دالة من الدرجة الرابعة

• لو${\displaystyle \Delta >0,}$قيمة${\displaystyle Q}$هو عدد مركب غير حقيقي. في هذه الحالة، إما أن تكون جميع جذوره غير حقيقية أو أنها جميعها حقيقية. في الحالة الأخيرة، تكون قيمة${\displaystyle S}$وهو أمر حقيقي أيضاً، على الرغم من التعبير عنه من حيث${\displaystyle Q;}$هذا هو السبب غير القابل للاختزال للدالة التكعيبية الممتدة إلى السياق الحالي للدالة الرباعية. قد يفضل المرء التعبير عنه بطريقة حقيقية بحتة، باستخدام الدوال المثلثية ، كما يلي:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}{\sqrt {-{\frac {2}{3}}\ p+{\frac {2}{3a}}{\sqrt {\Delta _{0}}}\cos {\frac {\varphi }{3}}}}}$

أين

${\displaystyle \varphi =\arccos \left({\frac {\Delta _{1}}{2{\sqrt {\Delta _{0}^{3}}}}}\right).}$

• لو${\displaystyle \Delta \neq 0}$و${\displaystyle \Delta _{0}=0,}$علامة${\displaystyle {\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}={\sqrt {\Delta _{1}^{2}}}}$ يجب اختياره ليكون${\displaystyle Q\neq 0,}$أي ينبغي للمرء أن يحدد${\displaystyle {\sqrt {\Delta _{1}^{2}}}}$مثل${\displaystyle \Delta _{1},}$الحفاظ على علامة${\displaystyle \Delta _{1}.}$
• لو${\displaystyle S=0,}$عندئذٍ يجب تغيير اختيار الجذر التكعيبي في${\displaystyle Q}$لكي يكون${\displaystyle S\neq 0.}$هذا ممكن دائمًا إلا إذا أمكن إدخال العامل الرباعي في${\displaystyle \left(x+{\tfrac {b}{4a}}\right)^{4}.}$تكون النتيجة صحيحة، لكنها مضللة لأنها تخفي حقيقة عدم الحاجة إلى الجذر التكعيبي في هذه الحالة. في الواقع، قد تحدث هذه الحالة فقط إذا كان بسط${\displaystyle q}$إذا كانت القيمة صفرًا، فإن المعادلة الرباعية المنخفضة المرتبطة بها تكون ثنائية التربيع؛ وبالتالي يمكن حلها بالطريقة الموضحة أدناه .
• لو${\displaystyle \Delta =0}$و${\displaystyle \Delta _{0}=0,}$وبالتالي أيضاً${\displaystyle \Delta _{1}=0,}$ثلاثة جذور على الأقل متساوية، والجذور عبارة عن دوال كسرية للمعاملات. الجذر الثلاثي${\displaystyle x_{0}}$هو جذر مشترك للمعادلة الرباعية ومشتقتها الثانية${\displaystyle 2(6ax^{2}+3bx+c);}$وبالتالي فهو أيضاً الجذر الوحيد لباقي قسمة المقدار الرباعي على مشتقته الثانية في الفضاء الإقليدي، وهو كثير حدود خطي. الجذر البسيط${\displaystyle x_{1}}$يمكن استنتاج ذلك من${\displaystyle x_{1}+3x_{0}=-b/a.}$
• لو${\displaystyle \Delta =0}$و${\displaystyle \Delta _{0}\neq 0,}$التعبير أعلاه للجذور صحيح ولكنه مضلل، إذ يخفي حقيقة أن متعددة الحدود قابلة للاختزال ولا حاجة للجذر التكعيبي لتمثيل الجذور.

