التمثيل الإسقاطي

في مجال نظرية التمثيل في الرياضيات ، فإن التمثيل الإسقاطي لمجموعة G على فضاء متجه V على حقل F هو تماثل المجموعة من G إلى المجموعة الخطية الإسقاطية حيث GL( V ) هي المجموعة الخطية العامة للتحويلات الخطية القابلة للعكس لـ V على F ، و F ^∗ هي المجموعة الفرعية الطبيعية المكونة من مضاعفات قياسية غير صفرية للتحويل المتطابق (انظر التحويل القياسي ). ^[1] $${\displaystyle \mathrm {PGL} (V)=\mathrm {GL} (V)/F^{*},}$$

بمصطلحات أكثر تحديدًا، فإن التمثيل الإسقاطي هو مجموعة من العوامل التي تلبي خاصية التماثل حتى قيمة ثابتة: ${\displaystyle G}$${\displaystyle \rho (g)\in \mathrm {GL} (V),\,g\in G}$

${\displaystyle \rho (g)\rho (h)=c(g,h)\rho (gh),}$

بالنسبة لبعض الثوابت . وعلى نحو مكافئ، فإن التمثيل الإسقاطي لـ هو مجموعة من المشغلات ، بحيث . لاحظ أنه في هذا الترميز، هو مجموعة من المشغلات الخطية المرتبطة عن طريق الضرب ببعض القيم القياسية غير الصفرية. ${\displaystyle c(g,h)\in F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\tilde {\rho }}(g)\subset \mathrm {GL} (V),g\in G}$${\displaystyle {\tilde {\rho }}(gh)={\tilde {\rho }}(g){\tilde {\rho }}(h)}$${\displaystyle {\tilde {\rho }}(g)}$

إذا كان من الممكن اختيار ممثل معين في كل عائلة من المشغلات بطريقة يتم بها تلبية خاصية التماثل الشكلي على الأنف ، بدلاً من مجرد ثابت، فإننا نقول أنه يمكن "إلغاء إسقاطه"، أو أنه يمكن "رفعه إلى تمثيل عادي". وبشكل أكثر تحديدًا، نقول أنه يمكن إلغاء إسقاطه إذا كان هناك لكل منها مثل أن . تتم مناقشة هذا الاحتمال بمزيد من التفصيل أدناه. ${\displaystyle \rho (g)\in {\tilde {\rho }}(g)}$${\displaystyle {\tilde {\rho }}}$${\displaystyle {\tilde {\rho }}}$${\displaystyle {\tilde {\rho }}}$${\displaystyle \rho (g)\in {\tilde {\rho }}(g)}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle \rho (g)\rho (h)=\rho (gh)}$

إحدى الطرق التي يمكن أن ينشأ بها التمثيل الإسقاطي هي أخذ تمثيل المجموعة الخطية لـ G على V وتطبيق خريطة الحاصل

${\displaystyle \operatorname {GL} (V,F)\rightarrow \operatorname {PGL} (V,F)}$

وهو حاصل قسمة المجموعة الفرعية F ^∗ للتحويلات القياسية ( المصفوفات القطرية مع تساوي جميع المدخلات القطرية). إن الاهتمام بالجبر يكمن في العملية في الاتجاه الآخر: بالنظر إلى التمثيل الإسقاطي ، حاول "رفعه" إلى تمثيل خطي عادي. لا يمكن رفع التمثيل الإسقاطي العام ρ : G → PGL( V ) إلى تمثيل خطي G → GL( V ) ، ويمكن فهم العائق أمام هذا الرفع من خلال علم التماثل الجماعي ، كما هو موضح أدناه.

