نظام كمي ثنائي الحالة

بافتراض أن حالتي الأساس المتاحتين للنظام هما${\displaystyle |1\rangle }$و${\displaystyle |2\rangle }$بشكل عام، الدولة${\displaystyle |\psi \rangle }$يمكن كتابة ذلك على أنه تراكب لهاتين الحالتين بسعات احتمالية${\displaystyle c_{1},c_{2}}$،$${\displaystyle |\psi \rangle =c_{1}|1\rangle +c_{2}|2\rangle .}$$

نظرًا لأن الحالات الأساسية متعامدة ،${\displaystyle \langle i|j\rangle =\delta _{ij}}$أين${\displaystyle i,j\in {1,2}}$و${\displaystyle \delta _{ij}}$هي دلتا كرونكر ، لذا${\displaystyle c_{i}=\langle i|\psi \rangle }$يمكن اعتبار هذين العددين المركبين إحداثيات في فضاء هيلبرت المركب ثنائي الأبعاد . ^{[ 2 ]} وبالتالي، فإن متجه الحالة المقابل للحالة${\displaystyle |\psi \rangle }$يكون$${\displaystyle |\psi \rangle \equiv {\begin{pmatrix}\langle 1|\psi \rangle \\\langle 2|\psi \rangle \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=\mathbf {c} ,}$$وتتوافق حالات الأساس مع متجهات الأساس،$${\displaystyle |1\rangle \equiv {\begin{pmatrix}\langle 1|1\rangle \\\langle 2|1\rangle \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$$و$${\displaystyle |2\rangle \equiv {\begin{pmatrix}\langle 1|2\rangle \\\langle 2|2\rangle \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}.}$$

إذا كانت الدولة${\displaystyle |\psi \rangle }$عندما تكون القيمة مُعَيَّرة ، فإن معيار متجه الحالة يساوي واحدًا، أي${\displaystyle {|c_{1}|}^{2}+{|c_{2}|}^{2}=1}$.

ترتبط جميع الكميات الفيزيائية القابلة للملاحظة ، مثل الطاقة، بمؤثرات هيرميتية . في حالة الطاقة والهاميلتوني المقابل لها ، H ، فإن هذا يعني$${\displaystyle H_{ij}=\langle i|H|j\rangle =\langle j|H|i\rangle ^{*}=H_{ji}^{*},}$$ أي${\displaystyle H_{11}}$و${\displaystyle H_{22}}$حقيقية، و${\displaystyle H_{12}=H_{21}^{*}}$وبالتالي، فإن عناصر المصفوفة الأربعة هذه${\displaystyle H_{ij}}$إنتاج مصفوفة هيرميتية 2×2 ، $${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}\langle 1|H|1\rangle &\langle 1|H|2\rangle \\\langle 2|H|1\rangle &\langle 2|H|2\rangle \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}H_{11}&H_{12}\\H_{12}^{*}&H_{22}\end{pmatrix}}.}$$

