التناظر في ميكانيكا الكم

بشكل عام، يتم تحديد العلاقة بين التناظرات المستمرة وقوانين الحفظ من خلال نظرية نوثر .

تتضح صيغة المؤثرات الكمومية الأساسية، كالمؤثر الطاقي كمشتق زمني جزئي والمؤثر الزخمي كتدرج مكاني ، عند دراسة الحالة الابتدائية، ثم تغيير أحد معاييرها تغييراً طفيفاً. ويمكن تطبيق ذلك على الإزاحات (الأطوال)، والمدد الزمنية، والزوايا (الدورانات). إضافةً إلى ذلك، يمكن ملاحظة ثبات بعض الكميات بإجراء تغييرات مماثلة في الأطوال والزوايا، مما يُبين حفظ هذه الكميات.

فيما يلي، تحويلات على دوال موجية أحادية الجسيم فقط بالشكل التالي:

$${\displaystyle {\widehat {\Omega }}\psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} ',t')}$$

يتم أخذها في الاعتبار، حيث${\displaystyle {\widehat {\أوميغا }}}$يرمز إلى مؤثر وحدوي . تُشترط الوحدة عمومًا للمؤثرات التي تُمثل تحويلات المكان والزمان والدوران، إذ يجب أن يكون معيار الحالة (الذي يُمثل الاحتمال الكلي لوجود الجسيم في مكان ما بدوران معين) ثابتًا تحت هذه التحويلات. معكوس المؤثر الوحدوي هو مرافقه الهيرميتي .${\displaystyle {\widehat {\Omega }}^{-1}={\widehat {\Omega }}^{\dagger }}$يمكن تعميم النتائج على الدوال الموجية متعددة الجسيمات. وتُكتب التحويلات على متجهات الحالة الكمومية ، وفقًا للترميز القياسي لديراك ، كما يلي:

$${\displaystyle {\widehat {\Omega }}\left|\mathbf {r} (t)\right\rangle =\left|\mathbf {r} '(t')\right\rangle }$$

والآن، فعل${\displaystyle {\widehat {\أوميغا }}}$يُغيّر ψ ( r , t ) إلى ψ ( r ′ , t ′ ) ، وبالتالي يكون العكس${\displaystyle {\widehat {\Omega }}^{-1}={\widehat {\Omega }}^{\dagger }}$يُعيد هذا التغيير ψ ( r ′ , t ′ ) إلى ψ ( r , t ) . وبالتالي، يكون المؤثر${\displaystyle {\widehat {A}}}$ثابت تحت${\displaystyle {\widehat {\أوميغا }}}$يرضي:

$${\displaystyle {\widehat {A}}\psi ={\widehat {\Omega }}^{\dagger }{\widehat {A}}{\widehat {\Omega }}\psi \quad \Rightarrow \quad {\widehat {\Omega }}{\widehat {A}}\psi ={\widehat {A}}{\widehat {\Omega }}\psi .}$$

في الوقت نفسه،

$${\displaystyle [{\widehat {\Omega }},{\widehat {A}}]\psi =0}$$

لأي حالة ψ (أي${\displaystyle {\widehat {\أوميغا }}}$و${\displaystyle {\widehat {A}}}$(التبادل). كما يُشترط أن تكون المؤثرات الكمومية التي تمثل الكميات القابلة للرصد هيرميتية بحيث تكون قيمها الذاتية أعدادًا حقيقية ، أي أن المؤثر يساوي مرافقه الهيرميتي .${\displaystyle {\widehat {A}}={\widehat {A}}^{\dagger }}$.

فيما يلي النقاط الرئيسية لنظرية الزمر ذات الصلة بنظرية الكم، مع أمثلة توضيحية في جميع أنحاء المقال. للاطلاع على منهج بديل باستخدام زمر المصفوفات، يُرجى مراجعة كتابي هول ^{[ 1 ] و[ 2 ].}

ليكن G زمرة لي ، وهي زمرة يتم تحديدها محليًا بواسطة عدد محدود N من المعاملات الحقيقية المتغيرة باستمرار ξ ₁ ، ξ ₂ ، ...، ξ _N. وبعبارة رياضية أدق، هذا يعني أن G فضاء متعدد الشعب أملس وهو أيضًا زمرة، وتكون عمليات الزمرة فيه أملسة.

