العمل (فيزياء)

عمل
يقوم لاعب البيسبول بعمل إيجابي على الكرة من خلال تطبيق قوة عليها على طول المسافة التي تتحركها أثناء قبضته.
الرموز الشائعة	و
وحدة النظام الدولي للوحدات	جول (J)
وحدات أخرى	قدم-باوند ، إرج
في وحدات النظام الدولي للوحدات الأساسية	1 كجم ⋅ م 2 ⋅ ثانية −2
المشتقات من كميات أخرى	W = F ⋅ s W = τ θ
البعد	${\displaystyle {\mathsf {M}}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {T}}^{-2}}$

جزء من سلسلة عن
الميكانيكا الكلاسيكية
${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}}$ القانون الثاني للحركة
تاريخ الخط الزمني الكتب المدرسية
الفروع مُطبَّق سماوي استمرارية ديناميكيات نظرية المجال علم الحركة الحركية الإحصائيات الميكانيكا الإحصائية
الأساسيات تسريع الزخم الزاوي زوج مبدأ دالمبيرت طاقة حركي محتمل قوة إطار مرجعي الإطار المرجعي بالقصور الذاتي دفعة القصور الذاتي  / عزم القصور الذاتي كتلة القوة الميكانيكية العمل الميكانيكي لحظة دَفعَة فضاء سرعة وقت عزم الدوران سرعة العمل الافتراضي
تركيبات قوانين نيوتن للحركة الميكانيكا التحليلية ميكانيكا لاغرانج ميكانيكا هاملتونية ميكانيكا روثيان معادلة هاملتون-جاكوبي معادلة آبل للحركة ميكانيكا كوبمان-فون نيومان
المواضيع الأساسية التخميد النزوح معادلات الحركة قوانين أويلر للحركة قوة وهمية احتكاك المذبذب التوافقي إطار مرجعي بالقصور الذاتي  / غير بالقصور الذاتي ميكانيكا حركة الجسيمات المستوية الحركة  ( الخطية ) قانون نيوتن للجاذبية الكونية قوانين نيوتن للحركة السرعة النسبية جسم صلب ديناميكيات معادلات أويلر الحركة التوافقية البسيطة اهتزاز
تناوب الحركة الدائرية إطار مرجعي دوار القوة المركزية قوة الطرد المركزي تفاعلي قوة كوريوليس البندول السرعة المماسية التردد الدوراني التسارع الزاوي  / الإزاحة  / التردد  / السرعة
العلماء كيبلر جاليليو هويجنز نيوتن هوروكس هالي موبيرتويس دانييل برنولي يوهان برنولي أويلر دالمبيرت كليروت لاغرانج لابلاس سمكة هاملتون جاكوبي كوشي روث ليوفيل نداء جيبس كوبمان فون نيومان
بوابة الفيزياء  فئة
ف ت هـ

في العلوم، العمل هو الطاقة المنقولة إلى أو من جسم عن طريق تطبيق القوة على طول الإزاحة . في أبسط صوره، بالنسبة للقوة الثابتة المتوافقة مع اتجاه الحركة، فإن العمل يساوي حاصل ضرب قوة القوة في المسافة المقطوعة. يقال إن القوة تقوم بعمل إيجابي إذا كان لها مكون في اتجاه إزاحة نقطة التطبيق . تقوم القوة بعمل سلبي إذا كان لها مكون معاكس لاتجاه الإزاحة عند نقطة تطبيق القوة. ^[1]

على سبيل المثال، عندما يتم رفع كرة فوق الأرض ثم إسقاطها، يكون العمل الذي تقوم به قوة الجاذبية على الكرة أثناء سقوطها موجبًا، ويساوي وزن الكرة (القوة) مضروبًا في المسافة إلى الأرض (الإزاحة). إذا تم رمي الكرة لأعلى، يكون العمل الذي تقوم به قوة الجاذبية سالبًا، ويساوي الوزن مضروبًا في الإزاحة في الاتجاه لأعلى.

القوة والإزاحة متجهان . يتم تحديد العمل المنجز من خلال حاصل الضرب النقطي للمتجهين، حيث تكون النتيجة قياسية . عندما تكون القوة F ثابتة والزاوية θ بين القوة والإزاحة s ثابتة أيضًا، فإن العمل المنجز يتم تحديده من خلال: W = F s cos ⁡ θ {\displaystyle W=Fs\cos {\theta }}

إذا كانت القوة متغيرة، فإن العمل يُعطى بواسطة التكامل الخطي :

${\displaystyle W=\int {\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}}$

أين هو التغيير الطفيف في متجه الإزاحة؟ ${\displaystyle d{\vec {s}}}$

العمل هو كمية قياسية ، ^[2] لذا فهو له مقدار فقط ولا اتجاه له. ينقل العمل الطاقة من مكان إلى آخر، أو من شكل إلى آخر. وحدة العمل في النظام الدولي للوحدات هي الجول (J)، وهي نفس وحدة الطاقة.

كان فهم اليونانيين القدماء للفيزياء يقتصر على ثبات الآلات البسيطة (توازن القوى)، ولم يتضمن الديناميكيات أو مفهوم العمل. خلال عصر النهضة، بدأ دراسة ديناميكيات القوى الميكانيكية ، كما كانت تسمى الآلات البسيطة ، من وجهة نظر مدى قدرتها على رفع الحمل، بالإضافة إلى القوة التي يمكن أن تطبقها، مما أدى في النهاية إلى مفهوم جديد للعمل الميكانيكي. تم وضع النظرية الديناميكية الكاملة للآلات البسيطة من قبل العالم الإيطالي جاليليو جاليلي في عام 1600 في Le Meccaniche ( في الميكانيكا )، حيث أظهر التشابه الرياضي الأساسي للآلات كمضخمات للقوة. ^{[3] [4]} كان أول من أوضح أن الآلات البسيطة لا تخلق الطاقة، بل تحولها فقط. ^[3]

على الرغم من عدم استخدام العمل رسميًا حتى عام 1826، إلا أن مفاهيم مماثلة كانت موجودة قبل ذلك الوقت. تضمنت الأسماء المبكرة لنفس المفهوم لحظة النشاط، وكمية الفعل، والقوة الحية الكامنة، والتأثير الديناميكي، والكفاءة ، وحتى القوة . ^[5] في عام 1637، كتب الفيلسوف الفرنسي رينيه ديكارت : ^[6]

رفع 100 رطل على قدم واحدة مرتين هو نفسه رفع 200 رطل على قدم واحدة، أو 100 رطل على قدمين.

