الكمية

في الإحصاء والاحتمالات ، تُعرف المئينات بأنها نقاط فاصلة تقسم نطاق التوزيع الاحتمالي إلى فترات متصلة ذات احتمالات متساوية، أو تقسم المشاهدات في عينة بالطريقة نفسها. للمئينات الشائعة أسماء خاصة، مثل الأرباع (أربع مجموعات)، والعشارات (عشر مجموعات)، والمئينات (مئة مجموعة). تُسمى المجموعات الناتجة أنصافًا، وأثلاثًا، وأرباعًا، وما إلى ذلك، مع أن مصطلحات المئين تُستخدم غالبًا للإشارة إلى المجموعات الناتجة، وليس إلى نقاط الفصل.

الكميات الكمية $q$ هي قيم تقسم مجموعة محدودة من القيم إلى $q$ مجموعات فرعية متساوية الحجم تقريبًا. يوجد $q - 1$ مجموعة فرعية من $الكميات الكمية q$ ، مجموعة واحدة لكل عدد صحيح $k$ يحقق الشرط $0 < k < q$ . في بعض الحالات، قد لا تكون قيمة الكمية الكمية محددة بشكل فريد، كما هو الحال بالنسبة للوسيط (الكمية الكمية 2) لتوزيع احتمالي منتظم على مجموعة ذات حجم زوجي. يمكن أيضًا تطبيق الكميات الكمية على التوزيعات المستمرة ، مما يوفر طريقة لتعميم إحصاءات الرتب على المتغيرات المستمرة (انظر رتبة النسبة المئوية ). عندما تكون دالة التوزيع التراكمي لمتغير عشوائي معروفة، فإن $الكميات الكمية q$ هي تطبيق دالة الكمية ( الدالة العكسية لدالة التوزيع التراكمي ) على القيم ${1/$ $q$ $, 2/$ $q$ $, \dots, ($ $q$ $- 1)/$ $q$ }.

كميات السكان

كما هو الحال في حساب الانحراف المعياري ، على سبيل المثال ، يعتمد تقدير الكمية على ما إذا كان المرء يتعامل مع مجتمع إحصائي أو مع عينة مسحوبة منه. بالنسبة لمجتمع ذي قيم منفصلة أو لكثافة سكانية متصلة، فإن الكمية $q$ من الرتبة $k$ هي قيمة البيانات التي يتقاطع عندها منحنى التوزيع التراكمي مع $k / q$ . أي أن $x$ هي كمية $q$ من الرتبة $k$ للمتغير $X$ إذا

احتمال أن يكون X < x \leq k / q

أو، بصورة مكافئة، احتمال أن

يكون

X \geq x \geq 1 - k / q

و

Pr[X \leq x] \geq k / q

حيث $Pr$ هي دالة الاحتمال . بالنسبة لمجموعة محدودة من $N$ قيمة متساوية الاحتمال، مُفهرسة $من 1 إلى N$ من الأدنى إلى الأعلى، يمكن حساب $الكمية$ الكمية $k$ لهذه المجموعة بشكل مكافئ باستخدام قيمة $I$ $p$ $=$ $N$ $k$ $/$ $q$ . إذا لم يكن $I$ $p$ عددًا صحيحًا، فيُقرّب إلى أقرب عدد صحيح للحصول على الفهرس المناسب؛ والقيمة المقابلة هي $الكمية$ الكمية $k$ . من ناحية أخرى، إذا كان $I$ $p$ عددًا صحيحًا، فيمكن اعتبار أي عدد من قيمة البيانات عند ذلك الفهرس إلى قيمة البيانات عند الفهرس التالي هو الكمية، ومن المتعارف عليه (وإن كان اختياريًا) أخذ متوسط هاتين القيمتين (انظر: تقدير الكميات الكمية من عينة ).

إذا استُخدم عدد حقيقي p، حيث 0 < p < 1، بدلاً من العددين الصحيحين k و $q$ ، $فإن$ $p$ $يحل$ $محل$ k $/$ q في $الصيغ$ المذكورة $أعلاه$ $.$ $يُستخدم$ هذا المصطلح الأوسع عند استخدام الكميات لنمذجة $التوزيعات$ الاحتمالية المستمرة . علاوة على ذلك، تعتبر بعض البرامج (بما في ذلك مايكروسوفت إكسل ) الحد الأدنى والحد الأقصى بمثابة المئين 0 والمئين 100 على التوالي. مع ذلك، يُعد هذا المصطلح الأوسع امتدادًا لتعريفات الإحصاء التقليدية.

أمثلة

يستخدم المثالان التاليان تعريف أقرب رتبة للكمية المئوية مع التقريب. للاطلاع على شرح لهذا التعريف، انظر النسب المئوية .

