رقم بانديجيتال

في الرياضيات ، يُعرف العدد الشامل للأرقام بأنه عدد صحيح يحتوي، ضمن أرقامه المعنوية في نظام عد معين، على كل رقم مستخدم في ذلك النظام مرة واحدة على الأقل. على سبيل المثال، العدد 1234567890 (مليار ومائتان وأربعة وثلاثون مليونًا وخمسمائة وسبعة وستون ألفًا وثمانمائة وتسعون) هو عدد شامل للأرقام في النظام العشري.

الأرقام العشرية العشرية الأولى هي (التسلسل A171102 في OEIS ) :

1023456789، 1023456798، 1023456879، 1023456897، 1023456978، 1023456987، 1023457689

أصغر عدد رقمي شامل في أساس معين b هو عدد صحيح على الصورة

${\displaystyle b^{b-1}+\sum _{d=2}^{b-1}db^{b-1-d}={\frac {b^{b}-b}{(b-1)^{2}}}+(b-1)\times b^{b-2}-1}$

يسرد الجدول التالي أصغر الأعداد الرقمية الشاملة لبعض القواعد المختارة:

بالإضافة إلى بعض الأنظمة العددية الأخرى :

OEIS : A049363  يعطي القيم العشرية لأول 18 أساسًا.

بمعنى مبسط، جميع الأعداد الصحيحة الموجبة هي أعداد رقمية شاملة في النظام الأحادي (أو نظام العد). أما في النظام الثنائي، فجميع الأعداد الصحيحة هي أعداد رقمية شاملة باستثناء الصفر والأعداد من الشكل 0.${\displaystyle 2^{n}-1}$( أعداد ميرسين ). كلما كبرت القاعدة، أصبحت الأعداد الرقمية الشاملة نادرة، على الرغم من أنه يمكن دائمًا العثور على سلاسل منها.${\displaystyle b^{x}}$الأرقام المتتالية ذات الأرقام المتعددة مع الأرقام الزائدة عن طريق كتابة جميع أرقام الأساس معًا (ولكن ليس وضع الصفر أولاً كأكثر الأرقام أهمية ) وإضافة x + 1 أصفار في النهاية كأقل الأرقام أهمية.

وعلى العكس من ذلك، كلما صغرت القاعدة،${\displaystyle b}$كلما قل عدد الأعداد الرقمية الكاملة الخالية من الأرقام الزائدة، قلّ عدد الأعداد الرقمية الكاملة الخالية من الأرقام الزائدة. العدد 2 هو العدد الرقمي الكامل الوحيد في النظام الثنائي، بينما يوجد عدد أكبر من هذه الأعداد في النظام العشري. الصيغة هي${\displaystyle (b-1)(b-1)!}$[ ^{1 ]​}

أحيانًا، يُستخدم المصطلح للإشارة فقط إلى الأعداد الرقمية الكاملة التي لا تحتوي على أرقام زائدة. في بعض الحالات، قد يُطلق على العدد اسم رقمي كامل حتى لو لم يكن الصفر رقمًا مهمًا فيه، على سبيل المثال، 923456781 (يُشار إليها أيضًا باسم "الأعداد الرقمية الكاملة" ^{[ 2 ]} أو "الأعداد الرقمية الكاملة الخالية من الصفر").

لا يمكن لأي عدد في النظام العشري ذي الأرقام المتعددة أن يكون عددًا أوليًا إذا لم يحتوي على أرقام زائدة. مجموع الأرقام من 0 إلى 9 هو 45، وهو ما يحقق قاعدة قابلية القسمة على كل من 3 و9. أول عدد أولي في النظام العشري ذي الأرقام المتعددة هو 10123457689؛ ويُدرج OEIS : A050288  المزيد.

لأسباب تتعلق بالتناظر، تُشترط الأرقام الزائدة أيضًا لكي يكون العدد ذو الأرقام المتعددة (في أي نظام عدٍّ باستثناء النظام الأحادي) عددًا متناظرًا في ذلك النظام. أصغر عدد متناظر ذو أرقام متعددة في النظام العشري هو 1023456789876543201.

أكبر عدد رقمي شامل بدون أرقام زائدة ليكون أيضًا عددًا مربعًا هو 9814072356 = 99066 ² .

اثنان من أعداد فريدمان الرقمية الشاملة الخالية من الصفر هما: 123456789 = ((86 + 2 × 7) ⁵ − 91) / 3 ⁴ ، و 987654321 = (8 × (97 + 6/2) ⁵ + 1) / 3 ⁴ .

العدد الرقمي الكامل لفريدمان بدون أرقام زائدة هو المربع: 2170348569 = 46587 ² + (0 × 139).

