ميكانيكا الكم

يتم وصف التطور الزمني للحالة الكمومية بواسطة معادلة شرودنغر: $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (t)=H\psi (t).}$$ هنا${\displaystyle H}$يرمز إلى الهاميلتوني ، وهو الكمية القابلة للرصد التي تقابل الطاقة الكلية للنظام، و${\displaystyle \hbar }$هو ثابت بلانك المختزل .${\displaystyle i\hbar }$يتم إدخالها بحيث يتم اختزال الهاميلتوني إلى الهاميلتوني الكلاسيكي في الحالات التي يمكن فيها تقريب النظام الكمومي بواسطة نظام كلاسيكي؛ وتسمى القدرة على إجراء مثل هذا التقريب في حدود معينة بمبدأ التوافق .

يُعطى حل هذه المعادلة التفاضلية بواسطة $${\displaystyle \psi (t)=e^{-iHt/\hbar }\psi (0).}$$ المشغل${\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar }}$يُعرف هذا المؤثر باسم مؤثر التطور الزمني، وله خاصية أساسية وهي أنه وحدوي . هذا التطور الزمني حتمي بمعنى أنه  - بالنظر إلى حالة كمومية أولية -${\displaystyle \psi (0)}$– إنه يقدم تنبؤًا محددًا بشأن الحالة الكمومية${\displaystyle \psi (t)}$سيكون ذلك في أي وقت لاحق. ^{[ 22 ]}

تُنتج بعض الدوال الموجية توزيعات احتمالية مستقلة عن الزمن، مثل الحالات الذاتية للهاميلتوني. ^{[ 7 ] : 133-137.} تُوصف العديد من الأنظمة التي تُعالج ديناميكيًا في الميكانيكا الكلاسيكية بواسطة هذه الدوال الموجية "الساكنة". على سبيل المثال، يُصوَّر إلكترون واحد في ذرة غير مُثارة كلاسيكيًا على أنه جسيم يتحرك في مسار دائري حول نواة الذرة ، بينما في ميكانيكا الكم، يُوصف بدالة موجية ساكنة تُحيط بالنواة. على سبيل المثال، الدالة الموجية للإلكترون في ذرة هيدروجين غير مُثارة هي دالة متناظرة كرويًا تُعرف باسم المدار s ( الشكل 1 ).

تُعرف حلول تحليلية لمعادلة شرودنغر لعدد قليل جدًا من نماذج الهاميلتوني البسيطة نسبيًا، بما في ذلك المذبذب التوافقي الكمومي ، والجسيم في صندوق ، وأيون ثنائي الهيدروجين ، وذرة الهيدروجين . حتى ذرة الهيليوم  - التي تحتوي على إلكترونين فقط  - استعصت على جميع محاولات المعالجة التحليلية الكاملة، إذ لا يوجد لها حل بصيغة مغلقة . ^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]}

مع ذلك، توجد تقنيات لإيجاد حلول تقريبية. إحدى هذه الطرق، وتُسمى نظرية الاضطراب ، تستخدم النتيجة التحليلية لنموذج ميكانيكي كمي بسيط لإنشاء نتيجة لنموذج ذي صلة ولكنه أكثر تعقيدًا، وذلك (على سبيل المثال) بإضافة طاقة كامنة ضعيفة . ^{[ 7 ] : 793.} وهناك طريقة تقريبية أخرى تُطبق على الأنظمة التي تُنتج فيها ميكانيكا الكم انحرافات طفيفة فقط عن السلوك الكلاسيكي. ويمكن بعد ذلك حساب هذه الانحرافات بناءً على الحركة الكلاسيكية. ^{[ 7 ] : 849}