عدد السكان متساوي الحجم

لنفترض وجود مجموعة بيانات مرتبة مكونة من 10 قيم [3، 6، 7، 8، 8، 10، 13، 15، 16، 20]. ما هي الكميات الأربع (الربيعيات) لهذه المجموعة من البيانات؟

الربع	حساب	نتيجة
الربع الصفري	على الرغم من عدم قبول هذا المصطلح عالميًا، يمكن أيضًا استخدام مصطلح الربيع الصفري. وهو يمثل القيمة الدنيا للمجموعة، لذا فإن الربيع الصفري في هذا المثال هو 3.	3
الربع الأول	رتبة الربيع الأول هي 10 × (1/4) = 2.5، والتي تُقرّب إلى 3، مما يعني أن 3 هي الرتبة في المجتمع (من أصغر قيمة إلى أكبر قيمة) التي تقل فيها قيمة ما يقارب ربع القيم عن قيمة الربيع الأول. القيمة الثالثة في المجتمع هي 7.	7
الربع الثاني	رتبة الربيع الثاني (وهي نفسها الوسيط) هي 10 × (2/4) = 5، وهو عدد صحيح، بينما عدد القيم (10) هو عدد زوجي، لذلك يتم أخذ متوسط القيمتين الخامسة والسادسة - أي (8+10)/2 = 9، على الرغم من أنه يمكن اعتبار أي قيمة من 8 إلى 10 هي الوسيط.	9
الربع الثالث	رتبة الربع الثالث هي 10 × (3/4) = 7.5، والتي يتم تقريبها إلى 8. القيمة الثامنة في المجتمع هي 15.	15
الربع الرابع	على الرغم من عدم وجود اتفاق عالمي، يمكن أيضًا استخدام مصطلح الربيع الرابع. وهو يمثل القيمة القصوى للمجموعة، لذا فإن الربيع الرابع في هذا المثال هو 20. أما وفقًا لتعريف أقرب رتبة للكمية، فإن رتبة الربيع الرابع هي رتبة أكبر عدد، لذا فإن رتبة الربيع الرابع هي 10.	20

إذن، فإنّ المئينات الأربعة الأولى والثانية والثالثة (المئينات) لمجموعة البيانات [3، 6، 7، 8، 8، 10، 13، 15، 16، 20] هي [7، 9، 15]. وإذا لزم الأمر، فإنّ المئين الصفري هو 3 والمئين الرابع هو 20.

عدد السكان ذو الأحجام غير العادية

لنفترض وجود مجموعة بيانات مرتبة مكونة من 11 قيمة [3، 6، 7، 8، 8، 9، 10، 13، 15، 16، 20]. ما هي الكميات الأربع (الربيعيات) لهذه المجموعة من البيانات؟

الربع	حساب	نتيجة
الربع الصفري	على الرغم من عدم قبول هذا المصطلح عالميًا، يمكن أيضًا استخدام مصطلح الربيع الصفري. وهو يمثل القيمة الدنيا للمجموعة، لذا فإن الربيع الصفري في هذا المثال هو 3.	3
الربع الأول	يُحدد الربيع الأول بالمعادلة 11 × (1/4) = 2.75، والتي تُقرّب إلى 3، مما يعني أن 3 هو الترتيب في المجتمع (من أصغر قيمة إلى أكبر قيمة) حيث يكون ربع القيم تقريبًا أقل من قيمة الربيع الأول. القيمة الثالثة في المجتمع هي 7.	7
الربع الثاني	يُحسب الربيع الثاني (وهو نفسه الوسيط) بضرب 11 في (2/4) = 5.5، ويُقرّب الناتج إلى 6. بالتالي، يُمثّل الرقم 6 الترتيب في المجتمع الإحصائي (من أصغر قيمة إلى أكبر قيمة) حيث تكون حوالي 2/4 من القيم أقل من قيمة الربيع الثاني (أو الوسيط). القيمة السادسة في المجتمع الإحصائي هي 9.	9
الربع الثالث	يتم تحديد قيمة الربع الثالث للمثال الأصلي أعلاه من خلال 11 × (3/4) = 8.25، والتي يتم تقريبها إلى 9. القيمة التاسعة في المجتمع هي 15.	15
الربع الرابع	على الرغم من عدم وجود اتفاق عالمي، يمكن أيضًا استخدام مصطلح الربيع الرابع. وهو يمثل القيمة القصوى للمجموعة، لذا فإن الربيع الرابع في هذا المثال هو 20. أما وفقًا لتعريف أقرب رتبة للكمية، فإن رتبة الربيع الرابع هي رتبة أكبر عدد، لذا فإن رتبة الربيع الرابع هي 11.	20

إذن، فإنّ المئينات الأربعة الأولى والثانية والثالثة (المئينات) لمجموعة البيانات [3، 6، 7، 8، 8، 9، 10، 13، 15، 16، 20] هي [7، 9، 15]. وإذا لزم الأمر، فإنّ المئين الصفري هو 3 والمئين الرابع هو 20.

