نسبة الجيرومغناطيسية

في الفيزياء ، النسبة المغناطيسية الجيرومغناطيسية (المعروفة أحيانًا أيضًا بنسبة المغناطيسية الجيرومغناطيسية ^[1] في تخصصات أخرى) لجسيم أو نظام هي نسبة عزمه المغناطيسي إلى زخمه الزاوي ، وغالبًا ما يشار إليها بالرمز γ ، جاما. وحدتها في النظام الدولي للوحدات هي الراديان في الثانية لكل تسلا (rad⋅s ⁻¹ ⋅T ⁻¹ ) أو على نحو مكافئ، الكولوم لكل كيلوغرام (C⋅kg ⁻¹ ). ^{[ بحاجة لمصدر ]}

غالبًا ما يستخدم مصطلح "النسبة الجيرومغناطيسية" ^[2] كمرادف لكمية مختلفة ولكنها وثيقة الصلة، وهي عامل g . يختلف عامل g عن النسبة الجيرومغناطيسية فقط في كونه بلا أبعاد .

لنفترض أن جسمًا مشحونًا غير موصل يدور حول محور تماثل. وفقًا لقوانين الفيزياء الكلاسيكية، فإنه يتمتع بعزم ثنائي القطب المغناطيسي بسبب حركة الشحنة وزخم زاوي بسبب حركة الكتلة الناشئة عن دورانه. ويمكن إثبات أنه طالما أن شحنته وكثافته الكتلية وتدفقه ^{[ بحاجة لتوضيح ]} موزعة بشكل متطابق ومتماثل دورانيًا، فإن نسبته المغناطيسية الجيروسكوبية تكون

${\displaystyle \gamma ={\frac {q}{2m}}}$

أين شحنتها وأين كتلتها؟ ${\displaystyle {q}}$${\displaystyle {m}}$

إن اشتقاق هذه العلاقة هو كما يلي. يكفي إثبات ذلك لحلقة دائرية ضيقة للغاية داخل الجسم، حيث تترتب النتيجة العامة بعد ذلك على التكامل . افترض أن الحلقة لها نصف قطر r ، ومساحة A = πr ² ، وكتلتها m ، وشحنتها q ، وزخمها الزاوي L = mvr . عندئذٍ يكون مقدار عزم ثنائي القطب المغناطيسي هو

${\displaystyle \mu =IA={\frac {qv}{2\pi r}}\,\pi r^{2}={\frac {q}{2m}}\,mvr={\frac {q}{2m}}L~.}$

للإلكترون المعزول زخم زاوي وعزم مغناطيسي ناتج عن دورانه . وبينما يُصوَّر دوران الإلكترون أحيانًا على أنه دوران حرفي حول محور، فلا يمكن أن يُعزى إلى كتلة موزعة بشكل مطابق للشحنة. لا تصمد العلاقة الكلاسيكية أعلاه، مما يعطي نتيجة خاطئة بالقيمة المطلقة لعامل g للإلكترون ، والذي يُشار إليه بـ g _e : حيث μ _B هو مغناطيسي بور . $${\displaystyle \gamma _{\mathrm {e} }={\frac {-e}{2m_{\mathrm {e} }}}\,|g_{\mathrm {e} }|={\frac {g_ {\mathrm {e} }\mu _{\mathrm {B} }}{\hbar }}\,,}$$

إن نسبة الجيرومغناطيسية الناتجة عن دوران الإلكترون هي ضعف تلك الناتجة عن دوران الإلكترون.