—  رينيه ديكارت، رسالة إلى هويجنز

في عام 1686، كتب الفيلسوف الألماني جوتفريد لايبنتز : ^[7]

إن القوة نفسها ["العمل" في المصطلحات الحديثة] ضرورية لرفع الجسم أ الذي يزن 1 رطل (الميزان) إلى ارتفاع 4 ياردات (الزند)، كما هو ضروري لرفع الجسم ب الذي يزن 4 أرطال إلى ارتفاع 1 ياردة.

–  جوتفريد لايبنتز، مظاهرة بريفيس

في عام 1759، وصف جون سميتون كمية أطلق عليها "القوة" "للدلالة على بذل القوة أو الجاذبية أو الدفع أو الضغط لإنتاج الحركة". ويتابع سميتون أن هذه الكمية يمكن حسابها إذا "تم ضرب الوزن المرفوع في الارتفاع الذي يمكن رفعه إليه في وقت معين"، مما يجعل هذا التعريف مشابهًا بشكل ملحوظ لتعريف كوريوليس . ^[8]

وفقًا لكتاب الفيزياء لعام 1957 لماكس جامر ، ^[9] تم تقديم مصطلح العمل في عام 1826 من قبل عالم الرياضيات الفرنسي غاسبار جوستاف كوريوليس ^[10] باعتباره "الوزن المرفوع عبر ارتفاع"، والذي يستند إلى استخدام محركات البخار المبكرة لرفع دلاء من الماء من مناجم الخام المغمورة. وفقًا لرينيه دوغاس، المهندس والمؤرخ الفرنسي، فإن سليمان من كوكس "يُدين بمصطلح العمل بالمعنى المستخدم في الميكانيكا الآن". ^[11]

وحدة العمل في النظام الدولي للوحدات هي الجول (J)، والتي سميت على اسم الفيزيائي الإنجليزي جيمس بريسكوت جول (1818-1889)، والتي تُعرف بأنها العمل المطلوب لممارسة قوة مقدارها نيوتن واحد خلال إزاحة مقدارها متر واحد .

يُستخدم نيوتن متر المكافئ الأبعادي (N⋅m) أحيانًا كوحدة قياس للعمل، ولكن يمكن الخلط بينه وبين وحدة قياس عزم الدوران . لا ينصح النظام الدولي للوحدات باستخدام نيوتن متر ، لأنه قد يؤدي إلى ارتباك حول ما إذا كانت الكمية المعبر عنها بنيوتن متر هي قياس عزم الدوران، أو قياس العمل. ^[12]

وحدة أخرى للعمل هي قدم-رطل ، والتي تأتي من نظام القياس الإنجليزي. وكما يوحي اسم الوحدة، فهي حاصل ضرب الرطل لوحدة القوة والقدم لوحدة الإزاحة. الجول الواحد يعادل 0.07376 قدم-رطل. ^[13]

تشمل وحدات قياس العمل غير التابعة للنظام الدولي للوحدات نيوتن متر، وإرج ، وقدم باوند، وقدم باوندال ، وكيلو واط ساعة ، ولتر جو، وحصان ساعة . ونظرًا لأن العمل له نفس البعد الفيزيائي للحرارة ، فإن وحدات القياس المخصصة عادةً لمحتوى الحرارة أو الطاقة، مثل وحدة حرارية بريطانية ووحدة حرارية بريطانية ، تُستخدم أحيانًا كوحدة قياس.

العمل W الذي تقوم به قوة ثابتة مقدارها F على نقطة تتحرك إزاحة s في خط مستقيم في اتجاه القوة هو حاصل ضرب $${\displaystyle W={\vec {F}}\cdot {\vec {s}}}$$

على سبيل المثال، إذا أثرت قوة مقدارها 10 نيوتن ( F = 10 N ) على طول نقطة تتحرك مسافة 2 متر ( s = 2 m )، فإن W = Fs = (10 N) (2 m) = 20 J. وهذا يعادل تقريبًا العمل المبذول لرفع جسم وزنه 1 كجم من مستوى الأرض إلى ما فوق رأس شخص ضد قوة الجاذبية.

يتم مضاعفة العمل إما برفع الوزن مرتين لنفس المسافة أو برفع نفس الوزن مرتين للمسافة.

العمل وثيق الصلة بالطاقة . تشترك الطاقة في نفس وحدة القياس مع العمل (جول) لأن الطاقة من الجسم الذي يقوم بالعمل تنتقل إلى الأجسام الأخرى التي يتفاعل معها عند القيام بالعمل. ^[13] تنص مبدأ العمل والطاقة على أن الزيادة في الطاقة الحركية لجسم صلب ناتجة عن مقدار متساوٍ من العمل الإيجابي الذي يتم على الجسم بواسطة القوة المحصلة المؤثرة على هذا الجسم. وعلى العكس من ذلك، فإن الانخفاض في الطاقة الحركية ناتج عن مقدار متساوٍ من العمل السلبي الذي تقوم به القوة المحصلة. وبالتالي، إذا كان العمل الصافي موجبًا، فإن الطاقة الحركية للجسيم تزداد بمقدار العمل. إذا كان العمل الصافي المنجز سالبًا، فإن الطاقة الحركية للجسيم تقل بمقدار العمل. ^[14]