العلاقة بالمتوسط

بالنسبة لأي توزيع احتمالي لمجتمع إحصائي على عدد محدود من القيم، وبشكل عام لأي توزيع احتمالي له متوسط وتباين، فإن الأمر هو: $\mu -\sigma \cdot {\sqrt {\frac {1-p}{p}}}\leq Q(p)\leq \mu +\sigma \cdot {\sqrt {\frac {p}{1-p}}}\,,$ حيث $Q(p)$ هي قيمة المئين $p$ عندما $0 < p < 1$ (أو ما يعادلها، هي المئين $q$ $k$ عندما $p$ $=$ $k$ $/$ $q$ )، حيث $μ هو$ المتوسط الحسابي للتوزيع ، و $σ هو$ الانحراف المعياري للتوزيع . ^[¹^] وبالتحديد، لا يتجاوز الوسيط $($ $p$ $=$ $k$ $/$ $q$ $= 1/2) انحرافًا معياريًا واحدًا عن المتوسط.$

يمكن استخدام الصيغة أعلاه لتقييد قيمة $μ + zσ$ بدلالة المئينيات. عندما $z \geq 0$ ، فإن القيمة التي تزيد بمقدار $z$ انحرافات معيارية عن المتوسط لها حد أدنى. $\mu +z\sigma \geq Q\left({\frac {z^{2}}{1+z^{2}}}\right)\,,\mathrm {~for~} z\geq 0.$ على سبيل المثال، القيمة التي تقع على بعد انحراف $معياري واحد$ $فوق$ المتوسط تكون دائمًا أكبر من أو تساوي $Q (p = 0.5)$ ، وهو الوسيط، والقيمة التي تقع $على بعد$ انحرافين معياريين فوق المتوسط تكون دائمًا أكبر من أو تساوي $Q (p$ $= 0.8$ $)$ ، وهو الخمس الرابع.

عندما تكون قيمة $z \leq 0$ ، يكون هناك حد أعلى بدلاً من ذلك $\mu +z\sigma \leq Q\left({\frac {1}{1+z^{2}}}\right)\,,\mathrm {~for~} z\leq 0.$ على سبيل المثال، لن تتجاوز قيمة $μ + zσ$ لـ $z = -3 قيمة$ $Q (p = 0.1)$ ، وهي العشير الأول.

تقدير الكميات المئوية من عينة

إحدى المشكلات التي تظهر بشكل متكرر هي تقدير كمية من مجتمع (كبير جدًا أو لانهائي) بناءً على عينة محدودة بحجم $N.$

تعتمد الحزم الإحصائية الحديثة على عدد من التقنيات لتقدير الكميات المئوية.

قام هايندمان وفان بتصنيف تسع خوارزميات ^{[ 2 ]} تستخدمها حزم برمجية مختلفة. تحسب جميع الطرق $Q p$ ، وهي تقدير الكمية $p$ (الكمية q $$ $k$ ، حيث $p = k / q$ k ) من عينة حجمها $N$ عن طريق حساب مؤشر حقيقي $h$ . عندما يكون $h$ عددًا صحيحًا، فإن $أصغر$ قيمة من بين القيم $N$ ، $x h$ ، هي تقدير الكمية. وإلا، تُستخدم طريقة تقريب أو استيفاء لحساب تقدير الكمية من $h$ ، $x h $ ، و $x h $ . (للاطلاع على الرموز، انظر دالتيّ الجزء الصحيح والجزء الصحيح من الرتبة ).

الثلاثة الأولى ثابتة جزئياً، وتتغير فجأة عند كل نقطة بيانات، بينما تستخدم الستة الأخيرة الاستيفاء الخطي بين نقاط البيانات، وتختلف فقط في كيفية اختيار المؤشر $h$ المستخدم لاختيار النقطة على طول منحنى الاستيفاء الخطي الجزئي.

تدعم لغات البرمجة Mathematica [ ³^]^و Matlab [ ⁴^] و R ^[⁵^] و GNU Octave ^[⁶^] جميع طرق حساب الكميات التسع. بينما تتضمن SAS خمس طرق، و ^SciPy [ ⁷^]^و Maple [ ⁸^]^ثماني طرق، وEViews ^[⁹^] و Julia ^[¹⁰^] ست دوال خطية متعددة القطع، وStata ^[¹¹^] طريقتين، و Python ^[¹²^] ، و Microsoft Excel طريقتين. تدعم Mathematica وSciPy وJulia معلمات اختيارية للطرق، مما يسمح باستخدام طرق أخرى غير قياسية. توفر مكتبة Google Guava Java مخطط النوع 7 في فئة Quantiles.

تشمل أنواع التقديرات ومخططات الاستيفاء المستخدمة ما يلي:

يكتب	$ح$	$Q p$	ملحوظات
R-1، SAS-3، Maple-1	$Np$	$x ⌈ h ⌉$	معكوس دالة التوزيع التجريبي .
R-2، SAS-5، Maple-2، Stata	$Np + 1/2$	$(x ⌈ h - 1/2⌉ + x ⌊ h + 1/2⌋) / 2$	نفس الشيء بالنسبة لـ R-1، ولكن مع حساب المتوسط عند نقاط الانقطاع.
R-3، SAS-2	$Np$	$x ⌊ h ⌉$	الملاحظة التي تحمل الرقم الأقرب إلى $Np$ . هنا، يشير $⌊ h ⌉$ إلى التقريب إلى أقرب عدد صحيح، مع اختيار العدد الزوجي في حالة التعادل .
R-4، SAS-1، SciPy-(0,1)، Julia-(0,1)، Maple-3	$Np$	$x ⌊ h ⌋ + (h - ⌊ h ⌋) (x ⌈ h ⌉ - x ⌊ h ⌋)$	الاستيفاء الخطي لمعكوس دالة التوزيع التجريبية.
R-5، SciPy-(1/2,1/2)، Julia-(1/2,1/2)، Maple-4	$Np + 1/2$		دالة خطية متعددة الأجزاء حيث تكون العقد هي القيم في منتصف خطوات دالة التوزيع التجريبية.
R-6، إكسل، بايثون، SAS-4، SciPy-(0,0)، جوليا-(0,0)، مابل-5، ستاتا-altdef	$(ن + 1) ص$		الاستيفاء الخطي للتوقعات الإحصائية للترتيب للتوزيع المنتظم على الفترة [0,1]. أي أنه الاستيفاء الخطي بين النقطتين $($ $ph, xh) ،$ حيث $ph = h / (N +$ $1$ $)$ هو احتمال ألا تتجاوز القيمة الأخيرة من بين ( $N +1 ) قيمةً مختارة عشوائيًا$ $أصغر$ قيمة من بين أول $N$ قيمة مختارة عشوائيًا.
R-7، إكسل، بايثون، SciPy-(1,1)، جوليا-(1,1)، مابل-6، نامباي، جوافا	$(N - 1) p + 1$		الاستيفاء الخطي للأنماط لإحصاءات الترتيب للتوزيع المنتظم على [0,1].
R-8، SciPy-(1/3,1/3)، Julia-(1/3,1/3)، Maple-7	$(ن + 1/3) ص + 1/3$		الاستيفاء الخطي للوسائط التقريبية لإحصاءات الترتيب.
R-9، SciPy-(3/8,3/8)، Julia-(3/8,3/8)، Maple-8	$(ن + 1/4) ص + 3/8$		تكون تقديرات الكميات الناتجة غير متحيزة تقريبًا بالنسبة لإحصاءات الترتيب المتوقعة إذا كان $x$ موزعًا توزيعًا طبيعيًا.

ملحوظات:

R-1 إلى R-3 هي ثابتة جزئياً، مع وجود انقطاعات.
R-4 وما يليها هي خطية متقطعة، بدون انقطاعات، ولكنها تختلف في كيفية حساب $h .$
R-3 و R-4 ليستا متناظرتين بمعنى أنهما لا تعطيان $h = (N + 1) / 2$ عندما $p = 1/2$ .
تكافئ دالة PERCENTILE.EXC في برنامج Excel وطريقة "exclusive" الافتراضية في لغة Python القيمة R-6.
تُعادل دالة PERCENTILE و PERCENTILE.INC في برنامج Excel، بالإضافة إلى طريقة "inclusive" الاختيارية في لغة Python، دالة R-7. وهذه هي الطريقة الافتراضية في لغتي R و Julia.
تختلف الحزم البرمجية في كيفية تقديرها للكميات التي تتجاوز القيم الدنيا والعليا في العينة، أي $p < 1/ N$ و $p > (N - 1)/ N$ . وتشمل الخيارات إرجاع قيمة خطأ، أو حساب الاستقراء الخطي، أو افتراض قيمة ثابتة.

من بين التقنيات، يوصي هايندمان وفان بـ R-8، لكن معظم حزم البرامج الإحصائية اختارت R-6 أو R-7 كإعداد افتراضي. ^{[ 13 ]}

يمكن عموماً تقدير الخطأ المعياري لتقدير الكمية باستخدام طريقة بوتستراب . كما يمكن استخدام طريقة ماريتز-جاريت. ^{[ 14 ]}

التوزيع التقاربي لوسيط العينة

يُعدّ الوسيط العيني أكثر المقاييس الكمية استخدامًا، فهو بديل لتقدير معلمة الموقع عندما لا توجد القيمة المتوقعة للتوزيع، وبالتالي لا يُعدّ المتوسط العيني مقياسًا ذا دلالة لخاصية مجتمع إحصائي. علاوة على ذلك، يُعتبر الوسيط العيني مقياسًا أكثر دقة من المتوسط العيني.

إحدى خصائص الوسيط العيني هي توزيعه التقاربي : فعندما تأتي العينة من توزيع مستمر، فإن الوسيط العيني يكون له التوزيع التقاربي الطبيعي المتوقع.

{\text{الوسيط العيني m}}\sim {\mathcal {N}}\left(\mu =m,\sigma ^{2}={\frac {1}{4Nf(m)^{2}}}\right)

وينطبق هذا على الكميات الأخرى،

{\text{Sample quantile p}}\sim {\mathcal {N}}\left(\mu =x_{p},\sigma ^{2}={\frac {p(1-p)}{Nf(x_{p})^{2}}}\right)

حيث $f (x p)$ هي قيمة كثافة التوزيع عند الكمية السكانية $p ($ $x_{p}=F^{-1}(p)$ ). ^{[ 15 ]}

لكن عندما يكون التوزيع منفصلاً، فإن توزيع الوسيط العيني والكميات الأخرى يفشل في أن يكون طبيعيًا (انظر الأمثلة في https://stats.stackexchange.com/a/86638/28746 ).

