طريقة نيوتن

في التحليل العددي ، طريقة نيوتن-رافسون ، والمعروفة أيضًا ببساطة باسم طريقة نيوتن ، والتي سميت على اسم إسحاق نيوتن وجوزيف رافسون ، هي خوارزمية لإيجاد الجذر والتي تنتج تقريبًا أفضل على التوالي للجذور (أو الأصفار) لدالة ذات قيمة حقيقية . تبدأ النسخة الأساسية بدالة ذات قيمة حقيقية f ومشتقتها f ′ وتخمين أولي x ₀ لجذر f . إذا كانت f تلبي افتراضات معينة وكان التخمين الأولي قريبًا، فعندئذٍ

$${\displaystyle x_{1}=x_{0}-{\f(x_{0})}{f'(x_{0})}}}$$

هو تقريب أفضل للجذر من x _0. هندسيًا، ( x ₁ , 0) هو تقاطع x مع ظل الرسم البياني لـ f عند ( x ₀ , f ( x ₀ )) : أي أن التخمين المحسن، x ₁ ، هو الجذر الوحيد للتقريب الخطي لـ f عند التخمين الأولي، x _0. تتكرر العملية على النحو التالي

$${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\f(x_{n})}{f'(x_{n})}}}$$

حتى يتم الوصول إلى قيمة دقيقة بدرجة كافية. يتضاعف عدد الأرقام الصحيحة تقريبًا مع كل خطوة. هذه الخوارزمية هي الأولى في فئة طرق هاوسهولدر ، وقد خلفتها طريقة هالي . يمكن أيضًا توسيع الطريقة لتشمل الدوال المعقدة وأنظمة المعادلات .

الفكرة هي البدء بتخمين أولي، ثم تقريب الدالة بواسطة خط المماس الخاص بها ، وأخيرًا حساب نقطة التقاطع مع المحور x لهذا الخط المماس. عادةً ما يكون هذا التقاطع مع المحور x تقريب أفضل لجذر الدالة الأصلية من التخمين الأول، ويمكن تكرار الطريقة .

إذا كان الخط المماس للمنحنى f ( x ) عند x = x _n يقطع المحور x عند x _{n +1} فإن الميل يكون

$${\displaystyle f'(x_{n})={\dfrac {f(x_{n})-0}{x_{n}-x_{n+1}}}.}$$

حل x _{n +1} يعطي

$${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\f(x_{n})}{f'(x_{n})}}.}$$

نبدأ العملية بقيمة أولية عشوائية x _0. (كلما اقتربت من الصفر، كان ذلك أفضل. ولكن في غياب أي حدس حول مكان الصفر، فقد تضيق طريقة "التخمين والتحقق" الاحتمالات إلى فترة زمنية صغيرة إلى حد معقول من خلال الاستعانة بنظرية القيمة الوسيطة .) وعادةً ما تتقارب الطريقة، بشرط أن يكون هذا التخمين الأولي قريبًا بدرجة كافية من الصفر المجهول، وأن f ′ ( x ₀ ) ≠ 0. وعلاوة على ذلك، بالنسبة لصفر مضاعف  1، يكون التقارب تربيعيًا على الأقل (انظر معدل التقارب ) في جوار الصفر، مما يعني بديهيًا أن عدد الأرقام الصحيحة يتضاعف تقريبًا في كل خطوة. يمكن العثور على مزيد من التفاصيل في § التحليل أدناه.

إن طرق هاوسهولدر متشابهة ولكنها ذات ترتيب أعلى لتحقيق تقارب أسرع. ومع ذلك، فإن العمليات الحسابية الإضافية المطلوبة لكل خطوة يمكن أن تؤدي إلى إبطاء الأداء الإجمالي مقارنة بطريقة نيوتن، وخاصة إذا كانت مشتقاتها مكلفة حسابيًا لتقييمها.

اسم "طريقة نيوتن" مشتق من وصف إسحاق نيوتن لحالة خاصة من الطريقة في De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (كتب في عام 1669، ونشره ويليام جونز في عام 1711 ) وفي De metodis fluxionum et serierum infinitarum (كتب في عام 1671، وترجم ونشر باسم Method of Fluxions في عام 1736 بواسطة جون كولسون ). ومع ذلك، تختلف طريقته بشكل كبير عن الطريقة الحديثة المذكورة أعلاه. طبق نيوتن الطريقة فقط على كثيرات الحدود، بدءًا بتقدير الجذر الأولي واستخراج تسلسل من تصحيحات الخطأ. استخدم كل تصحيح لإعادة كتابة كثير الحدود من حيث الخطأ المتبقي، ثم حل لتصحيح جديد بإهمال الحدود ذات الدرجة الأعلى. لم يربط الطريقة صراحةً بالمشتقات أو يقدم صيغة عامة. طبق نيوتن هذه الطريقة على كل من المشكلات العددية والجبرية، مما أدى إلى إنتاج متسلسلة تايلور في الحالة الأخيرة.

ربما استمد نيوتن طريقته من طريقة مماثلة أقل دقة وضعها فييتا . يمكن العثور على جوهر طريقة فييتا في عمل عالم الرياضيات الفارسي شرف الدين الطوسي ، بينما استخدم خليفته جمشيد الكاشي شكلاً من أشكال طريقة نيوتن لحل x ^P − N = 0 لإيجاد جذور N (Ypma 1995). كانت هناك حالة خاصة من طريقة نيوتن لحساب الجذور التربيعية معروفة منذ العصور القديمة وغالبًا ما تسمى الطريقة البابلية .

تم استخدام طريقة نيوتن من قبل عالم الرياضيات الياباني سيكي كوا في القرن السابع عشر لحل معادلات المتغير الواحد، على الرغم من أن الاتصال مع حساب التفاضل والتكامل كان مفقودًا. ^[1]

نُشرت طريقة نيوتن لأول مرة في عام 1685 في أطروحة الجبر التاريخية والعملية لجون واليس . ^[2] في عام 1690، نشر جوزيف رافسون وصفًا مبسطًا في تحليل المعادلة الشاملة . ^[3] كما طبق رافسون الطريقة فقط على كثيرات الحدود، لكنه تجنب عملية إعادة الكتابة المملة لنيوتن من خلال استخراج كل تصحيح متتالي من كثير الحدود الأصلي. سمح له هذا باستنتاج تعبير تكراري قابل لإعادة الاستخدام لكل مشكلة. أخيرًا، في عام 1740، وصف توماس سيمبسون طريقة نيوتن بأنها طريقة تكرارية لحل المعادلات غير الخطية العامة باستخدام حساب التفاضل والتكامل، معطيًا الوصف أعلاه بشكل أساسي. في نفس المنشور، يعطي سيمبسون أيضًا التعميم لأنظمة معادلتين ويلاحظ أنه يمكن استخدام طريقة نيوتن لحل مشاكل التحسين عن طريق ضبط التدرج على الصفر.

كان آرثر كايلي في عام 1879 أول من لاحظ الصعوبات في تعميم طريقة نيوتن على الجذور المركبة لكثيرات الحدود بدرجة أكبر من 2 والقيم الأولية المركبة. وقد فتح هذا الطريق لدراسة نظرية تكرارات الدوال الكسرية.

إن طريقة نيوتن هي تقنية قوية - بشكل عام يكون التقارب تربيعيًا: عندما تتقارب الطريقة على الجذر، يتم تربيع الفرق بين الجذر والتقريب (يتضاعف عدد الأرقام الدقيقة تقريبًا) في كل خطوة. ومع ذلك، هناك بعض الصعوبات في الطريقة.

