2 σ 2 t ^{2 .}

في طريقة شتاين، عامل شتاين وفئة المتغير العشوائي ${\textstyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$نكون${\textstyle {\mathcal {A}}f(x)=\sigma ^{2}f'(x)-(x-\mu )f(x)}$و${\textstyle {\mathcal {F}}}$فئة جميع الدوال المتصلة بشكل مطلق${\displaystyle \textstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$بحيث​​${\displaystyle \operatorname {E} [\vert f'(X)\vert ]<\infty }$⁠ .

في الحد عندما${\textstyle \sigma ^{2}}$عندما تقترب كثافة الاحتمال من الصفر${\textstyle f}$يقترب من الصفر في كل مكان باستثناء${\textstyle \mu }$حيث يقترب${\textstyle \infty }$بينما يظل تكامله مساويًا لـ 1. ويمكن تعريف امتداد التوزيع الطبيعي إلى حالة التباين الصفري باستخدام مقياس ديراك دلتا.${\textstyle \delta _{\mu }}$على الرغم من أن المتغيرات العشوائية الناتجة ليست متصلة بشكل مطلق ، وبالتالي لا تمتلك دوال كثافة احتمالية ، فإن دالة التوزيع التراكمي لمثل هذا المتغير العشوائي هي دالة هيفسايد المتدرجة بعد إزاحتها بمقدار المتوسط.${\textstyle \mu }$، أي $${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<\mu \\1&{\text{if }}x\geq \mu .\end{cases}}}$$

من بين جميع التوزيعات الاحتمالية على الأعداد الحقيقية ذات المتوسط ​​المحدود المحدد ⁠${\displaystyle \mu }$والتباين المحدود​${\displaystyle \sigma ^{2}}$التوزيع الطبيعي${\textstyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$هو الذي يتمتع بأقصى إنتروبيا . ^{[ 24 ]} ولتوضيح ذلك، لنفترض أن${\displaystyle X}$ليكن متغيرًا عشوائيًا مستمرًا ذو كثافة احتمالية${\displaystyle f(x)}$. إنتروبيا ⁠${\displaystyle X}$يتم تعريفها على النحو التالي ^{[ 35 ] [ 36 ] [ 37 ]}$${\displaystyle H(X)=-\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ln f(x)\,dx\,,}$$ أين${\textstyle f(x)\log f(x)}$يُفهم أن قيمته تساوي صفرًا عندما${\displaystyle f(x)=0}$يمكن تعظيم هذه الدالة، مع مراعاة القيود التي تنص على أن التوزيع مُعَيَّر بشكل صحيح وله متوسط ​​وتباين محددين، باستخدام حساب التفاضل والتكامل التغيري . يتم تعريف دالة بثلاثة مُضاعِفات لاغرانج :$${\displaystyle L=-\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ln f(x)\,dx-\lambda _{0}\left(1-\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx\right)-\lambda _{1}\left(\mu -\int _{-\infty }^{\infty }f(x)x\,dx\right)-\lambda _{2}\left(\sigma ^{2}-\int _{-\infty }^{\infty }f(x)(x-\mu )^{2}\,dx\right)\,.}$$

عند أقصى إنتروبيا، يكون التغير طفيفًا${\textstyle \delta f(x)}$عن${\textstyle f(x)}$سيؤدي ذلك إلى اختلاف${\textstyle \delta L}$حول​${\displaystyle L}$وهو يساوي صفرًا: $${\displaystyle 0=\delta L=\int _{-\infty }^{\infty }\delta f(x)\left(-\ln f(x)-1+\lambda _{0}+\lambda _{1}x+\lambda _{2}(x-\mu )^{2}\right)\,dx\,.}$$

بما أن هذا يجب أن ينطبق على أي شيء صغير${\displaystyle \delta f(x)}$، العامل الذي يُضرب${\displaystyle \delta f(x)}$يجب أن تكون القيمة صفرًا، وحل المعادلة لإيجاد القيمة${\displaystyle f(x)}$ينتج عنه: $${\displaystyle f(x)=\exp \left(-1+\lambda _{0}+\lambda _{1}x+\lambda _{2}(x-\mu )^{2}\right)\,.}$$