يتمثل أحد حلول هذه المشكلة في استخدام تعريف بديل للكميات العينية من خلال مفهوم دالة "التوزيع المتوسط"، والتي تُعرَّف على النحو التالي:

F_{\text{mid}}(x)=P(X\leq x)-{\frac {1}{2}}P(X=x)

يمكن اعتبار تعريف كميات العينة من خلال مفهوم دالة التوزيع المتوسط تعميمًا يشمل التوزيعات المستمرة كحالات خاصة. أما بالنسبة للتوزيعات المتقطعة، فإن وسيط العينة، كما هو مُعرَّف بهذا المفهوم، له توزيع طبيعي تقاربيًا، انظر: Ma, Y., Genton, MG, & Parzen, E. (2011). Asymptotic properties of sample quantiles of discrete distributions. Annals of the Institute of Statistical Mathematics, 63(2), 227–243.

الكميات التقريبية من تيار

يمكن حساب القيم الكمية التقريبية من البيانات الواردة من تدفق بيانات بكفاءة باستخدام هياكل البيانات المضغوطة. ومن أشهر هذه الطرق طريقة t-digest ^{[ 16 ]} وطريقة KLL ^{[ 17 ]} . تقرأ هذه الطرق تدفق القيم بشكل متواصل، ويمكن الاستعلام عنها في أي وقت لمعرفة القيمة التقريبية لقيمة كمية محددة.

تعتمد كلتا الخوارزميتين على فكرة متشابهة: ضغط تدفق القيم بتلخيص القيم المتطابقة أو المتشابهة باستخدام وزن محدد. إذا كان التدفق يتكون من تكرار 100 مرة للقيمة v1 و100 مرة للقيمة v2، فلا داعي للاحتفاظ بقائمة مرتبة من 200 عنصر، إذ يكفي الاحتفاظ بعنصرين وعددين لاستعادة القيم المئوية. مع زيادة عدد القيم، تحافظ هاتان الخوارزميتان على توازن بين عدد القيم الفريدة المخزنة ودقة القيم المئوية الناتجة. يمكن حذف بعض القيم من التدفق والمساهمة في وزن قيمة مجاورة دون تغيير نتائج القيم المئوية بشكل كبير. تحافظ خوارزمية t-digest على بنية بيانات ذات حجم محدود باستخدام نهج مستوحى من خوارزمية التجميع k -means لتجميع القيم المتشابهة. تستخدم خوارزمية KLL طريقة "ضغط" أكثر تطورًا تؤدي إلى تحكم أفضل في حدود الخطأ، ولكن على حساب الحاجة إلى حجم غير محدود إذا كان يجب أن تكون الأخطاء محدودة بالنسبة إلى $p$ .

تنتمي كلتا الطريقتين إلى عائلة مخططات البيانات، وهي مجموعات فرعية من خوارزميات معالجة البيانات المتدفقة، وتتميز بخصائص مفيدة: إذ يمكن دمج مخططات t-digest أو KLL. ويمكن تقسيم حساب المخطط لمتجه كبير جدًا من القيم إلى عمليات متوازية بسيطة، حيث تُحسب المخططات لأجزاء المتجه بالتوازي ثم تُدمج لاحقًا.

تُقارب الخوارزميات الموصوفة حتى الآن القيم الكمية التجريبية مباشرةً دون أي افتراضات محددة حول البيانات، فالبيانات في جوهرها مجرد أرقام، أو بشكل أعم، مجموعة من العناصر القابلة للترتيب. هذه الخوارزميات هي أساليب مشتقة من علوم الحاسوب. وهناك فئة أخرى من الخوارزميات تفترض أن البيانات هي تجسيدات لعملية عشوائية. هذه أساليب مشتقة من الإحصاء، وتحديدًا خوارزميات التقدير غير البارامتري المتسلسل. يوجد عدد من هذه الخوارزميات، مثل تلك القائمة على التقريب العشوائي ^{[ 18 ]}^{[ 19 ]} أو مُقدِّرات متسلسلة هيرميت ^{[ 20 ] .}

تتميز هذه الخوارزميات الإحصائية عادةً بثبات وقت التحديث وتعقيد المساحة، ولكنها تختلف في ضمانات حدود الخطأ مقارنةً بأساليب علوم الحاسوب، كما أنها تعتمد على افتراضات أكثر. ومع ذلك، تُقدم الخوارزميات الإحصائية بعض المزايا، لا سيما في بيئة البيانات المتدفقة غير المستقرة، أي البيانات المتغيرة مع الزمن. وقد تم مؤخرًا استعراض خوارزميات كلا النوعين، إلى جانب بعض مزايا وعيوب كل منهما. ^{[ 21 ]}

مناقشة

تُذكر نتائج الاختبارات المعيارية عادةً على سبيل المثال، كحصول الطالب على درجة "في المئين الثمانين". يستخدم هذا المصطلح معنىً بديلاً لكلمة "مئين" باعتبارها الفاصل بين المئين الثمانين والمئين الحادي والثمانين (في هذه الحالة). ^{[ 22 ]} ويُستخدم هذا المعنى المنفصل للمئين أيضًا في المقالات البحثية العلمية المحكمة . ^{[ 23 ]} ويمكن استخلاص المعنى المستخدم من سياقه.