• بُعد المجموعة ، N ، هو عدد المعلمات التي تمتلكها.
• عناصر المجموعة ، g ، في G هي دوال للمعاملات :$${\displaystyle g=G(\xi _{1},\xi _{2},\dots )}$$وإذا تم ضبط جميع المعاملات على الصفر، فسيتم إرجاع العنصر المحايد للمجموعة:$${\displaystyle I=G(0,0,\dots )}$$غالباً ما تكون عناصر المجموعة عبارة عن مصفوفات تعمل على المتجهات، أو تحويلات تعمل على الدوال.
• مولدات المجموعة هي المشتقات الجزئية لعناصر المجموعة بالنسبة لمعاملات المجموعة، ويتم تقييم النتيجة عندما يتم ضبط المعامل على الصفر:$${\displaystyle X_{j}=\left.{\frac {\partial g}{\partial \xi _{j}}}\right|_{\xi _{j}=0}}$$في لغة المتشعبات، تُعرف المولدات بأنها عناصر الفضاء المماسي لـ G عند العنصر المحايد. وتُعرف المولدات أيضًا بعناصر المجموعة المتناهية الصغر أو بعناصر جبر لي لـ G. (انظر المناقشة أدناه حول المُبدِّل).
  يتمثل أحد جوانب المولدات في الفيزياء النظرية في إمكانية بنائها كمؤثرات تتوافق مع التناظرات، والتي يمكن كتابتها على شكل مصفوفات، أو كمؤثرات تفاضلية. في نظرية الكم، بالنسبة للتمثيلات الوحدوية للمجموعة، تتطلب المولدات عاملاً مقداره i .$${\displaystyle X_{j}=i\left.{\frac {\partial g}{\partial \xi _{j}}}\right|_{\xi _{j}=0}}$$تشكل مولدات المجموعة فضاءً متجهيًا ، مما يعني أن التركيبات الخطية للمولدات تشكل أيضًا مولدًا.
• تحقق المولدات (سواء كانت مصفوفات أو عوامل تفاضلية) علاقات التبادل التالية :$${\displaystyle \left[X_{a},X_{b}\right]=if_{abc}X_{c}}$$حيث تمثل f _{و abc} ثوابت البنية (التي تعتمد على الأساس) للمجموعة. وهذا يجعل، بالإضافة إلى خاصية الفضاء المتجهي، مجموعة جميع مولدات المجموعة جبر لي . وبسبب التناظر العكسي للأقواس، فإن ثوابت بنية المجموعة متناظرة عكسيًا في أول مؤشرين.
• تصف تمثيلات المجموعة الطرق التي يمكن أن تؤثر بها المجموعة G (أو جبر لي الخاص بها) على فضاء متجهي. (قد يكون الفضاء المتجهي، على سبيل المثال، فضاء المتجهات الذاتية لهاملتوني له G كمجموعة تناظر). نرمز إلى هذه التمثيلات بالحرف D الكبير . يمكن اشتقاق D للحصول على تمثيل لجبر لي، والذي يُرمز إليه غالبًا أيضًا بـ D. يرتبط هذان التمثيلان كما يلي:$${\displaystyle D[g(\xi _{j})]\equiv D(\xi _{j})=e^{i\xi _{j}D(X_{j})}}$$بدون جمع على الفهرس المتكرر j . التمثيلات عبارة عن عوامل خطية تأخذ عناصر المجموعة وتحافظ على قاعدة التركيب:$${\displaystyle D(\xi _{a})D(\xi _{b})=D(\xi _{a}\xi _{b}).}$$

يُطلق على التمثيل الذي لا يمكن تحليله إلى مجموع مباشر لتمثيلات أخرى اسم التمثيل غير القابل للاختزال . ومن المتعارف عليه تسمية التمثيلات غير القابلة للاختزال برقم n مرفوع بين قوسين، كما في D ^{( n )} ، أو إذا كان هناك أكثر من رقم واحد، نكتب D ^{( n , m , ...)} .