إحدى نتائج الصيغة الكمومية الأساسية هي مبدأ عدم اليقين. في أبسط صوره، ينص هذا المبدأ على أنه لا يمكن لأي تحضير لجسيم كمومي أن يضمن تنبؤات دقيقة في آنٍ واحد لكلٍ من قياس موقعه وقياس زخمه. ^{[ 26 ] [ 27 ]} كلٌ من الموقع والزخم كميتان قابلتان للرصد، أي أنهما يُمثَّلان بمؤثرات هيرميتية . مؤثر الموقع${\displaystyle {\hat {X}}}$ومؤثر الزخم${\displaystyle {\hat {P}}}$لا تتبادل، بل تحقق علاقة التبادل المتعارف عليها : $${\displaystyle [{\hat {X}},{\hat {P}}]=i\hbar .}$$ بالنظر إلى حالة كمومية، تسمح لنا قاعدة بورن بحساب القيم المتوقعة لكليهما${\displaystyle X}$و${\displaystyle P}$وعلاوة على ذلك، بالنسبة لقوى هذه القوى. بتعريف عدم اليقين لمتغير قابل للرصد بانحراف معياري ، نحصل على $${\displaystyle \sigma _{X}={\textstyle {\sqrt {\left\langle X^{2}\right\rangle -\left\langle X\right\rangle ^{2}}}},}$$ وكذلك بالنسبة للزخم: $${\displaystyle \sigma _{P}={\sqrt {\left\langle P^{2}\right\rangle -\left\langle P\right\rangle ^{2}}}.}$$ ينص مبدأ عدم اليقين على أن $${\displaystyle \sigma _{X}\sigma _{P}\geq {\frac {\hbar }{2}}.}$$ يمكن من حيث المبدأ جعل أي من الانحرافين المعياريين صغيرًا بشكل تعسفي، ولكن ليس كلاهما في آن واحد. ^{[ 28 ]} ويمكن تعميم هذه المتباينة لتشمل أي أزواج من المؤثرات المترافقة ذاتيًا.${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$المبدل بين هذين المؤثرين هو $${\displaystyle [A,B]=AB-BA,}$$ وهذا يوفر الحد الأدنى لحاصل ضرب الانحرافات المعيارية: $${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}\geq {\tfrac {1}{2}}\left|{\bigl \langle [A,B]{\bigr \rangle }\right|.}$$

من النتائج الأخرى لعلاقة التبادل الأساسية أن مؤثرَي الموضع والزخم هما تحويلان فورييه لبعضهما البعض، بحيث يكون وصف الجسم وفقًا لزخمه هو تحويل فورييه لوصفه وفقًا لموضعه. وحقيقة أن الاعتماد على الزخم هو تحويل فورييه للاعتماد على الموضع تعني أن مؤثر الزخم مكافئ (حتى${\displaystyle i/\hbar }$يُفضّل استخدام عامل (المشتقة) لحساب المشتقة وفقًا للموضع، لأن التفاضل في تحليل فورييه يُقابل الضرب في الفضاء الثنائي . ولهذا السبب، في المعادلات الكمومية في فضاء الموضع، يكون الزخم${\displaystyle p_{i}}$يتم استبدالها بـ${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$وعلى وجه الخصوص، في معادلة شرودنغر غير النسبية في فضاء الموضع، يتم استبدال حد مربع الزخم بـ لابلاس مضروبًا في${\displaystyle -\hbar ^{2}}$[ ^{26 ]​}

عند النظر إلى نظامين كموميين مختلفين معًا، فإن فضاء هيلبرت للنظام المدمج هو حاصل الضرب الموتري لفضاءات هيلبرت للمكونين. على سبيل المثال، لنفترض أن A و B نظامان كموميان، بفضاءات هيلبرت.${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}$و${\displaystyle {\mathcal {H}}_{B}}$على التوالي. ويكون فضاء هيلبرت للنظام المركب هو $${\displaystyle {\mathcal {H}}_{AB}={\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}.}$$ إذا كانت حالة النظام الأول هي المتجه${\displaystyle \psi _{A}}$أما حالة النظام الثاني فهي${\displaystyle \psi _{B}}$إذن، تكون حالة النظام المركب هي $${\displaystyle \psi _{A}\otimes \psi _{B}.}$$ ليس كل الولايات في فضاء هيلبرت المشترك${\displaystyle {\mathcal {H}}_{AB}}$يمكن كتابة ذلك بهذه الصيغة، لأن مبدأ التراكب يعني أن التراكيب الخطية لهذه "الحالات القابلة للفصل" أو "حالات الضرب" صالحة أيضًا. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle \psi _{A}}$و${\displaystyle \phi _{A}}$كلاهما حالتان محتملتان للنظام${\displaystyle A}$وبالمثل${\displaystyle \psi _{B}}$و${\displaystyle \phi _{B}}$كلاهما حالتان محتملتان للنظام${\displaystyle B}$، ثم $${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(\psi _{A}\otimes \psi _{B}+\phi _{A}\otimes \phi _{B}\right)}$$ هي حالة مشتركة صالحة غير قابلة للفصل. تُسمى الحالات غير القابلة للفصل بالحالات المتشابكة . ^{[ 29 ] [ 30 ]}