في إطار ميكانيكا الكم النسبية، حيث هو ثابت البنية الدقيقة . هنا تأتي التصحيحات الصغيرة للنتيجة النسبية g = 2 من حسابات نظرية المجال الكمومي لعزم ثنائي القطب المغناطيسي الشاذ . يُعرف عامل الإلكترون g إلى اثني عشر منزلة عشرية عن طريق قياس العزم المغناطيسي للإلكترون في سيكلوترون إلكترون واحد: ^[3]$${\displaystyle g_{\mathrm {e} }=-2\left(1+{\frac {\alpha }{\,2\pi \,}}+\cdots \right)~,}$$${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle g_{\mathrm {e} }=-2.002\,319\,304\,361\,18(27).}$$

نسبة الجيرومغناطيسية للإلكترون هي ^{[4] [5] [6]} $${\displaystyle \gamma _{\mathrm {e} }=\mathrm {-1.760\,859\,630\,23(53)\times 10^{11}\,rad{\cdot }s^{-1 }{\cdot }T^{-1}} }$$ $${\displaystyle {\frac {\gamma _{\mathrm {e} }}{2\pi }}=\mathrm {-28\,024.951\,4242(85)\,MHz{\cdot }T^{- 1}} .}$$

يتوافق عامل g للإلكترون و γ بشكل ممتاز مع النظرية؛ راجع اختبارات الدقة لـ QED للحصول على التفاصيل. ^[7]

نظرًا لأن عامل جيروسكوبي مغناطيسي يساوي 2 يتبع معادلة ديراك، فمن المفاهيم الخاطئة الشائعة الاعتقاد بأن عامل جي 2 هو نتيجة للنسبية؛ إنه ليس كذلك. يمكن الحصول على العامل 2 من خطية كل من معادلة شرودنجر ومعادلة كلاين - جوردون النسبية (التي تؤدي إلى معادلة ديراك). في كلتا الحالتين يتم الحصول على سبينور 4- وفي كلا الخطيتين نجد أن عامل جي يساوي 2؛ لذلك، فإن العامل 2 هو نتيجة للاقتران الأدنى وحقيقة وجود نفس ترتيب المشتقات للمكان والزمان. ^[8]

الدوران الجسدي1/2الجسيمات التي لا يمكن وصفها بمعادلة ديراك الخطية المقاسة تلبي معادلة كلاين-جوردون المقاسة الممتدة بواسطة g هـ/4⁠ σ ^μν F _μν مصطلح وفقًا لـ،^[9]

${\displaystyle \left[\,\left(\partial ^{\mu }\,u+i\,e\,A^{\mu }\right)\,\left(\partial _{\mu }+i\,e\,A_{\mu }\right)+g\,{\frac {e}{\,4\,}}\,\sigma ^{\mu \nu }\,F_{\mu \nu }+m^{2}\,\right]\;\psi \;=\;0~,\quad g\neq 2~.}$

هنا ،1/2σ μν و F ^μν تمثلان مولدات مجموعة لورنتز في فضاء ديراك، والموتر ^{الكهرومغناطيسي} على التوالي، بينما A ^μ هو الجهد الكهرومغناطيسي الرباعي . مثال على مثل هذا الجسيم، ^[9] هو الدوران1/2رفيق الدوران​3/2في فضاء التمثيل D ^(½,1) ⊕ D (1 , ^½) لمجموعة لورنتز . وقد ثبت أن هذا الجسيم يتميز بـ g = ⁠−+2/3وبالتالي يتصرف كفرميون تربيعي حقيقي.

تحمل البروتونات والنيوترونات والعديد من النوى دورانًا نوويًا ، مما يؤدي إلى نسبة جيروسكوبية مغناطيسية كما هو موضح أعلاه. تُكتب النسبة تقليديًا من حيث كتلة البروتون وشحنته، حتى بالنسبة للنيوترونات والنوى الأخرى، من أجل البساطة والاتساق. الصيغة هي:

${\displaystyle \gamma _{\text{n}}={\frac {e}{\,2m_{\text{p}}\,}}\,g_{\rm {n}}=g_{\rm {n}}\,{\frac {\,\mu _{\mathrm {N} }\,}{\hbar }}~,}$

أين هو المغنطون النووي ، و هو عامل الجاذبية للنواة أو النوكليون المعني. النسبة تساوي ، هي 7.622593285(47) ميجا هرتز/ت. ^[10]${\displaystyle \mu _{\mathrm {N} }}$${\displaystyle g_{\rm {n}}}$${\displaystyle \,{\frac {\gamma _{n}}{\,2\pi \,g_{\rm {n}}\,}}\,,}$${\displaystyle \mu _{\mathrm {N} }/h}$

