التحليل المعقد

📅 آخر تحديث: ١٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 41 صور
الموسوعة الحرة

التحليل المركب ، المعروف تقليديًا بنظرية الدوال ذات المتغير المركب ، هو فرع من التحليل الرياضي يُعنى بدراسة الدوال ذات المتغير المركب من الأعداد المركبة . وهو مفيد في العديد من فروع الرياضيات، بما في ذلك التحليل الوظيفي ، والهندسة الجبرية ، ونظرية الأعداد ، والتوافقية التحليلية ، والرياضيات التطبيقية ، بالإضافة إلى الفيزياء ، بما في ذلك فروع الديناميكا المائية ، والديناميكا الحرارية ، وميكانيكا الكم ، ونظرية التويستر . وبالتوسع في هذا المجال، يُستخدم التحليل المركب أيضًا في مجالات هندسية مثل الهندسة النووية ، وهندسة الطيران ، والهندسة الميكانيكية، والهندسة الكهربائية . [ 1 ]

للوهلة الأولى، يُعرَّف التحليل المركب بأنه دراسة الدوال التحليلية، وهي الدوال القابلة للتفاضل لمتغير مركب. وعلى عكس الدوال الحقيقية، فإن الدالة التحليلية قابلة للتفاضل إلى ما لا نهاية، وتساوي مجموع متسلسلة تايلور الخاصة بها في جوار ما لكل نقطة من نقاط مجالها . وهذا ما يجعل أساليب ونتائج التحليل المركب مختلفة اختلافًا جوهريًا عن تلك الخاصة بالتحليل الحقيقي. كما أن سلوك الدوال المركبة يختلف اختلافًا كبيرًا عند التكامل على المسارات : فتكامل الدالة التحليلية على مسار في المستوى المركب لا يعتمد على تفاصيل المسار، بل على كيفية التفافه حول نقاط تفرد الدالة. وغالبًا ما يؤدي نقل مسار معين إلى مسار أكثر ملاءمة إلى تبسيطات كبيرة في البراهين.

تُعمّم نظرية المتغيرات المركبة المتعددة نظرية الدوال المركبة ذات المتغير الواحد لتشمل أكثر من بُعد مركب. وبينما تُستخدم وتُعمّم العديد من تقنيات المتغير المركب الواحد في هذا السياق، فإن نظرية المتغيرات المركبة المتعددة تستخدم تقنيات إضافية مثل جبر باناخ ونظرية الحزم . وغالبًا ما تهتم هذه النظرية بمسائل ذات أهمية في الهندسة الجبرية والفضاءات المتناظرة .

تاريخ

أوغستين لويس كوشي ، أحد مؤسسي التحليل المركب

يُعدّ التحليل المركب أحد الفروع الكلاسيكية في الرياضيات، وتعود جذوره إلى القرن الثامن عشر وما قبله بقليل. ومن أبرز علماء الرياضيات المرتبطين بالأعداد المركبة: أويلر ، وغوس ، وريمان ، وكوشي ، وفايرشتراس ، وغيرهم الكثير في القرن العشرين. وللتحليل المركب، ولا سيما نظرية التحويلات المطابقة ، تطبيقات فيزيائية عديدة، كما يُستخدم في جميع جوانب نظرية الأعداد التحليلية . وفي العصر الحديث، اكتسب شعبية واسعة بفضل التطورات الحديثة في الديناميكا المركبة وصور الفراكتلات الناتجة عن تكرار الدوال التحليلية . ومن التطبيقات المهمة الأخرى للتحليل المركب نظرية الأوتار ، التي تدرس الثوابت المطابقة في نظرية الحقول الكمومية .

الوظائف المعقدة

دالة أسية A n لمتغير منفصل ( صحيح ) n ، تشبه المتوالية الهندسية .

