طوب أويلر

في الرياضيات ، تُعرف متوازيات المستطيلات ، التي سُميت نسبةً إلى ليونارد أويلر ، باسم " مكعب أويلر"، وتتميز أطوال أضلاعها وأقطار وجوهها بأنها أعداد صحيحة. أما متوازيات المستطيلات البدائية، فهي تلك التي تكون أطوال أضلاعها أعدادًا أولية فيما بينها . بينما متوازيات المستطيلات المثالية، فهي تلك التي يكون قطرها الخارجي عددًا صحيحًا أيضًا، ولكن لم يتم العثور على مثل هذا النوع من المتوازيات حتى الآن.

إن تعريف طوبة أويلر من الناحية الهندسية يعادل حلاً لنظام المعادلات الديوفانتية التالي :

${\displaystyle {\begin{cases}a^{2}+b^{2}=d^{2}\\a^{2}+c^{2}=e^{2}\\b^{2}+c^{2}=f^{2}\end{cases}}}$

حيث a و b و c هي الحواف و d و e و f هي الأقطار.

• إذا كان ( أ ، ب ، ج ) حلاً، فإن ( كا ، ك ب ، ك ج ) هو أيضاً حل لأي قيمة لـ ك . بالتالي، فإن الحلول في الأعداد النسبية هي جميعها إعادة قياس للحلول الصحيحة. وبالنظر إلى مكعب أويلر بأطوال أضلاع ( أ ، ب ، ج ) ، فإن الثلاثية ( ب ج ، أ ج ، أب ) تُشكل مكعب أويلر أيضاً. ^{[ 1 ] : ص 106}

• يوجد ضلع واحد بالضبط وقطران وجهان من طوبة أويلر الأولية يكونان فرديين.

• يمكن قسمة ضلعين على الأقل من أضلاع طوبة أويلر على 3. ^{[ 1 ] : ص 106}

• يمكن قسمة ضلعين على الأقل من أضلاع طوبة أويلر على 4. ^{[ 1 ] : ص 106}

• يمكن قسمة ضلع واحد على الأقل من أضلاع طوبة أويلر على 11. ^{[ 1 ] : ص 106}

أصغر طوبة أويلر، التي اكتشفها بول هالكه عام 1719، لها حواف ( أ ، ب ، ج ) = (44، 117، 240) وأقطار وجوه ( د ، هـ ، و ) = (125، 244، 267) . ^{[ 2 ]} فيما يلي بعض الحلول الأولية الصغيرة الأخرى، المعطاة على شكل حواف ( أ ، ب ، ج ) - أقطار وجوه ( د ، هـ ، و ) :

(	85،	132،	720	) — (	157،	725،	732	)
(	140،	480،	693	) — (	500،	707،	843	)
(	160،	231،	792	) — (	281،	808،	825	)
(	187،	1020،	1584	) — (	1037،	1595،	1884	)
(	195،	748،	6336	) — (	773،	6339،	6380	)
(	240،	252،	275	) — (	348،	365،	373	)
(	429،	880،	2340	) — (	979،	2379،	2500	)
(	495،	4888،	8160	) — (	4913،	8175،	9512	)
(	528،	5796،	6325	) — (	5820،	6347،	8579	)

وجد أويلر حلين بارامتريين على الأقل للمسألة، لكن لا يقدم أي منهما جميع الحلول. ^{[ 3 ]}

يمكن توليد عدد لا نهائي من طوب أويلر باستخدام ^{الصيغة البارامترية} لساوندرسون [ 4 ^{] .} ليكن ( u , v , w ) ثلاثية فيثاغورس (أي u² + v² = ^{w² )} . عندئذٍ ^{[ 1 ] : 105} الحواف

${\displaystyle a=u|4v^{2}-w^{2}|,\quad b=v|4u^{2}-w^{2}|,\quad c=4uvw}$

أعطِ الوجه قطريًا

${\displaystyle d=w^{3},\quad e=u(4v^{2}+w^{2}),\quad f=v(4u^{2}+w^{2}).}$

هناك العديد من طوب أويلر التي لا يتم تحديدها على النحو المذكور أعلاه، على سبيل المثال طوب أويلر ذو الحواف ( أ ، ب ، ج ) = (240، 252، 275) والأقطار الوجهية ( د ، هـ ، و ) = (348، 365، 373) .