تنص معادلة شرودنغر غير المعتمدة على الزمن على أن${\displaystyle H|\psi \rangle =E|\psi \rangle }$؛ بديلاً عن${\displaystyle |\psi \rangle }$بدلالة الحالات الأساسية المذكورة أعلاه، وضرب كلا الطرفين في${\displaystyle \langle 1|}$أو${\displaystyle \langle 2|}$ينتج نظامًا من معادلتين خطيتين يمكن كتابتهما في شكل مصفوفة،$${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{11}&H_{12}\\H_{12}^{*}&H_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}=E{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}},}$$ أو${\displaystyle \mathbf {Hc} =E\mathbf {c} }$وهي مسألة قيم ذاتية ومتجهات ذاتية لمصفوفة 2×2 . كما ذُكر سابقًا، تنشأ هذه المعادلة من إدخال حالة عامة في معادلة شرودنغر غير المعتمدة على الزمن. تذكر أن معادلة شرودنغر غير المعتمدة على الزمن هي شرط تقييدي يُستخدم لتحديد الحالات الذاتية. لذلك، عند إدخال حالة عامة فيها، فإننا نحدد الشكل الذي يجب أن تتخذه الحالة العامة لتكون حالة ذاتية. عند القيام بذلك، وبعد التوزيع، نحصل على${\displaystyle c_{1}H|1\rangle +c_{2}H|2\rangle =c_{1}E|1\rangle +c_{2}E|2\rangle }$وهذا يتطلب${\displaystyle c_{1}}$أو${\displaystyle c_{2}}$أن يكون صفرًا (${\displaystyle E}$لا يمكن أن يكون مساوياً لكليهما${\displaystyle \varepsilon _{1}}$و${\displaystyle \varepsilon _{2}}$(طاقات الحالات الفردية، والتي تختلف بحكم تعريفها). عند الضبط${\displaystyle c_{1}}$أو${\displaystyle c_{2}}$لكي تصبح القيمة صفرًا، تبقى حالة واحدة فقط، و${\displaystyle E}$هي طاقة الحالة الباقية. هذه النتيجة بمثابة تذكير زائد بأن معادلة شرودنغر غير المعتمدة على الزمن لا تتحقق إلا بواسطة الحالات الذاتية لـ H، وهي (بحسب تعريف متجه الحالة) الحالات التي تكون فيها جميع المعاملات صفرًا باستثناء معامل واحد. الآن، إذا اتبعنا نفس الاشتقاق، ولكن قبل تطبيق الهاميلتوني على الحالات الفردية، فإننا نضرب كلا الطرفين في${\displaystyle \langle 1|}$أو${\displaystyle \langle 2|}$نحصل بذلك على نظام من معادلتين خطيتين يمكن دمجهما في معادلة المصفوفة المذكورة أعلاه. وكما في السابق، لا يمكن تحقيق ذلك إلا إذا${\displaystyle c_{1}}$أو${\displaystyle c_{2}}$يساوي صفرًا، وعندما يحدث هذا، يصبح الثابت${\displaystyle E}$ستكون طاقة الحالة المتبقية. وبالتالي، ينبغي تفسير معادلة المصفوفة أعلاه كشرط تقييدي على متجه حالة عام للحصول على متجه ذاتي لـ${\displaystyle H}$، وهو أمر مماثل تمامًا لمعادلة شرودنغر غير المعتمدة على الزمن.

بالطبع، بشكل عام، لن يؤدي تبديل المصفوفة مع متجه الحالة إلى الحصول على نفس المتجه مضروبًا في ثابت E. وللحصول على صحة عامة، يجب كتابة المعادلة على الصورة التالية:$${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{11}&H_{12}\\H_{12}^{*}&H_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\varepsilon _{1}c_{1}\\\varepsilon _{2}c_{2}\end{pmatrix}},}$$مع بقاء طاقات الحالات الذاتية الفردية داخل متجه الضرب. في كلتا الحالتين، يمكن اشتقاق مصفوفة هاميلتون باستخدام الطريقة المذكورة أعلاه، أو عبر الطريقة التقليدية لإنشاء مصفوفة باستخدام الشروط الحدية؛ وتحديدًا، باستخدام الشرط الذي ينص على أنه عند تطبيقها على أي حالة أساسية، يجب أن تُعيد تلك الحالة مضروبة في طاقتها. (لا توجد شروط حدية لكيفية تطبيقها على حالة عامة). ينتج عن ذلك مصفوفة قطرية عناصرها القطرية هي طاقات الحالات الذاتية، وعناصرها غير القطرية تساوي صفرًا. يُعد شكل المصفوفة أعلاه، الذي يستخدم هاميلتونيات محصورة داخل إطار، نسخةً أكثر تعميمًا من هذه المصفوفة.