قيود لاغرانج التي${\displaystyle f(x)}$يتم تحقيق شرط التطبيع الصحيح والمتوسط ​​والتباين المحددين إذا وفقط إذا كان${\displaystyle \lambda _{0}}$،​​${\displaystyle \lambda _{1}}$و​​${\displaystyle \lambda _{2}}$يتم اختيارها بحيث $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,.}$$ إنتروبيا التوزيع الطبيعي${\textstyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$يساوي $${\displaystyle H(X)={\tfrac {1}{2}}(1+\ln 2\sigma ^{2}\pi )\,,}$$ وهو مستقل عن المتوسط${\displaystyle \mu }$⁠ .

تنص نظرية النهاية المركزية على أنه في ظل ظروف معينة (شائعة إلى حد ما)، فإن مجموع العديد من المتغيرات العشوائية سيكون له توزيع طبيعي تقريبًا. وبشكل أكثر تحديدًا، حيث${\textstyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$هي متغيرات عشوائية مستقلة ومتطابقة التوزيع، لها نفس التوزيع العشوائي، ومتوسط ​​صفري، وتباين${\textstyle \sigma ^{2}}$و​${\displaystyle Z}$⁠ هو متوسطهم مقسومًا على${\textstyle {\sqrt {n}}}$$${\displaystyle Z={\sqrt {n}}{\biggl (}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}{\biggr )}}$$ ثم، كما${\displaystyle n}$كلما زاد، زاد التوزيع الاحتمالي لـ${\displaystyle Z}$ستميل إلى التوزيع الطبيعي بمتوسط ​​صفر وتباين صفري${\displaystyle \sigma ^{2}}$⁠ .

يمكن تعميم النظرية لتشمل المتغيرات${\textstyle (X_{i})}$التي لا تكون مستقلة و/أو لا تتوزع بشكل متطابق إذا تم وضع قيود معينة على درجة التبعية وعزوم التوزيعات.

تحتوي العديد من إحصائيات الاختبار والدرجات والمُقدِّرات المستخدمة عمليًا على مجاميع لمتغيرات عشوائية معينة ، بل ويمكن تمثيل المزيد من المُقدِّرات كمجاميع لمتغيرات عشوائية باستخدام دوال التأثير . وتنص نظرية النهاية المركزية على أن هذه المعلمات الإحصائية ستتبع توزيعات طبيعية تقاربًا.

تنص نظرية النهاية المركزية أيضًا على أنه يمكن تقريب بعض التوزيعات بواسطة التوزيع الطبيعي، على سبيل المثال:

• التوزيع ذو الحدين${\textstyle B(n,p)}$يتبع التوزيع الطبيعي تقريبًا بمتوسط${\textstyle np}$والتباين${\textstyle np(1-p)}$للأحجام الكبيرة${\displaystyle n}$و لـ​${\displaystyle p}$ليس قريبًا جدًا من 0 أو 1.
• توزيع بواسون ذو المعلمة ⁠${\displaystyle \lambda }$⁠ توزيع طبيعي تقريبًا بمتوسط ​​⁠${\displaystyle \lambda }$والتباين​​${\displaystyle \lambda }$، بالنسبة للقيم الكبيرة لـ${\displaystyle \lambda }$[ ⁴⁵ ]^​​
• توزيع كاي تربيع${\textstyle \chi ^{2}(k)}$يتبع التوزيع الطبيعي تقريبًا بمتوسط ​​⁠${\displaystyle k}$والتباين​${\textstyle 2k}$، للكبير ⁠${\displaystyle k}$⁠ .
• توزيع t للطالب${\textstyle t(\nu )}$يكون التوزيع طبيعيًا تقريبًا بمتوسط ​​0 وتباين 1 عندما${\displaystyle \nu }$كبير .