المكعب المثالي (ويُسمى أيضًا طوبة أويلر المثالية أو الصندوق المثالي ) هو طوبة أويلر يكون طول قطرها الخارجي عددًا صحيحًا. بعبارة أخرى، تُضاف المعادلة التالية إلى نظام المعادلات الديوفانتية التي تُعرّف طوبة أويلر:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=g^{2},}$

حيث يمثل g القطر الخارجي. اعتبارًا من مارس 2020 لم يتم العثور على أي مثال لمكعب متوازي مستطيلات مثالي، ولم يثبت أحد عدم وجوده. ^{[ 5 ]}

أظهرت عمليات البحث الحاسوبية الشاملة أنه إذا وُجد متوازي مستطيلات مثالي،

• يجب أن يكون طول الحافة الفردية أكبر من 2.5 × 10 ¹³ ، ^{[ 6 ]}
• يجب أن يكون أصغر ضلع أكبر من5 × 10¹¹ ، ^{[ 6 ]} و^​
• ^{يجب أن} يكون قطر الفضاء أكبر من 9 × 10 ^15. [ ^{7 ]}

بعض الحقائق معروفة حول الخصائص التي يجب أن يستوفيها المكعب المثالي البدائي ، إن وجد، استنادًا إلى الحساب النمطي : ^{[ 8 ]}

• يجب أن يكون أحد الأضلاع وقطران من أقطار الوجه وقطر الفراغ فرديًا، ويجب أن يكون أحد الأضلاع وقطر الوجه المتبقي قابلاً للقسمة على 4، ويجب أن يكون الضلع المتبقي قابلاً للقسمة على 16.
• يجب أن يكون طول ضلعين قابلاً للقسمة على 3، ويجب أن يكون طول أحد هذين الضلعين على الأقل قابلاً للقسمة على 9.
• يجب أن يكون طول أحد الأضلاع قابلاً للقسمة على 5.
• يجب أن يكون طول أحد الأضلاع قابلاً للقسمة على 7.
• يجب أن يكون طول أحد الأضلاع قابلاً للقسمة على 11.
• يجب أن يكون طول أحد الأضلاع قابلاً للقسمة على 19.
• يجب أن يكون أحد الأضلاع أو القطر الخارجي قابلاً للقسمة على 13.
• يجب أن يكون أحد الأضلاع أو قطر الوجه أو قطر الفراغ قابلاً للقسمة على 17.
• يجب أن يكون أحد الأضلاع أو قطر الوجه أو قطر الفراغ قابلاً للقسمة على 29.
• يجب أن يكون أحد الأضلاع أو قطر الوجه أو قطر الفراغ قابلاً للقسمة على 37.

فضلاً عن ذلك:

• القطر الخارجي ليس قوة عدد أولي ولا حاصل ضرب عددين أوليين . ^{[ 9 ] : ص 579}
• لا يمكن أن يحتوي القطر الفضائي إلا على قواسم أولية متطابقة مع 1 بتردد 4. ^{[ 9 ] : ص 566 [ 10 ]}

تخمينات المكعبات

ثلاث فرضيات حول المكعبات هي ثلاث قضايا رياضية تدّعي عدم اختزال ثلاث كثيرات حدود أحادية المتغير ذات معاملات صحيحة تعتمد على عدة معلمات صحيحة. ترتبط هذه الفرضيات بمسألة المكعب المثالي . ^{[ 12 ] [ 13 ]} على الرغم من أنها لا تُكافئ مسألة المكعب المثالي، فإذا كانت هذه الفرضيات الثلاث صحيحة جميعها، فلن توجد مكعبات مثالية. لم يتم إثباتها أو دحضها.

تخمين المكعب 1. لأي عددين صحيحين موجبين أوليين فيما بينهما.${\displaystyle a\neq u}$كثير الحدود من الدرجة الثامنة

${\displaystyle P_{au}(t)=t^{8}+6\,(u^{2}-a^{2})\,t^{6}+(a^{4}-4\,a^{2}\,u^{2}+u^{4})\,t^{4}-6\,a^{2}\,u^{2}\,(u^{2}-a^{2})\,t^{2}+u^{4}\,a^{4}}$

1

غير قابل للاختزال على حلقة الأعداد الصحيحة${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

الفرضية الثانية للمكعب: لأي عددين صحيحين موجبين أوليين فيما بينهما${\displaystyle p\neq q}$كثير الحدود من الدرجة العاشرة

$\displaystyle \begin{aligned}Q_{pq}(t)={}&t^{10}+(2q^{2}+p^{2})(3q^{2}-2p^{2})t^{8}\\[4pt]&{}+(q^{8}+10p^{2}q^{6}+4p^{4}q^{4}-14p^{6}q^{2}+p^{8})t^{6}\\[4pt]&{}-p^{2}q^{2}(q^{8} }-14p^{2}q^{6}+4p^{4}q^{4}+10p^{6}\,q^{2}+p^{8})t^{4}\\[4pt]&{}-p^{6}\,q^{6}\,(q^{2}+2\,p^{2})\,(-2\,q^{2}+3\,p^{2})\,t^{2}\\[4pt]&{}-q^{10}\,p^{10}\end{aligned}}}$

