درجة متعددة الحدود

الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعرف درجة كثيرة الحدود بأنها أعلى درجة من درجات حدودها ( الحدود الفردية) ذات المعاملات غير الصفرية. درجة الحد هي مجموع أسس المتغيرات التي تظهر فيه، وبالتالي فهي عدد صحيح غير سالب . بالنسبة لكثيرة الحدود ذات المتغير الواحد ، فإن درجة كثيرة الحدود هي ببساطة أعلى أس يظهر فيها. [ 1 ] استُخدم مصطلح "الرتبة" كمرادف لمصطلح " الدرجة " ، ولكنه قد يشير اليوم إلى عدة مفاهيم أخرى (انظر: رتبة كثيرة الحدود (توضيح) ).

على سبيل المثال، متعددة الحدود7x2y3+4x-9،{\displaystyle 7x^{2}y^{3}+4x-9,}والتي يمكن كتابتها أيضاً على النحو التالي7x2y3+4x1y0-9x0y0،{\displaystyle 7x^{2}y^{3}+4x^{1}y^{0}-9x^{0}y^{0},}تحتوي هذه كثيرة الحدود على ثلاثة حدود. الحد الأول من الدرجة 5 (مجموع قوتي 2 و3)، والحد الثاني من الدرجة 1، والحد الأخير من الدرجة 0. لذلك، فإن درجة كثيرة الحدود هي 5، وهي أعلى درجة لأي حد.

لتحديد درجة متعددة الحدود التي ليست في الصورة القياسية، مثل(x+1)2-(x-1)2{\displaystyle (x+1)^{2}-(x-1)^{2}}يمكن وضعها في شكلها القياسي عن طريق توسيع المنتجات (باستخدام خاصية التوزيع ) وجمع الحدود المتشابهة؛ على سبيل المثال،(x+1)2-(x-1)2=4x{\displaystyle (x+1)^{2}-(x-1)^{2}=4x}تكون من الدرجة 1، على الرغم من أن كل حد من الحدود له الدرجة 2. ومع ذلك، فإن هذا ليس ضروريًا عندما تُكتب متعددة الحدود كحاصل ضرب متعددات حدود في الصورة القياسية، لأن درجة حاصل الضرب هي مجموع درجات العوامل.

أسماء كثيرات الحدود حسب الدرجة

تُخصص الأسماء التالية لكثيرات الحدود وفقًا لدرجتها: [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]

تُشتق أسماء كثيرات الحدود من الدرجة الثالثة فما فوق من الأعداد الترتيبية اللاتينية ، وتنتهي بالمقطع -ic . ويجب التمييز بينها وبين أسماء عدد المتغيرات، أو ما يُعرف بالمعامل ، والتي تُشتق من الأعداد التوزيعية اللاتينية ، وتنتهي بالمقطع -ary . على سبيل المثال، كثيرة حدود من الدرجة الثانية في متغيرين، مثل:x2+xy+y2{\displaystyle x^{2}+xy+y^{2}}يُطلق عليه اسم "معادلة تربيعية ثنائية": ثنائية بسبب وجود متغيرين، وتربيعية بسبب الدرجة الثانية. [ أ ] هناك أيضًا أسماء لعدد الحدود، والتي تستند أيضًا إلى الأعداد التوزيعية اللاتينية، وتنتهي بـ -nomial ؛ ومن الأسماء الشائعة أحادية الحد ، وثنائية الحد ، وثلاثية الحد (بشكل أقل شيوعًا) ؛ وبالتاليx2+y2{\displaystyle x^{2}+y^{2}}هو "ثنائي تربيعي ثنائي الحد".

أمثلة

متعددة الحدود(y-3)(2y+6)(-4y-21){\displaystyle (y-3)(2y+6)(-4y-21)}هي كثيرة حدود من الدرجة الثالثة: بعد الضرب وجمع الحدود من نفس الدرجة، تصبح-8y3-42y2+72y+378{\displaystyle -8y^{3}-42y^{2}+72y+378}، مع أعلى أس 3.