من قانون نيوتن الثاني ، يمكن إثبات أن العمل على جسم حر (بدون حقول)، صلب (بدون درجات حرية داخلية)، يساوي التغير في الطاقة الحركية E _k المقابلة للسرعة الخطية والسرعة الزاوية لذلك الجسم، يُعرف عمل القوى الناتجة عن دالة محتملة بالطاقة الكامنة ويقال إن القوى محافظة . لذلك، فإن العمل على جسم يتحرك ببساطة في مجال قوة محافظ ، دون تغيير في السرعة أو الدوران، يساوي ناقص التغير في الطاقة الكامنة E _p للجسم، تُظهر هذه الصيغ أن العمل هو الطاقة المرتبطة بعمل القوة، وبالتالي يمتلك العمل الأبعاد الفيزيائية ووحدات الطاقة. مبادئ العمل / الطاقة التي تمت مناقشتها هنا مطابقة لمبادئ العمل / الطاقة الكهربائية. $${\displaystyle W=\Delta E_{\text{k}}.}$$$${\displaystyle W=-\Delta E_{\text{p}}.}$$

تحدد قوى القيد إزاحة الجسم في النظام، وتحده ضمن نطاق معين. على سبيل المثال، في حالة المنحدر بالإضافة إلى الجاذبية، يلتصق الجسم بالمنحدر، وعندما يكون متصلاً بخيط مشدود، لا يمكنه التحرك في اتجاه خارجي لجعل الخيط "مشدودًا" بأي شكل من الأشكال. وهذا يلغي جميع الإزاحات في ذلك الاتجاه، أي أن السرعة في اتجاه القيد تقتصر على 0، بحيث لا تؤدي قوى القيد عملاً على النظام.

بالنسبة للنظام الميكانيكي ، ^[15] تعمل قوى القيد على إزالة الحركة في الاتجاهات التي تميز القيد. وبالتالي فإن العمل الافتراضي الذي تقوم به قوى القيد يساوي صفرًا، وهي النتيجة التي لا تكون صحيحة إلا إذا تم استبعاد قوى الاحتكاك. ^[16]

لا تؤدي قوى القيود الثابتة الخالية من الاحتكاك عملاً على النظام، ^[17] حيث تكون الزاوية بين الحركة وقوى القيود دائمًا 90 درجة . ^[17] ومن أمثلة القيود الخالية من العمل: الترابطات الصلبة بين الجسيمات، والحركة الانزلاقية على سطح خالٍ من الاحتكاك، والاتصال المتدحرج دون انزلاق. ^[18]

على سبيل المثال، في نظام البكرات مثل آلة أتوود ، لا تبذل القوى الداخلية على الحبل والبكرة الداعمة أي عمل على النظام. لذلك، لا يلزم حساب العمل إلا لقوى الجاذبية المؤثرة على الأجسام. مثال آخر هو القوة المركزية التي يمارسها خيط إلى الداخل على كرة في حركة دائرية منتظمة جانبية تقيد الكرة بالحركة الدائرية وتحد من حركتها بعيدًا عن مركز الدائرة. هذه القوة لا تبذل أي عمل لأنها عمودية على سرعة الكرة.

القوة المغناطيسية المؤثرة على جسيم مشحون هي F = q v × B ، حيث q هي الشحنة، وv هي سرعة الجسيم، و B هو المجال المغناطيسي . تكون نتيجة الضرب الاتجاهي دائمًا عمودية على كلا المتجهين الأصليين، لذا F ⊥ v . يكون حاصل الضرب النقطي لمتجهين عموديين دائمًا صفرًا، لذا فإن الشغل W = F ⋅ v = 0 ، والقوة المغناطيسية لا تبذل عملاً. يمكنها تغيير اتجاه الحركة ولكنها لا تغير السرعة أبدًا.

بالنسبة للأجسام المتحركة، يتم تكامل كمية العمل/الزمن (القوة) على طول مسار نقطة تطبيق القوة. وبالتالي، في أي لحظة، يكون معدل العمل الذي تقوم به القوة (يقاس بالجول/الثانية، أو الواط ) هو حاصل الضرب القياسي للقوة (متجه)، ومتجه السرعة لنقطة التطبيق. يُعرف هذا الحاصل القياسي للقوة والسرعة باسم القوة اللحظية . تمامًا كما يمكن تكامل السرعات بمرور الوقت للحصول على مسافة إجمالية، وفقًا للنظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل ، فإن العمل الإجمالي على طول المسار هو أيضًا تكامل زمني للقوة اللحظية المطبقة على طول مسار نقطة التطبيق. ^[19]

العمل هو نتيجة قوة على نقطة تتبع منحنى X ، بسرعة v ، في كل لحظة. يتم حساب مقدار العمل الصغير δW الذي يحدث خلال لحظة زمنية dt على النحو التالي حيث F ⋅ v هي القوة على اللحظة dt . مجموع هذه الكميات الصغيرة من العمل على مسار النقطة يعطي العمل، حيث C هو المسار من x ( t ₁ ) إلى x ( t ₂ ). يتم حساب هذا التكامل على طول مسار الجسيم، وبالتالي يقال إنه يعتمد على المسار . $${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt}$$$${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} \,dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot {\tfrac {d\mathbf {s} }{dt}}\,dt=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} ,}$$

إذا كانت القوة موجهة دائمًا على طول هذا الخط، وكان مقدار القوة F ، فإن هذا التكامل يبسط إلى حيث s هو الإزاحة على طول الخط. إذا كانت F ثابتة، بالإضافة إلى كونها موجهة على طول الخط، فإن التكامل يبسط أيضًا إلى حيث s هو إزاحة النقطة على طول الخط. $${\displaystyle W=\int _{C}F\,ds}$$$${\displaystyle W=\int _{C}F\,ds=F\int _{C}ds=Fs}$$