إذا كانت حالة نظام مركب متشابكة، فمن المستحيل وصف أي من النظامين المكونين A أو B بواسطة متجه حالة. يمكن بدلاً من ذلك تعريف مصفوفات كثافة مُختزلة تصف الإحصائيات التي يمكن الحصول عليها من خلال إجراء قياسات على أي من النظامين المكونين على حدة. مع ذلك، يؤدي هذا بالضرورة إلى فقدان بعض المعلومات: فمعرفة مصفوفات الكثافة المُختزلة للأنظمة الفردية لا تكفي لإعادة بناء حالة النظام المركب. ^{[ 29 ] [ 30 ]} وكما تحدد مصفوفات الكثافة حالة نظام فرعي ضمن نظام أكبر، وبالمثل، تصف المقاييس ذات القيم الموجبة للمؤثر (POVMs) تأثير القياس الذي يُجرى على نظام أكبر على نظام فرعي. تُستخدم مقاييس POVMs على نطاق واسع في نظرية المعلومات الكمومية. ^{[ 29 ] [ 31 ]}

كما ذُكر أعلاه، يُعدّ التشابك سمةً أساسيةً في نماذج عمليات القياس التي يصبح فيها الجهاز متشابكًا مع النظام المراد قياسه. وتتشابك الأنظمة التي تتفاعل مع البيئة المحيطة بها عمومًا مع تلك البيئة، وهي ظاهرة تُعرف باسم التفكك الكمومي . وهذا يُفسّر صعوبة رصد التأثيرات الكمومية عمليًا في الأنظمة الأكبر من المجهرية. ^{[ 32 ]}

توجد العديد من الصيغ الرياضية المتكافئة لميكانيكا الكم. إحدى أقدمها وأكثرها شيوعًا هي " نظرية التحويل " التي اقترحها بول ديراك ، والتي توحد وتعمم الصيغتين الأوليين لميكانيكا الكم  : ميكانيكا المصفوفات (التي ابتكرها فيرنر هايزنبرغ ) وميكانيكا الموجات (التي ابتكرها إرفين شرودنغر ). ^{[ 33 ]} وتُعد صيغة فاينمان للتكامل المساري صيغة بديلة لميكانيكا الكم ، حيث يُنظر إلى السعة الكمومية على أنها مجموع جميع المسارات الكلاسيكية وغير الكلاسيكية الممكنة بين الحالتين الابتدائية والنهائية. وهذا هو النظير الكمومي لمبدأ الفعل في الميكانيكا الكلاسيكية. ^{[ 34 ]}

الهاميلتوني${\displaystyle H}$يُعرف باسم مولد التطور الزمني، لأنه يُعرّف عامل تطور زمني وحدوي.${\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar }}$لكل قيمة من${\displaystyle t}$من هذه العلاقة بين${\displaystyle U(t)}$و${\displaystyle H}$وبالتالي فإن أي شيء قابل للملاحظة${\displaystyle A}$الذي يتنقل مع${\displaystyle H}$سيتم الحفاظ عليها : لن تتغير قيمتها المتوقعة بمرور الوقت. ^{[ 7 ] : 471} تعمم هذه العبارة، رياضياً، أي مؤثر هيرميتي${\displaystyle A}$يمكن توليد مجموعة من المؤثرات الوحدوية التي يتم تحديدها بواسطة متغير${\displaystyle t}$في ظل التطور الناتج عن${\displaystyle A}$أي شيء قابل للملاحظة${\displaystyle B}$الذي يتنقل مع${\displaystyle A}$سيتم الحفاظ عليها. علاوة على ذلك، إذا${\displaystyle B}$يتم الحفاظ عليها عن طريق التطور في ظل${\displaystyle A}$، ثم${\displaystyle A}$يتم الحفاظ عليها في ظل التطور الناتج عن${\displaystyle B}$وهذا يعني نسخة كمومية من النتيجة التي أثبتتها إيمي نوثر في الميكانيكا الكلاسيكية ( لاغرانجية ): لكل تناظر قابل للتفاضل لهاملتوني، يوجد قانون حفظ مقابل .