تتطلب طريقة نيوتن أن يكون من الممكن حساب المشتقة بشكل مباشر. قد لا يكون من السهل الحصول على تعبير تحليلي للمشتقة أو قد يكون تقييمه مكلفًا. في هذه المواقف، قد يكون من المناسب تقريب المشتقة باستخدام ميل خط يمر بنقطتين قريبتين على الدالة. سيؤدي استخدام هذا التقريب إلى شيء مثل طريقة القاطع التي يكون تقاربها أبطأ من تقارب طريقة نيوتن.

من المهم مراجعة إثبات التقارب التربيعي لطريقة نيوتن قبل تطبيقها. وبشكل أكثر تحديدًا، يجب مراجعة الافتراضات التي تم وضعها في الإثبات. في المواقف التي تفشل فيها الطريقة في التقارب، يكون ذلك بسبب عدم استيفاء الافتراضات التي تم وضعها في هذا الإثبات.

على سبيل المثال، في بعض الحالات، إذا لم يكن المشتق الأول يتصرف بشكل جيد في جوار جذر معين، فمن الممكن أن تفشل طريقة نيوتن في التقارب بغض النظر عن مكان ضبط التهيئة. في بعض الحالات، يمكن تثبيت طريقة نيوتن باستخدام الاسترخاء المفرط المتتالي ، أو يمكن زيادة سرعة التقارب باستخدام نفس الطريقة.

في التنفيذ القوي لطريقة نيوتن، من الشائع وضع حدود لعدد التكرارات، وتقييد الحل بفاصل معروف أنه يحتوي على الجذر، ودمج الطريقة مع طريقة أكثر قوة للعثور على الجذر.

إذا كان الجذر المطلوب له تعدد أكبر من واحد، فإن معدل التقارب يكون خطيًا بحتًا (الأخطاء تقل بعامل ثابت في كل خطوة) ما لم يتم اتخاذ خطوات خاصة. عندما يكون هناك جذرين أو أكثر قريبين من بعضهما البعض، فقد يستغرق الأمر العديد من التكرارات قبل أن تقترب التكرارات بدرجة كافية من أحدهما ليكون التقارب التربيعي واضحًا. ومع ذلك، إذا كانت تعدد الجذر m معروفًا، فإن الخوارزمية المعدلة التالية تحافظ على معدل التقارب التربيعي: ^[4]

$${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-m\f(x_{n})}{f'(x_{n})}}.}$$

وهذا يعادل استخدام الاسترخاء الزائد المتتالي . من ناحية أخرى، إذا لم تكن قيمة التعدد m للجذر معروفة، فمن الممكن تقدير m بعد إجراء تكرار واحد أو اثنين، ثم استخدام هذه القيمة لزيادة معدل التقارب.

إذا كانت مضاعفة الجذر m محدودة فإن g ( x ) =ف ( س )/ف ′ ( س )سيكون له جذر في نفس الموقع مع التعدد 1. تطبيق طريقة نيوتن لإيجاد جذر g ( x ) يستعيد التقارب التربيعي في العديد من الحالات على الرغم من أنه ينطوي عمومًا على المشتقة الثانية لـ f ( x ) . في حالة بسيطة بشكل خاص، إذا كانت f ( x ) = x ^m فإن g ( x ) =س/موتجد طريقة نيوتن الجذر في تكرار واحد مع

$${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {g(x_{n})}{g'(x_{n})}}=x_{n}-{\frac {\;{\frac {x_{n}}{m}}\;}{\frac {1}{m}}}=0\,.}$$

افترض أن الدالة f لها صفر عند α ، أي أن f ( α ) = 0 ، و f قابلة للاشتقاق في جوار α .

إذا كانت f قابلة للاشتقاق بشكل مستمر ومشتقتها غير صفرية عند  α ، فإنه يوجد جوار لـ α بحيث بالنسبة لجميع القيم الأولية x ₀ في هذا الجوار، فإن المتتالية ( x n ₎ ستتقارب إلى α . [ ^5]

إذا كانت f قابلة للاشتقاق بشكل مستمر، ومشتقتها غير صفرية عند  α ، ولها مشتقة ثانية عند  α ، فإن التقارب يكون تربيعيًا أو أسرع. إذا لم تكن المشتقة الثانية تساوي 0 عند α ، فإن التقارب يكون تربيعيًا فحسب. إذا كانت المشتقة الثالثة موجودة ومحدودة في جوار α ، فإن:

$${\displaystyle \Delta x_{i+1}={\f''(\alpha )}{2f'(\alpha )}}\left(\Delta x_{i}\right)^{2}+O\left(\Delta x_{i}\right)^{3}\,,}$$

أين

$${\displaystyle \Delta x_{i}\triangleq x_{i}-\alpha \,.}$$

إذا كانت المشتقة تساوي 0 عند α ، فإن التقارب يكون خطيًا فقط عادةً. على وجه التحديد، إذا كانت f قابلة للاشتقاق مرتين بشكل مستمر، و f ′ ( α ) = 0 و f ″ ( α ) ≠ 0 ، فإن هناك جوارًا لـ α بحيث، بالنسبة لجميع القيم الأولية x ₀ في هذا الجوار، تتقارب تسلسل التكرارات خطيًا، بمعدل ⁠1/2⁠ . ^[6] بدلاً من ذلك، إذا كانت f ′ ( α ) = 0 و f ′ ( x ) ≠ 0 لـ x ≠ α ، فإن x  في جوار U لـ α ، حيث α هو صفر من مضاعفات r ، وإذا كانت f ∈ C ^r ( U ) ، فإن هناك جوارًا لـ α بحيث يتقارب تسلسل التكرارات خطيًا لجميع القيم الأولية x ₀ في ذلك الجوار.

ومع ذلك، حتى التقارب الخطي ليس مضمونًا في الحالات المرضية.

في الممارسة العملية، تكون هذه النتائج محلية، ولا يُعرف جوار التقارب مسبقًا. ولكن هناك أيضًا بعض النتائج المتعلقة بالتقارب العالمي: على سبيل المثال، إذا كان جوار U ₊ الأيمن لـ α ، إذا كان f قابلاً للاشتقاق مرتين في U ₊ وإذا كان f ′ ≠ 0 ، f · f ″ > 0 في U ₊ ، فعندئذٍ، لكل x ₀ في U _+، يتناقص التسلسل x _k بشكل رتيب إلى α .