يمكن تعميم هذا الحساب لقوة ثابتة غير موجهة على طول الخط، يتبعها الجسيم. في هذه الحالة، يكون حاصل الضرب النقطي F ⋅ d s = F cos θ ds ، حيث θ هي الزاوية بين متجه القوة واتجاه الحركة، ^[19] أي $${\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} =Fs\cos \theta .}$$

عندما تكون مركبة القوة عمودية على إزاحة الجسم (مثل عندما يتحرك الجسم في مسار دائري تحت قوة مركزية )، لا يتم بذل أي عمل، لأن جيب تمام 90 درجة يساوي صفرًا. ^[14] وبالتالي، لا يمكن القيام بأي عمل بواسطة الجاذبية على كوكب ذي مدار دائري (هذا مثالي، حيث أن جميع المدارات بيضاوية قليلاً). أيضًا، لا يتم بذل أي عمل على جسم يتحرك دائريًا بسرعة ثابتة أثناء تقييده بقوة ميكانيكية، مثل التحرك بسرعة ثابتة في جهاز طرد مركزي مثالي بدون احتكاك.

إن حساب العمل على أنه "ضرب القوة في مقطع المسار المستقيم" لا ينطبق إلا في أبسط الظروف، كما هو مذكور أعلاه. إذا كانت القوة تتغير، أو إذا كان الجسم يتحرك على طول مسار منحني، وربما يدور وليس بالضرورة صلبًا، فإن مسار نقطة تطبيق القوة فقط هو ذي الصلة بالعمل المنجز، ومكون القوة الموازي لسرعة نقطة التطبيق فقط هو الذي يقوم بالعمل (عمل موجب عندما يكون في نفس الاتجاه، وسالب عندما يكون في الاتجاه المعاكس للسرعة). يمكن وصف مكون القوة هذا بالكمية القياسية المسماة بالمكون المماسي القياسي ( F cos( θ ) ، حيث θ هي الزاوية بين القوة والسرعة). ومن ثم يمكن صياغة التعريف الأكثر عمومية للعمل على النحو التالي:

وبالتالي، يمكن التعبير عن العمل المبذول لقوة متغيرة باعتباره تكاملاً محددًا للقوة على الإزاحة. ^[20]

إذا تم إعطاء الإزاحة كمتغير للزمن بواسطة ∆ x (t) ، فإن العمل الذي تقوم به القوة المتغيرة من t ₁ إلى t ₂ هو:

$${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} (t)\cdot \mathbf {v} (t)dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}P(t)dt.}$$

وبالتالي، يمكن التعبير عن العمل المبذول لقوة متغيرة باعتباره تكاملاً محددًا للقدرة على الزمن.

ينتج زوج القوة عن قوى متساوية ومعاكسة تؤثر على نقطتين مختلفتين من الجسم الصلب. قد يلغي مجموع (المحصلة) هاتين القوتين بعضهما البعض، لكن تأثيرهما على الجسم هو الزوج أو عزم الدوران T. يتم حساب عمل عزم الدوران على النحو التالي حيث T ⋅ ω هي القدرة على اللحظة dt . مجموع هذه الكميات الصغيرة من العمل على مسار الجسم الصلب يعطي العمل، يتم حساب هذا التكامل على طول مسار الجسم الصلب بسرعة زاوية ω تتغير مع الوقت، وبالتالي يقال إنه يعتمد على المسار . $${\displaystyle \delta W=\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\,dt,}$$$${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\,dt.}$$

إذا حافظ متجه السرعة الزاوية على اتجاه ثابت، فإنه يأخذ الشكل، حيث هي زاوية الدوران حول متجه الوحدة الثابت S. في هذه الحالة، يصبح عمل عزم الدوران، حيث C هو المسار من إلى . يعتمد هذا التكامل على مسار الدوران ، وبالتالي فهو يعتمد على المسار. $${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\dot {\phi }}\mathbf {S} ,}$$${\displaystyle \phi }$$${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\,dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {T} \cdot \mathbf {S} {\frac {d\phi }{dt}}dt=\int _{C}\mathbf {T} \cdot \mathbf {S} \,d\phi ,}$$${\displaystyle \phi (t_{1})}$${\displaystyle \phi (t_{2})}$${\displaystyle \phi (t)}$

إذا تم محاذاة عزم الدوران مع متجه السرعة الزاوية بحيث، T = τ S، {\displaystyle \mathbf {T} =\tau \mathbf {S}،} وكان كل من عزم الدوران والسرعة الزاوية ثابتين، فإن العمل يأخذ الشكل، ^[2]${\displaystyle \tau }$ $${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\tau {\dot {\phi }}\,dt=\tau (\phi _{2}-\phi _{1}).}$$

يمكن فهم هذه النتيجة بشكل أكثر بساطة من خلال اعتبار عزم الدوران ناشئًا عن قوة ذات مقدار ثابت F ، يتم تطبيقها عموديًا على ذراع الرافعة على مسافة ، كما هو موضح في الشكل. ستعمل هذه القوة عبر المسافة على طول القوس الدائري ، وبالتالي فإن العمل المنجز هو أدخل عزم الدوران τ = Fr ، للحصول على ما هو موضح أعلاه. ${\displaystyle r}$${\displaystyle l=s=r\phi }$$${\displaystyle W=Fs=Fr\phi .}$$$${\displaystyle W=Fr\phi =\tau \phi ,}$$

لاحظ أن فقط مكون عزم الدوران في اتجاه متجه السرعة الزاوية يساهم في العمل.

إن حاصل الضرب القياسي للقوة F وسرعة v لنقطة تطبيقها يحدد القدرة المدخلة للنظام في لحظة زمنية. إن تكامل هذه القدرة على مسار نقطة التطبيق، C = x ( t ) ، يحدد العمل المدخل للنظام بواسطة القوة.