لنأخذ في الاعتبار الرباعي العام

${\displaystyle Q(x)=a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}.}$

تكون قابلة للاختزال إذا كان Q ( x ) = R ( x ) × S ( x ) ، حيث R ( x ) و S ( x ) كثيرتا حدود غير ثابتتين بمعاملات نسبية (أو بشكل أعم بمعاملات في نفس حقل معاملات Q ( x ) ). سيأخذ هذا التحليل أحد شكلين:

${\displaystyle Q(x)=(x-x_{1})(b_{3}x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0})}$

أو

${\displaystyle Q(x)=(c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0})(d_{2}x^{2}+d_{1}x+d_{0}).}$

في كلتا الحالتين، جذور Q ( x ) هي جذور العوامل، والتي يمكن حسابها باستخدام صيغ جذور الدالة التربيعية أو الدالة التكعيبية .

يمكن الكشف عن وجود مثل هذه التحليلات باستخدام التكعيب المُحلِّل لـ Q ( x ) . ويتضح أن:

• إذا كنا نعمل على R (أي إذا كانت المعاملات مقيدة لتكون أعدادًا حقيقية) (أو بشكل عام، على حقل مغلق حقيقي ) فسيكون هناك دائمًا مثل هذا التحليل؛
• إذا كنا نعمل على Q (أي إذا كانت المعاملات مقيدة بالأعداد النسبية) فهناك خوارزمية لتحديد ما إذا كانت Q ( x ) قابلة للاختزال أم لا، وإذا كانت كذلك، فكيف يمكن التعبير عنها كحاصل ضرب كثيرات حدود من درجة أصغر.

في الواقع، تعتمد العديد من طرق حل المعادلات الرباعية ( طريقة فيراري ، وطريقة ديكارت ، وبدرجة أقل، طريقة أويلر ) على إيجاد مثل هذه التحليلات.

إذا كان a ₃ = a ₁ = 0 فإن الدالة

${\displaystyle Q(x)=a_{4}x^{4}+a_{2}x^{2}+a_{0}}$

تُسمى هذه الدالة دالة من الدرجة الثانية ؛ ومساواتها بالصفر تُعرّف معادلة من الدرجة الثانية ، والتي يسهل حلها كما يلي

^{لنفترض أن} المتغير المساعد z = x² . عندئذٍ، ^تصبح Q(x) دالة تربيعية q في z : q ( z ) = a⁴z² + a²z + a⁰ . لنفترض _أن z⁺ _و z⁻ _هما جذرا q ( _z ) . عندئذٍ ، تكون _جذور الدالة الرباعية Q ( x ) هي

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=+{\sqrt {z_{+}}},\\x_{2}&=-{\sqrt {z_{+}}},\\x_{3}&=+{\sqrt {z_{-}}},\\x_{4}&=-{\sqrt {z_{-}}}.\end{aligned}}}$

متعددة الحدود

${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}mx+a_{0}m^{2}}$

المعادلتان P ( mx ) ^{و P(m/x) متناظرتان تقريبًا، حيث أن P(mx) = x⁴} / m²P ( m / x ) ( وهي متناظرة إذا كان ^m = 1 ) . يؤدي تغيير المتغير z = x + m / x في P ( x ) / x² = 0 إلى المعادلة التربيعية a₀z² + a₁z + a² _- 2ma₀ = 0. وبما _أن x² _- xz ₊ m ⁼ 0 ، يمكن حل المعادلة ^{الرباعية} P ( x ⁾ = 0 بتطبيق القانون العام لحل المعادلات التربيعية مرتين .

لأغراض الحل، يُفضّل عمومًا تحويل المعادلة الرباعية إلى معادلة رباعية منخفضة عن طريق تغيير المتغير البسيط التالي. جميع الصيغ أبسط، وبعض الطرق لا تعمل إلا في هذه الحالة. يمكن استعادة جذور المعادلة الرباعية الأصلية بسهولة من جذور المعادلة الرباعية المنخفضة عن طريق عكس تغيير المتغير.

يترك

${\displaystyle a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}$

لتكن المعادلة الرباعية العامة التي نريد حلها.