أبسط مثال على نظام كمومي ذي درجة حرية موضعية هو جسيم حر في بُعد مكاني واحد. الجسيم الحر هو جسيم لا يخضع لتأثيرات خارجية، بحيث يتكون هاميلتونيانه من طاقته الحركية فقط. $${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}P^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}.}$$ يُعطى الحل العام لمعادلة شرودنغر بالصيغة التالية: $${\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {\psi }}(k,0)e^{i(kx-{\frac {\hbar k^{2}}{2m}}t)}\mathrm {d} k,}$$ وهو عبارة عن تراكب لجميع الموجات المستوية الممكنة${\displaystyle e^{i(kx-{\frac {\hbar k^{2}}{2m}}t)}}$، وهي حالات ذاتية لمؤثر الزخم ذي الزخم${\displaystyle p=\hbar k}$معاملات التراكب هي${\displaystyle {\hat {\psi }}(ك,0)}$، وهو تحويل فورييه للحالة الكمومية الأولية${\displaystyle \psi (x,0)}$.

لا يمكن أن يكون الحل حالة ذاتية واحدة للزخم، أو حالة ذاتية واحدة للموضع، لأن هذه الحالات ليست حالات كمومية قابلة للتطبيع. ^{[ ملاحظة 1 ]} بدلاً من ذلك، يمكننا اعتبار حزمة موجية غاوسية : $${\displaystyle \psi (x,0)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{\pi a}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2a}}}}$$ والذي له تحويل فورييه، وبالتالي توزيع الزخم $${\displaystyle {\hat {\psi}}(k,0)={\sqrt[{4}]{\frac {a}{\pi }}}e^{-{\frac {ak^{2}}{2}}}.}$$ نرى ذلك عندما نصنع${\displaystyle a}$كلما صغر حجم المركز، صغر حجم الفارق في المراكز، لكن الفارق في الزخم يزداد. وعلى العكس من ذلك، من خلال جعل${\displaystyle a}$كلما زاد حجم الزخم، قلّ التباين في الزخم، لكن التباين في الموقع يزداد. وهذا يوضح مبدأ عدم اليقين.

عندما نترك حزمة الموجة الغاوسية تتطور مع الزمن، نلاحظ أن مركزها يتحرك في الفضاء بسرعة ثابتة (مثل جسيم كلاسيكي لا تؤثر عليه أي قوى). مع ذلك، تتسع حزمة الموجة مع مرور الوقت، مما يعني أن موقعها يصبح أكثر غموضًا. أما عدم اليقين في الزخم، فيبقى ثابتًا. ^{[ 35 ]}

يُعد الجسيم الموجود في صندوق طاقة كامنة أحادي البعد أبسط مثال رياضي حيث تؤدي القيود إلى تكميم مستويات الطاقة. يُعرَّف الصندوق بأنه ذو طاقة كامنة صفرية في كل مكان داخل منطقة معينة، وبالتالي ذو طاقة كامنة لانهائية في كل مكان خارج تلك المنطقة. ^{[ 26 ] : 77-78} بالنسبة للحالة أحادية البعد في${\displaystyle x}$في هذا الاتجاه، يمكن كتابة معادلة شرودنغر غير المعتمدة على الزمن على النحو التالي $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=E\psi .}$$

باستخدام المؤثر التفاضلي المعرف بواسطة $${\displaystyle {\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {d}{dx}}}$$المعادلة السابقة تذكرنا بنظير الطاقة الحركية الكلاسيكي ، $${\displaystyle {\frac {1}{2m}}{\hat {p}}_{x}^{2}=E,}$$ مع الدولة${\displaystyle \psi }$في هذه الحالة، امتلاك الطاقة${\displaystyle E}$متزامنة مع الطاقة الحركية للجسيم.