ومع ذلك، يمكن رفع التمثيل الإسقاطي لـ G إلى تمثيل خطي لمجموعة مختلفة H ، والتي ستكون امتدادًا مركزيًا لـ G. المجموعة هي المجموعة الفرعية لـ G المحددة على النحو التالي: ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle H}$${\displaystyle G\times \mathrm {GL} (V)}$

${\displaystyle H=\{(g,A)\in G\times \mathrm {GL} (V)\mid \pi (A)=\rho (g)\}}$,

أين هي خريطة حاصل القسمة لـ onto . نظرًا لأن هي تماثلية، فمن السهل التحقق من أنها في الواقع مجموعة فرعية من . إذا كان التمثيل الإسقاطي الأصلي دقيقًا، فإنه يكون متماثلًا مع الصورة الأولية في . ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$${\displaystyle \mathrm {PGL} (V)}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle H}$${\displaystyle G\times \mathrm {GL} (V)}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle H}$${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$${\displaystyle \rho (G)\subseteq \mathrm {PGL} (V)}$

يمكننا تعريف التماثل الشكلي من خلال وضع . جوهر هو: ${\displaystyle \phi :H\rightarrow G}$${\displaystyle \phi ((g,A))=g}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \mathrm {ker} (\phi )=\{(e,cI)\mid c\in F^{*}\}}$,

الذي يوجد في مركز . ومن الواضح أيضًا أن هو امتداد مركزي لـ . ويمكننا أيضًا تعريف تمثيل عادي لـ من خلال وضع . والتمثيل العادي لـ هو رفع للتمثيل الإسقاطي لـ بمعنى أن: ${\displaystyle H}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle H}$${\displaystyle \sigma ((g,A))=A}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle H}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \pi (\sigma ((g,A)))=\rho (g)=\rho (\phi ((g,A)))}$.

إذا كانت G مجموعة مثالية، فهناك امتداد مركزي مثالي عالمي واحد لـ G يمكن استخدامه.

يتضمن تحليل مسألة الرفع تجانس المجموعة . في الواقع، إذا تم تثبيت عنصر مرفوع L ( g ) لكل g في G في الرفع من PGL( V ) إلى GL( V ) ، فإن الرفع يرضي

${\displaystyle L(gh)=c(g,h)L(g)L(h)}$

لبعض المقاييس القياسية c ( g , h ) في F ^∗ . ويترتب على ذلك أن مضاعف الدورة المساعدة 2 أو مضاعف شور c يلبي معادلة الدورة المساعدة

${\displaystyle c(h,k)c(g,hk)=c(g,h)c(gh,k)}$

لجميع g و h و k في G. تعتمد هذه القيمة c على اختيار المصعد L ؛ سيؤدي اختيار مختلف للمصعد L′ ( g ) = f ( g ) L ( g ) إلى دورة مساعدة مختلفة

${\displaystyle c^{\prime }(g,h)=f(gh)f(g)^{-1}f(h)^{-1}c(g,h)}$

متجانسة مع c . وبالتالي، يحدد L فئة فريدة في H ² ( G ، F ^∗ ) . قد لا تكون هذه الفئة تافهة. على سبيل المثال، في حالة المجموعة المتماثلة والمجموعة المتناوبة ، أثبت شور أنه توجد فئة غير تافهة واحدة فقط من مضاعف شور، وحدد تمامًا جميع التمثيلات غير القابلة للاختزال المقابلة. ^[2]

بشكل عام، تؤدي الفئة غير التافهة إلى مشكلة امتداد لـ G. إذا تم تمديد G بشكل صحيح، نحصل على تمثيل خطي للمجموعة الممتدة، مما يؤدي إلى التمثيل الإسقاطي الأصلي عند دفعه للأسفل إلى G. الحل هو دائمًا امتداد مركزي . من مبرهنة شور ، يتبع ذلك أن التمثيلات غير القابلة للاختزال للامتدادات المركزية لـ G ، والتمثيلات الإسقاطية غير القابلة للاختزال لـ G ، هي نفس الأشياء بشكل أساسي.

