فيزياء الجسيمات ونظرية التمثيل

في ميكانيكا الكم ، يتم تمثيل أي حالة جسيم واحد معينة كمتجه في فضاء هيلبرت${\displaystyle {\mathcal {H}}}$لفهم أنواع الجسيمات التي يمكن أن توجد، من المهم تصنيف الاحتمالات لـ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$مسموح به وفقًا للتناظرات وخصائصها. ليكن${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ليكن فضاء هيلبرت يصف نظامًا كميًا معينًا، وليكن${\displaystyle G}$لتكن مجموعة من التناظرات في النظام الكمومي. في نظام كمومي نسبي، على سبيل المثال،${\displaystyle G}$قد تكون مجموعة بوانكاريه ، أما بالنسبة لذرة الهيدروجين،${\displaystyle G}$قد تكون مجموعة الدوران SO(3) . يتم وصف حالة الجسيم بدقة أكبر بواسطة فضاء هيلبرت الإسقاطي المرتبط بها.${\displaystyle \mathrm {P} {\mathcal {H}}}$ويُطلق عليه أيضًا فضاء الأشعة ، لأن متجهين يختلفان بعامل قياسي غير صفري يتوافقان مع نفس الحالة الكمومية الفيزيائية التي يمثلها شعاع في فضاء هيلبرت، وهو فئة تكافؤ في${\displaystyle {\mathcal {H}}}$وفي ظل خريطة الإسقاط الطبيعي${\displaystyle {\mathcal {H}}\rightarrow \mathrm {P} {\mathcal {H}}}$، عنصر من${\displaystyle \mathrm {P} {\mathcal {H}}}$.

بحسب تعريف تناظر النظام الكمومي، يوجد تأثير جماعي على${\displaystyle \mathrm {P} {\mathcal {H}}}$لكل${\displaystyle g\in G}$، وهناك تحويل مماثل${\displaystyle V(g)}$ل${\displaystyle \mathrm {P} {\mathcal {H}}}$وبشكل أكثر تحديداً، إذا${\displaystyle g}$إذا كان هناك نوع من التناظر في النظام (على سبيل المثال، الدوران حول المحور السيني بمقدار 12 درجة)، فإن التحويل المقابل يكون${\displaystyle V(g)}$ل${\displaystyle \mathrm {P} {\mathcal {H}}}$هي خريطة على فضاء الأشعة. على سبيل المثال، عند تدوير جسيم ساكن (زخمه صفر) ذي لف مغزلي 5 حول مركزه،${\displaystyle g}$هو دوران في الفضاء ثلاثي الأبعاد (عنصر من${\displaystyle \mathrm {SO(3)} }$)، بينما${\displaystyle V(g)}$هو عامل يكون نطاقه ومدى تأثيره كل منهما فضاء الحالات الكمومية الممكنة لهذا الجسيم، في هذا المثال الفضاء الإسقاطي${\displaystyle \mathrm {P} {\mathcal {H}}}$مرتبط بفضاء هيلبرت معقد ذي 11 بُعدًا${\displaystyle {\mathcal {H}}}$.

كل خريطة${\displaystyle V(g)}$يحافظ، بحكم تعريف التناظر، على حاصل ضرب الأشعة على${\displaystyle \mathrm {P} {\mathcal {H}}}$الناتج عن الضرب الداخلي على${\displaystyle {\mathcal {H}}}$وفقًا لنظرية ويغنر ، فإن هذا التحويل لـ${\displaystyle \mathrm {P} {\mathcal {H}}}$ينشأ من تحول وحدوي أو مضاد للوحدوية${\displaystyle U(g)}$ل${\displaystyle {\mathcal {H}}}$لكن تجدر الإشارة إلى أن${\displaystyle U(g)}$مرتبط بـ${\displaystyle V(g)}$ليست فريدة، بل فريدة فقط حتى عامل طور معين . تكوين المؤثرات${\displaystyle U(g)}$لذا، ينبغي أن يعكس ذلك قانون التركيب في${\displaystyle G}$ولكن فقط حتى عامل طور معين:

${\displaystyle U(gh)=e^{i\theta }U(g)U(h)}$،

أين${\displaystyle \theta }$سيعتمد ذلك على${\displaystyle g}$و${\displaystyle h}$وبالتالي، يتم إرسال الخريطة${\displaystyle g}$ل${\displaystyle U(g)}$هو تمثيل إسقاطي وحدوي لـ${\displaystyle G}$أو ربما مزيج من الوحدوية والمضادة للوحدوية، إذا${\displaystyle G}$غير متصل. عملياً، ترتبط المؤثرات المضادة للوحدة دائماً بتناظر انعكاس الزمن .