تلعب نسبة الجيرومغناطيسية للنواة دورًا في الرنين المغناطيسي النووي (NMR) والتصوير بالرنين المغناطيسي (MRI). تعتمد هذه الإجراءات على حقيقة أن المغناطيسية الكلية بسبب الدوران النووي تتحرك في مجال مغناطيسي بمعدل يسمى تردد لارمور ، وهو ببساطة حاصل ضرب نسبة الجيرومغناطيسية في قوة المجال المغناطيسي. مع هذه الظاهرة، تحدد علامة γ معنى (عقارب الساعة مقابل عكس اتجاه عقارب الساعة) للتقدم.

تمتلك أغلب النوى الشائعة مثل ^1H و ¹³ C نسب جيروسكوبية موجبة. ^{[11] [12]} القيم التقريبية لبعض النوى الشائعة موضحة في الجدول أدناه. ^{[13] [14]}

نواة	${\displaystyle \gamma _{n}}$(10 6 rad⋅s −1 ⋅T −1 )	${\displaystyle \gamma _{n}/(2\pi )}$(ميجا هرتز⋅T −1 )
1 ساعة	267.522 187 08 (11) [15]	42.577 478 461 (18) [16]
1H (في H2O )	267.515 3194 (11) [17]	42.576 385 43 (17) [18]
2 ساعة	41.065	6.536
3 ساعات	285.3508	45.415 [19]
3 هو	−203.789 460 78 (18) [20]	-32.434 100 033 (28) [21]
7 لي	103.962	16.546
13 ج	67.2828	10.7084
14 ن	19.331	3.077
15 شمالا	-27.116	-4.316
17 س	-36.264	-5.772
19 ف	251.815	40.078
23 نا	70.761	11.262
27 ال	69.763	11.103
29 سي	-53.190	-8.465
31 ص	108.291	17.235
57 في	8.681	1.382
63 مكعب	71.118	11.319
67 زنك	16.767	2.669
129 إكس إي	-73.995 401 (2)	−11.776 7338 (3) [22]

أي نظام حر بنسبة جيروسكوبية مغناطيسية ثابتة، مثل نظام صلب من الشحنات، أو نواة ، أو إلكترون ، عندما يوضع في مجال مغناطيسي خارجي B (يقاس بالتسلا) غير متوافق مع عزمه المغناطيسي ، سوف يتحرك بتردد f (يقاس بالهرتز ) ، يتناسب مع المجال الخارجي:

${\displaystyle f={\frac {\gamma }{2\pi }}B.}$

ولهذا السبب، قيم ⁠غاما/2π​ غالبًا ما يتم ذكر وحدات هرتز / تسلا (Hz/T) بدلاً من γ .

اشتقاق هذه العلاقة هو كما يلي: يجب علينا أولاً إثبات أن عزم الدوران الناتج عن إخضاع عزم مغناطيسي لحقل مغناطيسي هو أدت هوية الشكل الوظيفي للحقول الكهربائية والمغناطيسية الثابتة إلى تحديد مقدار عزم ثنائي القطب المغناطيسي بشكل جيد مثل ، أو بالطريقة التالية ، تقليد عزم ثنائي القطب الكهربائي: يمكن تمثيل ثنائي القطب المغناطيسي بإبرة بوصلة ذات شحنات مغناطيسية وهمية على القطبين ومسافة متجهة بين القطبين تحت تأثير المجال المغناطيسي للأرض وفقًا للميكانيكا الكلاسيكية فإن عزم الدوران على هذه الإبرة هو ولكن كما ذكر سابقًا فإن الصيغة المطلوبة تظهر. هو متجه المسافة الوحدوية. ${\displaystyle \mathbf {m} }$${\displaystyle \mathbf {ب} }$${\displaystyle \,{\boldsymbol {\mathrm {T} }}=\mathbf {m} \times \mathbf {B} \,.}$${\displaystyle m=I\pi r^{2}}$${\displaystyle \pm q_{\rm {m}}}$${\displaystyle \mathbf {d} }$${\displaystyle \,\mathbf {B} \,.}$${\displaystyle \,{\boldsymbol {\mathrm {T} }}=q_{\rm {m}}(\mathbf {d} \times \mathbf {B} )\,.}$${\displaystyle \,q_{\rm {m}}\mathbf {d} =I\pi r^{2}\hat {\mathbf {d} }}=\mathbf {m} \,,}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {d} }}}$