لنفترض أن مجال الأعداد الصحيحة mod ، حيث يكون أوليًا، وليكن الفضاء ذي الأبعاد للوظائف على القيم في . لكل منها في ، قم بتعريف عاملين، و على النحو التالي: ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle V}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle a}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$${\displaystyle T_{a}}$${\displaystyle S_{a}}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(T_{a}f)(b)&=f(b-a)\\(S_{a}f)(b)&=e^{2\pi iab/p}f(b).\end{aligned}}}$

نكتب الصيغة لـ كما لو كان و أعداد صحيحة، ولكن من السهل ملاحظة أن النتيجة تعتمد فقط على قيمة و mod . العامل هو تحويل، بينما هو تحول في مساحة التردد (أي أن له تأثير تحويل فورييه المنفصل لـ ). ${\displaystyle S_{a}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle p}$${\displaystyle T_{a}}$${\displaystyle S_{a}}$${\displaystyle f}$

من الممكن التحقق بسهولة من أنه بالنسبة لأي و في ، فإن المشغلين و ينتقلان إلى الضرب بثابت: ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$${\displaystyle T_{a}}$${\displaystyle S_{b}}$

${\displaystyle T_{a}S_{b}=e^{-2\pi iab/p}S_{b}T_{a}}$.

ومن ثم يمكننا تعريف التمثيل الإسقاطي على النحو التالي: ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\times \mathbb {Z} /p}$

${\displaystyle \rho (a,b)=[T_{a}S_{b}]}$,

حيث يشير إلى صورة عامل في مجموعة الحاصل . وبما أن و ينتقلان إلى ثابت، فمن السهل أن يُنظر إليهما على أنهما تمثيل إسقاطي. من ناحية أخرى، بما أن و لا ينتقلان فعليًا - ولن ينتقل أي مضاعفات غير صفرية لهما - فلا يمكن رفعهما إلى تمثيل عادي (خطي) لـ . ${\displaystyle [A]}$${\displaystyle A\in \mathrm {GL} (V)}$${\displaystyle \mathrm {PGL} (V)}$${\displaystyle T_{a}}$${\displaystyle S_{b}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle T_{a}}$${\displaystyle S_{b}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\times \mathbb {Z} /p}$

نظرًا لأن التمثيل الإسقاطي دقيق، فإن الامتداد المركزي لـ الذي تم الحصول عليه من خلال البناء في القسم السابق هو مجرد الصورة الأولية في صورة . وهذا يعني صراحةً أن هي مجموعة جميع مشغلات النموذج ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle H}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\times \mathbb {Z} /p}$${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle H}$

${\displaystyle e^{2\pi ic/p}T_{a}S_{b}}$

بالنسبة لـ . هذه المجموعة هي نسخة منفصلة من مجموعة هايزنبيرج وهي متماثلة مع مجموعة المصفوفات من النموذج ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} /p}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

مع . ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} /p}$

إن دراسة التمثيلات الإسقاطية لمجموعات لي تقود المرء إلى النظر في التمثيلات الحقيقية لامتداداتها المركزية (انظر امتداد المجموعة § مجموعات لي ). في العديد من حالات الاهتمام، يكفي النظر في تمثيلات مجموعات التغطية . على وجه التحديد، افترض أن يكون غطاء متصل لمجموعة لي متصلة ، بحيث لمجموعة فرعية مركزية منفصلة لـ . (لاحظ أن نوعًا خاصًا من الامتداد المركزي لـ .) افترض أيضًا أن يكون تمثيلًا وحدويًا غير قابل للاختزال لـ (ربما لا نهائي الأبعاد). إذن وفقًا لمعضلة شور ، ستعمل المجموعة الفرعية المركزية بمضاعفات قياسية للهوية. وبالتالي، على المستوى الإسقاطي، سوف تنحدر إلى . وهذا يعني أنه بالنسبة لكل ، يمكننا اختيار صورة أولية لـ في ، وتحديد تمثيل إسقاطي لـ من خلال تحديد ${\displaystyle {\hat {G}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\cong {\hat {G}}/N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\hat {G}}}$${\displaystyle {\hat {G}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle {\hat {G}}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle G}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle {\hat {g}}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle {\hat {G}}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \rho (g)=\left[\Pi \left({\hat {g}}\right)\right]}$,

حيث يشير إلى الصورة في عامل . نظرًا لأن is موجود في مركز ومركز يعمل كمقياسات ، فإن قيمة لا تعتمد على اختيار . ${\displaystyle [A]}$${\displaystyle \mathrm {PGL} (V)}$${\displaystyle A\in \mathrm {GL} (V)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\hat {G}}}$${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle \left[\Pi \left({\hat {g}}\right)\right]}$${\displaystyle {\hat {g}}}$