ثمة دقة إضافية تظهر في نظرية الكم، حيث يمثل متجهان يختلفان بضربهما في عدد قياسي الحالة الفيزيائية نفسها. هنا، يُعدّ مفهوم التمثيل الإسقاطي هو المفهوم ذو الصلة، وهو تمثيل لا يحقق قانون التركيب إلا حتى عدد قياسي. في سياق اللف المغزلي الكمومي، تُسمى هذه التمثيلات بالتمثيلات الدورانية .

مشغل ترجمة الفضاء${\displaystyle {\widehat {T}}(\Delta \mathbf {r} )}$يؤثر على دالة موجية لإزاحة إحداثيات الفضاء بمقدار إزاحة متناهية الصغر Δr . التعبير الصريح${\displaystyle {\widehat {T}}}$يمكن تحديدها بسرعة عن طريق توسيع تايلور لـ ψ ( r + Δ r , t ) حول r ، ثم (مع الاحتفاظ بالحد من الدرجة الأولى وإهمال الحدود من الدرجة الثانية وما فوقها)، استبدل المشتقات المكانية بمؤثر الزخم${\displaystyle {\widehat {\mathbf {p} }}}$وبالمثل، بالنسبة لمؤثر الإزاحة الزمنية الذي يؤثر على المعامل الزمني، فإن متسلسلة تايلور لـ ψ ( r , t + Δ t ) تدور حول t ، ويتم استبدال المشتق الزمني بمؤثر الطاقة.${\displaystyle {\widehat {E}}}$.

اسم	مترجم${\displaystyle {\widehat {T}}}$	عامل تحويل/تطور الوقت${\displaystyle {\widehat {U}}}$
تأثير على دالة الموجة	${\displaystyle {\widehat {T}}(\Delta \mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} +\Delta \mathbf {r} ,t)}$	${\displaystyle {\widehat {U}}(\Delta t)\psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} ,t+\Delta t)}$
المؤثر المتناهي الصغر	${\displaystyle {\widehat {T}}(\Delta \mathbf {r} )=I+{\frac {i}{\hbar }}\Delta \mathbf {r} \cdot {\widehat {\mathbf {p} }}}$	${\displaystyle {\widehat {U}}(\Delta t)=I-{\frac {i}{\hbar }}\Delta t{\widehat {E}}}$
المؤثر المحدود	$// \cdot {\widehat {\mathbf {p} }}\right)={\widehat {T}}(\Delta \mathbf {r} )}$	${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\left(I-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {\Delta t}{N}}\cdot {\widehat {E}}\right)^{N}=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\Delta t{\widehat {E}}\right)={\widehat {U}}(\Delta t)}$
مولد	عامل الزخم${\displaystyle {\widehat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla }$	مشغل طاقة${\displaystyle {\widehat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}}$

تنشأ الدوال الأسية بحكم تعريفها كحدود، وفقًا لأويلر ، ويمكن فهمها فيزيائيًا ورياضيًا كما يلي. يمكن أن تتكون الإزاحة الكلية من العديد من الإزاحات الصغيرة، لذا للحصول على مؤثر الإزاحة لزيادة محدودة، نستبدل Δr بـ Δr/ N و Δt بـ Δt / N ، حيث N عدد صحيح موجب غير صفري. ثم مع ازدياد N ، يصبح مقدار Δr و Δt أصغر، مع بقاء الاتجاهات دون تغيير. بتطبيق المؤثرات المتناهية الصغر على دالة الموجة N مرة وأخذ النهاية عندما يؤول N إلى اللانهاية ، نحصل على المؤثرات المحدودة .

تتبادل عمليات تحويل المكان والزمان، مما يعني أن المؤثرات والمولدات تتبادل.

المبدل

المشغلون	مولدات كهربائية
${\displaystyle \left[{\widehat {T}}(\mathbf {r} _{1}),{\widehat {T}}(\mathbf {r} _{2})\right]\psi (\mathbf {r} ,t)=0}$	${\displaystyle \left[{\widehat {p}}_{i},{\widehat {p}}_{j},\right]\psi (\mathbf {r} ,t)=0}$
${\displaystyle \left[{\widehat {U}}(t_{1}),{\widehat {U}}(t_{2})\right]\psi (\mathbf {r} ,t)=0}$	${\displaystyle \left[{\widehat {E}},{\widehat {p}}_{i},\right]\psi (\mathbf {r} ,t)=0}$