لذلك، فإن العمل الذي تقوم به القوة F على جسم يتحرك على طول منحنى C يعطى بواسطة التكامل الخطي : حيث يحدد dx ( t ) المسار C و v هي السرعة على طول هذا المسار. بشكل عام، يتطلب هذا التكامل أن يكون المسار الذي يتم على طوله تحديد السرعة، لذلك يقال إن تقييم العمل يعتمد على المسار. $${\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt,}$$

المشتق الزمني للتكامل للعمل يعطي القدرة اللحظية، $${\displaystyle {\frac {dW}{dt}}=P(t)=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} .}$$

إذا كان العمل لقوة مطبقة مستقلاً عن المسار، فإن العمل الذي تقوم به القوة، وفقًا لنظرية التدرج ، يحدد دالة محتملة يتم تقييمها في بداية ونهاية مسار نقطة التطبيق. وهذا يعني أن هناك دالة محتملة U ( x ) ، والتي يمكن تقييمها عند النقطتين x ( t ₁ ) و x ( t ₂ ) للحصول على العمل على أي مسار بين هاتين النقطتين. ومن المعتاد تعريف هذه الدالة بإشارة سالبة بحيث يكون العمل الموجب عبارة عن تقليل للإمكانات، أي $${\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\int _{\mathbf {x} (t_{1})}^{\mathbf {x} (t_{2})}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =U(\mathbf {x} (t_{1}))-U(\mathbf {x} (t_{2})).}$$

تسمى الدالة U ( x ) بالطاقة الكامنة المرتبطة بالقوة المطبقة. ويقال إن القوة المشتقة من هذه الدالة الكامنة هي قوة محافظة . ومن أمثلة القوى التي لها طاقات كامنة قوى الجاذبية وقوى الزنبرك.

في هذه الحالة، يعطي منحدر العمل ∇ W = − ∇ U = − ( ∂ U ∂ x , ∂ U ∂ y , ∂ U ∂ z ) = F , {\displaystyle \nabla W=-\nabla U=-\left({\frac {\partial U}{\partial x}},{\frac {\partial U}{\partial y}},{\frac {\partial U}{\partial z}}\right)=\mathbf {F} ,} ويقال إن القوة F "يمكن اشتقاقها من جهد محتمل". ^[21]

نظرًا لأن الجهد المحتمل U يحدد قوة F عند كل نقطة x في الفضاء، فإن مجموعة القوى تسمى مجال القوة . يتم الحصول على القدرة المطبقة على الجسم بواسطة مجال القوة من تدرج العمل، أو الجهد المحتمل، في اتجاه سرعة الجسم V ، أي P ( t ) = − ∇ U ⋅ v = F ⋅ v . {\displaystyle P(t)=-\nabla U\cdot \mathbf {v} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} .}

في غياب القوى الأخرى، تؤدي الجاذبية إلى تسارع ثابت للأسفل لكل جسم يتحرك بحرية. بالقرب من سطح الأرض، يكون تسارع الجاذبية g = 9.8 م⋅ث ^-2 وقوة الجاذبية على جسم كتلته م هي F _g = mg . ومن المناسب أن نتخيل قوة الجاذبية هذه مركزة في مركز كتلة الجسم.

إذا تحرك جسم وزنه mg لأعلى أو لأسفل مسافة رأسية y ₂ − y ₁ ، فإن العمل W المبذول على الجسم هو: حيث F _g هو الوزن (الرطل بالوحدات الإمبراطورية، والنيوتن بوحدات النظام الدولي للوحدات)، وΔ y هو التغير في الارتفاع y . لاحظ أن العمل الذي تقوم به الجاذبية يعتمد فقط على الحركة الرأسية للجسم. لا يؤثر وجود الاحتكاك على العمل المبذول على الجسم بواسطة وزنه. $${\displaystyle W=F_{g}(y_{2}-y_{1})=F_{g}\Delta y=mg\Delta y}$$

قوة الجاذبية التي تمارسها كتلة M على كتلة أخرى m تعطى بالعلاقة حيث r هو متجه الموضع من M إلى m و r̂ هو متجه الوحدة في اتجاه r . $${\displaystyle \mathbf {F} =-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}=-{\frac {GMm}{r^{3}}}\mathbf {r} ,}$$

دع الكتلة m تتحرك بسرعة v ؛ ثم يكون عمل الجاذبية على هذه الكتلة أثناء انتقالها من الموضع r ( t ₁ ) إلى r ( t ₂ ) معطى بواسطة لاحظ أن موضع وسرعة الكتلة m معطاة بواسطة حيث e _r و e _t هما متجها الوحدة الشعاعية والظاهرية الموجهان بالنسبة للمتجه من M إلى m ، ونستخدم حقيقة أن استخدم هذا لتبسيط صيغة عمل الجاذبية إلى ، يستخدم هذا الحساب حقيقة أن الدالة هي دالة الجهد الثقالي ، والمعروفة أيضًا باسم طاقة الوضع الثقالي . تتبع الإشارة السالبة الاتفاقية القائلة بأن العمل يُكتسب من فقدان طاقة الوضع. $${\displaystyle W=-\int _{\mathbf {r} (t_{1})}^{\mathbf {r} (t_{2})}{\frac {GMm}{r^{3}}}\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} =-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GMm}{r^{3}}}\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \,dt.}$$$${\displaystyle \mathbf {r} =r\mathbf {e} _{r},\qquad \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {r}}\mathbf {e} _{r}+r{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{t},}$$${\displaystyle d\mathbf {e} _{r}/dt={\dot {\theta }}\mathbf {e} _{t}.}$$${\displaystyle W=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GmM}{r^{3}}}(r\mathbf {e} _{r})\cdot \left({\dot {r}}\mathbf {e} _{r}+r{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{t}\right)dt=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GmM}{r^{3}}}r{\dot {r}}dt={\frac {GMm}{r(t_{2})}}-{\frac {GMm}{r(t_{1})}}.}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}r^{-1}=-r^{-2}{\dot {r}}=-{\frac {\dot {r}}{r^{2}}}.}$$$${\displaystyle U=-{\frac {GMm}{r}},}$$