الدالة المركبة هي دالة من الأعداد المركبة إلى الأعداد المركبة. بعبارة أخرى، هي دالة يكون مجالها مجموعة جزئية من الأعداد المركبة، ومجالها المقابل مجموعة الأعداد المركبة . يُفترض عمومًا أن مجال الدوال المركبة يحتوي على مجموعة جزئية مفتوحة غير فارغة من المستوى المركب .

بالنسبة لأي دالة مركبة، القيمz{\displaystyle z}من النطاق وصورهمو(z){\displaystyle f(z)}يمكن تقسيم النطاق إلى أجزاء حقيقية وخيالية :

z=x+أناy و و(z)=و(x+أناy)=u(x،y)+أناv(x،y)،{\displaystyle z=x+iy\quad {\text{ و }}\quad f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y),}

أينx،y،u(x،y)،v(x،y){\displaystyle x,y,u(x,y),v(x,y)}جميعها ذات قيمة حقيقية.

بمعنى آخر، دالة معقدةو:ج→ج{\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }يمكن تحليلها إلى دالتين حقيقيتين (u{\displaystyle u}،v{\displaystyle v}) لمتغيرين حقيقيين (x{\displaystyle x}،y{\displaystyle y}):

u:R2→R{\displaystyle u:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} \quad }وv:R2→R.{\displaystyle \quad v:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} .}

تكون الدالة المركبة متصلة إذا وفقط إذا كانت دالتها المتجهة المرتبطة بها، والتي تتكون من متغيرين، متصلة أيضًا. مع ذلك، لا ينطبق هذا التعريف على قابلية الاشتقاق . يُشابه تعريف مشتقة الدالة المركبة تعريف مشتقة الدالة الحقيقية، لكن قابلية اشتقاق الدالة الحقيقية المرتبطة بها، والتي تتكون من متغيرين، لا تعني بالضرورة وجود مشتقة للدالة المركبة. على وجه الخصوص، إذا كانت للدالة المركبة مشتقة، فإنها تمتلك مشتقات من جميع الرتب، وتساوي مجموع متسلسلة تايلور الخاصة بها في جوار كل نقطة من مجال تعريفها.

يستنتج من ذلك أن دالتين قابلتين للتفاضل متساويتان في جوار نقطة ما، تكونان متساويتين أيضًا عند تقاطع مجاليهما إذا كان المجالان متصلين . هذه الخاصية الأخيرة هي أساس مبدأ الاستمرار التحليلي ، الذي يسمح بتمديد أي دالة تحليلية حقيقية أو مركبة بطريقة فريدة للحصول على دالة تحليلية مركبة مجالها هو المستوى المركب بأكمله بعد إزالة عدد محدود من أقواس المنحنيات . تُعرَّف العديد من الدوال المركبة الأساسية والخاصة بهذه الطريقة، بما في ذلك الدالة الأسية المركبة ، ودوال اللوغاريتم المركبة ، والدوال المثلثية .

الدوال الهولومورفية

الدوال المركبة التي يمكن تفاضلها عند كل نقطة من مجموعة جزئية مفتوحةΩأوميغايُقال إن عناصر المستوى المركب هي عناصر هولومورفية علىΩأوميغافي سياق التحليل المركب، مشتقةو{\displaystyle f}فيz0{\displaystyle z_{0}}يُعرَّف بأنه [ 2 ]

و′(z0)=ليمz→z0و(z)-و(z0)z-z0.{\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}.}

