المعكوس المعمم

في الرياضيات ، وتحديدًا في الجبر ، يُعرف المعكوس المعمم (أو المعكوس-g ) للعنصر x بأنه عنصر y يمتلك بعض خصائص العنصر المعكوس، ولكن ليس بالضرورة جميعها. يهدف بناء المعكوس المعمم للمصفوفة إلى الحصول على مصفوفة يمكن استخدامها كمعكوس، بمعنى ما، لفئة أوسع من المصفوفات مقارنةً بالمصفوفات القابلة للعكس . يمكن تعريف المعكوسات المعممة في أي بنية رياضية تتضمن الضرب التجميعي ، أي في شبه زمرة . تتناول هذه المقالة المعكوسات المعممة للمصفوفة .${\displaystyle A}$.

مصفوفة${\displaystyle A^{\mathrm {g} }\in \mathbb {R} ^{n\times m}}$هو معكوس معمّم للمصفوفة${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$لو${\displaystyle AA^{\mathrm {g} }A=A.}$^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} يوجد معكوس معمّم لأي مصفوفة، وعندما يكون للمصفوفةمعكوس منتظم، فإن هذا المعكوس هو معكوسها المعمّم الوحيد. ^{[ 1 ]}

ضع في اعتبارك النظام الخطي

${\displaystyle Ax=y}$

أين${\displaystyle A}$هو${\displaystyle m\times n}$المصفوفة و${\displaystyle y\in {\mathcal {C}}(A),}$مساحة الأعمدة لـ${\displaystyle A}$. لو${\displaystyle m=n}$و${\displaystyle A}$إذا كانت غير منفردة${\displaystyle x=A^{-1}y}$سيكون هذا هو حل النظام. لاحظ أنه إذا${\displaystyle A}$إذا كانت غير منفردة،

${\displaystyle AA^{-1}A=A.}$

لنفترض الآن${\displaystyle A}$مستطيل (${\displaystyle m\neq n}$أو مربع ومفرد. عندها نحتاج إلى مرشح مناسب${\displaystyle G}$من النظام${\displaystyle n\times m}$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle y\in {\mathcal {C}}(A),}$

${\displaystyle AGy=y.}$^{[ 4 ]}

إنه،${\displaystyle x=Gy}$هو حل للنظام الخطي${\displaystyle Ax=y}$أو بعبارة أخرى، نحتاج إلى مصفوفة${\displaystyle G}$من النظام${\displaystyle n\times m}$بحيث

${\displaystyle AGA=A.}$

وبالتالي يمكننا تعريف المعكوس المعمم على النحو التالي: بالنظر إلى${\displaystyle m\times n}$مصفوفة${\displaystyle A}$، أن${\displaystyle n\times m}$مصفوفة${\displaystyle G}$ويُقال إنها معكوس معمّم لـ${\displaystyle A}$لو${\displaystyle AGA=A.}$^{[1 ] [ 2 ] [ 3 ]} المصفوفة${\displaystyle A^{-1}}$وقد أطلق عليه اسم معكوس منتظم لـ${\displaystyle A}$من قبل بعض المؤلفين. ^{[ 5 ]}

تكمن المشكلة في كيفية اختيار${\displaystyle x}$كناتج لـ${\displaystyle G}$لكل${\displaystyle y}$عندما تكون الخريطة${\displaystyle x\mapsto y=Ax}$ليست دالة تقابلية.

• لو${\displaystyle A}$إذا لم يكن شاملاً ، فليس كل شيء كذلك${\displaystyle y}$'s في نطاقها المقابل لها ما يقابلها${\displaystyle x}$عبر${\displaystyle A}$ولتجنب ذلك، نترك ببساطة${\displaystyle G}$قم برسم تلك الخرائط${\displaystyle y}$إلى قيم عشوائية.

على سبيل المثال، قم بتحليل المجال المقابل لـ${\displaystyle A}$باعتباره المجموع المباشر لفضاء الأعمدة${\displaystyle {\mathcal {C}}(A)}$وفضاء فرعي مكمل، وبناء${\displaystyle G}$على النحو التالي.