قدّم إريك فريدمان مفهوم "التقريب الرقمي الشامل" عام 2004. باستخدام الأرقام من 1 إلى 9 (يُستخدم كل منها مرة واحدة فقط) والرموز الرياضية + − × / ( ) . و ^، يمكن تقريب عدد أويلر e كما يلي:${\displaystyle (1+9^{-4^{7\times 6}})^{3^{2^{85}}}}$وهذا صحيح بالنسبة لـ${\displaystyle 1.8\cdot 10^{25}}$المنازل العشرية. ^{[ 3 ]} المتغير${\displaystyle (1+.2^{9^{7\times 6}})^{5^{3^{84}}}}$منتج${\displaystyle 8.3\cdot 10^{39}}$الأرقام الصحيحة. ^{[ 4 ]}

مع أن معظم ما ذُكر لا ينطبق على الأرقام الرومانية ، إلا أن هناك أرقامًا متعددة الأرقام: MCDXLIV ، MCDXLVI ، MCDLXIV ، MCDLXVI ، MDCXLIV ، MDCXLVI ، MDCLXIV ، MDCLXVI . هذه الأرقام، المدرجة في OEIS : A105416 ، تستخدم كل حرف مرة واحدة فقط، بينما يحتوي OEIS : A105417 على أرقام رومانية متعددة الأرقام مع تكرار.  

تُستخدم الأرقام الرقمية المتعددة في الأعمال الروائية والإعلانات. يُعدّ رقم الضمان الاجتماعي 987-65-4321 رقمًا رقميًا متعددًا بدون أصفار، وهو مخصص للاستخدام في الإعلانات. تستخدم بعض شركات بطاقات الائتمان أرقامًا رقمية متعددة ذات أرقام زائدة كأرقام بطاقات ائتمان وهمية (بينما تستخدم شركات أخرى سلاسل من الأصفار).

تمت دراسة العديد من الخصائص الحسابية للأعداد الرقمية الكاملة، وخاصة فيما يتعلق بقابلية القسمة والتحليل إلى عوامل أولية.

يوجد 244,423 حالة يكون فيها عددٌ ذو أرقام متعددة مضاعفًا صحيحًا لعدد آخر من نفس النوع. غالبًا ما تُشكّل هذه الأعداد سلاسل ضرب تتألف من عدة خطوات متتالية، بعوامل متطابقة أو مختلفة. من بين هذه الأعداد، يبدأ 6,760 عددًا سلسلةً بخطوتين على الأقل، ويبدأ 68 عددًا سلسلةً بثلاث خطوات. لا تتداخل أيٌّ من هذه السلاسل الـ 68 ذات الخطوات الثلاث، مما يعني أن العدد الواحد من نفس النوع يمكن أن يكون له ثلاثة أعداد أخرى على الأكثر من نفس النوع كقواسم.

أصغر عدد أولي لا يقسم أي عدد من الأعداد الكاملة هو 111119. ومع ذلك، فإن بعض الأعداد الأولية الأكبر حجماً تظهر كقواسم للأعداد الكاملة.

أكبر قاسم أولي لعدد متعدد الأرقام هو 1,097,393,447؛ عند ضربه في 9، ينتج عنه العدد متعدد الأرقام 9,876,541,023.

وعلى النقيض من ذلك، هناك ثلاثة أعداد شاملة للأرقام تتكون تحليلاتها الأولية حصريًا من قوى الأعداد الأولية المكونة من رقم واحد (2، 3، 5، و7):

• 3.891.240.675 = 3 ³ * 5 ² * 7 ⁸
• 6.195.732.480 = 2 ¹³ * 3 ² * 5 * 7 ⁵
• 9.487.215.360 = 2 ⁸ * 3 ² * 5 * 7 ⁷
  • على الرغم من كونه من بين أكبر الأعداد الرقمية الشاملة من 0 إلى 9، إلا أن تحليله إلى عوامل أولية يتكون حصريًا من أصغر الأعداد الأولية الممكنة (2 و3 و5 و7).
  • بالمقارنة، فإن التحليل إلى العوامل الأولية لأصغر عدد مكون من 0 إلى 9، وهو 1,023,456,789، والذي يُكتب على الصورة 3 ^{× 4} × 2221 × 5689، يتضمن عاملين أوليين مكونين من أربعة أرقام.

يوجد إجمالاً 87 عددًا مربعًا متعدد الأرقام. ولا يُعرف أي عدد مكعب متعدد الأرقام، ولا أي عدد متعدد الأرقام له جذر صحيح من درجة أعلى.