قد يتساءل المرء عن سبب ضرورة كتابة مصفوفة هاميلتونيان بهذا الشكل العام مع هاميلتونيان محصور داخل إطار، لأن${\displaystyle H_{ij},i\neq j}$يجب أن يساوي دائمًا صفرًا و${\displaystyle H_{ii}}$يجب أن يكون مساويا دائمًا${\displaystyle \varepsilon _{i}}$والسبب هو أنه في بعض المسائل الأكثر تعقيدًا، قد لا تكون متجهات الحالة حالات ذاتية للهاميلتوني المستخدم في المصفوفة. أحد الأمثلة على ذلك هو نظرية الاضطراب المنحلة ، حيث تكون العناصر غير القطرية غير صفرية حتى يتم حل المسألة عن طريق القطرنة .

بسبب انعزالية${\displaystyle \mathbf {H} }$القيم الذاتية حقيقية؛ أو بالأحرى، على العكس من ذلك، فإن اشتراط أن تكون الطاقات حقيقية هو ما يستلزم خاصية الهرميتية لـ${\displaystyle \mathbf {H} }$تمثل المتجهات الذاتية الحالات الثابتة ، أي تلك التي لا يتغير فيها المقدار المطلق لمربعات سعات الاحتمال مع مرور الوقت.

يُعطى الشكل الأكثر عمومية لمصفوفة هيرميتية من الرتبة 2×2، مثل هاميلتونيان نظام ثنائي الحالة، بالصيغة التالية:$${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}\varepsilon _{1}&\beta -i\gamma \\\beta +i\gamma &\varepsilon _{2}\end{pmatrix}},}$$ أين${\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\beta }$و γ أعداد حقيقية بوحدات طاقة. ويمكن إيجاد مستويات الطاقة المسموح بها للنظام، أي القيم الذاتية لمصفوفة هاميلتون، بالطريقة المعتادة.

وبصورة مكافئة، يمكن تحليل هذه المصفوفة على النحو التالي:$${\displaystyle \mathbf {H} =\alpha \cdot \sigma _{0}+\beta \cdot \sigma _{1}+\gamma \cdot \sigma _{2}+\delta \cdot \sigma _{3}={\begin{pmatrix}\alpha +\delta &\beta -i\gamma \\\beta +i\gamma &\alpha -\delta \end{pmatrix}}.}$$هنا،${\textstyle \alpha ={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}\right)}$و${\textstyle \delta ={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{1}-\varepsilon _{2}\right)}$هي أعداد حقيقية. المصفوفة${\displaystyle \sigma _{0}}$هي مصفوفة الوحدة 2×2 والمصفوفات${\displaystyle \sigma _{k}}$مع${\displaystyle k=1,2,3}$هي مصفوفات باولي . يُبسط هذا التفكيك تحليل النظام، خاصة في الحالة غير المعتمدة على الزمن، حيث تكون قيم${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$و${\displaystyle \delta }$هي ثوابت.

يمكن اختصار الهاميلتوني بشكل أكبر على النحو التالي:$${\displaystyle \mathbf {H} =\alpha \cdot \sigma _{0}+\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}.}$$

المتجه${\displaystyle \mathbf {r} }$يُعطى بواسطة${\displaystyle (\beta ,\gamma ,\delta )}$و${\displaystyle \sigma }$يُعطى بواسطة${\displaystyle (\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})}$. هذا التمثيل يبسط تحليل التطور الزمني للنظام ويسهل استخدامه مع التمثيلات المتخصصة الأخرى مثل كرة بلوخ .

إذا تم تعريف هاميلتونيان النظام ثنائي الحالة غير المعتمد على الزمن H كما هو موضح أعلاه، فإن قيمه الذاتية تُعطى بواسطة${\displaystyle E_{\pm }=\alpha \pm |\mathbf {r} |}$من الواضح أن α هي متوسط ​​طاقة المستويين، ومعيار${\displaystyle \mathbf {r} }$يمثل هذا الانقسام بينهما. ويُرمز إلى المتجهات الذاتية المقابلة بـ${\displaystyle |+\rangle }$و${\displaystyle |-\rangle }$.