بقسمة _{المعادلة} على 4 _، نحصل على المعادلة المكافئة x⁴ ⁺ bx³ + ^cx² + dx + e = 0 ، حيث b = a³ _/ a⁴ ، و c = a² / _a⁴ ، ^و d = a¹ / a⁴ ، و e = a₀ / _a⁴ . وبتعويض x بـ y - b / 4 ، وبعد إعادة ^تجميع الحدود _، نحصل _على المعادلة y⁴ + ^py² + qy + r ₌ 0 _، حيث​​

${\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {8c-3b^{2}}{8}}={\frac {8a_{2}a_{4}-3{a_{3}}^{2}}{8{a_{4}}^{2}}}\\q&={\frac {b^{3}-4bc+8d}{8}}={\frac {{a_{3}}^{3}-4a_{2}a_{3}a_{4}+8a_{1}{a_{4}}^{2}}{8{a_{4}}^{3}}}\\r&={\frac {-3b^{4}+256e-64bd+16b^{2}c}{256}}={\frac {-3{a_{3}}^{4}+256a_{0}{a_{4}}^{3}-64a_{1}a_{3}{a_{4}}^{2}+16a_{2}{a_{3}}^{2}a_{4}}{256{a_{4}}^{4}}}.\end{aligned}}}$

إذا كان y ₀ جذرًا لهذه المعادلة الرباعية المنخفضة، فإن y ₀ − ⁠ b / 4 ⁠ (أي y ₀ − ⁠ a ₃ / 4 a ₄ ⁠ ) هو جذر للمعادلة الرباعية الأصلية ويمكن الحصول على كل جذر للمعادلة الرباعية الأصلية من خلال هذه العملية.

كما هو موضح في القسم السابق، يمكننا البدء بالمعادلة الرباعية المنخفضة

${\displaystyle y^{4}+py^{2}+qy+r=0.}$

يمكن حل هذه المعادلة الرباعية المختزلة باستخدام طريقة اكتشفها لودوفيكو فيراري . ويمكن إعادة كتابة المعادلة المختزلة (ويمكن التحقق من ذلك بسهولة عن طريق فك المربع وإعادة تجميع جميع الحدود في الطرف الأيسر) على النحو التالي:

${\displaystyle \left(y^{2}+{\frac {p}{2}}\right)^{2}=-qy-r+{\frac {p^{2}}{4}}.}$

ثم نُدخل المتغير m في العامل ^{الموجود} على الجانب الأيسر بإضافة 2y²m + pm + m² إلى كلا الطرفين. بعد إعادة تجميع معاملات قوة y على الجانب الأيمن، نحصل على ^{المعادلة} التالية

${\displaystyle \left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m\right)^{2}=2my^{2}-qy+m^{2}+mp+{\frac {p^{2}}{4}}-r,}$

1

وهو ما يعادل المعادلة الأصلية، بغض النظر عن القيمة المعطاة لـ m .

بما أن قيمة m يمكن اختيارها بشكل عشوائي، فسنختارها لإكمال المربع في الطرف الأيمن. وهذا يعني أن المميز في y لهذه المعادلة التربيعية يساوي صفرًا، أي أن m جذر للمعادلة.

${\displaystyle (-q)^{2}-4(2m)\left(m^{2}+pm+{\frac {p^{2}}{4}}-r\right)=0,\,}$

والتي يمكن إعادة كتابتها على النحو التالي

${\displaystyle 8m^{3}+8pm^{2}+(2p^{2}-8r)m-q^{2}=0.}$

1أ

هذا هو التكعيب المُحلِّل للمعادلة الرباعية. وبالتالي، يمكن الحصول على قيمة m من صيغة كاردانو . عندما يكون m جذرًا لهذه المعادلة، يكون الطرف الأيمن من المعادلة ( 1 ) هو مربع

${\displaystyle \left({\sqrt {2m}}y-{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)^{2}.}$

مع ذلك، يؤدي هذا إلى القسمة على صفر إذا كانت m = 0. وهذا يعني أن q = 0 ، وبالتالي فإن المعادلة المختزلة هي معادلة تربيعية ثنائية، ويمكن حلها بطريقة أسهل (انظر أعلاه). لم تكن هذه مشكلة في زمن فيراري، حيث كان الحل يقتصر على المعادلات المعطاة صراحةً بمعاملات عددية. وللحصول على صيغة عامة صحيحة دائمًا، يجب اختيار جذر للمعادلة التكعيبية بحيث m ≠ 0. وهذا ممكن دائمًا باستثناء المعادلة المختزلة y = ⁴ = 0 .