الحلول العامة لمعادلة شرودنغر للجسيم الموجود في صندوق هي $${\displaystyle \psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\qquad \qquad E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}$$ أو، من صيغة أويلر ، $${\displaystyle \psi (x)=C\sin(kx)+D\cos(kx).\!}$$

تحدد الجدران المحتملة اللانهائية للصندوق قيم${\displaystyle C,D,}$و${\displaystyle k}$في${\displaystyle x=0}$و${\displaystyle x=L}$أين${\displaystyle \psi }$يجب أن تكون القيمة صفرًا. وبالتالي، عند${\displaystyle x=0}$، $${\displaystyle \psi (0)=0=C\sin(0)+D\cos(0)=D}$$ و${\displaystyle D=0}$. في${\displaystyle x=L}$، $${\displaystyle \psi (L)=0=C\sin(kL),}$$ في أي${\displaystyle C}$لا يمكن أن تكون القيمة صفرًا لأن ذلك سيتعارض مع الفرضية القائلة بأن${\displaystyle \psi }$له معيار 1. لذلك، بما أن${\displaystyle \sin(kL)=0}$،${\displaystyle kL}$يجب أن يكون مضاعفًا صحيحًا لـ${\displaystyle \pi }$، $${\displaystyle k={\frac {n\pi }{L}}\qquad \qquad n=1,2,3,\ldots .}$$

هذا القيد على${\displaystyle k}$وهذا يعني وجود قيد على مستويات الطاقة، مما ينتج عنه $${\displaystyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}n^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}.}$$

يُعدّ البئر الكامن المحدود تعميمًا لمسألة البئر الكامن اللانهائي، حيث يُمثّل آبارًا كامنة ذات عمق محدود. وتُعتبر مسألة البئر الكامن المحدود أكثر تعقيدًا من الناحية الرياضية من مسألة الجسيم اللانهائي في صندوق، إذ لا تُثبّت دالة الموجة عند الصفر عند جدران البئر. بل يجب أن تُحقّق دالة الموجة شروطًا رياضية حدودية أكثر تعقيدًا، نظرًا لأنها لا تساوي الصفر في المناطق خارج البئر. ومن المسائل الأخرى ذات الصلة مسألة الحاجز الكامن المستطيل ، الذي يُقدّم نموذجًا لتأثير النفق الكمومي ، الذي يلعب دورًا هامًا في أداء التقنيات الحديثة، مثل ذاكرة الفلاش ومجهر المسح النفقي .

كما هو الحال في الحالة الكلاسيكية، يُعطى جهد المذبذب التوافقي الكمومي بالمعادلة ^{[ 7 ] : 234}$${\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}.}$$

يمكن معالجة هذه المشكلة إما بحل معادلة شرودنغر مباشرةً، وهو أمر ليس بالهين، أو باستخدام "طريقة السلم" الأكثر أناقة التي اقترحها بول ديراك لأول مرة. وتُعطى الحالات الذاتية بواسطة$${\displaystyle \psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\cdot H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right),\qquad }$$$${\displaystyle n=0,1,2,\ldots .}$$ حيث H _n هي كثيرات حدود هيرميت$${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x^{2}}\right),}$$ ومستويات الطاقة المقابلة هي $${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right).}$$

هذا مثال آخر يوضح تجزئة الطاقة للحالات المقيدة .

يُجسّد مقياس التداخل ماخ -زيندر (MZI) مفاهيم التراكب والتداخل باستخدام الجبر الخطي في بُعدين، بدلاً من المعادلات التفاضلية. ويمكن اعتباره نسخةً مُبسّطةً من تجربة الشق المزدوج، ولكنه ذو أهميةٍ خاصةٍ به، على سبيل المثال في ممحاة الاختيار المؤجل الكمومية ، وجهاز اختبار القنبلة إليتزور-فايدمان ، وفي دراسات التشابك الكمومي. ^{[ 36 ] [ 37 ]}