إن نموذج الإلكترون الدوار الذي نستخدمه في الاشتقاق له تشابه واضح مع الجيروسكوب. بالنسبة لأي جسم دوار فإن معدل تغير الزخم الزاوي يساوي عزم الدوران المطبق : ${\displaystyle \,\mathbf {J} \,}$${\displaystyle \mathbf {T} }$

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {J} }{dt}}=\mathbf {T} ~.}$

لاحظ على سبيل المثال حركة الجيروسكوب. تطبق قوة الجاذبية الأرضية قوة أو عزم دوران على الجيروسكوب في الاتجاه الرأسي، ويدور متجه الزخم الزاوي على طول محور الجيروسكوب ببطء حول خط رأسي يمر عبر المحور. في مكان الجيروسكوب، تخيل كرة تدور حول المحور ومركزها على محور الجيروسكوب، وعلى طول محور الجيروسكوب متجهان متعاكسان ينشأ كلاهما في مركز الكرة، لأعلى ولأسفل. استبدل الجاذبية بكثافة التدفق المغناطيسي ${\displaystyle \mathbf {J} }$${\displaystyle \mathbf {m} .}$${\displaystyle \,\mathbf {ب} ~.}$

${\displaystyle {\frac {\,\operatorname {d} \mathbf {J} \,}{\,\operatorname {d} t\,}}}$يمثل السرعة الخطية لمحور السهم على طول دائرة نصف قطرها حيث الزاوية بين والعمودي. وبالتالي فإن السرعة الزاوية لدوران الدوران هي ${\displaystyle \,\mathbf {J} \,}$${\displaystyle \,J\sin {\phi }\,,}$${\displaystyle \,\phi \,}$${\displaystyle \,\mathbf {J} \,}$

${\displaystyle \omega =2\pi \,f={\frac {1}{\,J\,\sin {\phi }\,}}\,\left|{\frac {\,{\rm {{d}\,\mathbf {J} \,}}}{\,{\rm {{d}\,t\,}}}}\right|={\frac {\,\left|\mathbf {T} \right|\,}{\,J\,\sin {\phi }\,}}={\frac {\,\left|\mathbf {m} \times \mathbf {B} \right|\,}{\,J\,\sin {\phi }\,}}={\frac {\,m\,B\sin {\phi }\,}{\,J\,\sin {\phi }\,}}={\frac {\,m\,B\,}{J}}=\gamma \,B~.}$

بالتالي،${\displaystyle f={\frac {\gamma }{\,2\pi \,}}\,B~.\quad {\text{q.e.d.}}}$

تشرح هذه العلاقة أيضًا تناقضًا واضحًا بين المصطلحين المتكافئين، النسبة الجيرومغناطيسية مقابل النسبة المغناطيسية الدورانية : في حين أنها نسبة الخاصية المغناطيسية (أي عزم ثنائي القطب ) إلى الخاصية الدورانية (الدورانية، من اليونانية : γύρος ، "الانعطاف") (أي الزخم الزاوي )، فهي أيضًا، في نفس الوقت ، نسبة بين تردد التقدم الزاوي ( خاصية دورانية أخرى ) ω = 2 πf والمجال المغناطيسي .

إن تردد التقدم الزاوي له معنى فيزيائي مهم: فهو تردد السيكلوترون الزاوي ، وهو تردد الرنين للبلازما المؤينة التي تقع تحت تأثير مجال مغناطيسي ثابت محدود، عندما نفرض عليها مجال كهرومغناطيسي عالي التردد.

• نسبة الشحنة إلى الكتلة
• التحول الكيميائي
• عامل جي لاندى
• معادلة لارمور
• نسبة البروتون الجيرومغناطيسية