• ل${\displaystyle y}$'s في الفضاء الفرعي السابق، دع${\displaystyle G}$الخريطة تعود إلى المقابل${\displaystyle x}$'s.
• ل${\displaystyle y}$'s في الفضاء الفرعي الأخير، دع${\displaystyle G}$قم بتعيينها جميعًا إلى الصفر (لعدم وجود ما يقابلها).${\displaystyle x}$'s).
• أما بالنسبة للآخرين${\displaystyle y}$قم بتحليلها إلى مجموع المكونين المذكورين أعلاه، ثم طبقها${\displaystyle G}$على التوالي، ثم خذ المجموع.

• لو${\displaystyle A}$إذا لم يكن حقنيًا ، فبعض${\displaystyle y}$'s تعني متعدد${\displaystyle x}$عبر${\displaystyle A}$ولتجنب ذلك، ندع${\displaystyle G}$خريطة كل${\displaystyle y}$إلى أحد${\displaystyle x}$وفقًا لخوارزمية.

على سبيل المثال، قم بتقسيم مجال${\displaystyle A}$كمجموع مباشر لـ${\displaystyle \ker A}$وفضاء فرعي مكمل. لكل فضاء ممكن${\displaystyle y}$، يجب أن تكون صورتها العكسية موازية لـ${\displaystyle \ker A}$وتتقاطع مع الفضاء الجزئي المكمل المختار عند نقطة واحدة. ليكن${\displaystyle G}$خريطة${\displaystyle y}$إلى هذه النقطة.

• لو${\displaystyle A}$ليست شاملة ولا حقنية ، لذلك نجمع بين الحيلتين المذكورتين أعلاه.

الصورة على اليمين مثال على ذلك.

تشمل الأنواع المهمة للمعكوس المعمم ما يلي:

• المعكوس أحادي الجانب (المعكوس الأيمن أو المعكوس الأيسر)
  • المعكوس الأيمن: إذا كانت المصفوفة${\displaystyle A}$له أبعاد${\displaystyle m\times n}$و${\displaystyle {\textrm {rank}}(A)=m}$إذن يوجد${\displaystyle n\times m}$مصفوفة${\displaystyle A_{\mathrm {R} }^{-1}}$يُطلق عليه اسم المعكوس الأيمن لـ${\displaystyle A}$بحيث${\displaystyle AA_{\mathrm {R} }^{-1}=I_{m}}$، أين${\displaystyle I_{m}}$هو${\displaystyle m\times m}$مصفوفة الوحدة .
  • المعكوس الأيسر: إذا كانت المصفوفة${\displaystyle A}$له أبعاد${\displaystyle m\times n}$و${\displaystyle {\textrm {rank}}(A)=n}$إذن يوجد${\displaystyle n\times m}$مصفوفة${\displaystyle A_{\mathrm {L} }^{-1}}$يُطلق عليه اسم المعكوس الأيسر لـ${\displaystyle A}$بحيث${\displaystyle A_{\mathrm {L} }^{-1}A=I_{n}}$، أين${\displaystyle I_{n}}$هو${\displaystyle n\times n}$مصفوفة الوحدة. ^{[ 6 ]}
• معكوس بوت-دافين
• درازين العكسي
• معكوس مور-بنروز

يتم تعريف بعض المعكوسات المعممة وتصنيفها بناءً على شروط بنروز:

1. ${\displaystyle AA^{\mathrm {g} }A=A}$
2. ${\displaystyle A^{\mathrm {g} }AA^{\mathrm {g} }=A^{\mathrm {g} }}$
3. ${\displaystyle (AA^{\mathrm {g} })^{*}=AA^{\mathrm {g} }}$
4. ${\displaystyle (A^{\mathrm {g} }A)^{*}=A^{\mathrm {g} }A,}$