وفقًا لنظرية تايلور ، يمكن تمثيل أي دالة f ( x ) لها مشتقة ثانية متصلة بتوسع حول نقطة قريبة من جذر f ( x ) . افترض أن هذا الجذر هو α . عندئذٍ يكون توسع f ( α ) حول x _n هو:

${\displaystyle f(\alpha )=f(x_{n})+f'(x_{n})(\alpha -x_{n})+R_{1}\,}$

( 1 )

حيث يكون شكل لاجرانج لباقي توسع سلسلة تايلور هو

$${\displaystyle R_{1}={\frac {1}{2!}}f''(\xi _{n})\left(\alpha -x_{n}\right)^{2}\,,}$$

حيث ξn يقع بين xn _و α ._​

نظرًا لأن α هو الجذر، فإن ( 1 ) يصبح:

${\displaystyle 0=f(\alpha )=f(x_{n})+f'(x_{n})(\alpha -x_{n})+{\tfrac {1}{2}}f''(\xi _{n})\left(\alpha -x_{n}\right)^{2}\,}$

( 2 )

قسمة المعادلة ( 2 ) على f ′ ( x _n ) وإعادة ترتيبها يعطي

${\displaystyle {\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}+\left(\alpha -x_{n}\right)={\frac {-f''(\xi _{n})}{2f'(x_{n})}}\left(\alpha -x_{n}\right)^{2}}$

( 3 )

تذكر أن x _{n + 1} يتم تعريفه بواسطة

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}\,,}$

( 4 )

نجد أن

$${\displaystyle \underbrace {\alpha -x_{n+1}} _{\varepsilon _{n+1}}={\frac {-f''(\xi _{n})}{2f'(x_{n})}}{(\,\underbrace {\alpha -x_{n}} _{\varepsilon _{n}}\,)}^{2}\,.}$$

إنه،

${\displaystyle \varepsilon _{n+1}={\frac {-f''(\xi _{n})}{2f'(x_{n})}}\cdot \varepsilon _{n}^{2}\,.}$

( 5 )

بأخذ القيمة المطلقة لكلا الجانبين نحصل على

${\displaystyle \left|{\varepsilon _{n+1}}\right|={\frac {\left|f''(\xi _{n})\right|}{2\left|f'(x_{n})\right|}}\cdot \varepsilon _{n}^{2}\,.}$

( 6 )

تظهر المعادلة ( 6 ) أن ترتيب التقارب يكون تربيعيًا على الأقل إذا تم استيفاء الشروط التالية:

1. f ′ ( x ) ≠ 0 ؛ لجميع x ∈ I ، حيث I هي الفترة [ α − | ε ₀ |, α + | ε ₀ |] ؛
2. f ″ ( x ) متصلة، لكل x ∈ I ؛
3. م | ε ₀ | < 1

حيث يتم إعطاء M بواسطة

$${\displaystyle M={\frac {1}{2}}\left(\sup _{x\in I}\vert f''(x)\vert \right)\left(\sup _{x\in I}{\frac {1}{\vert f'(x)\vert }}\right).\,}$$

إذا كانت هذه الشروط صحيحة،

$${\displaystyle \vert \varepsilon _{n+1}\vert \leq M\cdot \varepsilon _{n}^{2}\,.}$$

افترض أن f ( x ) دالة مقعرة على فاصل، وهي تتزايد بشكل صارم . إذا كانت سالبة عند نقطة النهاية اليسرى وموجبة عند نقطة النهاية اليمنى، فإن نظرية القيمة المتوسطة تضمن وجود ζ صفرية لـ f في مكان ما في الفاصل. من المبادئ الهندسية، يمكن ملاحظة أن تكرار نيوتن x _i الذي يبدأ عند نقطة النهاية اليسرى يتزايد بشكل رتيب ومتقارب، بالضرورة إلى ζ . ^[7]

قدم جوزيف فورييه تعديلاً على طريقة نيوتن بدءًا من نقطة النهاية اليمنى:

${\displaystyle y_{i+1}=y_{i}-{\frac {f(y_{i})}{f'(x_{i})}}.}$

هذا التسلسل يتناقص بشكل رتيب ويتقارب. من خلال الانتقال إلى الحد في هذا التعريف، يمكن ملاحظة أن حد y _i يجب أن يكون أيضًا صفر ζ . ^[7]

لذا، في حالة الدالة المتزايدة المقعرة ذات الصفر، فإن التهيئة غير ذات صلة إلى حد كبير. ستتقارب تكرارات نيوتن التي تبدأ في أي مكان على يسار الصفر، كما ستتقارب تكرارات نيوتن المعدلة لفورييه التي تبدأ في أي مكان على يمين الصفر. يمكن تحديد الدقة في أي خطوة من التكرار مباشرة من الفرق بين موقع التكرار من اليسار وموقع التكرار من اليمين. إذا كانت f قابلة للاشتقاق مرتين بشكل مستمر، فيمكن إثبات ذلك باستخدام نظرية تايلور

${\displaystyle \lim _{i\to \infty }{\frac {y_{i+1}-x_{i+1}}{(y_{i}-x_{i})^{2}}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {f''(\zeta )}{f'(\zeta )}},}$

مما يدل على أن هذا الاختلاف في المواقع يتقارب تربيعيًا إلى الصفر. ^[7]

يمكن توسيع كل ما سبق ليشمل أنظمة المعادلات في متغيرات متعددة، على الرغم من أن المفاهيم ذات الصلة بالرتابة والتقعر في هذا السياق أكثر دقة في صياغتها. ^[8] في حالة المعادلات الفردية في متغير واحد، يمكن أيضًا تعميم التقارب الرتيب أعلاه لطريقة نيوتن لاستبدال التقعر بشروط إيجابية أو سلبية على مشتق تعسفي من الدرجة الأعلى لـ f . ومع ذلك، في هذا التعميم، يتم تعديل تكرار نيوتن بحيث يعتمد على متعددات حدود تايلور بدلاً من خط المماس . في حالة التقعر، يتزامن هذا التعديل مع طريقة نيوتن القياسية. ^[9]

طريقة نيوتن هي واحدة من العديد من الطرق المعروفة لحساب الجذور التربيعية . إذا كان لدينا عدد موجب a ، فإن مشكلة إيجاد عدد x بحيث x ² = a تعادل إيجاد جذر الدالة f ( x ) = x ² − a . تكرار نيوتن المحدد بواسطة هذه الدالة يعطى بواسطة

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=x_{n}-{\frac {x_{n}^{2}-a}{2x_{n}}}={\frac {1}{2}}\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right).}$

يحدث هذا ليتزامن مع الطريقة "البابلية" لإيجاد الجذور التربيعية ، والتي تتكون من استبدال الجذر التقريبي x _n بالمتوسط ​​الحسابي لـ x _n و ⁄ x _n . من خلال إجراء هذه التكرار، من الممكن تقييم الجذر التربيعي لأي دقة مرغوبة باستخدام العمليات الحسابية الأساسية فقط .

تُظهِر الجداول الثلاثة التالية أمثلة لنتيجة هذا الحساب لإيجاد الجذر التربيعي للعدد 612، مع تهيئة التكرار عند القيم 1 و10 و-20. يتم الحصول على كل صف في عمود " x _n " من خلال تطبيق الصيغة السابقة على الإدخال الموجود أعلى منه، على سبيل المثال

${\displaystyle 306.5={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {612}{1}}\right).}$

اكس ن	ف ( س ن )		اكس ن	ف ( س ن )		اكس ن	ف ( س ن )
1	-611		10	-512		-2 0	-212
306.5	9.3330 × 10 4		35.6	655.36		-2 5.3	28.09
154.2483686786	2.3180 × 10 4		2 6.3955056180	84.722		-24.7 448616601	0.30818
79.1079978644	5.6461 × 10 3		24.7 906354925	2.5756		-24.73863 45374	3.8777 × 10 −5
43.4221286822	1.2735 × 10 3		24.7386 882941	2.6985 × 10 −3		-24.7386337537	6.1424 × 10 −13
2 8.7581624288	215.03		24.738633753 8	2.9746 × 10 −9
2 5.0195385369	13.977
24.7 402106712	7.8024 × 10 −2
24.738633 8040	2.4865 × 10 −6
24.7386337537	2.5256 × 10 −15

الأرقام الصحيحة مسطرة. يُرى أنه من خلال عدد قليل من التكرارات فقط يمكن الحصول على حل دقيق للعديد من المنازل العشرية. يوضح الجدول الأول أن هذا صحيح حتى إذا تم تهيئة تكرار نيوتن بالتخمين غير الدقيق للغاية 1 .