الآن، إذا كان m جذرًا للمعادلة التكعيبية بحيث m ≠ 0 ، فإن المعادلة ( 1 ) تصبح

${\displaystyle \left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m\right)^{2}=\left(y{\sqrt {2m}}-{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)^{2}.}$

تأخذ هذه المعادلة الشكل M² = N² ^، والذي يمكن إعادة ترتيبه على النحو التالي: ^M² - ^N² = 0 أو ( M + N )( M - N ) = 0. وبالتالي، يمكن إعادة كتابة المعادلة ( 1 ) على النحو التالي ^:

${\displaystyle \left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m+{\sqrt {2m}}y-{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)\left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m-{\sqrt {2m}}y+{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)=0.}$

يمكن حل هذه المعادلة بسهولة بتطبيق القانون العام لحل المعادلات التربيعية على كل عامل . وبحلها، يمكننا كتابة الجذور الأربعة على النحو التالي:

${\displaystyle y={\pm _{1}{\sqrt {2m}}\pm _{2}{\sqrt {-\left(2p+2m\pm _{1}{{\sqrt {2}}q \over {\sqrt {m}}}\right)}} \over 2},}$

حيث يشير ± ₁ و ± ₂ إما إلى + أو − . وبما أن ظهور ± ₁ مرتين يجب أن يشير إلى نفس الإشارة، فإن هذا يترك أربعة احتمالات، واحد لكل جذر.

لذلك، فإن حلول المعادلة الرباعية الأصلية هي

${\displaystyle x=-{a_{3} \over 4a_{4}}+{\pm _{1}{\sqrt {2m}}\pm _{2}{\sqrt {-\left(2p+2m\pm _{1}{{\sqrt {2}}q \over {\sqrt {m}}}\right)}} \over 2}.}$

تُظهر المقارنة مع الصيغة العامة أعلاه أن √ 2 m = 2 S .

قدّم ديكارت ^{[ 14 ]} في عام 1637 طريقة لإيجاد جذور كثيرة الحدود من الدرجة الرابعة عن طريق تحليلها إلى كثيرتي حدود من الدرجة الثانية.

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e&=(x^{2}+sx+t)(x^{2}+ux+v)\\&=x^{4}+(s+u)x^{3}+(t+v+su)x^{2}+(sv+tu)x+tv\end{aligned}}}$

وبمساواة المعاملات ، ينتج عن ذلك نظام المعادلات التالي:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}b=s+u\\c=t+v+su\\d=sv+tu\\e=tv\end{array}}\right.}$

يمكن تبسيط ذلك بالبدء من جديد بالمعادلة الرباعية المختزلة y⁴ ⁺ py² + ^qy + r ، والتي يمكن الحصول عليها باستبدال x بـ y − b /4 . بما أن معامل y³ يساوي صفرًا ^، فإننا نحصل على s = −u ، و: 

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}p+u^{2}=t+v\\q=u(t-v)\\r=tv\end{array}}\right.}$

يمكن الآن حذف كل من t و v عن طريق القيام بما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}(p+u^{2})^{2}-q^{2}&=u^{2}(t+v)^{2}-u^{2}(t-v)^{2}\\&=u^{2}[(t+v+(t-v))(t+v-(t-v))]\\&=u^{2}(2t)(2v)\\&=4u^{2}tv\\&=4u^{2}r\end{aligned}}}$

إذا وضعنا U = u² ^، فإن حل هذه المعادلة يصبح إيجاد جذور المعادلة التكعيبية للمُحلِّل

${\displaystyle U^{3}+2pU^{2}+(p^{2}-4r)U-q^{2},}$

2

وهذا ما تم فعله في مكان آخر . هذا التكعيب للمُحلِّل يُكافئ التكعيب للمُحلِّل المذكور أعلاه (المعادلة (1أ))، كما يمكن رؤيته من خلال استبدال U = 2m.