يمكننا نمذجة الفوتون أثناء مروره عبر مقياس التداخل من خلال اعتبار أنه عند كل نقطة يمكن أن يكون في حالة تراكب مسارين فقط: المسار "السفلي" الذي يبدأ من اليسار، ويمر مباشرة عبر كلا فاصلي الحزمة، وينتهي في الأعلى، والمسار "العلوي" الذي يبدأ من الأسفل، ويمر مباشرة عبر كلا فاصلي الحزمة، وينتهي في اليمين. وبالتالي، فإن الحالة الكمومية للفوتون هي متجه.${\displaystyle \psi \in \mathbb {C} ^{2}}$هذا عبارة عن تراكب للمسار "الأدنى".${\displaystyle \psi _{l}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$والمسار "العلوي"${\displaystyle \psi _{u}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$، إنه،${\displaystyle \psi =\alpha \psi _{l}+\beta \psi _{u}}$للمعقد${\displaystyle \alpha ,\beta }$من أجل احترام الفرضية القائلة بأن${\displaystyle \langle \psi ,\psi \rangle =1}$نحن نشترط ذلك${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$.

تم نمذجة كلا مقسمي الحزمة كمصفوفة وحدوية${\displaystyle B={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&i\\i&1\end{pmatrix}}}$وهذا يعني أنه عندما يصطدم الفوتون بمقسم الحزمة، فإنه إما سيبقى على نفس المسار باحتمالية مقدارها${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$أو تنعكس إلى المسار الآخر باحتمالية سعة قدرها${\displaystyle i/{\sqrt {2}}}$تم تصميم مُغير الطور الموجود على الذراع العلوي كمصفوفة وحدوية.${\displaystyle P={\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{i\Delta \Phi }\end{pmatrix}}}$وهذا يعني أنه إذا كان الفوتون على المسار "العلوي"، فسيكتسب طورًا نسبيًا قدره${\displaystyle \Delta \Phi }$وسيظل دون تغيير إذا كان في المسار السفلي.

ثم يتم التعامل مع الفوتون الذي يدخل مقياس التداخل من اليسار بواسطة مقسم شعاع.${\displaystyle B}$، مُغيّر الطور${\displaystyle P}$وفاصل شعاع آخر${\displaystyle B}$وهكذا ينتهي بهم المطاف في الولاية $${\displaystyle BPB\psi _{l}=ie^{i\Delta \Phi /2}{\begin{pmatrix}-\sin(\Delta \Phi /2)\\\cos(\Delta \Phi /2)\end{pmatrix}},}$$ وتُعطى احتمالات اكتشافه على اليمين أو في الأعلى على التوالي بواسطة $${\displaystyle p(u)=|\langle \psi _{u},BPB\psi _{l}\rangle |^{2}=\cos ^{2}{\frac {\Delta \Phi }{2}},}$$$${\displaystyle p(l)=|\langle \psi _{l},BPB\psi _{l}\rangle |^{2}=\sin ^{2}{\frac {\Delta \Phi }{2}}.}$$ وبالتالي يمكن استخدام مقياس التداخل ماخ-زيندر لتقدير إزاحة الطور عن طريق تقدير هذه الاحتمالات.

من المثير للاهتمام التفكير فيما سيحدث إذا كان الفوتون موجودًا بشكل قاطع في أحد المسارين "السفلي" أو "العلوي" بين فاصلي الشعاع. يمكن تحقيق ذلك عن طريق حجب أحد المسارين، أو بشكل مكافئ عن طريق إزالة فاصل الشعاع الأول (وتغذية الفوتون من اليسار أو الأسفل، حسب الرغبة). في كلتا الحالتين، لن يكون هناك تداخل بين المسارين، وتُعطى الاحتمالات بالعلاقة التالية:${\displaystyle p(u)=p(l)=1/2}$بغض النظر عن المرحلة${\displaystyle \Delta \Phi }$ومن هذا نستنتج أن الفوتون لا يسلك مسارًا واحدًا أو آخر بعد مقسم الحزمة الأول، بل إنه في حالة تراكب كمي حقيقي للمسارين. ^{[ 38 ]}

تنص قواعد ميكانيكا الكم على أن فضاء حالة النظام هو فضاء هيلبرت، وأن الكميات القابلة للرصد في النظام هي مؤثرات هيرميتية تعمل على متجهات في ذلك الفضاء  - مع أنها لا تحدد أي فضاء هيلبرت أو أي مؤثرات. يمكن اختيار هذه العناصر بشكل مناسب للحصول على وصف كمي للنظام الكمي، وهي خطوة ضرورية للتنبؤات الفيزيائية. يُعد مبدأ التوافق دليلاً هاماً في هذه الاختيارات ، وهو مبدأ استدلالي ينص على أن تنبؤات ميكانيكا الكم تختزل إلى تنبؤات الميكانيكا الكلاسيكية في نطاق الأعداد الكمية الكبيرة . ^{[ 41 ]} يمكن أيضاً البدء من نموذج كلاسيكي راسخ لنظام معين، ثم محاولة تخمين النموذج الكمي الأساسي الذي من شأنه أن يُنتج النموذج الكلاسيكي في حد التوافق. يُعرف هذا النهج بالتكميم . ^{[ 42 ] : 299 [ 43 ]}