إذا كان التوزيع متماثلًا، فإن الوسيط يساوي المتوسط (طالما وُجد المتوسط). ولكن، بشكل عام، قد يختلف الوسيط عن المتوسط. على سبيل المثال، في حالة متغير عشوائي يتبع التوزيع الأسي ، فإن أي عينة معينة من هذا المتغير العشوائي ستكون لديها فرصة بنسبة 63% تقريبًا لأن تكون أقل من المتوسط. وذلك لأن التوزيع الأسي له ذيل طويل للقيم الموجبة، بينما يساوي صفرًا للقيم السالبة.

تُعدّ المئينات مقاييس مفيدة لأنها أقل تأثراً من المتوسطات بالمشاكل الناجمة عن التوزيعات طويلة الذيل والقيم المتطرفة. عملياً، إذا لم تكن البيانات المُحللة موزعة فعلياً وفقاً لتوزيع مُفترض، أو إذا كانت هناك مصادر أخرى محتملة للقيم المتطرفة البعيدة عن المتوسط، فقد تكون المئينات إحصاءات وصفية أكثر فائدة من المتوسطات والإحصاءات الأخرى المرتبطة بالعزوم.

يرتبط بهذا الموضوع ارتباطًا وثيقًا موضوع الانحرافات المطلقة الصغرى ، وهي طريقة انحدار أكثر مقاومة للقيم المتطرفة من طريقة المربعات الصغرى ، حيث يُستخدم مجموع القيمة المطلقة للأخطاء المرصودة بدلًا من مربع الخطأ. يكمن الرابط في أن المتوسط هو التقدير الوحيد للتوزيع الذي يقلل من متوسط مربع الخطأ، بينما يقلل الوسيط من متوسط الخطأ المطلق. تتشارك الانحرافات المطلقة الصغرى في قدرتها على أن تكون أقل حساسية نسبيًا للانحرافات الكبيرة في المشاهدات المتطرفة، على الرغم من وجود طرق انحدار أكثر قوة .

تُحفظ قيم المئويات لمتغير عشوائي تحت التحويلات المتزايدة، بمعنى أنه، على سبيل المثال، إذا كان $m$ هو الوسيط لمتغير عشوائي $X$ ، فإن $2m$ هو الوسيط لـ $2X$ $،$ ما لم يتم اختيار قيمة عشوائية من نطاق قيم لتحديد مئوية معينة. (انظر تقدير المئويات، أعلاه، للاطلاع على أمثلة على هذا الاستيفاء). يمكن أيضًا استخدام المئويات في الحالات التي تتوفر فيها بيانات $ترتيبية$ فقط .

قياسات كمية أخرى

القيم التي تقسم البيانات المصنفة إلى مجموعات فرعية متساوية بخلاف الأربع لها أسماء مختلفة.

يُطلق على الكمية الوحيدة المكونة من 2 اسم الوسيط
تُسمى الكميات الثلاث بالثلاثيات أو الأثلاثيات → T
تُسمى الكميات الأربعة بالربيعات → Q؛ ويُطلق على الفرق بين الربيعين العلوي والسفلي أيضًا اسم المدى الربيعي أو الانتشار المتوسط أو الخمسين الوسطى → IQR = $Q 3 - Q 1$ .
تُسمى الكميات الخمسية بالخماسيات أو الخماسيات → QU
تُسمى الكميات الستة بالسداسيات → S
تُسمى الكميات السبعة بالسبعيات → SP
تُسمى الكميات الثمانية بالثمانيات → O
تُسمى المئينات العشرية بالعُشيرات → د
تُسمى الكميات الاثنتي عشرة بالعشريات الثنائية أو العشريات → DD
تُسمى الكميات الستة عشر بالهيكساديسيلات → H
تسمى الكميات العشرين فتحات أو فيجينتيل أو نصف عشري → V
تُسمى المئينيات المئوية بالمئينيات أو النسب المئوية → P
وقد أطلق على الألف من الكميات اسم الألف أو المليمترات، ولكن هذه نادرة وقد عفا عليها الزمن إلى حد كبير ^{[ 24 ].}

انظر أيضاً

فرز سريع – فرز حسب التجميع الأول حسب الكمية
المدى الربيعي
الإحصاءات الوصفية
النسبة المتوقعة – ترتبط بالتوقعات بطريقة مماثلة لتلك التي ترتبط بها الكميات بالوسيط
الربع
مخطط Q-Q
دالة الكمية
التطبيع الكمي
الانحدار الكمي
التكميم
إحصائيات موجزة
فترة التسامح (" فترات الثقة للكمية p " ^{[ 25 ]} )