نفترض الآن أن سعات الاحتمال تعتمد على الزمن، على الرغم من أن حالات الأساس لا تعتمد عليه. تنص معادلة شرودنغر المعتمدة على الزمن على ما يلي:${\textstyle i\hbar \partial _{t}|\psi \rangle =H|\psi \rangle }$والاستمرار كما كان من قبل (مع استبدال بـ${\displaystyle |\psi \rangle }$والضرب المسبق بـ${\displaystyle \langle 1|,\langle 2|}$ينتج مرة أخرى زوجًا من المعادلات الخطية المترابطة، ولكن هذه المرة هي معادلات تفاضلية جزئية من الدرجة الأولى:${\textstyle i\hbar \partial _{t}\mathbf {c} =\mathbf {Hc} }$. لو${\displaystyle \mathbf {H} }$إذا كانت مستقلة عن الزمن، فهناك عدة طرق لإيجاد اعتمادها الزمني.${\displaystyle c_{1},c_{2}}$مثل الأنماط العادية . والنتيجة هي أن$${\displaystyle \mathbf {c} (t)=e^{-i\mathbf {H} t/\hbar }\mathbf {c} _{0}=\mathbf {U} (t)\mathbf {c} _{0}.}$$أين${\displaystyle \mathbf {c} _{0}=\mathbf {c} (0)}$هو متجه الحالة عند${\displaystyle t=0}$هنا، يمكن إيجاد الدالة الأسية للمصفوفة من خلال متسلسلة تايلور.${\displaystyle \mathbf {U} (t)}$تُسمى مصفوفة التطور الزمني (التي تتضمن عناصر المصفوفة الخاصة بمؤثر التطور الزمني المقابل).${\displaystyle U(t)}$من السهل إثبات ذلك.${\displaystyle \mathbf {U} (t)}$هو وحدة ، مما يعني أن${\displaystyle \mathbf {U} ^{\dagger }\mathbf {U} =1}$.

يمكن إثبات ذلك$${\displaystyle \mathbf {U} (t)=e^{-i\mathbf {H} t/\hbar }=e^{-i\alpha t/\hbar }\left(\cos \left({\frac {|\mathbf {r} |}{\hbar }}t\right)\sigma _{0}-i\sin \left({\frac {|\mathbf {r} |}{\hbar }}t\right){\hat {r}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right),}$$أين${\textstyle {\hat {r}}={\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}.}$

عندما يتم تغيير الأساس إلى المتجهات الذاتية للهاميلتوني، بعبارة أخرى، إذا كانت عبارات الأساس${\displaystyle |1\rangle ,|2\rangle }$يتم اختيارها لتكون المتجهات الذاتية، ثم${\displaystyle \epsilon _{1}=H_{11}=\langle 1|H|1\rangle =E_{1}\langle 1|1\rangle =E_{1}}$و${\displaystyle \beta +i\gamma =H_{21}=\langle 2|H|1\rangle =E_{1}\langle 2|1\rangle =0}$وبالتالي فإن الهاميلتوني قطري، أي${\displaystyle |\mathbf {r} |=\delta }$ويكون على الشكل التالي:$${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}E_{1}&0\\0&E_{2}\end{pmatrix}}.}$$

الآن، عامل التطور الزمني الوحدوي${\displaystyle U}$من السهل ملاحظة أن هذا يُعطى بواسطة:$${\displaystyle \mathbf {U} (t)=e^{-i\mathbf {H} t/\hbar }={\begin{pmatrix}e^{-iE_{1}t/\hbar }&0\\0&e^{-iE_{2}vt/\hbar }\end{pmatrix}}=e^{-i\alpha t/\hbar }{\begin{pmatrix}e^{-i\delta t/\hbar }&0\\0&e^{i\delta t/\hbar }\end{pmatrix}}=e^{-i\alpha t/\hbar }\left(\cos \left({\frac {\delta }{\hbar }}t\right)\sigma _{0}-i\sin \left({\frac {\delta }{\hbar }}t\right){\boldsymbol {\sigma }}_{3}\right).}$$ال${\displaystyle e^{-i\alpha t/\hbar }}$لا يُساهم هذا العامل إلا في الطور الكلي للمؤثر، ويمكن عادةً تجاهله للحصول على مؤثر تطور زمني جديد لا يمكن تمييزه فيزيائيًا عن المؤثر الأصلي. علاوة على ذلك، يمكن إضافة أي اضطراب للنظام (والذي سيكون من نفس شكل الهاميلتوني) إلى النظام في الأساس الذاتي للهاميلتوني غير المضطرب وتحليله بنفس الطريقة المذكورة أعلاه. لذلك، بالنسبة لأي اضطراب، يمكن إيجاد المتجهات الذاتية الجديدة للنظام المضطرب بدقة، كما ذُكر في المقدمة.

