البنية الحقيقية

في الرياضيات ، تُعدّ البنية الحقيقية على فضاء متجهي عقدي طريقةً لتحليل هذا الفضاء إلى مجموع مباشر لفضاءين متجهيين حقيقيين . ويُعتبر حقل الأعداد العقدية نفسه النموذج الأولي لهذه البنية، إذ يُنظر إليه كفضاء متجهي عقدي على نفسه مع خريطة المرافق.${\displaystyle \sigma$ :{\mathbb {C} }\to {\mathbb {C} }\,} , مع${\displaystyle \sigma (z)={\bar {z}}}$، مما يعطي البنية الحقيقية "الأساسية" على${\displaystyle {\mathbb {C} }\,}$، إنه${\displaystyle {\mathbb {C} }={\mathbb {R} }\oplus i{\mathbb {R} }\,}$.

خريطة الترافق غير خطية :${\displaystyle \sigma (\lambda z)={\bar {\lambda }}\sigma (z)\,}$و${\displaystyle \sigma (z_{1}+z_{2})=\sigma (z_{1})+\sigma (z_{2})\,}$.

البنية الحقيقية على فضاء متجهي معقد V هي عملية انعكاسية مضادة للخطية${\displaystyle \sigma :V\to V}$. يُعرّف الهيكل الحقيقي فضاءً جزئياً حقيقياً${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\subset V}$وموقعها الثابت، والخريطة الطبيعية

${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }{\mathbb {C} }\to V}$

هو تماثل. وعلى العكس من ذلك، فإن أي فضاء متجهي يمثل تعقيدًا لفضاء متجهي حقيقي له بنية حقيقية طبيعية.

يُلاحظ أولاً أن لكل فضاء معقد V تمثيلاً يتم الحصول عليه بأخذ نفس المتجهات الموجودة في المجموعة الأصلية وتقييد القيم العددية لتكون حقيقية.${\displaystyle t\in V\,}$و${\displaystyle t\neq 0}$ثم المتجهات${\displaystyle t\,}$و${\displaystyle it\,}$مستقلة خطيًا في تحقيق V. ومن ثم:

${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }V=2\dim _{\mathbb {C} }V}$

بطبيعة الحال، قد يرغب المرء في تمثيل V كمجموع مباشر لفضاءين متجهيين حقيقيين، هما "الجزء الحقيقي والجزء التخيلي من V ". لا توجد طريقة قياسية للقيام بذلك: فهذا التقسيم يُعد بنية حقيقية إضافية في V. ويمكن تقديمه على النحو التالي. ^{[ 1 ]} ليكن${\displaystyle \sigma :V\to V\,}$لتكن دالة مضادة للخطية بحيث${\displaystyle \sigma \circ \sigma =id_{V}\,}$، أي انعكاس مضاد للخطية للفضاء المركب V. أي متجه${\displaystyle v\in V\,}$يمكن كتابتها${\displaystyle {v=v^{+}+v^{-}}\,}$، أين${\displaystyle v^{+}={1 \over {2}}(v+\sigma v)}$و${\displaystyle v^{-}={1 \over {2}}(v-\sigma v)\,}$.

وبالتالي، نحصل على مجموع مباشر للفضاءات المتجهة${\displaystyle V=V^{+}\oplus V^{-}\,}$أين:

${\displaystyle V^{+}=\{v\in V|\sigma v=v\}}$و${\displaystyle V^{-}=\{v\in V|\sigma v=-v\}\,}$.

كلا المجموعتين${\displaystyle V^{+}\,}$و${\displaystyle V^{-}\,}$هي فضاءات متجهة حقيقية . التطبيق الخطي${\displaystyle K:V^{+}\to V^{-}\,}$، أين${\displaystyle K(t)=it\,}$، هو تماثل بين فضاءات متجهة حقيقية، ومن ثم:

${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }V^{+}=\dim _{\mathbb {R} }V^{-}=\dim _{\mathbb {C} }V\,}$.

العامل الأول${\displaystyle V^{+}\,}$ويُشار إليه أيضًا بـ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\,}$ويبقى ثابتًا بواسطة${\displaystyle \sigma \,}$، إنه${\displaystyle \sigma (V_{\mathbb {R} })\subset V_{\mathbb {R} }\,}$العامل الثاني${\displaystyle V^{-}\,}$يُشار إليه عادةً بـ${\displaystyle iV_{\mathbb {R} }\,}$المجموع المباشر${\displaystyle V=V^{+}\oplus V^{-}\,}$يُقرأ الآن على النحو التالي:

${\displaystyle V=V_{\mathbb {R} }\oplus iV_{\mathbb {R} }\,}$،

أي كمجموع مباشر لـ "الحقيقي"${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\,}$و"خيالي"${\displaystyle iV_{\mathbb {R} }\,}$أجزاء من V. يعتمد هذا البناء بشدة على اختيار الانعكاس المضاد للخطية للفضاء المتجهي المركب V. تعقيد الفضاء المتجهي الحقيقي${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\,}$، أي، ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }=V_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \,}$تقبل بنية حقيقية طبيعية ، وبالتالي فهي متماثلة قانونيًا مع المجموع المباشر لنسختين من${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\,}$:

${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =V_{\mathbb {R} }\oplus iV_{\mathbb {R} }\,}$.

وهو يتبع تماثلًا خطيًا طبيعيًا${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \to V\,}$بين فضاءات متجهة معقدة ذات بنية حقيقية معينة.

