التوجيه (الفضاء المتجهي)

يتلاشى مفهوم التوجيه في حالة الفضاء ذي البعد الصفري. فالفضاء المتجهي ذو البعد الصفري لا يحتوي إلا على نقطة واحدة، وهي المتجه الصفري. وبالتالي، فإن الأساس الوحيد للفضاء المتجهي ذي البعد الصفري هو المجموعة الفارغة.${\displaystyle \emptyset }$لذلك، توجد فئة تكافؤ واحدة للقواعد المرتبة، وهي الفئة${\displaystyle \{\emptyset \}}$والتي يكون عنصرها الوحيد هو المجموعة الفارغة . هذا يعني أن اتجاه الفضاء الصفري الأبعاد هو دالة $${\displaystyle \{\{\emptyset \}\}\to \{\pm 1\}.}$$ لذلك من الممكن توجيه نقطة بطريقتين مختلفتين، إيجابية وسلبية.

لأنه لا يوجد سوى أساس ترتيبي واحد${\displaystyle \emptyset }$الفضاء المتجهي ذو البعد الصفري هو نفسه الفضاء المتجهي ذو البعد الصفري ذو الأساس المرتب. اختيار${\displaystyle \{\emptyset \}\mapsto +1}$أو${\displaystyle \{\emptyset \}\mapsto -1}$لذا، يختار هذا النظام اتجاهًا لكل أساس في كل فضاء متجهي صفري الأبعاد. إذا تم تعيين هذا الاتجاه لجميع الفضاءات المتجهة الصفرية الأبعاد، فإن جميع التشاكلات بينها تحافظ على الأساس المرتب، وبالتالي تحافظ على الاتجاه أيضًا. وهذا يختلف عن حالة الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد الأعلى، حيث لا توجد طريقة لاختيار اتجاه بحيث يبقى محفوظًا في جميع التشاكلات.

مع ذلك، توجد حالات يُستحسن فيها إعطاء اتجاهات مختلفة لنقاط مختلفة. على سبيل المثال، لنأخذ النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل كمثال على نظرية ستوكس . الفترة المغلقة [ a , b ] هي فضاء متعدد الأبعاد ذو حدود ، وحدودها هي المجموعة { a , b } . للحصول على الصيغة الصحيحة للنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، يجب أن يكون اتجاه النقطة b موجبًا، بينما يكون اتجاه النقطة a سالبًا.

تتناول الحالة أحادية البعد خطًا موجهًا ، يمكن اجتيازه في أحد اتجاهين. في فضاء الإحداثيات الحقيقي ، يُعرف الخط الموجه أيضًا بالمحور . [ ^{3 ] للخط} اتجاهان ( للأمام وللخلف)، تمامًا كما للدائرة الموجهة اتجاهان (مع عقارب الساعة وعكس عقارب الساعة). يُسمى الخط الموجه شبه اللانهائي شعاعًا ( ويُسمى أحيانًا نصف محور أو نصف خط موجه ). في حالة القطعة المستقيمة (مجموعة فرعية متصلة من خط)، ينتج عن الاتجاهين الممكنين قطع مستقيمة موجهة .

قد يكون للسطح القابل للتوجيه أحيانًا التوجيه المحدد الذي يُشار إليه بتوجيه العمودي على السطح . ويمكن تعريف المستوى الموجه بواسطة متجه زائف .