متعددة الحدود(3z8+z5-4z2+6)+(-3z8+8z4+2z3+14z){\displaystyle (3z^{8}+z^{5}-4z^{2}+6)+(-3z^{8}+8z^{4}+2z^{3}+14z)}هي كثيرة حدود من الدرجة الخامسة: عند جمع الحدود المتشابهة، يتم حذف الحدين من الدرجة 8، ويتبقىz5+8z4+2z3-4z2+14z+6{\displaystyle z^{5}+8z^{4}+2z^{3}-4z^{2}+14z+6}، مع أعلى أس 5.

السلوك في ظل عمليات متعددة الحدود

ترتبط درجة مجموع أو حاصل ضرب أو تركيب كثيرتي حدود ارتباطاً وثيقاً بدرجة كثيرات الحدود المدخلة. [ 6 ]

إضافة

درجة مجموع (أو فرق) كثيرتي حدود أقل من أو تساوي الدرجة الأكبر بينهما؛ أي

درجة⁡(P+سؤال)≤الأعلى{درجة⁡(P)،درجة⁡(سؤال)}{\displaystyle \deg(P+Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}}ودرجة⁡(P-سؤال)≤الأعلى{درجة⁡(P)،درجة⁡(سؤال)}{\displaystyle \deg(P-Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}}.

على سبيل المثال، درجة(x3+x)-(x3+x2)=-x2+x{\displaystyle (x^{3}+x)-(x^{3}+x^{2})=-x^{2}+x}هو 2، و2≤الأعلى{3،3}{\displaystyle 2\leq \max\{3,3\}}.

تتحقق المساواة دائمًا عندما تكون درجات كثيرات الحدود مختلفة. على سبيل المثال، درجة(x3+x)+(x2+1)=x3+x2+x+1{\displaystyle (x^{3}+x)+(x^{2}+1)=x^{3}+x^{2}+x+1}هو 3، و3=الأعلى{3،2}{\displaystyle 3=\max\{3,2\}}.

الضرب

درجة حاصل ضرب كثير الحدود في عدد قياسي غير صفري تساوي درجة كثير الحدود؛ أي

درجة⁡(جP)=درجة⁡(P){\displaystyle \deg(cP)=\deg(P)}.

على سبيل المثال، درجة2(x2+3x-2)=2x2+6x-4{\displaystyle 2(x^{2}+3x-2)=2x^{2}+6x-4}وهي 2، وهو ما يساوي درجةx2+3x-2{\displaystyle x^{2}+3x-2}.

وبالتالي، فإن مجموعة كثيرات الحدود (ذات المعاملات من حقل معين F ) التي تكون درجاتها أصغر من أو تساوي عددًا معينًا n تشكل فضاءً متجهيًا ؛ لمزيد من المعلومات، انظر أمثلة على الفضاءات المتجهة .

وبشكل عام، فإن درجة حاصل ضرب كثيرتي حدود على حقل أو مجال تكاملي هي مجموع درجاتهما:

درجة⁡(Pسؤال)=درجة⁡(P)+درجة⁡(سؤال){\displaystyle \deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)}.

على سبيل المثال، درجة(x3+x)(x2+1)=x5+2x3+x{\displaystyle (x^{3}+x)(x^{2}+1)=x^{5}+2x^{3}+x}يكون5=3+2{\displaystyle 5=3+2}.

بالنسبة لكثيرات الحدود على حلقة عشوائية ، قد لا تكون القواعد المذكورة أعلاه صالحة، بسبب الاختزال الذي يمكن أن يحدث عند ضرب ثابتين غير صفريين. على سبيل المثال، في الحلقةZ/4Z{\displaystyle \mathbf {Z} /4\mathbf {Z} }بالنسبة للأعداد الصحيحة بتردد 4 ، يكون لدينا ذلكدرجة⁡(2x)=درجة⁡(1+2x)=1{\displaystyle \deg(2x)=\deg(1+2x)=1}، لكندرجة⁡(2x(1+2x))=درجة⁡(2x)=1{\displaystyle \deg(2x(1+2x))=\deg(2x)=1}، وهو ما لا يساوي مجموع درجات العوامل.

