التحليل التقاربي

في التحليل الرياضي ، يُعرف التحليل التقاربي ، أو ما يُسمى أيضاً بالتقارب ، بأنه تطوير وتطبيق أساليب تُنتج حلاً تحليلياً تقريبياً لمسألة رياضية عندما يأخذ متغير أو مُعامل قيمة كبيرة أو صغيرة أو قريبة من قيمة مُحددة. ^{[ 1 ]}

من أمثلة التحليل التقاربي تقريب الدوال. على سبيل المثال، الدالة${\textstyle {\widetilde {y}}(x)=x}$تقريب دقيق للدالة${\textstyle y(x)=x+e^{-x}}$بالنسبة للقيم الإيجابية الكبيرة${\textstyle x}$القيم (الشكل 1). ولكل دقة مطلوبة، يوجد نطاق مقابل من${\textstyle x}$القيم التي تتحقق عندها هذه الدقة. في هذه الحالة، تتحقق دقة مختارة بخطأ نسبي أقل من 1% عندما${\textstyle x}$القيم أكبر من 3.4.

تُعدّ نظرية الأعداد الأولية مثالاً على نتيجة تقاربية مهمة. لأي عدد حقيقي${\textstyle x}$دالة عد الأعداد الأولية، ويرمز لها بـ${\textstyle \اسم المشغل {\pi } (x)}$، هو عدد الأعداد الأولية الأقل من أو يساوي${\textstyle x}$الوظيفة،${\textstyle x/\ln(x)}$، تقارب دالة عد الأعداد الأولية للأعداد الكبيرة${\textstyle x}$كما في المثال السابق، كما هو الحال مع الرقم${\textstyle x}$كلما ازداد حجم الدالة، ازدادت دقة دالة التقريب، مما يؤدي إلى انخفاض الخطأ النسبي. ويمكن التعبير عن هذه العلاقة التقاربية باستخدام هذه الرموز: $${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)}}\quad (x\to \infty )}$$

يؤثر التحليل التقاربي على العديد من مجالات الرياضيات. يستخدم علماء الرياضيات التحليل التقاربي لحساب تقريبات الدوال ، والدوال الضمنية ، والتكاملات ، والدوال المتكررة ، وجمع المتسلسلات، والمجاميع الجزئية ، وحلول المعادلات الفرقية، وحلول المعادلات التفاضلية ، وخصائص خوارزميات الحاسوب . ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

بصورة رسمية، إذا أعطينا الدالتين f ( x ) و g ( x ) ، فإننا نحدد علاقة ثنائية$${\displaystyle f(x)\sim g(x)\quad ({\text{as }}x\to \infty )}$$إذا وفقط إذا ( de  Bruijn 1981 , §1.4)$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=1.}$$

الرمز ~ هو علامة التلدة . العلاقة هي علاقة تكافؤ على مجموعة الدوال لـ x ؛ ويُقال إن الدالتين f و g متكافئتان تقاربياً . يمكن أن يكون مجال f و g أي مجموعة تكون نهايتها مُعرَّفة: مثل الأعداد الحقيقية، والأعداد المركبة، والأعداد الصحيحة الموجبة .

يُستخدم نفس الترميز أيضًا لطرق أخرى للوصول إلى النهاية: على سبيل المثال ، x → 0 ، x ↓ 0 ، | x | → 0. غالبًا ما لا تُذكر طريقة الوصول إلى النهاية صراحةً، إذا كانت واضحة من السياق.

على الرغم من شيوع التعريف المذكور أعلاه في الأدبيات، إلا أنه يُصبح إشكاليًا إذا كانت قيمة g ( x ) تساوي صفرًا عددًا لا نهائيًا من المرات عندما تقترب x من القيمة الحدية. لهذا السبب، يستخدم بعض المؤلفين تعريفًا بديلًا. التعريف البديل، باستخدام رمز θ الصغير ، هو أن f ~ g إذا وفقط إذا $${\displaystyle f(x)=g(x)(1+o(1)).}$$

هذا التعريف مكافئ للتعريف السابق إذا لم تكن قيمة g ( x ) تساوي صفرًا في جوار ما للقيمة الحدية. ^{[ 5 ] : §1.2}

الدالة الصفرية،${\textstyle f(z)=0}$لا يمكن أن تكون مكافئة لأي دالة أخرى. ^{[ 6 ]}

تتمتع علاقة "الـ 'o' الصغيرة" بخاصية الترتيب الجزئي كما يلي:${\textstyle f(x)=o(g(x))}$و${\textstyle g(x)=o(h(x))}$ثم${\textstyle f(x)=o(h(x))}$[ ^{6 ]​}

يتمتع التكافؤ التقاربي بخصائص انعكاسية ومتماثلة ومتعدية .