من المهم جسديًا أن يكون ذلك بشكل عام${\displaystyle U(\cdot )}$لا يشترط أن يكون تمثيلاً عادياً لـ${\displaystyle G}$قد لا يكون من الممكن اختيار عوامل الطور في تعريف${\displaystyle U(g)}$لإزالة عوامل الطور في قانون تركيبها. الإلكترون، على سبيل المثال، هو جسيم ذو لف مغزلي يساوي نصفًا؛ ويتكون فضاء هيلبرت الخاص به من دوال موجية على${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$بقيم في فضاء سبينور ثنائي الأبعاد. فعل${\displaystyle \mathrm {SO(3)} }$إن خاصية الإسقاط في فضاء السبينور هي خاصية إسقاطية فقط: فهي لا تنبع من تمثيل عادي لـ${\displaystyle \mathrm {SO(3)} }$ومع ذلك، يوجد تمثيل عادي مرتبط بالغطاء العالمي${\displaystyle \mathrm {SU(2)} }$ل${\displaystyle \mathrm {SO(3)} }$في فضاء السبينور. ^{[ 2 ]}

بالنسبة للعديد من فئات المجموعات المثيرة للاهتمام${\displaystyle G}$تنص نظرية بارغمان على أن كل تمثيل إسقاطي وحدوي لـ${\displaystyle G}$ينبع ذلك من تمثيل عادي للغطاء العالمي${\displaystyle {\tilde {G}}}$ل${\displaystyle G}$في الواقع، إذا${\displaystyle {\mathcal {H}}}$إذا كانت ذات أبعاد محدودة، فبغض النظر عن المجموعة${\displaystyle G}$، كل تمثيل إسقاطي وحدوي لـ${\displaystyle G}$ينشأ من تمثيل وحدوي عادي لـ${\displaystyle {\tilde {G}}}$[ ^{3 ]} إذا^​${\displaystyle {\mathcal {H}}}$إذا كان النظام لانهائي الأبعاد، فإنه للوصول إلى النتيجة المرجوة، يجب وضع بعض الافتراضات الجبرية على${\displaystyle G}$(انظر أدناه). في هذا السياق، تُعدّ النتيجة نظرية بارغمان . ^{[ 4 ]} ولحسن الحظ، تنطبق نظرية بارغمان في الحالة الحاسمة لمجموعة بوانكاريه. ^{[ 5 ]} (انظر تصنيف ويغنر لتمثيلات الغطاء الشامل لمجموعة بوانكاريه).

الشرط المشار إليه أعلاه هو أن جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$لا تقبل امتدادًا مركزيًا أحادي البعد غير تافه. ويتحقق ذلك إذا وفقط إذا كانت مجموعة التماثل الثانية لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$هذا أمرٌ بديهي. في هذه الحالة، قد يظل صحيحًا أن المجموعة تقبل امتدادًا مركزيًا بواسطة مجموعة منفصلة . لكن امتدادات${\displaystyle G}$تُغطي المجموعات المنفصلة${\displaystyle G}$على سبيل المثال، الغطاء العالمي${\displaystyle {\tilde {G}}}$يرتبط بـ${\displaystyle G}$من خلال ناتج القسمة${\displaystyle G\approx {\tilde {G}}/\Gamma }$مع المجموعة الفرعية المركزية${\displaystyle \Gamma }$كونها مركز${\displaystyle {\tilde {G}}}$هي نفسها، متماثلة مع المجموعة الأساسية للمجموعة المغطاة.

وبالتالي، في الحالات المواتية، سيحمل النظام الكمومي تمثيلاً وحدوياً للغطاء الشامل${\displaystyle {\tilde {G}}}$من مجموعة التناظر${\displaystyle G}$وهذا أمر مرغوب فيه لأن${\displaystyle {\mathcal {H}}}$يُعد التعامل معه أسهل بكثير من التعامل مع الفضاء غير المتجهي${\displaystyle \mathrm {P} {\mathcal {H}}}$إذا كانت تمثيلات${\displaystyle {\tilde {G}}}$يمكن تصنيفها، وهناك المزيد من المعلومات حول إمكانيات وخصائص${\displaystyle {\mathcal {H}}}$متوفرة.

أحد الأمثلة التي لا تنطبق عليها نظرية بارغمان هو جسيم كمومي يتحرك في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$مجموعة التناظرات الانتقالية للفضاء الطوري المرتبط بها،${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$، هي المجموعة التبديلية${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$في الصورة الميكانيكية الكمومية المعتادة،${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$لا يتم تحقيق التناظر من خلال تمثيل وحدوي لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$في الواقع، في الإطار الكمومي، لا تتبادل الإزاحات في فضاء الموضع مع الإزاحات في فضاء الزخم. ويعكس هذا عدم التبادل عدم تبادل مؤثرات الموضع والزخم - وهما المولدات المتناهية الصغر للإزاحات في فضاء الزخم وفضاء الموضع على التوالي. ومع ذلك، فإن الإزاحات في فضاء الموضع والإزاحات في فضاء الزخم تتبادل حتى عامل طور. وبالتالي، لدينا تمثيل إسقاطي محدد جيدًا لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$لكنها لا تأتي من تمثيل عادي لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$، بالرغم من${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$الأمر بسيط ومتصل.

في هذه الحالة، للحصول على تمثيل عادي، يجب الانتقال إلى مجموعة هايزنبرغ ، وهي امتداد مركزي أحادي البعد غير تافه لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$.