تعبير

درجة تركيب كثيرتي حدود غير ثابتتينP{\displaystyle P}وسؤال{\displaystyle Q}على حقل أو مجال تكاملي يكون حاصل ضرب درجاتهما: درجة⁡(P∘سؤال)=درجة⁡(P)درجة⁡(سؤال).{\displaystyle \deg(P\circ Q)=\deg(P)\deg(Q).}

على سبيل المثال، إذاP=x3+x{\displaystyle P=x^{3}+x}حاصل على الدرجة الثالثة وسؤال=x2-1{\displaystyle Q=x^{2}-1}إذا كانت درجة العنصر 2، فإن تركيبه هوP∘سؤال=P∘(x2-1)=(x2-1)3+(x2-1)=x6-3x4+4x2-2،{\displaystyle P\circ Q=P\circ (x^{2}-1)=(x^{2}-1)^{3}+(x^{2}-1)=x^{6}-3x^{4}+4x^{2}-2,}والتي تبلغ درجتها 6.

لاحظ أنه بالنسبة لكثيرات الحدود على حلقة عشوائية، قد تكون درجة التركيب أقل من حاصل ضرب الدرجات. على سبيل المثال، فيZ/4Z،{\displaystyle \mathbf {Z} /4\mathbf {Z} ,}تركيب كثيرات الحدود2x{\displaystyle 2x}و1+2x{\displaystyle 1+2x}(كلاهما من الدرجة الأولى) هو كثير الحدود الثابت2x∘(1+2x)=2+4x=2،{\displaystyle 2x\circ (1+2x)=2+4x=2,}من الدرجة 0.

درجة متعددة الحدود الصفرية

تُترك درجة كثيرة الحدود الصفرية إما غير مُعرَّفة، أو تُعرَّف بأنها سالبة (عادةً -1 أو-∞{\displaystyle -\infty }). [ 7 ]

كأي قيمة ثابتة، يمكن اعتبار القيمة صفر كثيرة حدود (ثابتة)، تُسمى كثيرة الحدود الصفرية . لا تحتوي هذه كثيرة الحدود على حدود غير صفرية، وبالتالي، بالمعنى الدقيق للكلمة، ليس لها درجة أيضًا. وعليه، فإن درجتها عادةً ما تكون غير مُعرَّفة. لا تنطبق الافتراضات المتعلقة بدرجة مجموع وحاصل ضرب كثيرات الحدود الواردة في القسم السابق، إذا كانت أي من كثيرات الحدود المعنية هي كثيرة الحدود الصفرية. [ 8 ]

ومع ذلك، من الملائم تعريف درجة كثير الحدود الصفري بأنها سالب ما لا نهاية .-∞،{\displaystyle -\infty ,}ولتقديم قواعد الحساب [ 9 ]

الأعلى(أ،-∞)=أ،{\displaystyle \max(a,-\infty )=a,}

و

أ+(-∞)=-∞.{\displaystyle a+(-\infty )=-\infty .}

توضح هذه الأمثلة كيف يفي هذا الامتداد بقواعد السلوك المذكورة أعلاه:

  • درجة المجموع(x3+x)+(0)=x3+x{\displaystyle (x^{3}+x)+(0)=x^{3}+x}وهو 3. وهذا يفي بالسلوك المتوقع، وهو أن3≤الأعلى(3،-∞){\displaystyle 3\leq \max(3,-\infty )}.
  • درجة الاختلاف(x)-(x)=0{\displaystyle (x)-(x)=0}يكون-∞{\displaystyle -\infty }وهذا يفي بالسلوك المتوقع، وهو أن-∞≤الأعلى(1،1){\displaystyle -\infty \leq \max(1,1)}.
  • درجة المنتج(0)(x2+1)=0{\displaystyle (0)(x^{2}+1)=0}يكون-∞{\displaystyle -\infty }وهذا يفي بالسلوك المتوقع، وهو أن-∞=-∞+2{\displaystyle -\infty =-\infty +2}.

تم حسابها من قيم الدالة

توجد عدة صيغ لتقييم درجة دالة كثيرة الحدود f . إحداها تعتمد على التحليل التقاربي وهي

درجة⁡و=ليمx→∞سجل⁡|و(x)|سجل⁡x{\displaystyle \deg f=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\log |f(x)|}{\log x}}}؛

هذا هو المقابل الدقيق لطريقة تقدير الميل في الرسم البياني اللوغاريتمي .

تعمم هذه الصيغة مفهوم الدرجة ليشمل بعض الدوال التي ليست كثيرات حدود. على سبيل المثال:

كما تعطي الصيغة نتائج منطقية للعديد من تركيبات هذه الدوال، على سبيل المثال، درجة1+xx{\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {x}}}{x}}}يكون-1/2{\displaystyle -1/2}.