إذا كان u هو الجذر التربيعي لجذر غير صفري لهذا المُحلِّل (يوجد مثل هذا الجذر غير الصفري باستثناء الجذر الرباعي x ⁴ ، والذي يمكن تحليله بسهولة)،

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}s=-u\\2t=p+u^{2}+q/u\\2v=p+u^{2}-q/u\end{array}}\right.}$

تتمثل أوجه التناظر في هذا الحل فيما يلي. هناك ثلاثة جذور للمعادلة التكعيبية، تتوافق مع الطرق الثلاث التي يمكن بها تحليل معادلة من الدرجة الرابعة إلى معادلتين من الدرجة الثانية، واختيار قيم موجبة أو سالبة لـ u للجذر التربيعي لـ U يؤدي ببساطة إلى تبديل المعادلتين التربيعيتين مع بعضهما البعض.

يُبين الحل أعلاه أن كثيرة الحدود من الدرجة الرابعة ذات المعاملات النسبية ومعامل صفري للحد التكعيبي قابلة للتحليل إلى كثيرات حدود من الدرجة الثانية ذات معاملات نسبية إذا وفقط إذا كان للمُحلِّل التكعيبي ( 2 ) جذر غير صفري هو مربع عدد نسبي، أو أن ^p² - 4r هو مربع عدد نسبي و q = 0 ؛ ويمكن التحقق من ذلك بسهولة باستخدام اختبار الجذر النسبي . ^{[ 15 ]}

يُعزى أحد أشكال الطريقة السابقة إلى أويلر . ^{[ 16 ] [ 17 ]} على عكس الطريقتين السابقتين، اللتين تستخدمان جذرًا ما من جذر المعادلة التكعيبية المُحَلِّلة ، تستخدم طريقة أويلر جميعها. لنفترض معادلة تربيعية مُخَفَّضة x⁴ ⁺ px² + ^qx + r . لاحظ أنه إذا

• x ⁴ + px ² + qx + r = ( x ² + sx + t )( x ² − sx + v ) ,
• r1 و r2 هماجذرا ^{المعادلة} x2 + sx + t _،​
• r ₃ و r ₄ هما جذرا المعادلة x ² − sx + v ،

ثم

• جذور المعادلة x⁴ + px² + qx + r هي r⁻¹ _، r⁻² _، r⁻³ _، و r⁻⁴ _.^​​​​
• r ₁ + r ₂ = − s ,
• r ₃ + r ₄ = s .

لذلك ، فإن ( r1 ₊ r2 )( r3 + r4 ₎ = −s2 ^. بعبارة أخرى، _يُعدّ − ( r1 _{+ r2} ) (r3 + r4) أحد جذور المعادلة التكعيبية _{المُحَلِّلة} ( 2 _{) ،} وهذا يُشير إلى أن جذور هذه المعادلة التكعيبية تساوي −( r1 + r2 ₎ ( r3 + r4 ₎ ، و− ( _r1 + _r3 ) ( _r2 + r4 ₎ ، و− ( r1 ₊ r4 ) ( _r2 + _r3 ) _. ​​وهذا _صحيح بالفعل ، وهو مُستنتج من _صيغ فييتا _. ويترتب على صيغ فييتا، بالإضافة إلى حقيقة أننا نتعامل مع معادلة رباعية منخفضة، أن r₁ + r₂ + _r₃ + _r₄ = 0. (وبالطبع، يترتب على ذلك أيضًا أن _{r₁ +} r₂ ₊ r₃ + r₄ = −s + s ₎ . لذلك، إذا كانت _α و β و γ هي _جذور المعادلة التكعيبية المُحَلِّلة _{، فإن} الأعداد r₁ و r₂ و r₃ و _r₄ تحقق ما _يلي :