ظاهريًا، يُشابه هذا التعريف تعريف مشتقة دالة حقيقية. مع ذلك، تتصرف المشتقات المركبة والدوال القابلة للتفاضل بطرق مختلفة تمامًا عن نظيراتها الحقيقية. على وجه الخصوص، لكي توجد هذه النهاية، يجب أن تقترب قيمة حاصل قسمة الفرق من نفس العدد المركب، بغض النظر عن الطريقة التي نتبعها في حسابها.z0{\displaystyle z_{0}}في المستوى المركب. ونتيجة لذلك، فإن قابلية التفاضل في المستوى المركب لها دلالات أقوى بكثير من قابلية التفاضل في المستوى الحقيقي. على سبيل المثال، الدوال التحليلية قابلة للتفاضل إلى ما لا نهاية ، بينما لا يستلزم وجود المشتقة من الرتبة n بالضرورة وجود المشتقة من الرتبة ( n + 1) للدوال الحقيقية. علاوة على ذلك، تحقق جميع الدوال التحليلية شرط التحليلية الأقوى ، مما يعني أن الدالة، عند كل نقطة في مجالها، معطاة محليًا بواسطة متسلسلة قوى متقاربة. باختصار، هذا يعني أن الدوال التحليلية علىΩأوميغايمكن تقريبها بشكل جيد للغاية بواسطة كثيرات الحدود في جوار ما لكل نقطة فيΩأوميغاوهذا يتناقض بشكل حاد مع الدوال الحقيقية القابلة للتفاضل؛ فهناك دوال حقيقية قابلة للتفاضل إلى ما لا نهاية ليست تحليلية في أي مكان ؛ انظر الدالة الملساء غير التحليلية §  دالة ملساء ليست تحليلية حقيقية في أي مكان .

معظم الدوال الأساسية، بما في ذلك الدالة الأسية والدوال المثلثية وجميع الدوال متعددة الحدود ، تمتد بشكل مناسب إلى الوسائط المركبة كدوال.ج→ج{\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} }الدوال الكسرية هي دوال تامة الشكل على كامل المستوى المركب، مما يجعلها دوالًا تامة ، بينما الدوال الكسريةص/q{\displaystyle p/q}حيث p و q كثيرتا حدود، تكون الدوال تامة الشكل على المجالات التي تستثني النقاط التي تكون فيها q تساوي صفرًا. تُعرف هذه الدوال التي تكون تامة الشكل في كل مكان باستثناء مجموعة من النقاط المعزولة بالدوال الميرومورفية . من ناحية أخرى، الدوالz↦ℜ(z){\displaystyle z\mapsto \Re (z)}،z↦|z|{\displaystyle z\mapsto |z|}، وz↦z¯{\displaystyle z\mapsto {\bar {z}}}ليست متماثلة الشكل في أي مكان على المستوى المركب، كما يمكن إثبات ذلك من خلال فشلها في تلبية شروط كوشي-ريمان (انظر أدناه).

من الخصائص المهمة للدوال التحليلية العلاقة بين المشتقات الجزئية لمكوناتها الحقيقية والخيالية، والمعروفة بشروط كوشي-ريمان . إذاو:ج→ج{\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }، كما هو محدد بواسطةو(z)=و(x+أناy)=u(x،y)+أناv(x،y){\displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}، أينx،y،u(x،y)،v(x،y)∈R{\displaystyle x,y,u(x,y),v(x,y)\in \mathbb {R} }، هو هولومورفي على منطقةΩأوميغاثم للجميعz0∈Ω{\displaystyle z_{0}\in \Omega }،

∂و∂z¯(z0)=0، أين ∂∂z¯:=12(∂∂x+أنا∂∂y).{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})=0,\ {\text{حيث ​​}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\mathrel {:=} {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right).}

من حيث الأجزاء الحقيقية والخيالية للدالة، u و v ، فإن هذا يكافئ زوج المعادلاتux=vy{\displaystyle u_{x}=v_{y}}وuy=-vx{\displaystyle u_{y}=-v_{x}}حيث تشير الرموز السفلية إلى التفاضل الجزئي. ومع ذلك، فإن شروط كوشي-ريمان لا تميز الدوال الهولومورفية، بدون شروط استمرارية إضافية (انظر نظرية لومان-مينشوف ).