صيغة أخرى لحساب درجة الدالة f من قيمها هي

درجة⁡و=ليمx→∞xو′(x)و(x){\displaystyle \deg f=\lim _{x\to \infty }{\frac {xf'(x)}{f(x)}}}؛

تنتج هذه الصيغة الثانية من تطبيق قاعدة لوبيتال على الصيغة الأولى. ولكن، بشكل بديهي، يتعلق الأمر أكثر بإظهار الدرجة d كعامل ثابت إضافي في المشتقة.دxد-1{\displaystyle dx^{d-1}}لxد{\displaystyle x^{d}}.

يمكن الحصول على وصف أكثر دقة (من مجرد درجة عددية) للسلوك التقاربي لدالة ما باستخدام ترميز Big O. في تحليل الخوارزميات ، على سبيل المثال، من المهم غالبًا التمييز بين معدلات نموx{\displaystyle x}وxسجل⁡x{\displaystyle x\log x}، والتي ستكون لها نفس الدرجة وفقًا للصيغ المذكورة أعلاه.

امتداد إلى كثيرات الحدود ذات متغيرين أو أكثر

بالنسبة لكثيرات الحدود ذات متغيرين أو أكثر، فإن درجة الحد هي مجموع أسس المتغيرات المكونة له؛ ودرجة كثيرة الحدود (التي تُسمى أحيانًا الدرجة الكلية ) هي أعلى درجات جميع حدودها. على سبيل المثال، كثيرة الحدود x²y² + 3x³ + 4y درجتها 4 ، وهي نفس درجة الحد x²y² .

ومع ذلك، فإن كثيرة الحدود في المتغيرين x و y هي كثيرة حدود في x بمعاملات هي كثيرات حدود في y ، وهي أيضًا كثيرة حدود في y بمعاملات هي كثيرات حدود في x .

x2y2+3x3+4y=(3)x3+(y2)x2+(4y)=(x2)y2+(4)y+(3x3){\displaystyle x^{2}y^{2}+3x^{3}+4y=(3)x^{3}+(y^{2})x^{2}+(4y)=(x^{2})y^{2}+(4)y+(3x^{3})}

لها درجة 3 في x ودرجة 2 في y .

دالة الدرجة في الجبر المجرد

بالنظر إلى حلقة R ، فإن حلقة كثيرات الحدود R [ x ] هي مجموعة جميع كثيرات الحدود في x التي لها معاملات في R. في الحالة الخاصة التي تكون فيها R حقلاً أيضاً ، فإن حلقة كثيرات الحدود R [ x ] هي مجال مثالي رئيسي ، والأهم بالنسبة لمناقشتنا هنا، مجال إقليدي .

يمكن إثبات أن درجة متعددة الحدود على حقل ما تحقق جميع متطلبات دالة المعيار في المجال الإقليدي. أي، إذا أُعطيت متعددتا حدود f ( x ) و g ( x )، فإن درجة حاصل ضربهما f ( x ) g ( x ) يجب أن تكون أكبر من درجتي كلٍّ من f و g على حدة. بل إن هناك شرطًا أقوى من ذلك:

درجة⁡(و(x)ز(x))=درجة⁡(و(x))+درجة⁡(ز(x)){\displaystyle \deg(f(x)g(x))=\deg(f(x))+\deg(g(x))}

للحصول على مثال يوضح سبب فشل دالة الدرجة على حلقة ليست حقلاً، خذ المثال التالي. ليكن R =Z/4Z{\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }، حلقة الأعداد الصحيحة بتردد 4. هذه الحلقة ليست حقلاً (ولا حتى مجالاً تكاملياً ) لأن 2 × 2 = 4 ≡ 0 (mod 4). لذلك، لنفترض أن f ( x ) = g ( x ) = 2x + 1. إذن، f ( x ) g ( x ) = 4x² + 4x + 1 = 1. وبالتالي، درجة ( f ⋅ g ) = 0، وهي ليست أكبر من درجتي f و g (اللتين كانت درجة كل منهما 1).