عند حساب أي جذر تربيعي غير صفري، يجب أن تكون المشتقة الأولى لـ f غير صفرية عند الجذر، وأن f دالة سلسة. لذا، حتى قبل أي عملية حسابية، من المعروف أن أي تكرار نيوتن متقارب له معدل تقارب تربيعي. وينعكس هذا في الجداول أعلاه من خلال حقيقة أنه بمجرد اقتراب تكرار نيوتن من الجذر، يتضاعف عدد الأرقام الصحيحة تقريبًا مع كل تكرار.

لنفترض أن مشكلة إيجاد العدد الموجب x مع cos x = x ^3. يمكننا إعادة صياغة ذلك على أنه إيجاد صفر f ( x ) = cos( x ) − x ^3. لدينا f ′ ( x ) = −sin( x ) − 3 x ^2. بما أن cos( x ) ≤ 1 لجميع x و x ³ > 1 لـ x > 1 ، فإننا نعلم أن حلنا يقع بين 0 و 1.

ستؤدي القيمة الأولية 0 إلى نتيجة غير محددة، وهو ما يوضح أهمية استخدام نقطة بداية قريبة من الحل. على سبيل المثال، مع التخمين الأولي x ₀ = 0.5 ، فإن التسلسل المعطى بواسطة طريقة نيوتن هو:

$${\displaystyle {\begin{matrix}x_{1}&=&x_{0}-{\dfrac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}&=&0.5-{\dfrac {\cos 0.5-0.5^{3}}{-\sin 0.5-3\times 0.5^{2}}}&=&1.112\,141\,637\,097\dots \\x_{2}&=&x_{1}-{\dfrac {f(x_{1})}{f'(x_{1})}}&=&\vdots &=&{\underline {0.}}909\,672\,693\,736\dots \\x_{3}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {0.86}}7\,263\,818\,209\dots \\x_{4}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {0.865\,47}}7\,135\,298\dots \\x_{5}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {0.865\,474\,033\,1}}11\dots \\x_{6}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {0.865\,474\,033\,102}}\dots \end{matrix}}}$$

الأرقام الصحيحة مسطرة في المثال أعلاه. على وجه الخصوص، x ₆ صحيح حتى 12 خانة عشرية. نرى أن عدد الأرقام الصحيحة بعد الفاصلة العشرية يزداد من 2 (بالنسبة لـ x ₃ ) إلى 5 و10، مما يوضح التقارب التربيعي.

الدالة f ( x ) = x ² لها جذر عند 0. ^[10] نظرًا لأن f قابلة للاشتقاق باستمرار عند جذرها، فإن النظرية تضمن أن طريقة نيوتن كما تم تهيئتها بالقرب الكافي من الجذر سوف تتقارب. ومع ذلك، نظرًا لأن المشتقة f ′ تساوي صفرًا عند الجذر، فإن النظرية لا تضمن التقارب التربيعي. في هذا المثال المعين، يتم إعطاء تكرار نيوتن بواسطة

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}={\frac {1}{2}}x_{n}.}$

من الواضح من هذا أن طريقة نيوتن يمكن تهيئة أي مكان والتقارب إلى الصفر، ولكن بمعدل خطي فقط. إذا تم تهيئة القيمة عند 1، فسوف تكون هناك حاجة إلى عشرات التكرارات قبل تحقيق دقة عشرة أرقام.

الدالة f ( x ) = x + x ^4/3 لها أيضًا جذر عند 0، حيث تكون قابلة للاشتقاق باستمرار. على الرغم من أن المشتقة الأولى f ′ ليست صفرًا عند الجذر، فإن المشتقة الثانية f " غير موجودة هناك، وبالتالي لا يمكن ضمان التقارب التربيعي. في الواقع، يتم إعطاء تكرار نيوتن بواسطة

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}={\frac {x^{4/3}}{3+4x^{1/3}}}.}$

ومن هذا، يمكن ملاحظة أن معدل التقارب خطي للغاية ولكنه دون تربيعي. ويمكن ملاحظة ذلك في الجداول التالية، حيث يوضح الجدول الأيسر طريقة نيوتن المطبقة على f ( x ) = x + x ^4/3 أعلاه ، ويُظهر الجدول الأيمن طريقة نيوتن المطبقة على f ( x ) = x + x ^2. ويتضح التقارب التربيعي في التكرار الموضح على اليمين من خلال مضاعفة أوامر المقدار في المسافة من التكرار إلى الجذر الحقيقي (0,1,2,3,5,10,20,39,...) تقريبًا من صف إلى آخر. وفي حين أن التقارب على اليسار خطي للغاية، فإن ترتيب المقدار مضروب فقط بنحو 4/3 من صف إلى آخر (0,1,2,4,5,7,10,13,...).

اكس ن	س + س4/3 ن		اكس ن	س + س2 ن
1	2		1	2
1.4286 × 10 −1	2.1754 × 10 −1		3.3333 × 10 −1	4.4444 × 10 −1
1.4669 × 10 −2	1.8260 × 10 −2		6.6666 × 10 −2	7.1111 × 10 −2
9.0241 × 10 −4	9.8961 × 10 −4		3.9216 × 10 −3	3.9369 × 10 −3
2.5750 × 10 −5	2.6511 × 10 −5		1.5259 × 10 −5	1.5259 × 10 −5
2.4386 × 10 −7	2.4539 × 10 −7		2.3283 × 10 −10	2.3283 × 10 −10
5.0366 × 10 −10	5.0406 × 10 −10		5.4210 × 10 −20	5.4210 × 10 −20
1.3344 × 10 −13	1.3344 × 10 −13		2.9387 × 10 −39	2.9387 × 10 −39

يتميز معدل التقارب عن عدد التكرارات المطلوبة للوصول إلى دقة معينة. على سبيل المثال، الدالة f ( x ) = x ²⁰ − 1 لها جذر عند 1. نظرًا لأن f ′(1) ≠ 0 و f سلسة، فمن المعروف أن أي تكرار نيوتن متقارب إلى 1 سوف يتقارب تربيعيًا. ومع ذلك، إذا تم تهيئة ذلك عند 0.5، فإن التكرارات القليلة الأولى لطريقة نيوتن تكون تقريبًا 26214 و24904 و23658 و22476، وتتناقص ببطء، مع كون التكرار رقم 200 فقط هو 1.0371. التكرارات التالية هي 1.0103 و1.00093 و1.0000082 و1.00000000065، مما يوضح التقارب التربيعي. يسلط هذا الضوء على أن التقارب التربيعي لتكرار نيوتن لا يعني أن هناك حاجة إلى عدد قليل من التكرارات فقط؛ وهذا ينطبق فقط عندما تكون سلسلة التكرارات قريبة بدرجة كافية من الجذر. ^[11]

الدالة f ( x ) = x (1 + x ² ) ^−1/2 لها جذر عند 0. تكرار نيوتن يعطى بواسطة

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=-x_{n}^{3}.}$

من هذا، يمكن ملاحظة أن هناك ثلاث ظواهر محتملة لتكرار نيوتن. إذا تم تهيئة التكرار بدقة بين ±1 ، فسوف يتقارب تكرار نيوتن (تربيعيًا) إلى 0؛ إذا تم تهيئة التكرار عند 1 أو −1 بالضبط ، فسوف يتذبذب تكرار نيوتن بلا نهاية بين ±1 ؛ إذا تم تهيئة التكرار في أي مكان آخر، فسوف يتباعد تكرار نيوتن. ^[12] يحدث نفس التقسيم الثلاثي لـ f ( x ) = arctan x . ^[10]