إن البناء السابق يعد مصدرًا مهمًا لأمثلة التمثيلات الإسقاطية. تقدم نظرية بارجمان (التي سنناقشها أدناه) معيارًا بموجبه تنشأ كل تمثيل وحدوي إسقاطي غير قابل للاختزال بهذه الطريقة. ${\displaystyle G}$

يأتي مثال مهم فيزيائيًا للبناء أعلاه من حالة مجموعة الدوران SO(3) ، التي يكون غلافها الشامل هو SU(2) . وفقًا لنظرية التمثيل الخاصة بـ SU(2) ، يوجد تمثيل واحد غير قابل للاختزال لـ SU(2) في كل بُعد. عندما يكون البعد فرديًا (حالة "الدوران الصحيح")، ينحدر التمثيل إلى تمثيل عادي لـ SO(3). ^[3] عندما يكون البعد زوجيًا (حالة "الدوران الكسري")، لا ينحدر التمثيل إلى تمثيل عادي لـ SO(3) ولكنه ينحدر (بالنتيجة التي تمت مناقشتها أعلاه) إلى تمثيل إسقاطي لـ SO(3). يشار إلى مثل هذه التمثيلات الإسقاطية لـ SO(3) (التي لا تأتي من تمثيلات عادية) باسم "تمثيلات spinorial"، والتي تسمى عناصرها (متجهاتها) spinors .

من خلال الحجج التي تمت مناقشتها أدناه، فإن كل تمثيل إسقاطي غير قابل للاختزال ذي أبعاد محدودة لـ SO(3) يأتي من تمثيل عادي غير قابل للاختزال ذي أبعاد محدودة لـ SU(2).

حالات بارزة لمجموعات التغطية التي تقدم تمثيلات إسقاطية مثيرة للاهتمام:

• المجموعة المتعامدة الخاصة SO( n , F ) مغطاة بشكل مضاعف بمجموعة الدوران Spin ( n , F ).
• على وجه الخصوص، يتم تغطية المجموعة SO(3) (مجموعة الدوران في 3 أبعاد) بشكل مزدوج بواسطة SU(2) . وهذا له تطبيقات مهمة في ميكانيكا الكم، حيث تؤدي دراسة تمثيلات SU(2) إلى نظرية غير نسبية (سرعة منخفضة) للدوران .
• المجموعة SO ⁺ (3؛1) ، المتشابهة مع مجموعة موبيوس ، مغطاة أيضًا بشكل مزدوج بواسطة SL ₂ ( C ). وكلاهما عبارة عن مجموعات عظمى من SO(3) وSU(2) المذكورة أعلاه على التوالي وتشكل نظرية الدوران النسبي .
• إن الغلاف الشامل لمجموعة بوانكاريه هو غلاف مزدوج ( الناتج شبه المباشر لـ SL ₂ ( C ) مع R ⁴ ). إن التمثيلات الوحدوية غير القابلة للاختزال لهذا الغلاف تؤدي إلى تمثيلات إسقاطية لمجموعة بوانكاريه، كما هو الحال في تصنيف ويغنر . إن الانتقال إلى الغلاف ضروري، من أجل تضمين حالة الدوران الكسري.
• المجموعة المتعامدة O( n ) مغطاة بشكل مزدوج بمجموعة Pin Pin _± ( n ).
• المجموعة السمبلكتيكية Sp(2 n )=Sp(2 n , R ) (لا ينبغي الخلط بينها وبين الشكل الحقيقي المضغوط للمجموعة السمبلكتيكية، والتي يشار إليها أحيانًا أيضًا بـ Sp( m )) مغطاة مرتين بالمجموعة الميتابلكتيكية Mp(2 n ). يأتي التمثيل الإسقاطي المهم لـ Sp(2 n ) من التمثيل الميتابلكتيكي لـ Mp(2 n ).