بما أن دالة المعيار غير معرفة للعنصر الصفري للحلقة، فإننا نعتبر درجة متعددة الحدود f ( x ) = 0 غير معرفة أيضًا بحيث تتبع قواعد المعيار في مجال إقليدي.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ للتبسيط، هذه دالة متعددة الحدود متجانسة ، ذات درجة متساوية في كلا المتغيرين بشكل منفصل.
  1. ↑ غولبرغ، يان (1997)، الرياضيات من نشأة الأعداد ، دبليو دبليو نورتون وشركاه، ص  128، رقم ISBN 9780393040029
  2. ↑ يُعرّف ماك لين وبيركوف (1999) الدوال "الخطية" و"التربيعية" و"التكعيبية" و"الرباعية" و"الخماسية". (ص 107)
  3. ↑ يُعرّف كينج (2009) "التربيعي" و"التكعيبي" و"الرباعي" و"الخماسي" و"السداسي" و"الخماسي" و"الثماني".
  4. ↑ اقترح جيمس كوكل أسماء "sexic" و "septic" و "octic" و "nonic" و "decic" في عام 1851. ( مجلة الميكانيكا ، المجلد 55، ص 171 )
  5. ↑ يقول شافاريفيتش (2003) عن كثير الحدود من الدرجة الصفرية،و(x)=أ0{\displaystyle f(x)=a_{0}}يُطلق على هذا النوع من كثيرات الحدود اسم ثابت لأنه إذا استبدلنا قيمًا مختلفة لـ x فيه، فسنحصل دائمًا على نفس القيمةأ0{\displaystyle a_{0}}(ص 23)
  6. ^ لانج ، سيرج (2005)، الجبر ( الطبعة الثالثة)، سبرينغر، ص. 100، ردمك   978-0-387-95385-4
  7. يقول شافاريفيتش (2003) عن كثير الحدود الصفري: "في هذه الحالة، نعتبر أن درجة كثير الحدود غير مُعرَّفة." (ص 27). يستخدم تشايلدز (1995) القيمة -1. (ص 233). يستخدم تشايلدز (2009) القيمة -∞ (ص 287)، إلا أنه يستبعد كثيرات الحدود الصفرية في اقتراحه الأول (ص 288)، ثم يوضح أن الاقتراح ينطبق على كثيرات الحدود الصفرية "بافتراض معقول أن-∞{\displaystyle -\infty }+ م =-∞{\displaystyle -\infty }لكل m أي عدد صحيح أو m =-∞{\displaystyle -\infty }يستخدم أكسلر (1997) الرمز −∞. (ص 64) يقول غريليه (2007): "تُترك درجة كثيرة الحدود الصفرية 0 أحيانًا غير مُعرَّفة أو تُعرَّف بشكل مختلف على أنها −1 ∈Z{\displaystyle \mathbb {Z} }أو كما-∞{\displaystyle -\infty }طالما أن الدرجة 0 < الدرجة A لجميع قيم A ≠ 0." ( A كثيرة حدود). ومع ذلك، فإنه يستبعد كثيرات الحدود الصفرية في اقتراحه 5.3. (ص 121)
  8. ↑ كالدول، ويليام (2009)، "تطبيق رسم الخرائط المفاهيمية على الجبر 1"، في أفاماساغا-فواتاي، كارولين (محررة)، رسم الخرائط المفاهيمية في الرياضيات: البحث في الممارسة ، سبرينغر، ص 217-234 ، doi : 10.1007/978-0-387-89194-1_11 ، ISBN  9780387891941انظر القسم "درجة متعددة الحدود"، الصفحات 225-226: "إن حاصل ضرب متعددة الحدود الصفرية [مع] أي متعددة حدود أخرى هو دائمًا متعددة الحدود الصفرية، لذا فإن خاصية الدرجات هذه (درجة حاصل الضرب هي مجموع درجات العاملين) لن تتحقق إذا كانت إحدى متعددتي الحدود هي متعددة الحدود 0. ولهذا السبب لا نخصص درجة لمتعددة الحدود الصفرية."
  9. ↑ يقدم أكسلر (1997) هذه القواعد ويقول: "يُعلن أن كثيرة الحدود من الدرجة 0 لها درجة-∞{\displaystyle -\infty }بحيث لا تكون هناك حاجة إلى استثناءات لتحقيق نتائج معقولة مختلفة." (ص 64)

مراجع