مراجع

↑ باغي، س.؛ بهوميك، د. (2004). "لمحات عن المتباينات في الاحتمالات والإحصاء" (ملف PDF) . المجلة الدولية للعلوم الإحصائية . 3 : 9-15 . ISSN 1683-5603 . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 12 أغسطس 2021. تم الاطلاع عليه بتاريخ 12 أغسطس 2021 .
↑ هايندمان، روب ج .؛ فان، يانان (نوفمبر 1996). "كميات العينة في الحزم الإحصائية" . الإحصائي الأمريكي . 50 (4). الجمعية الإحصائية الأمريكية: 361-365 . doi : 10.2307/2684934 . JSTOR 2684934 .
↑ وثائق Mathematica، انظر قسم "التفاصيل"
↑ "حساب الكميات" . uk.mathworks.com .
↑ فروهن، إيفان؛ هايندمان، روب جيه. (2009). الكميات العينة . مشروع آر. رقم ISBN 978-3-900051-07-5.
↑ "مرجع الوظيفة: quantile – Octave-Forge – SourceForge" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 6 سبتمبر 2013 .
↑ "scipy.stats.mstats.mquantiles — SciPy v1.4.1 Reference Guide" . docs.scipy.org .
↑ "الإحصائيات - مساعدة برمجة مابل" . www.maplesoft.com .
↑ "مساعدة برنامج EViews 9" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 16 أبريل 2016. تم الاطلاع عليه بتاريخ 4 أبريل 2016 .
↑ "الإحصاءات - توثيق جوليا" . تم الاطلاع عليه في 17 يونيو 2023 .
↑ وثائق Stata لأوامر pctile و xtile انظر قسم "الأساليب والصيغ".
↑ "الإحصاء - دوال الإحصاء الرياضي - توثيق بايثون 3.8.3rc1" . docs.python.org .
↑ هايندمان، روب ج. (28 مارس 2016). "الكميات العينة بعد 20 عامًا" . مدونة هايندمان . تم الاطلاع عليه بتاريخ 30 نوفمبر 2020 .
↑ ويلكوكس، راند ر. (2010). مقدمة في التقدير القوي واختبار الفرضيات . دار النشر الأكاديمية. ISBN 978-0-12-751542-7.
↑ ستيوارت، آلان؛ أورد، كيث (1994). نظرية كيندال المتقدمة في الإحصاء . لندن: أرنولد. ISBN 0340614307.
↑ دانينغ، تيد؛ إرتل، أوتمار (فبراير 2019). "حساب الكميات الدقيقة للغاية باستخدام t-Digests". arXiv : 1902.04023 [ stat.CO ].
↑ زوهار كارنين؛ كيفن لانغ؛ إيدو ليبرتي (2016). "التقريب الأمثل للكميات في التدفقات". arXiv : 1603.05346 [ cs.DS ].
↑ تيرني، لوك (1983). "إجراء تكراري فعال من حيث المساحة لتقدير كمية توزيع غير معروف" . مجلة SIAM للحوسبة العلمية والإحصائية . 4 (4): 706-711. doi : 10.1137/0904048 .
↑ تشين، فاي؛ لامبرت، ديان؛ بينهيرو، خوسيه (2000). "تقدير الكميات التزايدية للتتبع الضخم" . وقائع المؤتمر الدولي السادس لجمعية ACM SIGKDD حول اكتشاف المعرفة واستخراج البيانات . ص 516-522. doi : 10.1145/347090.347195 . ISBN 1-58113-233-6.
↑ ستيفانو، مايكل؛ فارغيز، ملفين؛ ماكدونالد، إيان (2017). "الكميات المتسلسلة عبر تقدير كثافة سلسلة هيرميت" . المجلة الإلكترونية للإحصاء . 11 (1): 570-607. arXiv : 1507.05073 . doi : 10.1214/17-EJS1245 .
↑ ستيفانو، م. وفاروغيز، م. (2023). "Hermiter: حزمة R للتقدير غير البارامتري المتسلسل". الإحصاءات الحاسوبية . 39 (3): 1127-1163 . arXiv : 2111.14091 . doi : 10.1007/s00180-023-01382-0 . S2CID 244715035 . {{cite journal}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
↑ "النسبة المئوية" . مرجع أكسفورد . تم الاسترجاع في 17 أغسطس 2020 .
↑ كروجر، ج.؛ دانينج، د. (ديسمبر 1999). "غير ماهر وغير مدرك لذلك: كيف تؤدي صعوبات إدراك المرء لعدم كفاءته إلى تقييمات ذاتية مبالغ فيها". مجلة الشخصية وعلم النفس الاجتماعي . 77 (6): 1121-1134 . doi : 10.1037/0022-3514.77.6.1121 . ISSN 0022-3514 . PMID 10626367. S2CID 2109278 .
↑ ووكر، هيلين ماري؛ ليف، جوزيف (1969). الأساليب الإحصائية الأولية . هولت، راينهارت ووينستون. ISBN 978-0-03-081130-2.
↑ ستيفن ب. فارديمان (1992). "ماذا عن الفترات الأخرى؟". الإحصائي الأمريكي . 46 (3): 193-197 . doi : 10.2307/2685212 . JSTOR 2685212 .

للمزيد من القراءة

سيرفلينج، آر جيه (1980). نظريات التقريب في الإحصاء الرياضي . جون وايلي وأولاده. ISBN 0-471-02403-1.

روابط خارجية

الوسائط المتعلقة بالكميات على ويكيميديا كومنز

[1] باغي، س.؛ بهوميك، د. (2004). "لمحات عن المتباينات في الاحتمالات والإحصاء" (ملف PDF) . المجلة الدولية للعلوم الإحصائية . 3 : 9-15 . ISSN 1683-5603 . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 12 أغسطس 2021. تم الاطلاع عليه بتاريخ 12 أغسطس 2021 .

