المعدل (الرياضيات)

في الرياضيات ، المعدل هو ناتج قسمة كميتين ، وغالبًا ما يُعبَّر عنه بكسر . ^{[ 1 ]} إذا كان المقسوم عليه (أو مقام الكسر) في المعدل يساوي واحدًا كوحدة واحدة، وبافتراض إمكانية تغيير هذه الكمية بشكل منتظم (أي أنها متغير مستقل )، فإن المقسوم (بسط الكسر) في المعدل يُعبِّر عن معدل التغير المقابل في المتغير الآخر ( التابع ). في بعض الحالات، يُمكن اعتباره تغيرًا في قيمة ما، ناتجًا عن تغير قيمة أخرى بالنسبة إلى قيمة أخرى. على سبيل المثال، التسارع هو تغير في السرعة بالنسبة إلى الزمن.

المعدل الزمني نوع شائع من المعدلات، حيث يكون المقام فيه مدة زمنية ("لكل وحدة زمنية")، كما هو الحال في السرعة ومعدل ضربات القلب والتدفق . ^{[ 2 ]} في الواقع، غالبًا ما يكون المعدل مرادفًا للإيقاع أو التردد ، أي عدد النبضات في الثانية (أي هرتز )؛ على سبيل المثال، ترددات الراديو أو معدلات أخذ العينات . عند وصف وحدات المعدل، تُستخدم كلمة "لكل" لفصل وحدات القياس المستخدمة لحساب المعدل؛ على سبيل المثال، يُعبر عن معدل ضربات القلب بـ "نبضة في الدقيقة".

تشمل المعدلات التي لها قاسم أو مقام غير زمني أسعار الصرف ومعدلات معرفة القراءة والكتابة والمجال الكهربائي (بالفولت لكل متر).

ينتج عن تعريف المعدل باستخدام رقمين من نفس الوحدة كمية بلا أبعاد ، تُعرف أيضاً بنسبة أو ببساطة بمعدل (مثل معدلات الضرائب ) أو عدد (مثل معدل الإلمام بالقراءة والكتابة ). ويمكن التعبير عن المعدلات بلا أبعاد كنسبة مئوية (على سبيل المثال، كان معدل الإلمام بالقراءة والكتابة العالمي في عام 1998 هو 80%)، أو كسر ، أو مضاعف .

غالباً ما تختلف المعدلات والنسب باختلاف الوقت والموقع وعنصر معين (أو مجموعة فرعية) من مجموعة من الأشياء، وما إلى ذلك. وبالتالي فهي غالباً ما تكون دوال رياضية .

يمكن النظر إلى المعدل (أو النسبة) غالبًا على أنه نسبة بين المخرجات والمدخلات، أو نسبة بين الفائدة والتكلفة ، وذلك بمعناه الواسع. على سبيل المثال، تُعدّ المسافة المقطوعة بالكيلومترات في الساعة في مجال النقل هي الناتج (أو الفائدة) من حيث المسافة المقطوعة بالكيلومترات، والتي يحصل عليها المرء من قضاء ساعة (تكلفة زمنية) في السفر (بهذه السرعة).

يمكن استخدام مجموعة من المؤشرات المتسلسلة لترقيم عناصر (أو مجموعات فرعية) من مجموعة نسب قيد الدراسة. على سبيل المثال، في مجال التمويل، يمكن تعريف i بتخصيص أعداد صحيحة متتالية للشركات، أو للتقسيمات السياسية (مثل الولايات)، أو للاستثمارات المختلفة، وما إلى ذلك. والسبب في استخدام المؤشرات i هو إمكانية استخدام مجموعة من النسب ( i = 0 ، N ) في معادلة لحساب دالة تعتمد على هذه النسب، مثل متوسط ​​مجموعة من النسب. على سبيل المثال، متوسط ​​السرعة المُستخرج من مجموعة v _iكما ذكر أعلاه. قد يتضمن إيجاد المتوسطات استخدام المتوسطات المرجحة وربما استخدام المتوسط ​​التوافقي .