في الحالات التي تحتوي فيها الدالة المعنية على جذور متعددة، قد يكون من الصعب التحكم، من خلال اختيار التهيئة، في الجذر (إن وجد) الذي تم تحديده بواسطة طريقة نيوتن. على سبيل المثال، الدالة f ( x ) = x ( x ² − 1)( x − 3)e ^{−( x − 1) 2 /2} لها جذور عند −1 و0 و1 و3. ^[13] إذا تم تهيئة الدالة عند −1.488، تتقارب تكرارات نيوتن إلى 0؛ إذا تم تهيئة الدالة عند −1.487، تتباعد إلى ∞ ؛ إذا تم تهيئة الدالة عند −1.486، تتقارب إلى −1؛ إذا تم تهيئة الدالة عند −1.485، تتباعد إلى −∞ ؛ إذا تم تهيئة الدالة عند −1.4843، تتقارب إلى 3؛ إذا تم تهيئة القيمة عند −1.484، فإنها تتقارب إلى 1. هذا النوع من الاعتماد الدقيق على التهيئة ليس نادرًا؛ فهو يُدرس كثيرًا في المستوى المركب في شكل كسوري نيوتن .

فكر في مشكلة إيجاد جذر f ( x ) = x ^1/3 . تكرار نيوتن هو

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=x_{n}-{\frac {x_{n}^{1/3}}{{\frac {1}{3}}x_{n}^{-2/3}}}=-2x_{n}.}$

ما لم يتم تهيئة طريقة نيوتن عند الجذر الدقيق 0، فمن الواضح أن تسلسل التكرارات سيفشل في التقارب. على سبيل المثال، حتى إذا تم تهيئة الطريقة عند التخمين الدقيق المعقول 0.001، فإن التكرارات العديدة الأولى هي −0.002، 0.004، −0.008، 0.016، لتصل إلى 1048.58، −2097.15، ... بحلول التكرار العشرين. لا يتناقض هذا الفشل في التقارب مع النظرية التحليلية، حيث في هذه الحالة لا يمكن الاشتقاق عند الجذر f .

في المثال أعلاه، ينعكس فشل التقارب من خلال فشل f ( x _n ) في الاقتراب من الصفر مع زيادة n ، وكذلك من خلال حقيقة أن التكرارات المتعاقبة تتباعد أكثر فأكثر. ومع ذلك، فإن الدالة f ( x ) = x ^1/3 e ^{− x 2} لها أيضًا جذر عند 0. يتم إعطاء تكرار نيوتن بواسطة

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=x_{n}\left(1-{\frac {3}{1-6x_{n}^{2}}}\right).}$

في هذا المثال، حيث لا يمكن اشتقاق f مرة أخرى عند الجذر، فإن أي تكرار نيوتن لا يبدأ بالضبط عند الجذر سوف يتباعد، ولكن مع تقارب كل من x _{n + 1} − x _n و f ( x _n ) إلى الصفر. ^[14] يُرى هذا في الجدول التالي الذي يوضح التكرارات مع التهيئة 1:

اكس ن	ف ( س ن )
1	0.36788
1.6	9.0416 × 10 −2
1.9342	2.9556 × 10 −2
2.2048	1.0076 × 10 −2
2.4396	3.5015 × 10 −3
2.6505	1.2307 × 10 −3
2.8437	4.3578 × 10 −4
3.0232	1.5513 × 10 −4

على الرغم من أن تقارب x _{n + 1} − x _n في هذه الحالة ليس سريعًا جدًا، إلا أنه يمكن إثباته من صيغة التكرار. يسلط هذا المثال الضوء على إمكانية أن يحدد معيار التوقف لطريقة نيوتن المستندة فقط على صغر x _{n + 1} − x _n و f ( x _n ) الجذر بشكل خاطئ.

من السهل إيجاد مواقف تتذبذب فيها طريقة نيوتن بلا نهاية بين قيمتين متميزتين. على سبيل المثال، بالنسبة لطريقة نيوتن كما يتم تطبيقها على دالة f للتذبذب بين 0 و1، فمن الضروري فقط أن يتقاطع الخط المماس لـ f عند 0 مع المحور x عند 1 وأن ​​يتقاطع الخط المماس لـ f عند 1 مع المحور x عند 0. ^[14] هذه هي الحالة، على سبيل المثال، إذا كانت f ( x ) = x ³ − 2 x + 2. بالنسبة لهذه الدالة، من الممكن أن تتذبذب تكرارات نيوتن عند تهيئة قريبة بدرجة كافية من 0 أو 1 بشكل مقارب بين هذه القيم. على سبيل المثال، تعطي طريقة نيوتن عند تهيئة 0.99 تكرارات 0.99، −0.06317، 1.00628، 0.03651، 1.00196، 0.01162، 1.00020، 0.00120، 1.000002، وهكذا. هذا السلوك موجود على الرغم من وجود جذر f يساوي تقريبًا −1.76929.

في بعض الحالات، ليس من الممكن حتى إجراء تكرار نيوتن. على سبيل المثال، إذا كانت f ( x ) = x ² − 1 ، فإن تكرار نيوتن يتم تعريفه بواسطة

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}={\frac {x_{n}^{2}-1}{2x_{n}}}.}$

لذا لا يمكن تهيئة طريقة نيوتن عند 0، لأن هذا من شأنه أن يجعل x ₁ غير معرف. هندسيًا، يرجع هذا إلى أن الخط المماس لـ f عند 0 أفقي (أي f ′(0) = 0 )، ولا يتقاطع أبدًا مع المحور x .

حتى لو تم تحديد التهيئة بحيث يمكن أن تبدأ عملية تكرار نيوتن، فإن نفس الظاهرة يمكن أن تمنع عملية التكرار من الاستمرار إلى أجل غير مسمى.

إذا كان لـ f مجال غير مكتمل، فمن الممكن أن ترسل طريقة نيوتن التكرارات خارج المجال، بحيث يكون من المستحيل الاستمرار في التكرار. ^[14] على سبيل المثال، دالة اللوغاريتم الطبيعي f ( x ) = ln x لها جذر عند 1، ويتم تعريفها فقط لـ x الموجب . يتم إعطاء تكرار نيوتن في هذه الحالة بواسطة

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=x_{n}(1-\ln x_{n}).}$

لذا، إذا تم تهيئة التكرار عند e ، فإن التكرار التالي يكون 0؛ وإذا تم تهيئة التكرار عند قيمة أكبر من e ، فإن التكرار التالي يكون سالبًا. وفي كلتا الحالتين، لا يمكن متابعة الطريقة.