لنفترض أن النظام يبدأ في إحدى حالات الأساس عند${\displaystyle t=0}$، يقول${\displaystyle |1\rangle }$لهذا السبب.${\textstyle \mathbf {c} _{0}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$ونحن مهتمون باحتمالية شغل كل حالة من حالات الأساس كدالة للزمن عندما${\displaystyle \mathbf {H} }$هو الهاميلتوني المستقل عن الزمن.$${\displaystyle \mathbf {c} (t)=\mathbf {U} (t)\mathbf {c} _{0}={\begin{pmatrix}U_{11}(t)&U_{12}(t)\\U_{21}(t)&U_{22}(t)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}U_{11}(t)\\U_{21}(t)\end{pmatrix}}.}$$

احتمالية شغل الحالة i هي${\displaystyle P_{i}(t)=|c_{i}(t)|^{2}=|U_{i1}(t)|^{2}}$في حالة الحالة الابتدائية،${\displaystyle P_{1}(t)=|c_{1}(t)|^{2}=|U_{11}(t)|^{2}}$ومن الأعلى،$${\displaystyle U_{11}(t)=e^{\frac {-i\alpha t}{\hbar }}\left(\cos \left({\frac {|\mathbf {r} |}{\hbar }}t\right)-i\sin \left({\frac {|\mathbf {r} |}{\hbar }}t\right){\frac {\delta }{|\mathbf {r} |}}\right).}$$لذلك،$${\displaystyle P_{1}(t)=\cos ^{2}(\Omega t)+\sin ^{2}(\Omega t){\frac {\Delta ^{2}}{\Omega ^{2}}}.}$$

بوضوح،${\displaystyle P_{1}(0)=1}$بسبب الحالة الأولية . التردد$${\displaystyle \Omega ={\frac {|\mathbf {r} |}{\hbar }}={\frac {1}{\hbar }}{\sqrt {\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}}}={\sqrt {|\Omega _{R}|^{2}+\Delta ^{2}}}}$$يُطلق عليه تردد رابي المعمم،${\displaystyle \Omega _{R}=(\beta +i\gamma )/\hbar }$يُطلق عليه تردد رابي، و${\displaystyle \Delta =\delta /\hbar }$يُطلق عليه اسم "التخفيض".

عند ضبط التردد على الصفر،${\displaystyle P_{1}(t)=\cos ^{2}(|\Omega _{R}|t)}$أي أن هناك تقلبات متكررة بين ضمان احتلال الدولة 1، وضمان احتلال الدولة 2، ثم العودة إلى الدولة 1، وهكذا، بشكل متكرر.${\displaystyle |\Omega _{R}|}$مع زيادة الانحراف عن الصفر، يزداد تردد التذبذب (إلى Ω ) ويقل سعة إثارة الإلكترون إلى${\displaystyle \Omega ^{2}/\Delta ^{2}}$.

للاطلاع على الهاميلتونيان المعتمد على الزمن الناتج عن الموجات الضوئية، انظر المقالات المتعلقة بدورة رابي وتقريب الموجة الدوارة .