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}=0\\(r_{1}+r_{2})(r_{3}+r_{4})=-\alpha \\(r_{1}+r_{3})(r_{2}+r_{4})=-\beta \\(r_{1}+r_{4})(r_{2}+r_{3})=-\gamma {\text{.}}\end{array}}\right.}$

نتيجةً للمعادلتين الأوليين، فإنّ _r1 + r2 هو الجذر التربيعي لـ α، _وأنّ r3 + r4 هو الجذر التربيعي الآخر لـ _α . وللسبب نفسه _،

• r ₁ + r ₃ هو الجذر التربيعي لـ β ،
• r² + r⁴ هو _الجذر التربيعي الآخر _لـ β ،
• r ₁ + r ₄ هو الجذر التربيعي لـ γ ،
• r ₂ + r ₃ هو الجذر التربيعي الآخر لـ γ .

_لذلك ، فإن الأعداد r1 _و r2 _و r3 و r4 _هي بحيث

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}=0\\r_{1}+r_{2}={\sqrt {\alpha }}\\r_{1}+r_{3}={\sqrt {\beta }}\\r_{1}+r_{4}={\sqrt {\gamma }}{\text{;}}\end{array}}\right.}$

سيتم تناول إشارة الجذور التربيعية لاحقًا. الحل الوحيد لهذا النظام هو:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}r_{1}={\frac {{\sqrt {\alpha }}+{\sqrt {\beta }}+{\sqrt {\gamma }}}{2}}\\[2mm]r_{2}={\frac {{\sqrt {\alpha }}-{\sqrt {\beta }}-{\sqrt {\gamma }}}{2}}\\[2mm]r_{3}={\frac {-{\sqrt {\alpha }}+{\sqrt {\beta }}-{\sqrt {\gamma }}}{2}}\\[2mm]r_{4}={\frac {-{\sqrt {\alpha }}-{\sqrt {\beta }}+{\sqrt {\gamma }}}{2}}{\text{.}}\end{array}}\right.}$

بما أنه، بشكل عام، يوجد خياران لكل جذر تربيعي، فقد يبدو الأمر كما لو أن هذا يوفر 8 (= 2 ³ ) خيارات للمجموعة { r ₁ , r ₂ , r ₃ , r ₄ }، ولكن في الواقع، لا يوفر أكثر من 2  من هذه الخيارات، لأن نتيجة استبدال أحد الجذور التربيعية بالجذر المتناظر هي أن المجموعة { r ₁ , r ₂ , r ₃ , r ₄ } تصبح المجموعة {− r ₁ , − r ₂ , − r ₃ , − r ₄ }.

لتحديد الإشارة الصحيحة للجذور التربيعية، نختار ببساطة جذرًا تربيعيًا لكل من الأعداد _α و β و γ ، ونستخدمه لحساب الأعداد r₁ _و r₂ و _r₃ و r₄ من المعادلات السابقة. ثم نحسب العدد √α√β√γ . بما أن α و β و γ هي جذور المعادلة ( 2 ₎ ، ^فإن حاصل ضربها يساوي q² ، وبالتالي فإن √α√β√γ = ± q . لكن حسابًا بسيطًا يُظهر أن

√ α √ β √ γ = r ₁ r ₂ r ₃ + r ₁ r ₂ r ₄ + r ₁ r ₃ r ₄ + r ₂ r ₃ r ₄ .

إذا كان هذا العدد هو − q ، فإن اختيار الجذور التربيعية كان اختيارًا جيدًا (مرة أخرى، وفقًا لصيغ فيتا)؛ وإلا، فإن جذور متعددة الحدود ستكون − r ₁ ، − r ₂ ، − r ₃ ، و − r ₄ ، وهي الأعداد التي يتم الحصول عليها إذا تم استبدال أحد الجذور التربيعية بالجذر المتناظر (أو، ما يعادل الشيء نفسه، إذا تم استبدال كل من الجذور التربيعية الثلاثة بالجذر المتناظر).