يمكن أيضًا استخدام طريقة نيوتن لحل أنظمة مكونة من k معادلات، وهو ما يعادل إيجاد الأصفار (المتزامنة) لـ k من الدوال القابلة للاشتقاق بشكل مستمر. وهذا يعادل إيجاد أصفار دالة ذات قيمة متجهية واحدة. في الصيغة الموضحة أعلاه، يتم استبدال القيم القياسية x _n بمتجهات x _n وبدلاً من قسمة الدالة f ( x _n ) على مشتقتها f ′ ( x _n ) يجب علينا بدلاً من ذلك ضرب الدالة F ( x _n ) إلى اليسار في معكوس مصفوفة جاكوبيان k × k J _F ( x _n ) . ^{[15] [16] [17]} ينتج عن هذا التعبير ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} .}$${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} ^{k}.}$

$${\displaystyle \mathbf {x} _{n+1}=\mathbf {x} _{n}-J_{F}(\mathbf {x} _{n})^{-1}F(\mathbf {x} _{n}).}$$

أو عن طريق حل نظام المعادلات الخطية

$${\displaystyle J_{F}(\mathbf {x} _{n})(\mathbf {x} _{n+1}-\mathbf {x} _{n})=-F(\mathbf {x} _{n})}$$

بالنسبة للمجهول x _{n + 1} − x _n . ^[18]

يمكن استخدام متغير البعد k لطريقة نيوتن لحل أنظمة معادلات أكبر من k (غير خطية) أيضًا إذا استخدمت الخوارزمية المعكوس المعمم لمصفوفة جاكوبيان غير المربعة J ⁺ = ( J ^T J ) ⁻¹ J ^T بدلاً من معكوس J . إذا لم يكن للنظام غير الخطي حل، تحاول الطريقة إيجاد حل بمعنى المربعات الصغرى غير الخطية . راجع خوارزمية جاوس-نيوتن لمزيد من المعلومات.

على سبيل المثال، يجب حل مجموعة المعادلات التالية لمتجه النقاط المعطى لمتجه القيم المعروفة ^[19]${\displaystyle \ [\ x_{1},x_{2}\ ]\ ,}$${\displaystyle \ [\ 2,3\ ]~.}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcr}5\ x_{1}^{2}+x_{1}\ x_{2}^{2}+\sin ^{2}(2\ x_{2})&=\quad 2\\e^{2\ x_{1}-x_{2}}+4\ x_{2}&=\quad 3\end{array}}}$

يتم تعريف متجه الوظيفة، ومصفوفة جاكوبيان، للتكرار k، ومتجه القيم المعروفة، أدناه.${\displaystyle \ F(X_{k})\ ,}$${\displaystyle \ J(X_{k})\ }$${\displaystyle \ Y\ ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}~&F(X_{k})~=~{\begin{bmatrix}{\begin{aligned}~&f_{1}(X_{k})\\~&f_{2}(X_{k})\end{aligned}}\end{bmatrix}}~=~{\begin{bmatrix}{\begin{aligned}~&5\ x_{1}^{2}+x_{1}\ x_{2}^{2}+\sin ^{2}(2\ x_{2})\\~&e^{2\ x_{1}-x_{2}}+4\ x_{2}\end{aligned}}\end{bmatrix}}_{k}\\~&J(X_{k})={\begin{bmatrix}~{\frac {\ \partial {f_{1}(X)}\ }{\partial {x_{1}}}}\ ,&~{\frac {\ \partial {f_{1}(X)}\ }{\partial {x_{2}}}}~\\~{\frac {\ \partial {f_{2}(X)}\ }{\partial {x_{1}}}}\ ,&~{\frac {\ \partial {f_{2}(X)}\ }{\partial {x_{2}}}}~\end{bmatrix}}_{k}~=~{\begin{bmatrix}{\begin{aligned}~&10\ x_{1}+x_{2}^{2}\ ,&&2\ x_{1}\ x_{2}+4\ \sin(2\ x_{2})\ \cos(2\ x_{2})\\~&2\ e^{2\ x_{1}-x_{2}}\ ,&&-e^{2\ x_{1}-x_{2}}+4\end{aligned}}\end{bmatrix}}_{k}\\~&Y={\begin{bmatrix}~2~\\~3~\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

لاحظ أنه كان من الممكن إعادة كتابته لامتصاصه وبالتالي إزالته من المعادلات. المعادلات التي يجب حلها لكل تكرار هي ${\displaystyle \ F(X_{k})\ }$${\displaystyle \ Y\ ,}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}{\begin{aligned}~&~10\ x_{1}+x_{2}^{2}\ ,&&2x_{1}x_{2}+4\ \sin(2\ x_{2})\ \cos(2\ x_{2})~\\~&~2\ e^{2\ x_{1}-x_{2}}\ ,&&-e^{2\ x_{1}-x_{2}}+4~\end{aligned}}\end{bmatrix}}_{k}{\begin{bmatrix}~c_{1}~\\~c_{2}~\end{bmatrix}}_{k+1}={\begin{bmatrix}~5\ x_{1}^{2}+x_{1}\ x_{2}^{2}+\sin ^{2}(2\ x_{2})-2~\\~e^{2\ x_{1}-x_{2}}+4\ x_{2}-3~\end{bmatrix}}_{k}\end{aligned}}}$

و

${\displaystyle X_{k+1}~=~X_{k}-C_{k+1}}$

يجب تكرار التكرارات حتى تصبح القيمة صغيرة بما يكفي لتلبية متطلبات التطبيق. ${\displaystyle \ {\Bigg [}\sum _{i=1}^{i=2}{\Bigl |}f(x_{i})_{k}-(y_{i})_{k}{\Bigr |}{\Bigg ]}<E\ ,}$${\displaystyle \ E\ }$

إذا تم اختيار المتجه في البداية ليكون هو، وتم اختياره ليكون 1.10 ⁻³ ، فإن المثال يتقارب بعد أربع تكرارات إلى قيمة${\displaystyle \ X_{0}\ }$${\displaystyle \ {\begin{bmatrix}~1~&~1~\end{bmatrix}}\ ,}$${\displaystyle \ x_{1}=1\ ,}$${\displaystyle \ x_{2}=1\ ,}$${\displaystyle \ E\ ,}$${\displaystyle \ X_{4}=\left[~0.567297,\ -0.309442~\right]~.}$

تم إجراء التكرارات التالية أثناء الحل.

تسلسل التكرار المتقارب

خطوة	عامل	قيمة
0	س =	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\ 1\ ,&1\end{bmatrix}}}$
	ف ( س ) =	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\ 6.82682\ ,&6.71828\ \end{bmatrix}}}$
1	ج =	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\ 11~,&\quad 0.486395\\\ 5.43656\ ,&1.28172\end{bmatrix}}}$
	ج =	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\ 0.382211\ ,&1.27982\ \end{bmatrix}}}$
	س =	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\ 0.617789\ ,&-0.279818\ \end{bmatrix}}}$
	ف ( س ) =	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\ 2.23852\ ,&3.43195\ \end{bmatrix}}}$
2	ج =	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\ 6.25618\ ,&-2.1453\\\ 9.10244\ ,&\quad -0.551218\end{bmatrix}}}$
	ج =	${\displaystyle {\begin{bmatrix}0.0494549\ ,&0.0330411\ \end{bmatrix}}}$
	س =	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\ 0.568334\ ,&-0.312859\ \end{bmatrix}}}$
	ف ( س ) =	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\ 2.01366\ ,&3.00966\ \end{bmatrix}}}$
3	ج =	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\ 5.78122\ ,&-2.25449\\\ 8.52219\ ,&\quad -0.261095\ \end{bmatrix}}}$
	ج =	${\displaystyle {\begin{bmatrix}0.00102862\ ,&-0.00342339\ \end{bmatrix}}}$
	س =	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\ 0.567305\ ,&-0.309435\ \end{bmatrix}}}$
	ف ( س ) =	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\ 2.00003\ ,&3.00006\ \end{bmatrix}}}$
4	ج =	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\ 5.7688~,&~-2.24118\\\ 8.47561\ ,&\quad -0.237805\end{bmatrix}}\ }$
	ج =	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\ 7.73132\!\times \!10^{-6}~,&~6.93265\!\times \!10^{-6}\ \end{bmatrix}}}$
	س =	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\ 0.567297\ ,&-0.309442\ \end{bmatrix}}}$
	ف ( س ) =	${\displaystyle {\begin{bmatrix}~2\ ,~&~3~\end{bmatrix}}}$

عند التعامل مع الدوال المعقدة ، يمكن تطبيق طريقة نيوتن بشكل مباشر لإيجاد أصفارها. ^[20] كل صفر له حوض جذب في المستوى المركب، وهي مجموعة كل القيم الأولية التي تجعل الطريقة تتقارب مع ذلك الصفر المعين. يمكن تعيين هذه المجموعات كما هو موضح في الصورة. بالنسبة للعديد من الدوال المعقدة، تكون حدود أحواض الجذب كسورية .