إذا كانت هذه الدوال متكافئة،${\textstyle f(x)\sim g(x)\,(x\to L)}$ثم الدوال المرفوعة إلى القوة الحقيقية${\textstyle r}$وهي متكافئة أيضًا: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle (f(x))^{r}\sim (g(x))^{r}\ (x\to L)}$$

إذا كانت هذه الدوال متكافئة${\textstyle f(x)\sim g(x)\,(x\to L)}$وهذه الدوال متكافئة${\textstyle h(x)\sim k(x)\,(x\to L)}$إذاً، فإن نواتج القسمة متكافئة: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle {\frac {f(x)}{h(x)}}\sim {\frac {g(x)}{k(x)}}\ (x\to L)}$$ تسمح هذه الخصائص بتبادل الدوال المتكافئة تقاربياً بحرية في العديد من التعبيرات الجبرية.

تظل الدوال المتكافئة تقاربياً متكافئة تقاربياً عند التكامل إذا استُوفيت الشروط المتعلقة بالتقارب. وهناك شروط أكثر صرامة لكي تظل الدوال المتكافئة تقاربياً متكافئة تقاربياً عند التفاضل . ^{[ 8 ]}

• مضروب$${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$$هذا هو تقريب ستيرلينغ
• دالة التقسيم
  بالنسبة لعدد صحيح موجب n ، فإن دالة التقسيم، p ( n )، تعطي عدد طرق كتابة العدد الصحيح n كمجموع أعداد صحيحة موجبة، حيث لا يتم مراعاة ترتيب الأعداد المضافة.$${\displaystyle p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}e^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}}}$$
• وظيفة هوائية
  دالة آيري، Ai( x )، هي حل للمعادلة التفاضلية y ″ − xy = 0 ؛ ولها العديد من التطبيقات في الفيزياء.$${\displaystyle \operatorname {Ai} (x)\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}}}{2{\sqrt {\pi }}x^{1/4}}}}$$
• دوال هانكل$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\end{aligned}}}$$

إنّ التوسع التقاربي للدالة f ( x ) هو في الواقع تعبير عن تلك الدالة بدلالة متسلسلة ، لا تتقارب مجاميعها الجزئية بالضرورة، ولكن بأخذ أي مجموع جزئي ابتدائي يُعطي صيغة تقاربية للدالة f . والفكرة هي أن الحدود المتتالية تُقدّم وصفًا أكثر دقة لرتبة نمو الدالة f .

بالرموز، هذا يعني أن لدينا${\displaystyle f\sim g_{1},}$ولكن أيضاً${\displaystyle f-g_{1}\sim g_{2}}$و${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k}}$لكل قيمة ثابتة لـ k . بالنظر إلى تعريف${\displaystyle \sim }$الرمز، المعادلة الأخيرة تعني${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k})}$في رمز o الصغير ، أي${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})}$أصغر بكثير من${\displaystyle g_{k}.}$

العلاقة${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k}}$يأخذ معناه الكامل إذا${\displaystyle g_{k+1}=o(g_{k})}$لكل قيمة k ، مما يعني أن${\displaystyle g_{k}}$تشكل مقياسًا تقاربيًا . في هذه الحالة، قد يكتب بعض المؤلفين بشكل مسيء${\displaystyle f\sim g_{1}+\cdots +g_{k}}$للدلالة على البيان${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k}).}$لكن ينبغي توخي الحذر من أن هذا ليس استخدامًا قياسيًا لـ${\displaystyle \sim }$الرمز، وأنه لا يتوافق مع التعريف الوارد في §  التعريف .

في الوضع الراهن، هذه العلاقة${\displaystyle g_{k}=o(g_{k-1})}$ينتج ذلك فعلياً عن دمج الخطوتين k و k − 1؛ عن طريق الطرح${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-2}=g_{k-1}+o(g_{k-1})}$من${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-2}-g_{k-1}=g_{k}+o(g_{k}),}$يحصل المرء${\displaystyle g_{k}+o(g_{k})=o(g_{k-1}),}$أي${\displaystyle g_{k}=o(g_{k-1}).}$

في حال عدم تقارب التوسع التقاربي، فإنه لأي قيمة معينة للمتغير، سيكون هناك مجموع جزئي محدد يوفر أفضل تقريب، وإضافة حدود إضافية ستؤدي إلى انخفاض الدقة. عادةً ما يحتوي هذا المجموع الجزئي الأمثل على عدد أكبر من الحدود كلما اقترب المتغير من القيمة الحدية.

في الإحصاء الرياضي ، يُعرف التوزيع التقاربي بأنه توزيع افتراضي يُمثل، بمعنى ما، التوزيع "النهائي" لسلسلة من التوزيعات. التوزيع هو مجموعة مرتبة من المتغيرات العشوائية Zᵢ _، حيث i = 1، ...، n ، وعدد صحيح موجب n . يسمح التوزيع التقاربي لـ i بالتغير بلا حدود، أي أن n لا نهائي.

تُعدّ حالة خاصة من التوزيع التقاربي هي عندما تؤول القيم المتأخرة إلى الصفر، أي أن Zᵢ _تؤول إلى الصفر عندما يؤول i إلى اللانهاية. وتشير بعض الأمثلة على "التوزيع التقاربي" إلى هذه الحالة الخاصة فقط.