بنية حقيقية على فضاء متجهي معقد V ، أي انعكاس مضاد للخطية${\displaystyle \sigma :V\to V\,}$يمكن وصفها بشكل مكافئ من حيث الخريطة الخطية${\displaystyle {\hat {\sigma }}:V\to {\bar {V}}\,}$من الفضاء المتجهي${\displaystyle V\,}$إلى فضاء المتجهات المترافقة المعقدة${\displaystyle {\bar {V}}\,}$محدد بواسطة

${\displaystyle v\mapsto {\hat {\sigma }}(v):={\overline {\sigma (v)}}\,}$[ ^{2 ]​}

بالنسبة لمتنوعة جبرية معرفة على حقل جزئي من الأعداد الحقيقية ، فإن البنية الحقيقية هي المرافق المركب الذي يؤثر على نقاط المتنوعة في الفضاء الإسقاطي المركب أو الفضاء الأفيني. وموضعها الثابت هو فضاء النقاط الحقيقية للمتنوعة (والذي قد يكون فارغًا).

بالنسبة لمخطط مُعرَّف على حقل فرعي من الأعداد الحقيقية، يُعدّ الاقتران المركب، بشكل طبيعي، عنصرًا من زمرة غالوا للإغلاق الجبري للحقل الأساسي. البنية الحقيقية هي فعل غالوا لهذا الاقتران على امتداد المخطط فوق الإغلاق الجبري للحقل الأساسي. النقاط الحقيقية هي النقاط التي يكون حقل البقايا الخاص بها ثابتًا (والذي قد يكون فارغًا).

في الرياضيات ، بنية الواقع على فضاء متجهي معقد V هي عبارة عن تفكيك V إلى فضاءين فرعيين حقيقيين، يُطلق عليهما الجزء الحقيقي والجزء التخيلي من V :

${\displaystyle V=V_{\mathbb {R} }\oplus iV_{\mathbb {R} }.}$

هنا، V _{∈ R} هو فضاء جزئي حقيقي من V ، أي فضاء جزئي من V يُعتبر فضاءً متجهيًا على الأعداد الحقيقية . إذا كان لـ V بُعد مركب n (بُعد حقيقي 2n ) ، فإن V _{∈ R} يجب أن يكون له بُعد حقيقي n .

بنية الواقع القياسية في الفضاء المتجهي${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$هو التحلل

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\oplus i\,\mathbb {R} ^{n}.}$

في وجود بنية واقعية، يكون لكل متجه في V جزء حقيقي وجزء تخيلي، كل منهما متجه في V _R :

${\displaystyle v=\operatorname {Re} \{v\}+i\,\operatorname {Im} \{v\}}$

في هذه الحالة، يُعرَّف المرافق المركب للمتجه v على النحو التالي:

${\displaystyle {\overline {v}}=\operatorname {Re} \{v\}-i\,\operatorname {Im} \{v\}}$

هذه الخريطة${\displaystyle v\mapsto {\overline {v}}}$هو انقلاب مضاد للخطية ، أي

${\displaystyle {\overline {\overline {v}}}=v,\quad {\overline {v+w}}={\overline {v}}+{\overline {w}},\quad {\text{and}}\quad {\overline {\alpha v}}={\overline {\alpha }}\,{\overline {v}}.}$

على العكس من ذلك، بالنظر إلى الانعكاس المضاد للخطية${\displaystyle v\mapsto c(v)}$في فضاء متجهي معقد V ، من الممكن تعريف بنية الواقع على V على النحو التالي. ليكن

${\displaystyle \operatorname {Re} \{v\}={\frac {1}{2}}\left(v+c(v)\right),}$

وحدد

${\displaystyle V_{\mathbb {R} }=\left\{\operatorname {Re} \{v\}\mid v\in V\right\}.}$

ثم

${\displaystyle V=V_{\mathbb {R} }\oplus iV_{\mathbb {R} }.}$

هذا في الواقع هو تحليل V إلى فضاءات ذاتية للمؤثر الخطي الحقيقي c . القيم الذاتية لـ c هي +1 و -1 ، مع فضاءات ذاتية V _R و${\displaystyle i}$ V _R ، على التوالي. عادةً، يُشار إلى المؤثر c نفسه، بدلاً من تحليل الفضاء الذاتي الذي يستلزمه، باسم بنية الواقع على V.

• خريطة مضادة للخطية
• خريطة اقتران المركب الكنسي
• المركب المترافق
• فضاء المتجهات المترافقة المعقدة
• التعقيد
• بنية معقدة خطية
• خريطة خطية
• شكل نصف دائري
• حساب السبينور

• هورن وجونسون، تحليل المصفوفات، مطبعة جامعة كامبريدج، 1985. ISBN 0-521-38632-2(تتم مناقشة الخرائط غير الخطية في القسم 4.6).
• Budinich، P. و Trautman، A. رقعة الشطرنج الشائكة . سبرينغر-فيرلاغ، 1988. ISBN 0-387-19078-3(تتم مناقشة الخرائط غير الخطية في القسم 3.3).
• بينروز، روجر ؛ ريندلير، وولفغانغ (1986)، السبينورات والزمكان. المجلد 2 ، سلسلة دراسات كامبريدج في الفيزياء الرياضية، مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 978-0-521-25267-6، MR 0838301