[2] هايندمان، روب ج .؛ فان، يانان (نوفمبر 1996). "كميات العينة في الحزم الإحصائية" . الإحصائي الأمريكي . 50 (4). الجمعية الإحصائية الأمريكية: 361-365 . doi : 10.2307/2684934 . JSTOR 2684934 .

[3] وثائق Mathematica، انظر قسم "التفاصيل"

[4] "حساب الكميات" . uk.mathworks.com .

[5] فروهن، إيفان؛ هايندمان، روب جيه. (2009). الكميات العينة . مشروع آر. رقم ISBN 978-3-900051-07-5.

[Function_Reference:_quantile_–_Octave-Forge_–_SourceForge-6] "مرجع الوظيفة: quantile – Octave-Forge – SourceForge" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 6 سبتمبر 2013 .

[7] "scipy.stats.mstats.mquantiles — SciPy v1.4.1 Reference Guide" . docs.scipy.org .

[8] "الإحصائيات - مساعدة برمجة مابل" . www.maplesoft.com .

[9] "مساعدة برنامج EViews 9" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 16 أبريل 2016. تم الاطلاع عليه بتاريخ 4 أبريل 2016 .

[10] "الإحصاءات - توثيق جوليا" . تم الاطلاع عليه في 17 يونيو 2023 .

[11] وثائق Stata لأوامر pctile و xtile انظر قسم "الأساليب والصيغ".

[12] "الإحصاء - دوال الإحصاء الرياضي - توثيق بايثون 3.8.3rc1" . docs.python.org .

[13] هايندمان، روب ج. (28 مارس 2016). "الكميات العينة بعد 20 عامًا" . مدونة هايندمان . تم الاطلاع عليه بتاريخ 30 نوفمبر 2020 .

[14] ويلكوكس، راند ر. (2010). مقدمة في التقدير القوي واختبار الفرضيات . دار النشر الأكاديمية. ISBN 978-0-12-751542-7.

[Stuart1994-15] ستيوارت، آلان؛ أورد، كيث (1994). نظرية كيندال المتقدمة في الإحصاء . لندن: أرنولد. ISBN 0340614307.

[Dunning2019-16] دانينغ، تيد؛ إرتل، أوتمار (فبراير 2019). "حساب الكميات الدقيقة للغاية باستخدام t-Digests". arXiv : 1902.04023 [ stat.CO ].

[Karnin2016-17] زوهار كارنين؛ كيفن لانغ؛ إيدو ليبرتي (2016). "التقريب الأمثل للكميات في التدفقات". arXiv : 1603.05346 [ cs.DS ].

[tierney1983-18] تيرني، لوك (1983). "إجراء تكراري فعال من حيث المساحة لتقدير كمية توزيع غير معروف" . مجلة SIAM للحوسبة العلمية والإحصائية . 4 (4): 706-711. doi : 10.1137/0904048 .

[chen2000-19] تشين، فاي؛ لامبرت، ديان؛ بينهيرو، خوسيه (2000). "تقدير الكميات التزايدية للتتبع الضخم" . وقائع المؤتمر الدولي السادس لجمعية ACM SIGKDD حول اكتشاف المعرفة واستخراج البيانات . ص 516-522. doi : 10.1145/347090.347195 . ISBN 1-58113-233-6.

[stephanou2017-20] ستيفانو، مايكل؛ فارغيز، ملفين؛ ماكدونالد، إيان (2017). "الكميات المتسلسلة عبر تقدير كثافة سلسلة هيرميت" . المجلة الإلكترونية للإحصاء . 11 (1): 570-607. arXiv : 1507.05073 . doi : 10.1214/17-EJS1245 .

[StephanouHermiter2022-21] ستيفانو، م. وفاروغيز، م. (2023). "Hermiter: حزمة R للتقدير غير البارامتري المتسلسل". الإحصاءات الحاسوبية . 39 (3): 1127-1163 . arXiv : 2111.14091 . doi : 10.1007/s00180-023-01382-0 . S2CID 244715035 . {{cite journal}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )

[22] "النسبة المئوية" . مرجع أكسفورد . تم الاسترجاع في 17 أغسطس 2020 .

[23] كروجر، ج.؛ دانينج، د. (ديسمبر 1999). "غير ماهر وغير مدرك لذلك: كيف تؤدي صعوبات إدراك المرء لعدم كفاءته إلى تقييمات ذاتية مبالغ فيها". مجلة الشخصية وعلم النفس الاجتماعي . 77 (6): 1121-1134 . doi : 10.1037/0022-3514.77.6.1121 . ISSN 0022-3514 . PMID 10626367. S2CID 2109278 .

[walker-24] ووكر، هيلين ماري؛ ليف، جوزيف (1969). الأساليب الإحصائية الأولية . هولت، راينهارت ووينستون. ISBN 978-0-03-081130-2.

[vardeman-25] ستيفن ب. فارديمان (1992). "ماذا عن الفترات الأخرى؟". الإحصائي الأمريكي . 46 (3): 193-197 . doi : 10.2307/2685212 . JSTOR 2685212 .

[

[ 2 ]

3

4

5

7

8

[

[

[

[

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ] .

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ].

[ 25 ]