لكل عدد طبيعي n، يوجد أس أقصى k بحيث يقسم n ^k عددًا واحدًا على الأقل من الأعداد الرقمية، بينما لا يقسم n ^{k+1 أي عدد.}

على سبيل المثال، ثلاثة أعداد رقمية قابلة للقسمة على 2 ²¹ ، ولكن لا يوجد أي منها قابل للقسمة على 2 ²² :

• 3,076,521,984 = 2 ²¹ * 3 ² * 163
• 3.718.250.496 = 2 ²¹ * 3 ² * 197
• 6.398.410.752 = 2 ²¹ * 3 ³ * 113

فيما يتعلق بالعدد 3، يوجد عدد واحد فقط من الأعداد الرقمية الكاملة يقبل القسمة على 3 ¹⁵ ، ولا يوجد أي عدد يقبل القسمة على 3 ¹⁶ :

• 7.246.198.035 = 3 ¹⁵ * 5 * 101

وبالمثل، فإن عددًا واحدًا فقط من الأعداد الرقمية الكاملة يقبل القسمة على 5 ⁹ ، بينما لا يحدث القسمة على 5 ^{10 :}

• 9.123.046.875 = 3 ³ * 5 ⁹ * 173

يمتد هذا السلوك إلى الأعداد الصحيحة الأخرى. على سبيل المثال، العدد 13 من الأعداد الرقمية الكاملة يقبل القسمة على 68 ^، بينما لا يظهر العدد ⁶⁹ كقاسم لأي عدد رقمي كامل.

بالنسبة للعدد 7، فإن أعلى قوة هي 7^ ⁸ ، والتي يتم تمثيلها بواسطة:

• 3.891.240.675 = 3 ³ * 5 ² * 7 ⁸
  • إلى جانب الرقم 7، يتكون هذا الرقم فقط من قوى الرقمين 3 و 5.

الحالات الثلاث المذكورة القابلة للقسمة على 2 ²¹ تمثل أيضًا 4 ¹⁰ و 8 ⁷ كأعلى قوة تتعلق بـ 4 و 8 وهما قوتان للعدد 2.

تسعة أعداد رقمية قابلة للقسمة على 9 ÷ ⁷ = 3 ÷ ¹⁴ ، من بينها العدد المذكور القابل للقسمة على 3 ÷ ¹⁵

• 123456789 = أول عدد رقمي شامل بدون أصفار.
• 381654729 = العدد الوحيد الخالي من الصفر في نظام العد الرقمي الكامل حيث تكون الأرقام n الأولى قابلة للقسمة على n .
• 987654321 = أكبر عدد رقمي شامل بدون أصفار وبدون أرقام زائدة.
• 1023456789 = أول رقم شامل للأرقام.
• 1234567890 = الرقم الرقمي الكامل مع ترتيب الأرقام.
• 3816547290 = العدد الرقمي المتعدد القابل للقسمة على n؛ العدد الرقمي الوحيد الذي تكون فيه الأرقام n الأولى قابلة للقسمة على n .
• 9814072356 = أكبر مربع عددي بدون أرقام زائدة. وهو مربع العدد 99066.
• 9876543210 = أكبر رقم شامل بدون أرقام زائدة.
• 12345678987654321 هو عددٌ شاملٌ للأرقام، حيث تُرتَّب جميع الأرقام باستثناء الصفر تصاعديًا وتنازليًا. وهو مربع العدد 111111111؛ انظر: عدد ديملو . وهو أيضًا عددٌ متناظر .

• ثابت شامبرنون
• بانغرام ، كلمة (أو جملة) تستخدم كل الأحرف من الألف إلى الياء مرة واحدة على الأقل.

• وايسشتاين، إريك دبليو. "العدد الرقمي الشامل" . عالم الرياضيات .
• دي جيست، ب. صفحة الأرقام التسعة
• سلون، ن.  ج.  أ. (محرر). "المتتالية A050278 (الأعداد الرقمية الكاملة: أعداد تحتوي على الأرقام من 0 إلى 9. الإصدار 1: يظهر كل رقم مرة واحدة فقط)" . الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة . مؤسسة OEIS.
• سلون، ن.  ج.  أ. (محرر). "المتتالية A050288 (الأعداد الأولية الرقمية)" . الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة . مؤسسة OEIS.
• سلون، ن.  ج.  أ. (محرر). "المتتالية A050289 (أعداد رقمية شاملة بدون أصفار: أعداد تحتوي على الأرقام من 1 إلى 9 ولا تحتوي على أصفار)" . الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة . مؤسسة OEIS.
• سلون، ن.  ج.  أ. (محرر). "المتتالية A050290 (الأعداد الأولية الرقمية الكاملة الخالية من الصفر)" . الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة . مؤسسة OEIS.