تُظهر الدوال التحليلية بعض الخصائص المميزة. على سبيل المثال، تنص نظرية بيكارد على أن مدى الدالة الكاملة لا يمكن أن يأخذ إلا ثلاثة أشكال ممكنة:ج{\displaystyle \mathbb {C} }،ج∖{z0}{\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{z_{0}\}}، أو{z0}{\displaystyle \{z_{0}\}}بالنسبة للبعضz0∈ج{\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }بمعنى آخر، إذا كان لدينا عددان مركبان مختلفانz{\displaystyle z}وw{\displaystyle w}ليست ضمن نطاق دالة كاملةو{\displaystyle f}، ثمو{\displaystyle f}هي دالة ثابتة. علاوة على ذلك، تُحدد الدالة التحليلية على مجموعة مفتوحة متصلة بتقييدها على أي مجموعة فرعية مفتوحة غير فارغة.

خريطة مطابقة

شبكة مستطيلة (أعلى) وصورتها تحت خريطة مطابقةو{\displaystyle f}(أسفل). يُلاحظ أنو{\displaystyle f}يرسم أزواج الخطوط المتقاطعة بزاوية 90 درجة إلى أزواج من المنحنيات التي لا تزال متقاطعة بزاوية 90 درجة.

في الرياضيات ، التحويل المطابق هو دالة تحافظ محليًا على الزوايا ، ولكن ليس بالضرورة على الأطوال.

بشكل أكثر رسمية، دعيو{\displaystyle U}وV{\displaystyle V}لتكن مجموعات فرعية مفتوحة منRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}دالةو:يو→V{\displaystyle f:U\to V}يُطلق عليه اسم متطابق (أو حافظ للزاوية) عند نقطةu0∈يو{\displaystyle u_{0}\in U}إذا حافظت على الزوايا بين المنحنيات الموجهة من خلالu0{\displaystyle u_{0}}بالإضافة إلى الحفاظ على الاتجاه. تحافظ الخرائط المطابقة على الزوايا وأشكال الأشكال متناهية الصغر، ولكن ليس بالضرورة على حجمها أو انحنائها .

يمكن وصف خاصية التوافق باستخدام مصفوفة مشتقة جاكوبي لتحويل إحداثي . يكون التحويل متوافقًا عندما تكون مصفوفة جاكوبي عند كل نقطة عبارة عن عدد قياسي موجب مضروب في مصفوفة دوران ( متعامدة ومحددها يساوي واحدًا). ​​يُعرّف بعض الباحثين التوافق ليشمل التحويلات التي تعكس الاتجاه، والتي يمكن كتابة مصفوفات جاكوبي الخاصة بها على شكل أي عدد قياسي مضروب في أي مصفوفة متعامدة. [ 3 ]

بالنسبة للتطبيقات ثنائية الأبعاد، فإن التطبيقات المطابقة (التي تحافظ على التوجيه) هي تحديدًا الدوال التحليلية المركبة القابلة للعكس محليًا . أما في ثلاثة أبعاد أو أكثر، فإن نظرية ليوفيل تحدّ بشكل حاد من التطبيقات المطابقة إلى أنواع قليلة.

إن مفهوم التوافقية يتعمم بطريقة طبيعية ليشمل الخرائط بين مشعبات ريمان أو شبه ريمان .

نتائج رئيسية

رسم بياني لعجلة الألوان للدالة f ( x ) = ( x² - 1 )( x - 2 - i ) ² / ( x² + 2 + 2i ) . يمثل اللون المتغير ، والسطوع المقدار .