في بعض الحالات، توجد مناطق في المستوى المركب ليست في أي من أحواض الجذب هذه، مما يعني أن التكرارات لا تتقارب. على سبيل المثال، ^[21] إذا استخدم المرء شرطًا أوليًا حقيقيًا للبحث عن جذر x ² + 1 ، فستكون جميع التكرارات اللاحقة أرقامًا حقيقية وبالتالي لا يمكن للتكرارات أن تتقارب إلى أي من الجذرين، لأن كلا الجذرين غير حقيقيين. في هذه الحالة، تؤدي جميع الظروف الأولية الحقيقية تقريبًا إلى سلوك فوضوي ، بينما تتكرر بعض الظروف الأولية إما إلى ما لا نهاية أو إلى دورات متكررة بأي طول محدود.

أظهر كيرت ماكمولين أنه بالنسبة لأي خوارزمية تكرارية بحتة محتملة مشابهة لطريقة نيوتن، فإن الخوارزمية سوف تتباعد في بعض المناطق المفتوحة من المستوى المركب عند تطبيقها على كثير حدود من الدرجة 4 أو أعلى. ومع ذلك، أعطى ماكمولين خوارزمية متقاربة بشكل عام لكثيرات الحدود من الدرجة 3. ^[22] أيضًا، بالنسبة لأي كثير حدود، أعطى هوبارد وشلايشر وسوذرلاند طريقة لاختيار مجموعة من النقاط الأولية بحيث تتقارب طريقة نيوتن بالتأكيد عند واحدة منها على الأقل. ^[23]

تعميم آخر هو طريقة نيوتن لإيجاد جذر الدالة F المحددة في فضاء باناخ . في هذه الحالة تكون الصيغة هي

$${\displaystyle X_{n+1}=X_{n}-{\bigl (}F'(X_{n}){\bigr )}^{-1}F(X_{n}),\,}$$

حيث F ′ ( X _n ) هي مشتقة فريشيت المحسوبة عند X _n . يجب أن تكون مشتقة فريشيت قابلة للعكس بشكل محدود عند كل X _n حتى تكون الطريقة قابلة للتطبيق. يتم إعطاء شرط لوجود وتقارب الجذر بواسطة نظرية نيوتن-كانتوروفيتش . ^[24]

في الخمسينيات من القرن العشرين، طور جون ناش نسخة من طريقة نيوتن لتطبيقها على مشكلة بناء تضمينات متساوية القياس لمتعددات ريمان العامة في الفضاء الإقليدي . جعلت مشكلة فقدان المشتقات ، الموجودة في هذا السياق، تكرار نيوتن القياسي غير قابل للتطبيق، لأنه لا يمكن الاستمرار فيه إلى ما لا نهاية (ناهيك عن التقارب). تضمن حل ناش إدخال مشغلات التنعيم في التكرار. كان قادرًا على إثبات تقارب طريقة نيوتن الملساء الخاصة به، لغرض إثبات نظرية دالة ضمنية للتضمينات المتساوية القياس. في الستينيات، أظهر يورجن موسر أن طرق ناش كانت مرنة بما يكفي لتطبيقها على مشاكل تتجاوز التضمين المتساوي القياس، وخاصة في ميكانيكا السماوات . منذ ذلك الحين، وجد عدد من علماء الرياضيات، بما في ذلك ميخائيل جروموف وريتشارد هاملتون ، إصدارات مجردة معممة لنظرية ناش-موسر. ^{[25] [26]} في صياغة هاملتون، تشكل نظرية ناش-موسر تعميمًا لطريقة نيوتن في فضاء باناخ والتي تحدث في فضاءات فريشيت معينة .

عندما يكون Jacobian غير متاح أو مكلفًا للغاية لحسابه في كل تكرار، يمكن استخدام طريقة شبه نيوتن .

This section needs expansion. You can help by adding to it. (February 2019)

في تحليل p -adic، الطريقة القياسية لإظهار معادلة متعددة الحدود في متغير واحد لها جذر p -adic هي مبرهنة هينزل ، والتي تستخدم التكرار من طريقة نيوتن على الأعداد p -adic. ونظرًا للسلوك الأكثر استقرارًا للجمع والضرب في الأعداد p -adic مقارنة بالأعداد الحقيقية (على وجه التحديد، الكرة الوحدوية في p -adic عبارة عن حلقة)، يمكن ضمان التقارب في مبرهنة هينزل تحت فرضيات أبسط كثيرًا من تلك الموجودة في طريقة نيوتن الكلاسيكية على خط الأعداد الحقيقية.

يمكن تعميم طريقة نيوتن باستخدام نظير q للمشتق المعتاد. ^[27]

تحتوي المعادلة غير الخطية على حلول متعددة بشكل عام. ولكن إذا كانت القيمة الأولية غير مناسبة، فقد لا تتقارب طريقة نيوتن إلى الحل المطلوب أو قد تتقارب إلى نفس الحل الذي تم العثور عليه سابقًا. عندما نجد بالفعل N حلًا لـ ، فيمكن إيجاد الجذر التالي بتطبيق طريقة نيوتن على المعادلة التالية: ^{[28] [29]}${\displaystyle f(x)=0}$

$${\displaystyle F(x)={\frac {f(x)}{\prod _{i=1}^{N}(x-x_{i})}}=0.}$$

يتم تطبيق هذه الطريقة للحصول على أصفار دالة بيسل من النوع الثاني. ^[30]

طريقة نيوتن المعدلة لهيرانو هي تعديل يحافظ على تقارب طريقة نيوتن ويتجنب عدم الاستقرار. ^[31] تم تطويرها لحل كثيرات الحدود المعقدة.

This section may contain citations that do not verify the text. Please check for citation inaccuracies. (February 2019) (Learn how and when to remove this message)

إن الجمع بين طريقة نيوتن وحساب الفواصل مفيد جدًا في بعض السياقات. وهذا يوفر معيار توقف أكثر موثوقية من المعايير المعتادة (وهي قيمة صغيرة للدالة أو تباين صغير للمتغير بين التكرارات المتتالية). كما قد يكشف هذا عن الحالات التي تتقارب فيها طريقة نيوتن نظريًا ولكنها تتباعد عدديًا بسبب عدم كفاية دقة الفاصلة العائمة (وهذه هي الحال عادةً بالنسبة لمتعددات الحدود ذات الدرجة الكبيرة، حيث قد يؤدي تغيير صغير جدًا في المتغير إلى تغيير قيمة الدالة بشكل كبير؛ انظر متعددة حدود ويلكينسون ). ^{[32] [33]}

خذ في الاعتبار f → C ¹ ( X ) ، حيث X هي فترة حقيقية، وافترض أن لدينا امتدادًا للفاصل F ′ لـ f ′ ، مما يعني أن F ′ تأخذ كمدخل فترة Y ⊆ X وتخرج فترة F ′ ( Y ) بحيث:

$${\displaystyle {\begin{aligned}F'([y,y])&=\{f'(y)\}\\[5pt]F'(Y)&\supseteq \{f'(y)\mid y\in Y\}.\end{aligned}}}$$