2

غير قابل للاختزال على حلقة الأعداد الصحيحة${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

الفرضية الثالثة: متوازي المستطيلات. لأي ثلاثة أعداد صحيحة أولية موجبة فيما بينها${\displaystyle a}$،${\displaystyle b}$،${\displaystyle u}$بحيث لا يكون أي من الشروط

${\displaystyle {\begin{array}{lcr}{\text{1)}}\qquad a=b;\qquad \qquad &{\text{3)}}\qquad b\,u=a^{2};\qquad \qquad &{\text{5)}}\qquad a=u;\\{\text{2)}}\qquad a=b=u;\qquad \qquad &{\text{4)}}\qquad a\,u=b^{2};\qquad \qquad &{\text{6)}}\qquad b=u\end{array}}}$

3

إذا تحققت الشروط، فإن متعددة الحدود من الدرجة الثانية عشرة

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{abu}(t)={}&t^{12}+(6u^{2}-2a^{2}-2b^{2})t^{10}\\&{}+(u^{4}+b^{4}+a^{4}+4a^{2}u^{2}+4b^{2}u^{2}-12b^{2}a^{2})t^{8}\\&{}+(6a^{4}u^{2}+6u^{2}b^{4}-8a^{2}b^{2}u^{2}-2u^{4}a^{2}-2u^{4}b^{2}-2a^{4}b^{2}-2b^{4}a^{2})t^{6}\\&{}+(4u^{2}b^{4}a^{2}+4a^{4}u^{2}b^{2}-12u^{4}a^{2}b^{2}+u^{4}a^{4}+u^{4}b^{4}+a^{4}b^{4})t^{4}\\&{}+(6a^{4}u^{2}b^{4}-2u^{4}a^{4}b^{2}-2u^{4}a^{2}b^{4})t^{2}+u^{4}a^{4}b^{4}.\end{aligned}}}$

4

غير قابل للاختزال على حلقة الأعداد الصحيحة${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

يتميز متوازي المستطيلات شبه المثالي بستة أطوال نسبية من أصل سبعة. ويمكن تصنيف هذه المتوازيات إلى ثلاثة أنواع: متوازيات المستطيلات الجسمية ، ومتوازيات المستطيلات الحافة ، ومتوازيات المستطيلات الوجهية . ^{[ 14 ]} في حالة متوازي المستطيلات الجسمية، يكون قطر الجسم (الفراغ) g عددًا غير نسبي. أما في حالة متوازي المستطيلات الحافةية، فيكون أحد أضلاعه a أو b أو c عددًا غير نسبي. وفي حالة متوازي المستطيلات الوجهية، يكون أحد أقطار وجهه d أو e أو f عددًا غير نسبي.

يُشار إلى متوازي المستطيلات الجسمي عادةً باسم متوازي مستطيلات أويلر تكريمًا لليونارد أويلر، الذي ناقش هذا النوع من متوازيات المستطيلات. ^{[ 15 ]} كان أويلر على دراية أيضًا بمتوازيات المستطيلات الوجهية، وقدّم المثال (104، 153، 672). ^{[ 16 ]} يمكن أيضًا تفسير أطوال أضلاع متوازي المستطيلات الوجهي الثلاثة الصحيحة وأطوال أقطاره الثلاثة الصحيحة على أنها أطوال أضلاع رباعي الأوجه الهيروني، وهو أيضًا مخطط شلافلي . يوجد عدد لا نهائي من متوازيات المستطيلات الوجهية، وعدد لا نهائي من المخططات الهيرونية. ^{[ 17 ]}

أصغر الحلول لكل نوع من أنواع المكعبات شبه المثالية، المعطاة كحواف وأقطار الوجوه والقطر الفضائي ( أ ، ب ، ج ، د ، هـ ، و ، ز ) ، هي كما يلي:

• متوازي المستطيلات للجسم : (44، 117، 240، 125، 244، 267 ، √73225 )
• متوازي مستطيلات الحواف : (520، 576، √618849 ، 776 ، 943، 975، 1105)
• متوازي المستطيلات الوجهي : (104، 153، 672، 185، 680، √ 474993 ، 697)