في الفيزياء الكمومية، يتم تنفيذ تماثل النظام الفيزيائي عادةً عن طريق تمثيل وحدوي إسقاطي لمجموعة لي على فضاء هيلبرت الكمومي، أي التماثل المستمر ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \rho :G\rightarrow \mathrm {PU} ({\mathcal {H}}),}$

حيث هو حاصل قسمة المجموعة الوحدوية على مشغلات النموذج . والسبب في أخذ الحاصل هو أنه من الناحية الفيزيائية، يمثل متجهان في فضاء هيلبرت متناسبان نفس الحالة الفيزيائية. [وهذا يعني أن فضاء الحالات (الخالصة) هو مجموعة فئات التكافؤ لمتجهات الوحدة ، حيث يُعتبر متجهان وحدويان متكافئين إذا كانا متناسبين.] وبالتالي، فإن المشغل الوحدوي الذي هو مضاعف للهوية يعمل في الواقع كهوية على مستوى الحالات الفيزيائية. ${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$${\displaystyle \mathrm {U} ({\mathcal {H}})}$${\displaystyle cI,\,|c|=1}$

يؤدي التمثيل الإسقاطي ذي الأبعاد المحدودة لـ إلى تمثيل وحدوي إسقاطي لجبر لي لـ . في حالة الأبعاد المحدودة، من الممكن دائمًا "إلغاء إسقاط" تمثيل جبر لي ببساطة عن طريق اختيار ممثل لكل منهما له أثر صفري. ^[4] في ضوء نظرية التماثل ، من الممكن بعد ذلك إلغاء إسقاط نفسه، ولكن على حساب الانتقال إلى الغطاء العالمي لـ . ^[5] وهذا يعني أن كل تمثيل وحدوي إسقاطي ذي أبعاد محدودة لـ ينشأ من تمثيل وحدوي عادي لـ بالإجراء المذكور في بداية هذا القسم. ${\displaystyle G}$${\displaystyle \rho _{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \rho _{*}}$${\displaystyle \rho _{*}(X)}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\tilde {G}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\tilde {G}}}$

على وجه التحديد، نظرًا لأن تمثيل جبر لاي تم إبطاله عن طريق اختيار ممثل ذي أثر صفري، فإن كل تمثيل وحدوي إسقاطي ذي أبعاد محدودة لـ ينشأ من تمثيل وحدوي عادي ذي محدد واحد لـ (أي، تمثيل يعمل فيه كل عنصر من عناصر كعامل ذي محدد واحد). إذا كان شبه بسيط، فإن كل عنصر من عناصر هو عبارة عن تركيبة خطية من المبدلات، وفي هذه الحالة يكون كل تمثيل لـ بواسطة عوامل ذات أثر صفري. في الحالة شبه البسيطة، إذن، يكون التمثيل الخطي المرتبط لـ فريدًا. ${\displaystyle G}$${\displaystyle {\tilde {G}}}$${\displaystyle {\tilde {G}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\tilde {G}}}$

وعلى العكس من ذلك، إذا كان تمثيلًا وحدويًا غير قابل للاختزال للغطاء الشامل لـ ، فوفقًا لمعضلة شور ، فإن مركز يعمل كمضاعفات قياسية للهوية. وبالتالي، على المستوى الإسقاطي، ينحدر إلى تمثيل إسقاطي للمجموعة الأصلية . وبالتالي، هناك تطابق طبيعي واحد لواحد بين التمثيلات الإسقاطية غير القابلة للاختزال لـ والتمثيلات العادية غير القابلة للاختزال، المحددة-واحد لـ . (في الحالة شبه البسيطة، يمكن حذف المؤهل "المحدد-واحد"، لأنه في هذه الحالة، يكون كل تمثيل لـ محددًا-واحدًا تلقائيًا.) ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\tilde {G}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\tilde {G}}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\tilde {G}}}$${\displaystyle {\tilde {G}}}$