لنفترض وجود زنبرك يمارس قوة أفقية F = (− kx , 0, 0) تتناسب مع انحرافه في اتجاه x بغض النظر عن كيفية حركة الجسم. يتم حساب عمل هذا الزنبرك على جسم يتحرك على طول الفضاء مع المنحنى X ( t ) = ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) باستخدام سرعته v = ( v _x , v _y , v _z ) للحصول على للراحة، لنفترض أن ملامسة الزنبرك تحدث عند t = 0 ، فإن تكامل حاصل ضرب المسافة x وسرعة x، xv _x dt ، على الزمن t هو ⁠$${\displaystyle W=\int _{0}^{t}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=-\int _{0}^{t}kxv_{x}dt=-{\frac {1}{2}}kx^{2}.}$$1/2⁠ x ² . العمل هو حاصل ضرب المسافة في قوة الزنبرك، والتي تعتمد أيضًا على المسافة؛ ومن هنا جاءت النتيجة x ² .

العمل الذي يقوم به جسم من الغاز على محيطه هو: حيث P هو الضغط، V هو الحجم، و a و b هما الحجم الأولي والنهائي. ${\displaystyle W}$$${\displaystyle W=\int _{a}^{b}P\,dV}$$

ينص مبدأ العمل والطاقة الحركية (المعروف أيضًا باسم مبدأ العمل والطاقة ) على أن العمل الذي تقوم به جميع القوى المؤثرة على جسيم (عمل القوة المحصلة) يساوي التغير في الطاقة الحركية للجسيم. ^[22] أي أن العمل W الذي تقوم به القوة المحصلة على جسيم يساوي التغير في الطاقة الحركية للجسيم ، ^[2] حيث و هي سرعات الجسيم قبل وبعد إنجاز العمل، و m هي كتلته . ${\displaystyle E_{\text{k}}}$ $${\displaystyle W=\Delta E_{\text{k}}={\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}}$$${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle v_{2}}$

يبدأ اشتقاق مبدأ العمل والطاقة بقانون نيوتن الثاني للحركة والقوة المحصلة على الجسيم. يقيم حساب حاصل الضرب القياسي للقوة بسرعة الجسيم القدرة اللحظية المضافة إلى النظام. ^[23] (تحدد القيود اتجاه حركة الجسيم من خلال التأكد من عدم وجود مركبة للسرعة في اتجاه قوة القيد. وهذا يعني أيضًا أن قوى القيد لا تضاف إلى القدرة اللحظية.) ينتج التكامل الزمني لهذه المعادلة القياسية عملاً من القدرة اللحظية، والطاقة الحركية من حاصل الضرب القياسي للتسارع بالسرعة. إن حقيقة أن مبدأ العمل والطاقة يزيل قوى القيد تكمن وراء ميكانيكا لاغرانج . ^[24]

يركز هذا القسم على مبدأ العمل والطاقة كما ينطبق على ديناميكيات الجسيمات. في الأنظمة الأكثر عمومية، يمكن للعمل أن يغير الطاقة الكامنة لجهاز ميكانيكي، أو الطاقة الحرارية في نظام حراري، أو الطاقة الكهربائية في جهاز كهربائي. ينقل العمل الطاقة من مكان إلى آخر أو من شكل إلى آخر.

في حالة أن القوة المحصلة F ثابتة في كل من المقدار والاتجاه، ومتوازية مع سرعة الجسيم، يتحرك الجسيم بتسارع ثابت a على طول خط مستقيم. ^[25] تُعطى العلاقة بين القوة الصافية والتسارع بالمعادلة F = ma ( قانون نيوتن الثاني )، ويمكن التعبير عن إزاحة الجسيم s بالمعادلة التي تلي (انظر معادلات الحركة ). $${\displaystyle s={\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2a}}}$$${\displaystyle v_{2}^{2}=v_{1}^{2}+2as}$

يتم حساب عمل القوة الصافية على أنه حاصل ضرب مقدارها في إزاحة الجسيم. وباستبدال المعادلات أعلاه، نحصل على: $${\displaystyle W=Fs=mas=ma{\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2a}}={\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}=\Delta E_{\text{k}}}$$

اشتقاق آخر: $${\displaystyle W=Fs=mas=m{\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2s}}s={\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}=\Delta E_{\text{k}}}$$

في الحالة العامة للحركة المستقيمة، عندما لا تكون القوة الصافية F ثابتة في المقدار، ولكنها ثابتة في الاتجاه، ومتوازية مع سرعة الجسيم، يجب أن يتكامل العمل على طول مسار الجسيم: $${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F\,v\,dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}ma\,v\,dt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}v\,{\frac {dv}{dt}}\,dt=m\int _{v_{1}}^{v_{2}}v\,dv={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}\right).}$$

بالنسبة لأي قوة صافية تؤثر على جسيم يتحرك على طول أي مسار منحني، يمكن إثبات أن عملها يساوي التغير في الطاقة الحركية للجسيم من خلال استنباط بسيط مماثل للمعادلة أعلاه. يُعرف هذا باسم مبدأ العمل والطاقة : $${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} dt={\frac {m}{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {dv^{2}}{dt}}\,dt={\frac {m}{2}}\int _{v_{1}^{2}}^{v_{2}^{2}}dv^{2}={\frac {mv_{2}^{2}}{2}}-{\frac {mv_{1}^{2}}{2}}=\Delta E_{\text{k}}}$$

تتطلب الهوية بعض الجبر. ومن الهوية والتعريف يتبع ذلك ${\textstyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}{\frac {dv^{2}}{dt}}}$${\textstyle v^{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }$${\textstyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}}$$${\displaystyle {\frac {dv^{2}}{dt}}={\frac {d(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )}{dt}}={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=2{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot \mathbf {v} =2\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} .}$$

والجزء المتبقي من الاشتقاق أعلاه هو مجرد حساب بسيط، كما هو الحال في الحالة المستقيمة السابقة.