لأي فضاء متجهي حقيقي V ذي بُعد n ، يمكننا تكوين القوة الخارجية k لـ V ، ويرمز لها بـ ΛkV . ^هذا فضاء متجهي حقيقي ذو بُعد${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$وبالتالي ، فإن الفضاء المتجهي ^ΛⁿV (المسمى بالقوة الخارجية العليا ) له بُعد واحد. أي أن ^ΛⁿV هو مجرد خط حقيقي. لا يوجد اختيار مسبق لأي اتجاه على هذا الخط يكون موجبًا. التوجيه هو هذا الاختيار. أي شكل خطي غير صفري ω على ^ΛⁿV يُحدد توجيهًا لـ V بالإعلان أن x في الاتجاه الموجب عندما ω ( x ) > 0. وللربط مع وجهة نظر الأساس ، نقول إن الأسس الموجهة إيجابيًا هي تلك التي يكون عندها تقييم ω عددًا موجبًا (بما أن ω شكل من الرتبة n ، يمكننا تقييمه على مجموعة مرتبة من n متجه، مما يُعطي عنصرًا من R ). يُسمى الشكل ω شكل توجيه . إذا كانت { e _i } أساسًا مميزًا لـ V و { e _i ^∗ } هو الأساس المزدوج ، فإن شكل التوجيه الذي يعطي التوجيه القياسي هو e ₁ ^∗ ∧ e ₂ ^∗ ∧ … ∧ e _n ^∗ .

ويرتبط هذا بوجهة نظر المحددات، وهي: محدد التشكل الداخلي${\displaystyle T:V\to V}$يمكن تفسير ذلك على أنه التأثير المستحث على القوة الخارجية العليا.

ليكن B مجموعة جميع القواعد المرتبة للفضاء V. عندئذٍ، تؤثر المجموعة الخطية العامة GL( V ) بحرية وبشكل متعدٍ على B. (بمعنى آخر، B هي مجموعة GL( V ) -torsor ). هذا يعني أن B ، كمتشعب ، متماثلة (بشكل غير قياسي) مع GL( V ). لاحظ أن المجموعة GL( V ) ليست متصلة ، بل لها مكونان متصلان، وذلك بحسب ما إذا كان محدد التحويل موجبًا أم سالبًا (باستثناء GL₀ _، وهي المجموعة التافهة، وبالتالي لها مكون متصل واحد؛ وهذا يتوافق مع التوجيه القياسي على فضاء متجهي صفري الأبعاد). يُرمز إلى مكون الوحدة في GL( V ) بالرمز GL⁺ ⁽ V ) ، ويتكون من التحويلات ذات المحدد الموجب. تأثير GL⁺ ⁽ V ) على B ليس متعديًا : فهناك مداران يتوافقان مع المكونات المتصلة في B. هذان المداران هما تحديدًا فئات التكافؤ المشار إليها سابقًا. بما أن B لا تحتوي على عنصر مميز (أي أساس مميز)، فلا يوجد اختيار طبيعي لأي مكون موجب. على النقيض من ذلك، فإن GL( V ) تحتوي على مكون مميز: مكون العنصر المحايد. إن اختيار تشاكل محدد بين B وGL( V ) يُكافئ اختيار أساس مميز، وبالتالي يُحدد اتجاهًا.

بصورة أكثر رسمية:${\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {GL} (V))=(\operatorname {GL} (V)/\operatorname {GL} ^{+}(V)=\{\pm 1\}}$، ومتشعب ستيفل من الإطارات n في${\displaystyle V}$هو${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$- تورسور ، لذا${\displaystyle V_{n}(V)/\operatorname {GL} ^{+}(V)}$هو تورسور فوق${\displaystyle \{\pm 1\}}$أي أن لها نقطتين، واختيار إحداهما هو التوجيه.

تُنسب إلى مختلف عناصر الجبر الهندسي ثلاث سمات أو خصائص : الوضع، والاتجاه، والمقدار. ^{[ 5 ]} فعلى سبيل المثال، للمتجه وضع يُحدده خط مستقيم موازٍ له، واتجاه يُحدده اتجاهه (يُشار إليه غالبًا برأس سهم)، ومقدار يُحدده طوله. وبالمثل، فإن للمتجه الثنائي في ثلاثة أبعاد وضعًا يُحدده مجموعة المستويات المرتبطة به (ربما يُحددها الخط العمودي المشترك بين هذه المستويات ^{[ 6 ]} )، واتجاهًا (يُشار إليه أحيانًا بسهم منحني في المستوى) يُشير إلى اتجاه اجتياز حدوده (دورانه ) ، ومقدارًا يُحدده مساحة متوازي الأضلاع المُحدد بواسطة متجهيه. ^{[ 7 ]}