أين${\displaystyle {}^{*}}$يشير إلى منقولة المرافق . إذا${\displaystyle A^{\mathrm {g} }}$إذا حقق الشرط الأول، فإنه يكون معكوسًا معمّمًا لـ${\displaystyle A}$إذا استوفى الشرطين الأولين، فإنه يكون معكوسًا معمّمًا انعكاسيًا لـ${\displaystyle A}$إذا استوفى جميع الشروط الأربعة، فإنه يكون المعكوس الزائف لـ${\displaystyle A}$، والذي يُرمز إليه بـ${\displaystyle A^{+}}$ويُعرف أيضًا باسم معكوس مور-بنروز ، نسبةً إلى الأعمال الرائدة لإي إتش مور وروجر بنروز . ^{[ 2 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]} من الملائم تعريف${\displaystyle I}$-معكوس​${\displaystyle A}$باعتبارها معكوسًا يحقق المجموعة الجزئية${\displaystyle I\subset \{1,2,3,4\}}$من شروط بنروز المذكورة أعلاه. العلاقات، مثل${\displaystyle A^{(1,4)}AA^{(1,3)}=A^{+}}$يمكن إقامة علاقة بين هذه الفئات المختلفة من${\displaystyle I}$-المعكوسات. ^{[ 1 ]}

متى${\displaystyle A}$إذا كانت غير منفردة، فإن أي معكوس معمّم${\displaystyle A^{\mathrm {g} }}$يساوي${\displaystyle A^{-1}}$وبالتالي فهو فريد من نوعه. بالنسبة لشخص واحد${\displaystyle A}$بعض المعكوسات المعممة، مثل معكوس درازين ومعكوس مور-بينروز، فريدة من نوعها، بينما البعض الآخر ليس بالضرورة محددًا بشكل فريد.

من السهل التحقق من الخصائص التالية:

• المعكوس الأيمن لمصفوفة غير مربعة${\displaystyle A}$يُعطى بواسطة${\displaystyle A_{\mathrm {R} }^{-1}=A^{\intercal }\left(AA^{\intercal }\right)^{-1}}$، متاح${\displaystyle A}$له رتبة صف كاملة. ^{[ 6 ]}
• المعكوس الأيسر لمصفوفة غير مربعة${\displaystyle A}$يُعطى بواسطة${\displaystyle A_{\mathrm {L} }^{-1}=\left(A^{\intercal }A\right)^{-1}A^{\intercal }}$، متاح${\displaystyle A}$له رتبة عمود كاملة. ^{[ 6 ]}
• لو${\displaystyle A=BC}$إذا كان تحليلًا للرتبة ، فإن${\displaystyle G=C_{\mathrm {R} }^{-1}B_{\mathrm {L} }^{-1}}$هو معكوس g لـ${\displaystyle A}$، أين${\displaystyle C_{\mathrm {R} }^{-1}}$هو معكوس يميني لـ${\displaystyle C}$و${\displaystyle B_{\mathrm {L} }^{-1}}$هو معكوس اليسار لـ${\displaystyle B}$.
• لو${\displaystyle A=P{\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{bmatrix}}Q}$لأي مصفوفات غير منفردة${\displaystyle P}$و${\displaystyle Q}$، ثم${\displaystyle G=Q^{-1}{\begin{bmatrix}I_{r}&U\\W&V\end{bmatrix}}P^{-1}}$هو معكوس معمّم لـ${\displaystyle A}$لأي${\displaystyle U,V}$و${\displaystyle W}$.
• يترك${\displaystyle A}$أن يكون ذا رتبة${\displaystyle r}$دون فقدان للعمومية ، ليكن$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}B&C\\D&E\end{bmatrix}},}$$أين${\displaystyle B_{r\times r}}$هي المصفوفة الفرعية غير المنفردة لـ${\displaystyle A}$. ثم،$${\displaystyle G={\begin{bmatrix}B^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}}$$هو معكوس معمّم لـ${\displaystyle A}$إذا وفقط إذا${\displaystyle E=DB^{-1}C}$.