من الأمثلة المهمة حالة SO(3) ، التي يكون غلافها الشامل هو SU(2) . الآن، جبر لاي شبه بسيط. وعلاوة على ذلك، بما أن SU(2) عبارة عن مجموعة مضغوطة ، فإن كل تمثيل ذي أبعاد محدودة لها يسمح بضرب داخلي يكون التمثيل بالنسبة إليه موحدًا. ^[6] وبالتالي، فإن التمثيلات الإسقاطية غير القابلة للاختزال لـ SO(3) تتوافق واحدًا لواحد مع التمثيلات العادية غير القابلة للاختزال لـ SU(2). ${\displaystyle \mathrm {su} (2)}$

لا تسري نتائج القسم الفرعي السابق في حالة الأبعاد اللانهائية، وذلك ببساطة لأن أثر لا يتم تعريفه بشكل جيد عادةً. والواقع أن النتيجة تفشل: فلننظر، على سبيل المثال، إلى الترجمات في فضاء الموضع وفي فضاء الزخم لجسيم كمي يتحرك في ، ويؤثر على فضاء هيلبرت . ^[7] وتُعرَّف هذه العوامل على النحو التالي: ${\displaystyle \rho _{*}(X)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(T_{a}f)(x)&=f(x-a)\\(S_{a}f)(x)&=e^{iax}f(x),\end{aligned}}}$

لجميع . هذه المشغلات هي ببساطة إصدارات مستمرة من المشغلات والموضحة في قسم "المثال الأول" أعلاه. وكما هو الحال في هذا القسم، يمكننا بعد ذلك تعريف تمثيل وحدوي إسقاطي لـ : ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle T_{a}}$${\displaystyle S_{a}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

${\displaystyle \rho (a,b)=[T_{a}S_{b}],}$

لأن المشغلات تنتقل إلى عامل طور. ولكن لن يؤدي أي اختيار لعوامل الطور إلى تمثيل وحدوي عادي، لأن الترجمات في الموضع لا تنتقل مع الترجمات في الزخم (والضرب بثابت غير صفري لن يغير هذا). ومع ذلك، تأتي هذه المشغلات من تمثيل وحدوي عادي لمجموعة هايزنبيرج ، وهي امتداد مركزي أحادي البعد لـ . ^[8] (انظر أيضًا نظرية ستون-فون نيومان .) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

من ناحية أخرى، تنص نظرية بارغمان على أنه إذا كانت مجموعة التجانس الثانية لجبر لي تافهة، فيمكن إزالة إسقاط كل تمثيل وحدوي إسقاطي لـ بعد المرور إلى الغطاء الشامل. ^{[9] [10]} بتعبير أدق، افترض أننا نبدأ بتمثيل وحدوي إسقاطي لمجموعة لي . ثم تنص النظرية على أنه يمكن رفعها إلى تمثيل وحدوي عادي للغطاء الشامل لـ . وهذا يعني أن يرسم كل عنصر من عناصر نواة خريطة الغطاء إلى مضاعف قياسي للهوية - بحيث ينحدر على المستوى الإسقاطي إلى - وأن التمثيل الإسقاطي المرتبط لـ يساوي . ${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\hat {\rho }}}$${\displaystyle {\hat {G}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\hat {\rho }}}$${\displaystyle {\hat {\rho }}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \rho }$

لا تنطبق النظرية على المجموعة —كما يوضح المثال السابق— لأن المجموعة الثانية من التماثلات في جبر لي التبادلي المرتبط ليست تافهة. تشمل الأمثلة التي تنطبق عليها النتيجة المجموعات شبه البسيطة (على سبيل المثال، SL(2,R) ) ومجموعة بوانكاريه . هذه النتيجة الأخيرة مهمة لتصنيف ويغنر للتمثيلات الوحدوية الإسقاطية لمجموعة بوانكاريه. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

يتم إثبات نظرية بارجمان من خلال النظر في امتداد مركزي لـ ، تم إنشاؤه على نحو مماثل للقسم أعلاه حول التمثيلات الخطية والتمثيلات الإسقاطية، كمجموعة فرعية من مجموعة الضرب المباشر ، حيث هي فضاء هيلبرت الذي يعمل عليه و هي مجموعة العوامل الوحدوية على . يتم تعريف المجموعة على أنها ${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\times U({\mathcal {H}})}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle U({\mathcal {H}})}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle H=\{(g,U)\mid \pi (U)=\rho (g)\}.}$