تشير هذه الحجة إلى طريقة أخرى لاختيار الجذور التربيعية:

• اختر أي جذر تربيعي √ α لـ α وأي جذر تربيعي √ β لـ β ؛
• عرّف √γ على النحو التالي :${\displaystyle -{\frac {q}{{\sqrt {\alpha }}{\sqrt {\beta }}}}}$.

بالطبع، لن يكون لهذا معنى إذا كانت α أو β تساوي 0 ، ولكن 0 هو جذر ( 2 ) فقط عندما q = 0 ، أي فقط عندما نتعامل مع معادلة من الدرجة الثانية ، وفي هذه الحالة يوجد نهج أبسط بكثير.

تحتوي المجموعة المتناظرة S ₄ على أربعة عناصر على مجموعة كلاين الرباعية كمجموعة فرعية طبيعية . وهذا يشير إلى استخداممعادلة تكعيبية قابلة للحل، ^يمكن وصف جذورها بشكل مختلف إمابتحويل فورييه منفصلأومصفوفة هاداماردللجذور؛ انظرحلوللاغرانجللطريقة العامة. نرمز بـ xᵢ _، حيث i من0إلى3 ، إلى الجذور الأربعة للمعادلة x⁴ + bx³ + ^cx² + ^dx + e . إذا وضعنا  

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}),\\[4pt]s_{1}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}-x_{1}+x_{2}-x_{3}),\\[4pt]s_{2}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}+x_{1}-x_{2}-x_{3}),\\[4pt]s_{3}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}-x_{1}-x_{2}+x_{3}),\end{aligned}}}$

وبما أن التحويل هو عملية عكسية، _يمكننا التعبير عن الجذور بدلالة المتغيرات الأربعة sᵢ بنفس الطريقة تمامًا. ولأننا نعرف قيمة s₀ = −b _/ 2 ، فإننا نحتاج فقط إلى قيم s₁ _و s₂ _و s₃ _. وهذه هي جذور كثيرة الحدود

${\displaystyle (s^{2}-{s_{1}}^{2})(s^{2}-{s_{2}}^{2})(s^{2}-{s_{3}}^{2}).}$

باستبدال قيم sᵢ بدلالة _xᵢ ، يمكن توسيع هذه المعادلة متعددة الحدود إلى معادلة متعددة الحدود بدلالة sᵢ، ومعاملاتها عبارة عن _{معادلات} متعددة الحدود متناظرة بدلالة xᵢ . وبحسب النظرية الأساسية للمعادلات متعددة الحدود المتناظرة ، يمكن التعبير عن هذه المعاملات كمعادلات متعددة الحدود بدلالة معاملات المعادلة الرباعية أحادية _الحد . إذا افترضنا، للتبسيط، أن المعادلة الرباعية منخفضة، أي b = 0 ، فإن هذا ينتج عنه المعادلة متعددة الحدود التالية:

${\displaystyle s^{6}+2cs^{4}+(c^{2}-4e)s^{2}-d^{2}}$

3

هذه المعادلة متعددة الحدود من الدرجة السادسة، ولكنها من الدرجة الثالثة فقط في s² ^، ولذا يمكن حل المعادلة المقابلة لها بالطريقة الموضحة في مقالة _الدوال التكعيبية . باستبدال جذور المعادلة في تعبير xᵢ بدلالة _sᵢ ، نحصل على تعبيرات للجذور. في الواقع، نحصل، ظاهريًا، على عدة تعبيرات، اعتمادًا على ترقيم جذور المعادلة التكعيبية وإشارات جذورها التربيعية. يمكن استنتاج جميع هذه التعبيرات المختلفة من أحدها ببساطة عن طريق تغيير ترقيم xᵢ _.