يمكن استخدام أي معكوس معمّم لتحديد ما إذا كان لنظام المعادلات الخطية أي حلول، وإذا كان الأمر كذلك، فيمكن ذكر جميعها. إذا وُجدت أي حلول لنظام المعادلات الخطية من الرتبة n × m

${\displaystyle Ax=b,}$

مع متجه${\displaystyle x}$من المجاهيل والمتجه${\displaystyle b}$بالنسبة للثوابت، تُعطى جميع الحلول بواسطة

${\displaystyle x=A^{\mathrm {g} }b+\left[I-A^{\mathrm {g} }A\right]w,}$

بارامترية على المتجه العشوائي${\displaystyle w}$، أين${\displaystyle A^{\mathrm {g} }}$أي معكوس معمّم لـ${\displaystyle A}$توجد الحلول إذا وفقط إذا${\displaystyle A^{\mathrm {g} }b}$هو حل، أي إذا وفقط إذا${\displaystyle AA^{\mathrm {g} }b=b}$إذا كانت المصفوفة A ذات رتبة عمودية كاملة، فإن التعبير الموجود بين قوسين في هذه المعادلة هو المصفوفة الصفرية ، وبالتالي يكون الحل فريدًا. ^{[ 12 ]}

يمكن وصف المعكوسات المعممة للمصفوفات على النحو التالي. ليكن${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$، و

$${\displaystyle A=U{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}&0\\0&0\end{bmatrix}}V^{\operatorname {T} }}$$

ليكن تحليلها ذو القيم المفردة . عندئذٍ لأي معكوس معمّم${\displaystyle A^{g}}$توجد ^{[ 1 ]} مصفوفات${\displaystyle X}$،${\displaystyle Y}$، و${\displaystyle Z}$بحيث

$${\displaystyle A^{g}=V{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}^{-1}&X\\Y&Z\end{bmatrix}}U^{\operatorname {T} }.}$$

وعلى العكس من ذلك، فإن أي اختيار لـ${\displaystyle X}$،${\displaystyle Y}$، و${\displaystyle Z}$المصفوفة من هذا الشكل هي معكوس معمّم لـ${\displaystyle A}$[ ^{1 ]} الـ^​${\displaystyle \{1,2\}}$المعكوسات هي بالضبط تلك التي${\displaystyle Z=Y\Sigma _{1}X}$، ال${\displaystyle \{1,3\}}$المعكوسات هي بالضبط تلك التي${\displaystyle X=0}$و${\displaystyle \{1,4\}}$المعكوسات هي بالضبط تلك التي${\displaystyle Y=0}$. وعلى وجه الخصوص، يُعطى المعكوس الزائف بواسطة${\displaystyle X=Y=Z=0}$:

$${\displaystyle A^{+}=V{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}U^{\operatorname {T} }.}$$

في التطبيقات العملية، من الضروري تحديد فئة تحويلات المصفوفات التي يجب الحفاظ عليها بواسطة معكوس معمّم. على سبيل المثال، معكوس مور-بنروز،${\displaystyle A^{+},}$يفي بالتعريف التالي للاتساق فيما يتعلق بالتحويلات التي تتضمن المصفوفات الوحدوية U و V :

${\displaystyle (UAV)^{+}=V^{*}A^{+}U^{*}}$.

معكوس درازين،${\displaystyle A^{\mathrm {D} }}$يفي بالتعريف التالي للاتساق فيما يتعلق بتحويلات التشابه التي تتضمن مصفوفة غير منفردة S :

${\displaystyle \left(SAS^{-1}\right)^{\mathrm {D} }=SA^{\mathrm {D} }S^{-1}}$.

المعكوس المتسق مع الوحدة (UC)، ^{[ 13 ]}${\displaystyle A^{\mathrm {U} },}$يفي بالتعريف التالي للاتساق فيما يتعلق بالتحويلات التي تتضمن المصفوفات القطرية غير المنفردة D و E :

${\displaystyle (DAE)^{\mathrm {U} }=E^{-1}A^{\mathrm {U} }D^{-1}}$.

إن حقيقة أن معكوس مور-بنروز يوفر اتساقًا فيما يتعلق بالدوران (وهو تحويل متعامد معياري) تفسر استخدامه الواسع في الفيزياء وغيرها من التطبيقات التي يجب فيها الحفاظ على المسافات الإقليدية. في المقابل، يُستخدم معكوس UC عندما يُتوقع أن يكون سلوك النظام ثابتًا بغض النظر عن اختيار الوحدات لمتغيرات الحالة المختلفة، مثل الأميال مقابل الكيلومترات.

• معكوس المصفوفة الكتلية الزائف
• شبه مجموعة منتظمة