يعتمد هذا على مفهوم الدالة التقاربية التي تقترب بشكل واضح من قيمة ثابتة ( الخط التقاربي ) عندما يؤول المتغير المستقل إلى اللانهاية؛ و"الوضوح" بهذا المعنى يعني أنه لأي قيمة مرغوبة للتقارب إبسيلون، توجد قيمة ما للمتغير المستقل لا تختلف بعدها الدالة عن القيمة الثابتة بأكثر من إبسيلون.

الخط المقارب هو خط مستقيم يقترب منه المنحنى ولكنه لا يتقاطع معه أبدًا. ويمكن القول بشكل غير رسمي أن المنحنى يتقاطع مع الخط المقارب "عند اللانهاية"، مع أن هذا ليس تعريفًا دقيقًا. في المعادلة${\displaystyle y={\frac {1}{x}},}$تصبح قيمة y صغيرة بشكل تعسفي مع زيادة قيمة x .

يُستخدم التحليل التقاربي في العديد من العلوم الرياضية . في الإحصاء ، تُقدّم النظرية التقاربية تقريبات حدية لتوزيع الاحتمال لإحصاءات العينة ، مثل إحصائية نسبة الاحتمال والقيمة المتوقعة للانحراف . مع ذلك، لا تُقدّم النظرية التقاربية طريقة لتقييم توزيعات إحصاءات العينة في العينات المحدودة. تُوفّر طرق نظرية التقريب حدودًا غير تقاربية .

فيما يلي أمثلة على التطبيقات.

• في الرياضيات التطبيقية ، يُستخدم التحليل التقاربي لبناء طرق عددية لتقريب حلول المعادلات .
• في الإحصاء الرياضي ونظرية الاحتمالات ، تُستخدم التقاربات في تحليل السلوك طويل المدى أو سلوك العينات الكبيرة للمتغيرات العشوائية والمقدرات.
• في علوم الحاسوب ، يقوم تحليل الخوارزميات بتقييم أداء الخوارزميات ويتم التعبير عنه من حيث ترميز Big O.
• سلوك الأنظمة الفيزيائية ، ومن الأمثلة على ذلك الميكانيكا الإحصائية .
• في تحليل الحوادث، عند تحديد سبب الاصطدام من خلال نمذجة العد باستخدام عدد كبير من إحصاءات الاصطدامات في وقت ومكان معينين.

يُعدّ التحليل التقاربي أداةً أساسيةً لاستكشاف المعادلات التفاضلية العادية والجزئية التي تظهر في النمذجة الرياضية للظواهر الواقعية. ^{[ 9 ]} ومن الأمثلة التوضيحية على ذلك اشتقاق معادلات الطبقة الحدية من معادلات نافيير-ستوكس الكاملة التي تحكم تدفق الموائع. في كثير من الحالات، يكون التوسع التقاربي مرفوعًا لأس معامل صغير، ε : في حالة الطبقة الحدية، يُمثّل هذا المعامل النسبة غير البُعدية لسُمك الطبقة الحدية إلى مقياس طول نموذجي للمسألة. في الواقع، غالبًا ما تتمحور تطبيقات التحليل التقاربي في النمذجة الرياضية حول معامل غير بُعدي تم إثبات صغره، أو افتراضه، من خلال دراسة مقاييس المسألة قيد البحث. ^{[ 9 ]}

تظهر المتسلسلات التقاربية عادةً في تقريب بعض التكاملات ( طريقة لابلاس ، طريقة نقطة السرج ، طريقة الانحدار الأسرع ) أو في تقريب التوزيعات الاحتمالية ( متسلسلة إيدجوورث ). وتُعدّ رسوم فاينمان البيانية في نظرية الحقل الكمومي مثالاً آخر على المتسلسلات التقاربية التي غالباً ما لا تتقارب.

• بالسر، دبليو. (1994)، من متسلسلات القوى المتباعدة إلى الدوال التحليلية ، سبرينغر-فيرلاغ ، رقم ISBN 9783540485940
• de Bruijn، NG (1981)، الطرق المقاربة في التحليل ، منشورات دوفر ، ISBN 9780486642215
• إسترادا، ر.؛ كانوال، ر.ب. (2012)، منهج توزيعي للسلوك التقاربي ، بيركهاوزر ، رقم ISBN 9780817681302
• هاويسون، سام (2005). الرياضيات التطبيقية العملية: النمذجة والتحليل والتقريب . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-84274-7.
• ميلر، بي دي (2006)، التحليل التقاربي التطبيقي ، الجمعية الأمريكية للرياضيات ، رقم ISBN 9780821840788
• موراي، جيه دي (2012). التحليل التقاربي . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-1-4612-1122-8.
• أولفر، فرانك ويليام جون. (1974). مقدمة في علم التقارب والدوال الخاصة . نيويورك: دار النشر الأكاديمية. ISBN 0-12-525856-9.
• باريس، آر بي؛ كامينسكي، د. (2001)، التقاربات وتكاملات ميلين-بارنز ، مطبعة جامعة كامبريدج
• بولسن، ويليام (2013). التحليل التقاربي ونظرية الاضطراب . مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1-4665-1512-3.

• التحليل التقاربي  - الصفحة الرئيسية للمجلة، التي تنشرها دار نشر IOS Press
• ورقة بحثية حول تحليل السلاسل الزمنية باستخدام التوزيع التقاربي