هذه التعبيرات معقدة بلا داعٍ، إذ تتضمن الجذور التكعيبية للوحدة ، والتي يمكن تجنبها كما يلي: إذا كان s أي جذر غير صفري للمعادلة ( 3 )، وإذا وضعنا

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(x)&=x^{2}+sx+{\frac {c}{2}}+{\frac {s^{2}}{2}}-{\frac {d}{2s}}\\F_{2}(x)&=x^{2}-sx+{\frac {c}{2}}+{\frac {s^{2}}{2}}+{\frac {d}{2s}}\end{aligned}}}$

ثم

${\displaystyle F_{1}(x)\times F_{2}(x)=x^{4}+cx^{2}+dx+e.}$

لذلك يمكننا حل المعادلة الرباعية عن طريق حل المعادلة لإيجاد قيمة s ثم حل المعادلة لإيجاد جذور العاملين باستخدام الصيغة التربيعية .

وهذا يعطي نفس الصيغة تمامًا للجذور مثل تلك التي توفرها طريقة ديكارت .

هناك حل بديل باستخدام الهندسة الجبرية ^{[ 18 ]} باختصار، يتم تفسير الجذور على أنها تقاطع منحنيين تربيعيين، ثم يتم إيجاد المنحنيات التربيعية الثلاثة القابلة للاختزال (أزواج من الخطوط) التي تمر عبر هذه النقاط (وهذا يتوافق مع المعادلة التكعيبية المُحلِّلة، حيث تكون أزواج الخطوط هي مُحلِّلات لاغرانج)، ثم يتم استخدام هذه المعادلات الخطية لحل المعادلة التربيعية.

يمكن التعبير عن الجذور الأربعة للمعادلة الرباعية المخفضة x⁴ + px² + ^qx + r = 0 أيضًا كإحداثيات x لنقاط تقاطع المعادلتين التربيعيتين y² ⁺ py + qx + r = 0 ^و y - x² = 0 ، أي باستخدام التعويض y = ^{x² ،} فإن تقاطع معادلتين تربيعيتين _في أربع نقاط هو مثال على نظرية بيزو . وبالتحديد، ^فإن النقاط الأربع هي Pᵢ _≔ ( xi _, xi² ) للجذور الأربعة xi _{للمعادلة} الرباعية .

لا تقع هذه النقاط الأربع على استقامة واحدة لأنها تقع على المنحنى التربيعي غير القابل للاختزال y = x² ^، وبالتالي توجد مجموعة من المنحنيات التربيعية ذات وسيط واحد ( حزمة من المنحنيات ) تمر بهذه النقاط. كتابة إسقاط المنحنيين التربيعيين على صورة معادلات تربيعية بثلاثة متغيرات:

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(X,Y,Z)&:=Y^{2}+pYZ+qXZ+rZ^{2},\\F_{2}(X,Y,Z)&:=YZ-X^{2}\end{aligned}}}$

يتم إعطاء القلم بواسطة الأشكال λF ₁ + μF ₂ لأي نقطة [ λ , μ ] في الخط الإسقاطي - بعبارة أخرى، حيث لا يكون كل من λ و μ صفرًا، وضرب شكل تربيعي بثابت لا يغير منحنى الأصفار التربيعي الخاص به.

يحتوي هذا القلم الرصاص على ثلاث معادلات تربيعية قابلة للاختزال، كل منها يقابل زوجًا من الخطوط، يمر كل منها بنقطتين من النقاط الأربع، وهو ما يمكن القيام به${\displaystyle \textstyle {\binom {4}{2}}}$ لدينا ست طرق مختلفة. نرمز لهذه الطرق _بـ Q1 = L12 + L34 ، _و Q2 = L13 + L24 _، و Q3 = L14 + L23 _{. إذا اخترنا أي طريقتين من هذه الطرق ، فإن} تقاطعهما يحتوي على النقاط الأربع نفسها _. 

ويمكن تحديد المعادلات التربيعية القابلة للاختزال بدورها عن طريق التعبير عن الشكل التربيعي λF ₁ + μF ₂ كمصفوفة 3×3  : المعادلات التربيعية القابلة للاختزال تتوافق مع كون هذه المصفوفة منفردة، وهو ما يعادل كون محددها صفرًا، والمحدد هو متعدد حدود متجانس من الدرجة الثالثة في λ و μ ويتوافق مع التكعيبية المُحَلِّلة.