النسبة r = a / b تتكون من بسط a ومقام b . قد تكون قيمة a و b عددًا حقيقيًا أو صحيحًا . مقلوب النسبة r هو 1/ r = b / a . يمكن التعبير عن المعدل بشكل مكافئ كمقلوب قيمته إذا كانت نسبة وحداته مقلوبةً أيضًا. على سبيل المثال، 5 أميال (mi) لكل كيلوواط ساعة (kWh) تعادل 1/5 كيلوواط ساعة/ميل (أو 200 واط ساعة /ميل ).

تُعدّ المعدلات ذات صلة بالعديد من جوانب الحياة اليومية. على سبيل المثال: ما هي سرعة قيادتك؟ سرعة السيارة (والتي تُقاس عادةً بالأميال في الساعة) تُعتبر معدلاً. ما هي الفائدة التي يدفعها لك حساب التوفير الخاص بك؟ مقدار الفائدة المدفوعة سنويًا يُعتبر معدلاً.

لنفترض الحالة التي يكون فيها البسط${\displaystyle f}$معدل دالة${\displaystyle f(a)}$أين${\displaystyle a}$وهو بالمصادفة مقام المعدل${\displaystyle \delta f/\delta a}$معدل تغير${\displaystyle f}$بالنسبة إلى${\displaystyle a}$(أين${\displaystyle a}$يتم زيادتها بمقدار${\displaystyle h}$يمكن تعريف ) رسميًا بطريقتين: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{متوسط ​​معدل التغير}}&={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\{\mbox{معدل التغير اللحظي}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\end{aligned}}}$

حيث f ( x ) هي الدالة بالنسبة إلى x على الفترة من a إلى a + h . معدل التغير اللحظي مكافئ للمشتقة .

على سبيل المثال، يمكن حساب متوسط ​​سرعة السيارة بقسمة المسافة الإجمالية المقطوعة بين نقطتين على زمن الرحلة. في المقابل، يمكن تحديد السرعة اللحظية من خلال قراءة عداد السرعة .

في الكيمياء والفيزياء:

• السرعة ، أو معدل تغير الموقع ، أو تغير الموقع لكل وحدة زمنية
• التسارع ، هو معدل تغير السرعة، أو تغير السرعة لكل وحدة زمنية
• القدرة ، أو معدل إنجاز الشغل ، أو كمية الطاقة المنقولة لكل وحدة زمنية
• التكرار ، عدد مرات حدوث حدث متكرر في وحدة زمنية واحدة.
  • التردد الزاوي وسرعة الدوران ، وعدد الدورات في وحدة الزمن
• معدل التفاعل ، السرعة التي تحدث بها التفاعلات الكيميائية
• معدل التدفق الحجمي ، وهو حجم السائل الذي يمر عبر سطح معين في وحدة الزمن؛ على سبيل المثال، متر مكعب في الثانية

• سعر الصرف ، أي ما يعادل قيمة عملة ما مقابل عملة أخرى
• معدل التضخم ، هو نسبة التغير في مستوى الأسعار العام خلال عام إلى مستوى الأسعار الابتدائي.
• سعر الفائدة ، وهو السعر الذي يدفعه المقترض مقابل استخدام الأموال التي لا يملكها (نسبة الدفع إلى المبلغ المقترض).
• نسبة السعر إلى الأرباح ، وهي سعر السهم في السوق مقسومًا على الأرباح السنوية للسهم الواحد
• معدل العائد ، وهو نسبة الأموال المكتسبة أو المفقودة من الاستثمار إلى المبلغ المستثمر.
• معدل الضريبة ، وهو مبلغ الضريبة مقسومًا على الدخل الخاضع للضريبة
• معدل البطالة ، نسبة عدد الأشخاص العاطلين عن العمل إلى عدد الأشخاص في القوى العاملة
• معدل الأجر ، وهو المبلغ المدفوع مقابل العمل لفترة زمنية محددة (أو القيام بكمية قياسية من العمل المنجز) (نسبة الأجر إلى الوقت).

• معدل المواليد ، ومعدل الوفيات ، أي عدد المواليد أو الوفيات نسبةً إلى حجم السكان، لكل وحدة زمنية
• معدل الإلمام بالقراءة والكتابة ، نسبة السكان الذين تزيد أعمارهم عن خمسة عشر عامًا والذين يستطيعون القراءة والكتابة
• نسبة الجنس أو نسبة النوع الاجتماعي، نسبة الذكور إلى الإناث في مجتمع ما

• المشتق
• تدرج
• هيرتز
• المنحدر