نظرية تمثيل مجموعة بوانكاريه

في الرياضيات ، تُعد نظرية تمثيل زمرة بوانكاريه مثالاً على نظرية تمثيل زمرة لي التي ليست زمرة متراصة ولا زمرة شبه بسيطة . وهي أساسية في الفيزياء النظرية .

في نظرية فيزيائية يكون فيها فضاء مينكوفسكي هو الزمكان الأساسي ، فإن فضاء الحالات الفيزيائية عادةً ما يكون تمثيلاً لمجموعة بوانكاريه. (بشكل أعم، قد يكون تمثيلاً إسقاطياً ، وهو ما يعادل تمثيلاً للغطاء المزدوج للمجموعة).

في نظرية الحقول الكلاسيكية ، تُمثل الحالات الفيزيائية مقاطع من حزمة متجهات متغيرة وفقًا لنظرية بوانكاريه فوق فضاء مينكوفسكي. ويعني شرط التكافؤ أن المجموعة تؤثر على الفضاء الكلي لحزمة المتجهات، وأن الإسقاط على فضاء مينكوفسكي هو دالة متغيرة . لذا، تؤثر مجموعة بوانكاريه أيضًا على فضاء المقاطع. تُسمى التمثيلات الناشئة بهذه الطريقة (ومشتقاتها الجزئية) بتمثيلات الحقول المتغيرة، وهي عادةً ليست وحدوية.

للاطلاع على مناقشة حول هذه التمثيلات الوحدوية ، انظر تصنيف ويغنر .

في ميكانيكا الكم، تُحدد حالة النظام بواسطة معادلة شرودنغر، وهي ثابتة تحت تحويلات غاليليو. أما نظرية الحقل الكمومي فهي امتداد نسبي لميكانيكا الكم، حيث تُحل معادلات الموجة النسبية (الثابتة تحت تحويلات لورنتز/بوانكاريه)، وتُكمّم، وتؤثر على فضاء هيلبرت المُكوّن من حالات فوك .

لا توجد تمثيلات وحدوية محدودة الأبعاد لتحويلات لورنتز الكاملة (وبالتالي تحويلات بوانكاريه) نظرًا لطبيعة تحويلات لورنتز غير المدمجة (الدورانات في فضاء مينكوفسكي على طول محور المكان والزمان). مع ذلك، توجد تمثيلات غير وحدوية محدودة الأبعاد وغير قابلة للتحليل لجبر بوانكاريه، والتي يمكن استخدامها لنمذجة الجسيمات غير المستقرة. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

في حالة الجسيمات ذات اللف المغزلي 1/2، من الممكن إيجاد بنية تتضمن كلاً من التمثيل ذي الأبعاد المحدودة والضرب القياسي المحفوظ بواسطة هذا التمثيل عن طريق ربط سبينور ديراك رباعي المكونات${\displaystyle \psi }$مع كل جسيم. تتحول هذه السبينورات تحت تحويلات لورنتز الناتجة عن مصفوفات غاما (${\displaystyle \gamma _{\mu }}$يمكن إثبات أن الضرب القياسي

${\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle ={\bar {\psi }}\phi =\psi ^{\dagger }\gamma _{0}\phi }$

يتم الحفاظ عليها. ومع ذلك، فهي ليست موجبة تمامًا، لذا فإن التمثيل ليس وحدويًا.

• غرينر، دبليو؛ مولر، ب. (1994). ميكانيكا الكم: التناظرات (  الطبعة الثانية). سبرينغر. ISBN 978-3540580805.
• غرينر، دبليو .؛ راينهارت، ج. (1996)، تكميم الحقول ، سبرينغر، ISBN 978-3-540-59179-5
• هاريش-تشاندرا (1947)، "التمثيلات اللانهائية غير القابلة للاختزال لمجموعة لورنتز"، وقائع الجمعية الملكية أ ، 189 (1018): 372-401 ، رمز Bibcode : 1947RSPSA.189..372H ، doi : 10.1098/rspa.1947.0047
• هول، برايان سي. (2015)، زمر لي، وجبر لي، والتمثيلات: مقدمة تمهيدية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  222 (الطبعة الثانية  )، سبرينغر، doi : 10.1007/978-3-319-13467-3 ، ISBN 978-3319134666ISSN 0072-5285​ 
• ويغنر، إي بي (1939)، "حول التمثيلات الوحدوية لمجموعة لورنتز غير المتجانسة"، حوليات الرياضيات ، 40 (1): 149-204 ، Bibcode : 1939AnMat..40..149W ، doi : 10.2307/1968551 ، JSTOR 1968551 ، MR 1503456 ، S2CID 121773411   .

• تصنيف ويغنر
• نظرية تمثيل مجموعة لورنتز
• نظرية تمثيل المجموعة الجاليلية
• نظرية تمثيل مجموعات التشاكل التفاضلي
• فيزياء الجسيمات ونظرية التمثيل
• التناظر في ميكانيكا الكم