لنفترض حالة جسيم ذي لف مغزلي 1/2 في مجال مغناطيسي${\displaystyle \mathbf {B} =B\mathbf {\hat {n}} }$هاميلتونيان التفاعل لهذا النظام هو$${\displaystyle H=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} =-\mu {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} ,}$$أين${\displaystyle \mu }$يمثل مقدار العزم المغناطيسي للجسيم و${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$هو متجه مصفوفات باولي . حل معادلة شرودنغر المعتمدة على الزمن${\displaystyle H\psi =i\hbar \partial _{t}\psi }$العائد$${\displaystyle \psi (t)=e^{i\omega t{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {\hat {n}} }\psi (0),}$$أين${\displaystyle \omega =\mu B/\hbar }$و${\displaystyle e^{i\omega t{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {\hat {n}} }=\cos {\left(\omega t\right)}I+i\;\mathbf {\hat {n}} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\sin {\left(\omega t\right)}}$فيزيائيًا، يتوافق هذا مع دوران متجه بلوخ حول${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$بتردد زاوي${\displaystyle 2\omega }$دون الإخلال بعمومية المسألة ، افترض أن المجال منتظم وأن النقاط في${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$وبالتالي، يُعطى عامل تطور الزمن على النحو التالي:$${\displaystyle e^{i\omega t{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {\hat {n}} }={\begin{pmatrix}e^{i\omega t}&0\\0&e^{-i\omega t}\end{pmatrix}}.}$$

يمكن ملاحظة أن عامل تطور الزمن هذا الذي يعمل على حالة دوران عامة لجسيم ذي دوران 1/2 سيؤدي إلى التبادر حول المحور المحدد بواسطة المجال المغناطيسي المطبق (هذا هو المكافئ الكمي لتبادر لارمور ) ^{[ 3 ]}

يمكن تطبيق الطريقة المذكورة أعلاه على تحليل أي نظام ثنائي الحالة يتفاعل مع مجال ما (مكافئ للمجال المغناطيسي في الحالة السابقة) إذا كان التفاعل مُعطى بواسطة حد اقتران مناسب مماثل للعزم المغناطيسي. ويمكن اعتبار ترنح متجه الحالة (الذي لا يشترط أن يكون دورانًا فيزيائيًا كما في الحالة السابقة) بمثابة ترنح متجه الحالة على كرة بلوخ .

التمثيل على كرة بلوخ لمتجه الحالة${\displaystyle \psi (0)}$سيكون ببساطة متجه القيم المتوقعة${\displaystyle \mathbf {R} =\left(\langle \sigma _{x}\rangle ,\langle \sigma _{y}\rangle ,\langle \sigma _{z}\rangle \right)}$على سبيل المثال، لنفترض متجه حالة${\displaystyle \psi (0)}$هذا عبارة عن تراكب معياري لـ${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$و${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$أي متجه يمكن تمثيله في${\displaystyle \sigma _{z}}$على أساس$${\displaystyle \psi (0)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}$$

مكونات${\displaystyle \psi (t)}$على مجال بلوخ سيكون ببساطة${\displaystyle \mathbf {R} =\left(\cos {2\omega t},-\sin {2\omega t},0\right)}$هذا متجه وحدة يبدأ بالإشارة على طول${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} }$وتدور حول${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$بطريقة يسارية. بشكل عام، عن طريق الدوران حول${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$أي متجه حالة${\displaystyle \psi (0)}$يمكن تمثيلها على النحو التالي${\displaystyle a\left|\uparrow \right\rangle +b\left|\downarrow \right\rangle }$بمعاملات حقيقية${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$يتوافق متجه الحالة هذا مع متجه بلوخ في المستوى xz الذي يصنع زاوية${\displaystyle \tan(\theta /2)=b/a}$مع المحور z . سيستمر هذا المتجه في الدوران حول${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$نظرياً، من خلال السماح للنظام بالتفاعل مع مجال ذي اتجاه وقوة محددين لفترات زمنية دقيقة، يُمكن الحصول على أي اتجاه لمتجه بلوخ ، وهو ما يُعادل الحصول على أي تراكب معقد. هذا هو أساس العديد من التقنيات، بما في ذلك الحوسبة الكمومية والتصوير بالرنين المغناطيسي .