عندما صِيغت ميكانيكا الكم في الأصل، طُبِّقت على نماذج كانت حدودها المقابلة هي الميكانيكا الكلاسيكية غير النسبية . على سبيل المثال، يستخدم النموذج المعروف للمذبذب التوافقي الكمي تعبيرًا غير نسبي صريحًا للطاقة الحركية للمذبذب، وبالتالي فهو نسخة كمية من المذبذب التوافقي الكلاسيكي . ^{[ 7 ] : 234}

تنشأ تعقيدات مع الأنظمة الفوضوية ، التي لا تمتلك أعدادًا كمومية جيدة، وتدرس فوضى الكم العلاقة بين الأوصاف الكلاسيكية والكمومية في هذه الأنظمة. ^{[ 42 ] : 353}

التفكك الكمومي هو آلية تفقد من خلالها الأنظمة الكمومية تماسكها ، وبالتالي تصبح غير قادرة على إظهار العديد من التأثيرات الكمومية النموذجية: تصبح التراكبات الكمومية مجرد مزيج احتمالي، ويصبح التشابك الكمومي مجرد ارتباطات كلاسيكية. ^{[ 7 ] : 687-730.} لا يظهر التماسك الكمومي عادةً على المقاييس العيانية، على الرغم من أنه عند درجات حرارة تقترب من الصفر المطلق، قد يظهر السلوك الكمومي على المستوى العياني. ^{[ ملاحظة 3 ]}

تُعدّ العديد من الخصائص الماكروسكوبية لنظام كلاسيكي نتيجة مباشرة للسلوك الكمومي لأجزائه. فعلى سبيل المثال، استقرار المادة الصلبة (المكونة من ذرات وجزيئات تنهار بسرعة تحت تأثير القوى الكهربائية وحدها)، وصلابة المواد الصلبة، والخصائص الميكانيكية والحرارية والكيميائية والبصرية والمغناطيسية للمادة، كلها نتائج لتفاعل الشحنات الكهربائية وفقًا لقواعد ميكانيكا الكم. ^{[ 44 ]}

تضمنت المحاولات المبكرة لدمج ميكانيكا الكم مع النسبية الخاصة استبدال معادلة شرودنغر بمعادلة متغيرة مثل معادلة كلاين-غوردون أو معادلة ديراك . ورغم نجاح هذه النظريات في تفسير العديد من النتائج التجريبية، إلا أنها انطوت على بعض أوجه القصور الناجمة عن إهمالها لتكوين الجسيمات وفنائها في النسبية. وقد استلزمت نظرية الكم النسبية الكاملة تطوير نظرية الحقل الكمومي، التي تُطبق التكميم على حقل (بدلاً من مجموعة ثابتة من الجسيمات). وتُقدم أول نظرية حقل كمومي كاملة، وهي الديناميكا الكهربائية الكمومية ، وصفًا كموميًا كاملاً للتفاعل الكهرومغناطيسي . وتُعد الديناميكا الكهربائية الكمومية، إلى جانب النسبية العامة ، من أدق النظريات الفيزيائية التي وُضعت على الإطلاق. ^{[ 45 ] [ 46 ]}