اعتبارًا من يوليو 2020 تم العثور على 167,043 متوازي مستطيلات بأقصر طول ضلع صحيح أقل من 200,000,000,027: ​​61,042 منها متوازيات مستطيلات أويلر (أجسام)، و16,612 متوازي مستطيلات حواف بطول ضلع عدد مركب ، و32,286 متوازي مستطيلات حواف، و57,103 متوازيات مستطيلات وجوه. ^{[ 18 ]}

اعتبارًا من ديسمبر 2017 ، وقد أحصى بحث شامل جميع المكعبات ذات الحواف والوجوه التي يقل أصغر قطر لها عن 1,125,899,906,842,624: 194,652 منها كانت مكعبات ذات حواف، و350,778 كانت مكعبات ذات وجوه. ^{[ 7 ]}

المتوازي المستطيلات المثالي هو متوازي مستطيلات ذو أطوال صحيحة للحواف والأقطار الأمامية والخلفية، ولكن ليس بالضرورة أن تكون جميع زواياه قائمة؛ والمكعب المتوازي المثالي هو حالة خاصة من المتوازي المستطيلات المثالي. في عام ٢٠٠٩، تم إثبات وجود عشرات من المتوازيات المستطيلات المثالية، ^{[ ١٩ ]} مجيبًا بذلك على سؤال مفتوح طرحه ريتشارد جاي . بعض هذه المتوازيات المستطيلات المثالية لها وجهان مستطيلان. أصغر متوازي مستطيلات مثالي له حواف بأطوال ٢٧١ و١٠٦ و١٠٣؛ وأقطار أمامية قصيرة بأطوال ١٠١ و٢٦٦ و٢٥٥؛ وأقطار أمامية طويلة بأطوال ١٨٣ و٣١٢ و٣٢٣؛ وأقطار خلفية بأطوال ٣٧٤ و٣٠٠ و٢٧٨ و٢٧٢.

في عام ٢٠٢٢، نشر أوبراي دي غراي ^{[ ٢٠ ]} دراسةً حول المستطيلات الناقصة متساوية الساقين المثالية ، والتي أطلق عليها اسم "القواعد". وهي عبارة عن مجسمات سداسية الأوجه ذات وجهين مستطيلين متساويي النسبة، وأربعة أوجه على شكل شبه منحرف متساوي الساقين . وبالتالي، كما هو الحال مع متوازيات المستطيلات شبه المثالية ومتوازيات السطوح المثالية، يُعد متوازي المستطيلات المثالي حالةً خاصةً من القاعدة المثالية. توجد القواعد المثالية، لكنها أقل شيوعًا بكثير بالنسبة لحجم معين مقارنةً بمتوازيات السطوح المثالية أو متوازيات المستطيلات شبه المثالية. في ورقة بحثية لاحقة ^{[ ٢١ ]} ، بنى دي غراي وفيليب غيبس ولوي هيلم على هذه النتيجة لاستكشاف فئات من المنحنيات الإهليلجية التي تُقابل القواعد المثالية، ومتوازيات المستطيلات شبه المثالية، وتعميمات أخرى لمتوازيات المستطيلات المثالية. وبهذه الطريقة، وسّعوا بشكلٍ كبير النطاق الذي يُمكن البحث فيه عن متوازيات المستطيلات المثالية حسابيًا. كما أظهروا أن نسبة كبيرة من الثلاثيات الفيثاغورية لا يمكنها تشكيل وجه لمتوازي مستطيلات مثالي، وذلك بتحديد عدة عائلات من المنحنيات الإهليلجية التي يجب أن يكون لها رتبة موجبة إذا وُجد متوازي مستطيلات مثالي. وبشكل مستقل، أظهر بولسن وويست ^{[ 22 ]} أن متوازي المستطيلات المثالي يجب أن يتوافق مع منحنى إهليلجي متطابق العدد من الرتبة 2 على الأقل.

• الرباعي الفيثاغوري

• ليتش، جون (1977). "إعادة النظر في المكعب العقلاني". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 84 (7): 518-533 . doi : 10.2307/2320014 . JSTOR 2320014 . 
• شافر، شيريل (1987). "القواسم الضرورية للمكعبات الصحيحة الكاملة". ملخصات الجمعية الرياضية الأمريكية . 8 (6): 440.
• جاي، ريتشارد ك. (2004). مسائل غير محلولة في نظرية الأعداد . سبرينغر-فيرلاغ . ص 275-283 . ISBN  0-387-20860-7.
• كرايتشيك، م. (1945). "حول بعض المكعبات العقلانية". سكريبت ماثيماتيكا . 11 : 317-326 .
• روبرتس، تيم (2010). "بعض القيود على وجود متوازي مستطيلات مثالي". مجلة الجمعية الرياضية الأسترالية . 37 : 29-31 . ISSN 1326-2297 .