في ديناميكيات الجسيمات، يتم الحصول على صيغة تساوي العمل المطبق على نظام ما بتغيره في الطاقة الحركية كتكامل أول لقانون نيوتن الثاني للحركة . من المفيد ملاحظة أن القوة المحصلة المستخدمة في قوانين نيوتن يمكن فصلها إلى قوى تُطبق على الجسيم وقوى مفروضة بواسطة قيود على حركة الجسيم. ومن الجدير بالملاحظة أن عمل القوة المقيدة يساوي صفرًا، وبالتالي فإن عمل القوى المطبقة فقط هو الذي يجب اعتباره في مبدأ العمل والطاقة.

ولرؤية ذلك، ضع في اعتبارك جسيمًا P يتبع المسار X ( t ) بقوة F تؤثر عليه. اعزل الجسيم عن بيئته لكشف قوى القيد R ، ثم يأخذ قانون نيوتن الشكل حيث m هي كتلة الجسيم. $${\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {R} =m{\ddot {\mathbf {X} }},}$$

لاحظ أن النقاط n الموجودة فوق المتجه تشير إلى مشتقته الزمنية n . ينتج حاصل الضرب القياسي لكل جانب من قانون نيوتن مع متجه السرعة لأن قوى القيد عمودية على سرعة الجسيم. قم بتكامل هذه المعادلة على طول مسارها من النقطة X ( t ₁ ) إلى النقطة X ( t ₂ ) للحصول على $${\displaystyle \mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {X} }}=m{\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }},}$$$${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt.}$$

الجانب الأيسر من هذه المعادلة هو عمل القوة المطبقة أثناء عملها على الجسيم على طول المسار من الزمن t ₁ إلى الزمن t _2. ويمكن أيضًا كتابة ذلك على النحو التالي: يتم حساب هذا التكامل على طول مسار X ( t ) للجسيم وبالتالي فهو يعتمد على المسار. $${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt=\int _{\mathbf {X} (t_{1})}^{\mathbf {X} (t_{2})}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} .}$$

يمكن تبسيط الجانب الأيمن من التكامل الأول لمعادلات نيوتن باستخدام المتطابقة التالية (انظر قاعدة الضرب للاستنتاج). الآن يتم تكامله صراحة للحصول على التغير في الطاقة الحركية، حيث يتم تعريف الطاقة الحركية للجسيم بواسطة الكمية القياسية، $${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}({\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }})={\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }},}$$$${\displaystyle \Delta K=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt={\frac {m}{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {d}{dt}}({\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }})dt={\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}(t_{2})-{\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}(t_{1})={\frac {1}{2}}m\Delta \mathbf {v} ^{2},}$$$${\displaystyle K={\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}={\frac {1}{2}}m{\mathbf {v} ^{2}}}$$

من المفيد تحليل متجهات السرعة والتسارع إلى مكونات مماسية وعمودية على طول المسار X ( t ) ، بحيث حيث عندئذٍ، يأخذ حاصل الضرب القياسي للسرعة مع التسارع في قانون نيوتن الثاني الشكل حيث يتم تعريف الطاقة الحركية للجسيم بواسطة الكمية القياسية، $${\displaystyle {\dot {\mathbf {X} }}=v\mathbf {T} \quad {\text{and}}\quad {\ddot {\mathbf {X} }}={\dot {v}}\mathbf {T} +v^{2}\kappa \mathbf {N} ,}$$$${\displaystyle v=|{\dot {\mathbf {X} }}|={\sqrt {{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}}}.}$$$${\displaystyle \Delta K=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\dot {v}}v\,dt={\frac {m}{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {d}{dt}}v^{2}\,dt={\frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}v^{2}(t_{1}),}$$$${\displaystyle K={\frac {m}{2}}v^{2}={\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}.}$$

النتيجة هي مبدأ العمل-الطاقة لديناميكيات الجسيمات، ويمكن تعميم هذا الاشتقاق على أنظمة الجسم الصلبة التعسفية. $${\displaystyle W=\Delta K.}$$

لنفترض أن مركبة تتحرك على طول مسار أفقي مستقيم تحت تأثير قوة دافعة وجاذبية مجموعهما يساوي F. تحدد قوى القيد بين المركبة والطريق R ، ولدينا من أجل التيسير، دع المسار يكون على طول المحور X، لذا فإن X = ( d ، 0) والسرعة هي V = ( v ، 0) ، ثم R ⋅ V = 0 ، و F ⋅ V = F _x v ، حيث F _x هي مركبة F على طول المحور X، لذا فإن تكامل كلا الجانبين يعطي إذا كانت F _x ثابتة على طول المسار، فإن تكامل السرعة يساوي المسافة، لذا $${\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {R} =m{\ddot {\mathbf {X} }}.}$$$${\displaystyle F_{x}v=m{\dot {v}}v.}$$$${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}F_{x}vdt={\frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}v^{2}(t_{1}).}$$$${\displaystyle F_{x}(d(t_{2})-d(t_{1}))={\frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}v^{2}(t_{1}).}$$

على سبيل المثال، لنفترض أن سيارة تنزلق حتى تتوقف، حيث k هو معامل الاحتكاك و W هو وزن السيارة. عندئذٍ تكون القوة على طول المسار F _x = − kW . ويمكن تحديد سرعة السيارة v من طول s للانزلاق باستخدام مبدأ العمل والطاقة، وتستخدم هذه الصيغة حقيقة أن كتلة السيارة هي m = W / g . $${\displaystyle kWs={\frac {W}{2g}}v^{2},\quad {\text{or}}\quad v={\sqrt {2ksg}}.}$$

لنفترض أن مركبة تبدأ من وضع السكون وتتحرك بسرعة منخفضة على سطح مائل (مثل طريق جبلي)، فإن مبدأ العمل والطاقة يساعد في حساب الحد الأدنى للمسافة التي تقطعها المركبة للوصول إلى سرعة V ، أي 60 ميلاً في الساعة (88 إطارًا في الثانية). ستؤدي مقاومة التدحرج وسحب الهواء إلى إبطاء المركبة، وبالتالي ستكون المسافة الفعلية أكبر مما لو أهملت هذه القوى.