غالبًا ما يكون استخدام كامل أدوات نظرية الحقل الكمومي غير ضروري لوصف الأنظمة الكهروضوئية. ثمة نهج أبسط، استُخدم منذ نشأة ميكانيكا الكم، وهو التعامل مع الجسيمات المشحونة كأجسام كمومية تتأثر بحقل كهرومغناطيسي كلاسيكي. على سبيل المثال، يصف النموذج الكمومي الأولي لذرة الهيدروجين المجال الكهربائي لذرة الهيدروجين باستخدام نموذج كلاسيكي.${\displaystyle \textstyle -e^{2}/(4\pi \epsilon _{_{0}}r)}$جهد كولوم . ^{[ 7 ] : 285} وبالمثل، في تجربة شتيرن-غيرلاخ ، يُنمذج الجسيم المشحون كنظام كمومي، بينما يُوصف المجال المغناطيسي الخلفي كلاسيكيًا. ^{[ 42 ] : 26} يفشل هذا النهج "شبه الكلاسيكي" إذا لعبت التقلبات الكمومية في المجال الكهرومغناطيسي دورًا مهمًا، كما هو الحال في انبعاث الفوتونات من الجسيمات المشحونة .

تم تطوير نظريات الحقل الكمومي للقوة النووية القوية والقوة النووية الضعيفة . تُسمى نظرية الحقل الكمومي للقوة النووية القوية بالديناميكا اللونية الكمومية ، وهي تصف تفاعلات الجسيمات دون النووية مثل الكواركات والغلوونات . وقد وحّد الفيزيائيون عبد السلام وشيلدون غلاشو وستيفن واينبرغ القوة النووية الضعيفة والقوة الكهرومغناطيسية، في صورتيهما الكموميتين، في نظرية حقل كمومي واحدة (تُعرف بنظرية الكهروضعيفة ) . ^{[ 47 ]}

على الرغم من أن تنبؤات كل من نظرية الكم والنسبية العامة مدعومة بأدلة تجريبية صارمة ومتكررة ، إلا أن صياغاتها المجردة تتناقض فيما بينها، وقد ثبت صعوبة دمجها في نموذج واحد متسق ومتماسك. تُعتبر الجاذبية ضئيلة في العديد من مجالات فيزياء الجسيمات، لذا فإن توحيد النسبية العامة وميكانيكا الكم ليس مسألة ملحة في تلك التطبيقات تحديدًا. مع ذلك، يُعدّ غياب نظرية صحيحة للجاذبية الكمية قضية مهمة في علم الكونيات الفيزيائي ، ويدفع الفيزيائيين للبحث عن " نظرية شاملة " أنيقة. ونتيجة لذلك، كان حلّ التناقضات بين النظريتين هدفًا رئيسيًا لفيزياء القرنين العشرين والحادي والعشرين. لا تقتصر هذه النظرية الشاملة على دمج نماذج فيزياء الجسيمات دون الذرية فحسب، بل تستنتج أيضًا القوى الأساسية الأربع للطبيعة من قوة أو ظاهرة واحدة. ^{[ 48 ]}

أحد المقترحات لتحقيق ذلك هو نظرية الأوتار ، التي تفترض استبدال الجسيمات النقطية في فيزياء الجسيمات بأجسام أحادية البعد تُسمى الأوتار . تصف نظرية الأوتار كيفية انتشار هذه الأوتار في الفضاء وتفاعلها مع بعضها البعض. على مسافات أكبر من مقياس الوتر، يبدو الوتر كجسيم عادي، حيث تُحدد حالته الاهتزازية كتلته وشحنته وخصائصه الأخرى . في نظرية الأوتار، تُقابل إحدى الحالات الاهتزازية العديدة للوتر الجرافيتون ، ^وهو جسيم كمومي يحمل قوة جاذبية. ^{[ 49 ]} [ ^{50 ]}

من النظريات الشائعة الأخرى نظرية الجاذبية الكمومية الحلقية (LQG)، التي تصف الخصائص الكمومية للجاذبية، وبالتالي فهي نظرية للزمكان الكمومي . تُعدّ LQG محاولةً لدمج وتكييف ميكانيكا الكم والنسبية العامة القياسيتين. تصف هذه النظرية الفضاء بأنه نسيج دقيق للغاية "منسوج" من حلقات محدودة تُسمى شبكات الدوران . يُطلق على تطور شبكة الدوران مع مرور الوقت اسم رغوة الدوران . يُعدّ طول بلانك المقياس المميز لرغوة الدوران ، ويبلغ حوالي 1.616 × 10⁻³⁵ ^متر ، ولذلك فإن الأطوال الأقصر من طول بلانك لا تُعتبر ذات معنى فيزيائي في LQG. ^{[ 51 ]}