يُعدّ الرنين المغناطيسي النووي (NMR) مثالًا هامًا في ديناميكيات الأنظمة ثنائية الحالة، لأنه يتضمن الحل الدقيق لهاملتوني متغير مع الزمن. تتحقق ظاهرة الرنين المغناطيسي النووي بوضع نواة في مجال قوي ثابت _B₀ ( مجال التثبيت)، ثم تطبيق مجال ضعيف مستعرض B₁ يتذبذب بتردد راديوي ωr . ^{[ 4 ]} وبالتحديد، لنفترض جسيمًا ذو لف مغزلي 1/2 _في مجال تثبيت _.${\displaystyle B_{0}\mathbf {\hat {z}} }$ومجال ترددات لاسلكية مستعرض B ₁ يدور في المستوى xy بطريقة يمينية حول B ₀ :$${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}B_{1}\cos \omega _{\mathrm {r} }t\\B_{1}\sin \omega _{\mathrm {r} }t\\B_{0}\end{pmatrix}}.}$$

كما هو الحال في حالة التبادر الحر، فإن الهاميلتوني هو${\displaystyle H=-\mu {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} }$، وتطور متجه الحالة${\displaystyle \psi (t)}$يتم إيجادها عن طريق حل معادلة شرودنغر المعتمدة على الزمن${\displaystyle H\psi =i\hbar \,\partial \psi /\partial t}$بعد بعض التلاعب (الموضح في القسم المختصر أدناه)، يمكن إثبات أن معادلة شرودنغر تصبح$${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i\left(\omega _{1}\sigma _{x}+\left(w_{0}+{\frac {\omega _{r}}{2}}\right)\sigma _{z}\right)\psi ,}$$أين${\displaystyle \omega _{0}=\mu B_{0}/\hbar }$و${\displaystyle \omega _{1}=\mu B_{1}/\hbar }$.

كما ورد في القسم السابق، فإن حل هذه المعادلة يتضمن متجه بلوخ يدور حول${\displaystyle (\omega _{1},0,\omega _{0}+\omega _{r}/2)}$بتردد يساوي ضعف مقدار المتجه. إذا${\displaystyle \omega _{0}}$إذا كان المجال قويًا بما يكفي، فإن نسبة من اللفات ستكون متجهة للأسفل مباشرةً قبل إدخال المجال الدوار. إذا تم اختيار التردد الزاوي للمجال المغناطيسي الدوار بحيث${\displaystyle \omega _{r}=-2\omega _{0}}$في الإطار الدوار، سيدور متجه الحالة حول${\displaystyle {\hat {x}}}$بتردد${\displaystyle 2\omega _{1}}$وبالتالي، سينقلب من الأسفل إلى الأعلى مطلقًا طاقة على شكل فوتونات قابلة للكشف. ^{[ 5 ]} هذا هو الأساس الجوهري للرنين المغناطيسي النووي ، ويتم تحقيقه عمليًا عن طريق المسح${\displaystyle \omega _{r}}$إلى أن يتم العثور على تردد الرنين، وعندها ستصدر العينة ضوءًا. تُجرى حسابات مماثلة في الفيزياء الذرية، وفي حالة عدم دوران المجال، بل تذبذبه بسعة مركبة، يُستخدم تقريب الموجة الدوارة في استخلاص هذه النتائج.

يمكن اشتقاق معادلات بلوخ البصرية لمجموعة من الجسيمات ذات اللف المغزلي 1/2 من معادلة شرودنغر المعتمدة على الزمن لنظام ثنائي المستوى. بدءًا من الهاميلتوني المذكور سابقًا${\displaystyle i\hbar \partial _{t}\psi =-\mu {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \psi }$ويمكن كتابتها باستخدام رمز المجموع بعد إعادة ترتيبها على النحو التالي:$${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i{\frac {\mu }{\hbar }}\sigma _{i}B_{i}\psi }$$