كما هو الحال في القسم السابق، فإن الخريطة المعطاة بواسطة هي تماثل شمولي نواته بحيث يكون امتدادًا مركزيًا لـ . مرة أخرى كما هو الحال في القسم السابق، يمكننا بعد ذلك تعريف تمثيل خطي لـ بواسطة وضع . ثم يكون رفعًا بمعنى أن ، حيث تكون خريطة الحاصل من إلى . ${\displaystyle \phi :H\rightarrow G}$${\displaystyle \phi (g,U)=g}$${\displaystyle \{(e,cI)\mid |c|=1\},}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle H}$${\displaystyle \sigma (g,U)=U}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho \circ \phi =\pi \circ \sigma }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle U({\mathcal {H}})}$${\displaystyle PU({\mathcal {H}})}$

نقطة تقنية رئيسية هي إظهار أن هي مجموعة لي . (هذا الادعاء ليس واضحًا جدًا، لأنه إذا كانت ذات أبعاد لا نهائية، فإن المجموعة هي مجموعة طوبولوجية ذات أبعاد لا نهائية.) بمجرد إثبات هذه النتيجة، نرى أن هي امتداد مركزي لمجموعة لي أحادية البعد لـ ، بحيث يكون جبر لي أيضًا امتدادًا مركزيًا أحادي البعد لـ (لاحظ هنا أن صفة "أحادي البعد" لا تشير إلى و ، بل إلى نواة خريطة الإسقاط من تلك الأشياء إلى و على التوالي). ولكن يمكن تحديد مجموعة التماثل بمساحة الامتدادات المركزية أحادية البعد (مرة أخرى، بالمعنى المذكور أعلاه) لـ ؛ إذا كانت تافهة فإن كل امتداد مركزي أحادي البعد لـ تكون تافهة. في هذه الحالة، هي مجرد مجموع مباشر لـ مع نسخة من الخط الحقيقي. ويترتب على ذلك أن الغطاء الشامل لـ يجب أن يكون مجرد حاصل ضرب مباشر للغطاء الشامل لـ مع نسخة من الخط الحقيقي. يمكننا بعد ذلك الرفع من إلى (عن طريق التكوين باستخدام خريطة التغطية) وأخيرًا تقييد هذا الرفع على الغطاء العالمي لـ . ${\displaystyle H}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle G\times U({\mathcal {H}})}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\tilde {H}}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\tilde {H}}}$${\displaystyle {\tilde {G}}}$${\displaystyle G}$

• التمثيل الأفيني
• العمل الجماعي
• الامتداد المركزي
• فيزياء الجسيمات ونظرية التمثيل
• دوران-½
• سبينور
• التناظر في ميكانيكا الكم
• مجموعة هايزنبيرج

• بارجمان، فالنتين (1954)، "حول تمثيلات الأشعة الموحدة للمجموعات المستمرة"، حوليات الرياضيات ، 59 (1): 1-46، doi :10.2307/1969831، JSTOR  1969831
• غانون، تيري (2006)، مونشاين ما وراء الوحش: الجسر الذي يربط الجبر والأشكال المعيارية والفيزياء ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-83531-2
• هال، بريان سي. (2013)، نظرية الكم للرياضيين ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد 267، سبرينغر، رقم ISBN 978-1461471158
• هول، بريان سي. (2015)، مجموعات الكذب، وجبر الكذب، والتمثيلات: مقدمة أولية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد 222 (الطبعة الثانية)، سبرينغر، رقم ISBN 978-3319134666
• Schur، I. (1911)، “Über die Darstellung der Symmetrischen und der Alternnierenden Gruppe durch gebrochene Linere Substitutionen”، مجلة Crelle ، 139 : 155–250
• سيمز، دي جي (1971)، "دليل مختصر لمعيار بارجمان لرفع التمثيلات الإسقاطية لمجموعات لي"، تقارير عن الفيزياء الرياضية ، 2 (4): 283-287، رمز Bibcode :1971RpMP....2..283S، doi :10.1016/0034-4877(71)90011-5