ليكن مسار المركبة التي تتبع الطريق هو X ( t ) وهو منحنى في فضاء ثلاثي الأبعاد. القوة المؤثرة على المركبة التي تدفعها على الطريق هي قوة الجاذبية الثابتة F = ( 0, 0, W ) ، بينما قوة الطريق المؤثرة على المركبة هي قوة القيد R . يعطي قانون نيوتن الثاني، حاصل الضرب القياسي لهذه المعادلة مع السرعة، V = ( v _x , v _y , v _z ) ، يعطي حيث V هو مقدار V . تلغي قوى القيد بين المركبة والطريق من هذه المعادلة لأن R ⋅ V = 0 ، مما يعني أنها لا تبذل أي عمل. قم بتكامل كلا الجانبين للحصول على قوة الوزن W ثابتة على طول المسار وتكامل السرعة الرأسية هو المسافة الرأسية، لذلك، تذكر أن V ( t ₁ ) = 0. لاحظ أن هذه النتيجة لا تعتمد على شكل الطريق الذي تتبعه المركبة. $${\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {R} =m{\ddot {\mathbf {X} }}.}$$$${\displaystyle Wv_{z}=m{\dot {V}}V,}$$$${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}Wv_{z}dt={\frac {m}{2}}V^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}V^{2}(t_{1}).}$$$${\displaystyle W\Delta z={\frac {m}{2}}V^{2}.}$$

لتحديد المسافة على طول الطريق، افترض أن المنحدر هو 6%، وهو طريق شديد الانحدار. وهذا يعني أن الارتفاع ينخفض ​​بمقدار 6 أقدام لكل 100 قدم يتم قطعها - بالنسبة للزوايا الصغيرة هذه، تكون دالتا الجيب والظل متساويتين تقريبًا. وبالتالي، فإن المسافة s بالأقدام على منحدر بنسبة 6% للوصول إلى السرعة V هي على الأقل تستخدم هذه الصيغة حقيقة أن وزن السيارة هو W = mg . $${\displaystyle s={\frac {\Delta z}{0.06}}=8.3{\frac {V^{2}}{g}},\quad {\text{or}}\quad s=8.3{\frac {88^{2}}{32.2}}\approx 2000\mathrm {ft} .}$$

يمكن حساب عمل القوى المؤثرة عند نقاط مختلفة على جسم صلب واحد من عمل القوة المحصلة وعزم الدوران . ولرؤية ذلك، دع القوى F ₁ و F ₂ و... و F _n تؤثر على النقاط X ₁ و X ₂ و... و X _n في جسم صلب.

المسارات X _i , i = 1, ..., n محددة بحركة الجسم الصلب. هذه الحركة محددة بمجموعة الدورات [ A ( t )] ومسار d ( t ) لنقطة مرجعية في الجسم. دع إحداثيات x _i i = 1, ..., n تحدد هذه النقاط في الإطار المرجعي للجسم الصلب المتحرك M ، بحيث تكون المسارات المتتبعة في الإطار الثابت F محددة بواسطة $${\displaystyle \mathbf {X} _{i}(t)=[A(t)]\mathbf {x} _{i}+\mathbf {d} (t)\quad i=1,\ldots ,n.}$$

سرعة النقاط X _i على طول مساراتها هي حيث ω هو متجه السرعة الزاوية الذي تم الحصول عليه من مصفوفة متماثلة مائلة تعرف باسم مصفوفة السرعة الزاوية. $${\displaystyle \mathbf {V} _{i}={\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} )+{\dot {\mathbf {d} }},}$$$${\displaystyle [\Omega ]={\dot {A}}A^{\mathsf {T}},}$$

يمكن تحديد مقدار العمل الصغير الذي تبذله القوى على الإزاحات الصغيرة δ r _i عن طريق تقريب الإزاحة بواسطة δ r = v δt so أو $${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \mathbf {V} _{1}\delta t+\mathbf {F} _{2}\cdot \mathbf {V} _{2}\delta t+\ldots +\mathbf {F} _{n}\cdot \mathbf {V} _{n}\delta t}$$$${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} )+{\dot {\mathbf {d} }})\delta t.}$$

يمكن إعادة كتابة هذه الصيغة للحصول على حيث F و T هما القوة المحصلة وعزم الدوران المطبقين على نقطة المرجع d للإطار المتحرك M في الجسم الصلب. $${\displaystyle \delta W=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\dot {\mathbf {d} }}\delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} \right)\times \mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\boldsymbol {\omega }}\delta t=\left(\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {d} }}+\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\delta t,}$$

• سيرواي، رايموند أ.؛ جيويت، جون دبليو. (2004). الفيزياء للعلماء والمهندسين (الطبعة السادسة). بروكس/كول. رقم ISBN 0-534-40842-7.
• تيبلر، بول (1991). الفيزياء للعلماء والمهندسين: الميكانيكا (الطبعة الثالثة، النسخة الموسعة). دبليو إتش فريمان. رقم ISBN 0-87901-432-6.

• مبدأ العمل والطاقة