الضرب في مصفوفة باولي${\displaystyle \sigma _{i}}$وبأخذ منقولة الدالة الموجية، ثم توسيع حاصل ضرب مصفوفتي باولي، نحصل على$${\displaystyle \psi ^{\dagger }\sigma _{j}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i{\frac {\mu }{\hbar }}\psi ^{\dagger }\sigma _{j}\sigma _{i}B_{i}\psi =i{\frac {\mu }{\hbar }}\psi ^{\dagger }\left(I\delta _{ij}-i\sigma _{k}\varepsilon _{ijk}\right)B_{i}\psi ={\frac {\mu }{\hbar }}\psi ^{\dagger }\left(iI\delta _{ij}+\sigma _{k}\varepsilon _{ijk}\right)B_{i}\psi }$$

بإضافة هذه المعادلة إلى منقولتها المرافقة، نحصل على طرف أيسر على الصورة التالية:$${\displaystyle \psi ^{\dagger }\sigma _{j}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+{\frac {\partial \psi ^{\dagger }}{\partial t}}\sigma _{j}\psi ={\frac {\partial \left(\psi ^{\dagger }\sigma _{j}\psi \right)}{\partial t}}}$$

والجانب الأيمن من النموذج$${\displaystyle {\frac {\mu }{\hbar }}\psi ^{\dagger }\left(iI\delta _{ij}+\sigma _{k}\varepsilon _{ijk}\right)B_{i}\psi +{\frac {\mu }{\hbar }}\psi ^{\dagger }\left(-iI\delta _{ij}+\sigma _{k}\varepsilon _{ijk}\right)B_{i}\psi ={\frac {2\mu }{\hbar }}\left(\psi ^{\dagger }\sigma _{k}\psi \right)B_{i}\varepsilon _{ijk}}$$

كما ذكرنا سابقاً، فإن القيمة المتوقعة لكل مصفوفة باولي هي أحد مكونات متجه بلوخ .${\displaystyle \langle \sigma _{i}\rangle =\psi ^{\dagger }\sigma _{i}\psi =R_{i}}$بمساواة الجانبين الأيمن والأيسر، وملاحظة أن${\displaystyle {\frac {2\mu }{\hbar }}}$هي النسبة المغناطيسية الدورانية${\displaystyle \gamma }$، مما ينتج عنه شكل آخر لمعادلات حركة متجه بلوخ$${\displaystyle {\frac {\partial R_{j}}{\partial t}}=\gamma R_{k}B_{i}\varepsilon _{kij}}$$حيث حقيقة أن${\displaystyle \varepsilon _{ijk}=\varepsilon _{kij}}$تم استخدام هذه الطريقة. ويمكن التعبير عن هذه المعادلات الثلاث في صيغة متجهة بدلالة الضرب الاتجاهي.$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {R} }{\partial t}}=\gamma \mathbf {R} \times \mathbf {B} }$$تقليديًا، تصف هذه المعادلة ديناميكيات اللف المغزلي في مجال مغناطيسي. يتكون المغناطيس المثالي من مجموعة من اللفات المغزلية المتطابقة التي تتصرف بشكل مستقل، وبالتالي يكون التمغنط الكلي${\displaystyle \mathbf {M} }$يتناسب مع متجه بلوخ${\displaystyle \mathbf {R} }$كل ما تبقى للحصول على الشكل النهائي لمعادلات بلوخ البصرية هو تضمين حدود الاسترخاء الظاهرية .

كملاحظة أخيرة، يمكن اشتقاق المعادلة المذكورة أعلاه من خلال النظر في التطور الزمني لمؤثر الزخم الزاوي في صورة هايزنبرغ . $${\displaystyle i\hbar {\frac {d\sigma _{j}}{dt}}=\left[\sigma _{j},H\right]=\left[\sigma _{j},-\mu \sigma _{i}B_{i}\right]=-\mu \left(\sigma _{j}\sigma _{i}B_{i}-\sigma _{i}\sigma _{j}B_{i}\right)=\mu [\sigma _{i},\sigma _{j}]B_{i}=2\mu i\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}B_{i}}$$

بالإضافة إلى حقيقة أن${\displaystyle \mathbf {R} _{i}=\langle \sigma _{i}\rangle }$هذه المعادلة هي نفسها المعادلة السابقة.