نفترض أيضًا أن 0 ∉ F ′ ( X ) ، لذا على وجه الخصوص، فإن f لها جذر واحد على الأكثر في X. ثم نحدد عامل نيوتن الفاصل على النحو التالي:

$${\displaystyle N(Y)=m-{\frac {f(m)}{F'(Y)}}=\left\{\left.m-{\frac {f(m)}{z}}~\right|~z\in F'(Y)\right\}}$$

حيث m ∈ Y. لاحظ أن الفرضية المتعلقة بـ F ′ تعني أن N ( Y ) محددة جيدًا وهي فاصلة (انظر حساب الفاصلة لمزيد من التفاصيل حول عمليات الفاصلة). وهذا يؤدي بطبيعة الحال إلى التسلسل التالي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}X_{0}&=X\\X_{k+1}&=N(X_{k})\cap X_{k}.\end{aligned}}}$$

تضمن نظرية القيمة المتوسطة أنه إذا كان هناك جذر لـ f في X _k ، فإنه يكون أيضًا في X _{k + 1.} علاوة على ذلك، تضمن الفرضية المتعلقة بـ F′ أن يكون حجم X _{k + 1} نصف حجم X _k على الأكثر عندما تكون m هي نقطة منتصف Y ، وبالتالي يتقارب هذا التسلسل نحو [ x* ، x* ] ، حيث x* هو جذر f في X.

إذا كانت F ′ ( X ) تحتوي على 0 بشكل صارم، فإن استخدام قسمة الفاصلة الممتدة ينتج اتحادًا بين فترتين لـ N ( X ) ؛ وبالتالي يتم فصل الجذور المتعددة وتقييدها تلقائيًا.

يمكن استخدام طريقة نيوتن لإيجاد الحد الأدنى أو الأقصى للدالة f ( x ) . المشتقة تساوي صفرًا عند الحد الأدنى أو الأقصى، لذا يمكن إيجاد الحد الأدنى والأقصى المحلي عن طريق تطبيق طريقة نيوتن على المشتقة. ^[34] تصبح التكرارات:

$${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f'(x_{n})}{f''(x_{n})}}.}$$

أحد التطبيقات المهمة هو قسمة نيوتن-رافسون ، والتي يمكن استخدامها لإيجاد مقلوب رقم a بسرعة ، باستخدام الضرب والطرح فقط، أي الرقم x بحيث1/س= أ . يمكننا إعادة صياغة ذلك على النحو التالي : إيجاد صفر f ( x ) =1/س− أ . لدينا f ′ ( x ) = −1/× ²⁠ .

تكرار نيوتن هو

$${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=x_{n}+{\frac {{\frac {1}{x_{n}}}-a}{\frac {1}{x_{n}^{2}}}}=x_{n}(2-ax_{n}).}$$

لذلك، تحتاج تكرارات نيوتن فقط إلى عمليتي ضرب وطرح واحدة.

تعتبر هذه الطريقة أيضًا فعالة جدًا لحساب المعكوس الضربي لسلسلة القوى .

يمكن حل العديد من المعادلات المتعالية بدقة تعسفية باستخدام طريقة نيوتن. على سبيل المثال، إيجاد دالة كثافة الاحتمال التراكمية ، مثل التوزيع الطبيعي لتناسب احتمال معروف، ينطوي عمومًا على دوال تكاملية بدون وسيلة معروفة لحلها في شكل مغلق. ومع ذلك، فإن حساب المشتقات اللازمة لحلها عدديًا باستخدام طريقة نيوتن معروف عمومًا، مما يجعل الحلول العددية ممكنة. للحصول على مثال، راجع الحل العددي للتوزيع الطبيعي العكسي التراكمي .

تم إنشاء التحقق العددي لحلول المعادلات غير الخطية باستخدام طريقة نيوتن عدة مرات وتشكيل مجموعة من الحلول المرشحة. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

فيما يلي مثال لتطبيق محتمل لطريقة نيوتن في لغة البرمجة بايثون (الإصدار 3.x) للعثور على جذر دالة fلها مشتق f_prime.

سيكون التخمين الأولي هو x ₀ = 1 وستكون الدالة f ( x ) = x ² − 2 بحيث تكون f ′ ( x ) = 2 x .

سيتم الإشارة إلى كل تكرار جديد لطريقة نيوتن بواسطة x1. سوف نتحقق أثناء الحساب ما إذا كان المقام ( yprime) يصبح صغيرًا جدًا (أصغر من epsilon)، وهو ما سيكون عليه الحال إذا كانت f ′ ( x _n ) ≈ 0 ، لأنه بخلاف ذلك يمكن إدخال قدر كبير من الخطأ.

• جيل، أ.؛ سيجورا، ج.؛ تيمي، إن إم (2007). الأساليب العددية للوظائف الخاصة. جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية. رقم ISBN 978-0-89871-634-4.
• سولي، إندري ؛ مايرز، ديفيد (2003). مقدمة في التحليل العددي . مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 0-521-00794-1.

• كيندال إي. أتكينسون، مقدمة في التحليل العددي ، (1989) جون وايلي وأولاده، ISBN 0-471-62489-6 
• تجالينج جيه. يبما، التطور التاريخي لطريقة نيوتن-رافسون، مراجعة سيام 37 (4)، 531-551، 1995. دوي : 10.1137/1037125.
• Bonnans, J. Frédéric; Gilbert, J. Charles; Lemaréchal, Claude ; Sagastizábal, Claudia A. (2006). التحسين العددي: الجوانب النظرية والعملية. Universitext (الطبعة الثانية المنقحة من ترجمة الطبعة الفرنسية لعام 1997). برلين: Springer-Verlag. ص. xiv+490. doi :10.1007/978-3-540-35447-5. ISBN 3-540-35445-X. السيد  2265882.
• P. Deuflhard, Newton Methods for Nonlinear Problems. Affinity Invariance and Adaptive Algorithms. Springer Series in Computational Mathematics, المجلد 35. Springer, Berlin, 2004. ISBN 3-540-21099-7 . 
• CT Kelley، حل المعادلات غير الخطية باستخدام طريقة نيوتن ، رقم 1 في أساسيات الخوارزميات، SIAM، 2003. ISBN 0-89871-546-6 . 
• JM Ortega, WC Rheinboldt, الحل التكراري للمعادلات غير الخطية في عدة متغيرات. كلاسيكيات في الرياضيات التطبيقية، SIAM، 2000. ISBN 0-89871-461-3 . 
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "الفصل 9. إيجاد الجذر ومجموعات المعادلات غير الخطية وعينات الأهمية". وصفات عددية: فن الحوسبة العلمية (الطبعة الثالثة). نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-88068-8.. انظر بشكل خاص الأقسام 9.4، 9.6، و9.7.
• أفريل، مردخاي (1976). البرمجة غير الخطية: التحليل والأساليب . برنتيس هول. ص 216-221. ISBN 0-13-623603-0.

• "طريقة نيوتن"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• وايسشتاين، إريك دبليو. "طريقة نيوتن". MathWorld .
• طريقة نيوتن، سيتيزنديوم.
• ماثيوز، جيه، طرق نيوتن المتسارعة والمعدلة، ملاحظات الدورة.
• وو، إكس، جذور المعادلات، ملاحظات الدورة.