يُعد التكامل الخطي أحد الأدوات الأساسية في التحليل المركب . وينص مبرهنة كوشي التكاملية على أن التكامل الخطي حول مسار مغلق لدالة تامة الشكل في كل مكان داخل المنطقة المحصورة بهذا المسار يساوي صفرًا دائمًا. ويمكن حساب قيم هذه الدالة التامة الشكل داخل قرص باستخدام التكامل المساري على حدود القرص (كما هو موضح في صيغة كوشي التكاملية ) . غالبًا ما تُستخدم التكاملات المسارية في المستوى المركب لتحديد التكاملات الحقيقية المعقدة، وهنا تُطبَّق نظرية البواقي ، من بين أمور أخرى (انظر طرق التكامل الكفافي ). يُعرف "القطب" (أو النقطة الشاذة المعزولة ) لدالة ما بأنه النقطة التي تصبح عندها قيمة الدالة غير محدودة، أو "تنفجر". إذا كان للدالة مثل هذا القطب، فيمكن حساب باقي الدالة عند هذه النقطة، والذي يمكن استخدامه لحساب التكاملات المسارية التي تتضمن الدالة؛ وهذا هو جوهر مبرهنة البواقي القوية. ويصف مبرهنة بيكارد السلوك الملحوظ للدوال التامة الشكل بالقرب من النقاط الشاذة الأساسية . تُسمى الدوال التي لها أقطاب فقط دون وجود نقاط تفرد جوهرية بالدوال الميرومورفية . تُعدّ متسلسلات لوران المكافئ المركب لمتسلسلات تايلور ، ولكن يمكن استخدامها لدراسة سلوك الدوال بالقرب من نقاط التفرد من خلال مجاميع لانهائية لدوال أكثر فهمًا، مثل كثيرات الحدود.

الدالة المحدودة التي تكون تامة الشكل في كامل المستوى المركب يجب أن تكون ثابتة؛ هذه هي نظرية ليوفيل . ويمكن استخدامها لتقديم برهان طبيعي ومختصر للنظرية الأساسية في الجبر التي تنص على أن حقل الأعداد المركبة مغلق جبريًا .

إذا كانت دالة ما تحليلية على امتداد نطاق متصل ، فإن قيمها تُحدد بالكامل بقيمها على أي نطاق فرعي أصغر. ويُقال إن الدالة على النطاق الأكبر مُمتدة تحليليًا من قيمها على النطاق الأصغر. وهذا يسمح بتوسيع تعريف الدوال، مثل دالة زيتا لريمان ، التي تُعرَّف في البداية بدلالة مجاميع لانهائية تتقارب فقط على نطاقات محدودة، إلى كامل المستوى المركب تقريبًا. أحيانًا، كما في حالة اللوغاريتم الطبيعي ، يستحيل تمديد دالة تحليلية إلى نطاق غير بسيط الاتصال في المستوى المركب، ولكن من الممكن تمديدها إلى دالة تحليلية على سطح وثيق الصلة يُعرف بسطح ريمان .

يشير كل هذا إلى التحليل المركب في متغير واحد. وهناك أيضًا نظرية غنية جدًا للتحليل المركب في أكثر من بُعد مركب، حيث تنتقل الخصائص التحليلية، مثل متسلسلات القوى، بينما لا تنتقل معظم الخصائص الهندسية للدوال التحليلية في بُعد مركب واحد (مثل التوافقية ). وتفشل نظرية ريمان للتحويل، المتعلقة بالعلاقة التوافقية لبعض المجالات في المستوى المركب، والتي قد تكون أهم نتيجة في النظرية أحادية البُعد، فشلًا ذريعًا في الأبعاد الأعلى.

يُعد أحد التطبيقات الرئيسية لبعض الفضاءات المعقدة هو استخدامها في ميكانيكا الكم كدوال موجية .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ "التطبيقات الصناعية للتحليل المركب" . بوابة نيوتن للرياضيات . 30 أكتوبر 2019. تم الاطلاع عليه في 20 نوفمبر 2023 .
  2. ↑ رودين، والتر (1987). التحليل الحقيقي والمركب (ملف PDF) . ماكجرو هيل للتعليم. ص 197. ISBN  978-0-07-054234-1.
  3. ↑ بلير، ديفيد (17 أغسطس 2000). نظرية الانعكاس والتحويل المطابق . مكتبة الطلاب الرياضية. المجلد 9. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية. doi : 10.1090/stml/009 . ISBN  978-0-8218-2636-2. S2CID 118752074 . 

مصادر