كمثال على معنى التناظر التقريبي، لنفترض أن عالمًا تجريبيًا يعيش داخل مغناطيس حديدي لانهائي ، ذي مغنطة في اتجاه معين. سيجد هذا العالم في هذه الحالة نوعين متميزين من الإلكترونات: أحدهما ذو دوران مغزلي في اتجاه المغنطة، وطاقة أقل قليلًا (وبالتالي كتلة أقل)، والآخر ذو دوران مغزلي معاكس، وكتلة أكبر. في هذه الحالة الافتراضية، يصبح تناظرنا الدوراني SO(3) المعتاد ، الذي يربط عادةً الإلكترون ذي الدوران المغزلي للأعلى بالإلكترون ذي الدوران المغزلي للأسفل، مجرد تناظر تقريبي ، يربط بين أنواع مختلفة من الجسيمات .

بشكل عام، ينشأ تناظر تقريبي عندما توجد تفاعلات قوية جدًا تخضع لهذا التناظر، إلى جانب تفاعلات أضعف لا تخضع له. في مثال الإلكترون المذكور أعلاه، يتصرف نوعا الإلكترونات بشكل متطابق تحت تأثير القوتين النووية القوية والضعيفة ، ولكنهما يتصرفان بشكل مختلف تحت تأثير القوة الكهرومغناطيسية .

من الأمثلة الواقعية تناظر الإيزوسبين ، وهو مجموعة SU(2) تُقابل التشابه بين الكواركات العلوية والسفلية . هذا تناظر تقريبي: فبينما تتطابق الكواركات العلوية والسفلية في كيفية تفاعلها تحت تأثير القوة النووية القوية ، إلا أنها تختلف في كتلتها وتفاعلاتها الكهروضعيفة. رياضياً، يوجد فضاء متجهي ثنائي الأبعاد مجرد .

${\displaystyle {\text{كوارك علوي}}\rightarrow {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\qquad {\text{كوارك سفلي}}\rightarrow {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$

وتكون قوانين الفيزياء ثابتة تقريبًا عند تطبيق تحويل وحدوي من الدرجة 1 على هذا الفضاء: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto A{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},\quad {\text{حيث ​​}}A{\text{ تنتمي إلى }}SU(2)}$

على سبيل المثال،${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$سيؤدي ذلك إلى تحويل جميع الكواركات العلوية في الكون إلى كواركات سفلية والعكس صحيح. بعض الأمثلة تساعد في توضيح الآثار المحتملة لهذه التحولات:

• عند تطبيق هذه التحويلات الوحدوية على بروتون ، يمكن تحويله إلى نيوترون ، أو إلى تراكب بروتون ونيوترون، ولكن ليس إلى أي جسيمات أخرى. لذا، تُحرك هذه التحويلات البروتون في فضاء ثنائي الأبعاد من الحالات الكمومية. يُطلق على البروتون والنيوترون اسم " ثنائية الأيزوسبين "، وهو ما يُشابه رياضيًا سلوك جسيم ذي لف مغزلي ½ تحت الدوران العادي.
• عند تطبيق هذه التحويلات الوحدوية على أي من البيونات الثلاثة ( π ⁰، π ⁺، و π ⁻يمكن لهذه العملية تحويل أي من البيونات إلى أي بيون آخر، ولكن ليس إلى أي جسيم غير بيوني. ولذلك، تنقل هذه التحويلات البيونات في فضاء ثلاثي الأبعاد من الحالات الكمومية. تُسمى هذه البيونات " ثلاثية إيزوسبين "، وهي تُشابه رياضيًا سلوك جسيم ذي لف مغزلي 1 تحت الدوران العادي.
• لا تؤثر هذه التحولات إطلاقاً على الإلكترون ، لأنه لا يحتوي على كواركات علوية أو سفلية. يُطلق على الإلكترون اسم "أحادي الدوران"، وهو ما يُشابه رياضياً سلوك جسيم ذي دوران صفري تحت الدوران العادي.

بشكل عام، تشكل الجسيمات مضاعفات التناظر النظائري ، والتي تتوافق مع التمثيلات غير القابلة للاختزال لجبر لي SU(2) . تمتلك الجسيمات في مضاعف التناظر النظائري كتلًا متشابهة جدًا ولكنها ليست متطابقة، لأن الكواركات العلوية والسفلية متشابهة جدًا ولكنها ليست متطابقة.

يمكن تعميم تناظر الإيزوسبين إلى تناظر النكهة ، وهو مجموعة SU(3) تُقابل التشابه بين الكواركات العلوية والسفلية والغريبة . [ ^{7 ] وهذا} ، مرة أخرى، تناظر تقريبي، يُنتهك بسبب اختلافات كتلة الكواركات والتفاعلات الكهروضعيفة - في الواقع، هو تقريب أضعف من الإيزوسبين، بسبب الكتلة الأعلى بشكل ملحوظ للكوارك الغريب.

ومع ذلك، يمكن بالفعل تقسيم الجسيمات بدقة إلى مجموعات تشكل تمثيلات غير قابلة للاختزال لجبر لي SU(3) ، كما لاحظ موراي جيل مان لأول مرة وبشكل مستقل يوفال نعمان .