بالنسبة لهاملتوني غير معتمد على الزمن، فإن الطاقة محفوظة مع الزمن والحالات الكمومية هي حالات ثابتة : الحالات الذاتية للهاملتوني هي قيم الطاقة الذاتية E :

$${\displaystyle {\widehat {U}}(t)=\exp \left(-{\frac {i\Delta tE}{\hbar }}\right)}$$

وجميع الحالات الثابتة لها الشكل

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t+t_{0})={\widehat {U}}(t-t_{0})\psi (\mathbf {r} ,t_{0})}$$

حيث t ₀ هو الوقت الأولي، وعادة ما يتم تعيينه على الصفر لأنه لا يوجد فقدان للاستمرارية عند تعيين الوقت الأولي.

وهناك طريقة أخرى للترميز هي${\displaystyle {\widehat {U}}(t-t_{0})\equiv U(t,t_{0})}$.

تُعرف مجموعة التناظر الديناميكي للمذبذب التوافقي الكمومي ذي الأبعاد n باسم المجموعة الوحدوية الخاصة SU( n ). على سبيل المثال، يبلغ عدد المولدات المتناهية الصغر لجبر لي المقابل لـ SU(2) وSU(3) ثلاثة وثمانية على التوالي. ويؤدي هذا إلى وجود ثلاث وثماني كميات محفوظة مستقلة (بخلاف الهاميلتوني) في هذه الأنظمة.

يحتوي المذبذب التوافقي الكمي ثنائي الأبعاد على الكميات المحفوظة المتوقعة للهاميلتوني والزخم الزاوي، ولكنه يحتوي على كميات محفوظة إضافية مخفية تتمثل في فرق مستوى الطاقة وشكل آخر من الزخم الزاوي.

تشكل مصفوفات الدوران ومولدات الدوران المذكورة أعلاه الجزء المكاني من مصفوفة رباعية الأبعاد، تمثل تحويلات لورنتز ذات الدوران الخالص. ثلاثة من عناصر مجموعة لورنتز${\displaystyle {\widehat {R}}_{x},{\widehat {R}}_{y},{\widehat {R}}_{z}}$والمولدات J = ( J ₁ , J ₂ , J ₃ ) للدوران الخالص هي:

${\displaystyle {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos \Delta \theta &-\sin \Delta \theta \\0&0&\sin \Delta \theta &\cos \Delta \theta \\\end{pmatrix}}\,,}$	${\displaystyle J_{x}=J_{1}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\\\end{pmatrix}}\,,}$
${\displaystyle {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \Delta \theta &0&\sin \Delta \theta \\0&0&1&0\\0&-\sin \Delta \theta &0&\cos \Delta \theta \\\end{pmatrix}}\,,}$	${\displaystyle J_{y}=J_{2}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\\\end{pmatrix}}\,,}$
${\displaystyle {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \Delta \theta &-\sin \Delta \theta &0\\0&\sin \Delta \theta &\cos \Delta \theta &0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}\,,}$	${\displaystyle J_{z}=J_{3}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}\,.}$

تؤثر مصفوفات الدوران على أي _متجه رباعي A = ( A0, A1 _, A2 _, A3 ) وتدور _{المكونات} الفضائية وفقًا لـ

$${\displaystyle \mathbf {A} '={\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {n} }})\mathbf {A} }$$

مع إبقاء الإحداثيات الزمنية دون تغيير. في تعابير المصفوفات، تُعامل A كمتجه عمودي .

دفعة بسرعة c tanh φ في الاتجاهات x أو y أو z مُعطاة بواسطة متجه الأساس الديكارتي القياسي${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{x},{\hat {\mathbf {e} }}_{y},{\hat {\mathbf {e} }}_{z}}$، هي مصفوفات تحويل التعزيز. هذه المصفوفات${\displaystyle {\widehat {B}}_{x},{\widehat {B}}_{y},{\widehat {B}}_{z}}$والمولدات المقابلة K = ( K1, K2, K3 ₎ هي _عناصر المجموعة _{الثلاثة} المتبقية ومولدات مجموعة لورنتز:

${\displaystyle {\widehat {B}}_{x}\equiv {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x})={\begin{pmatrix}\cosh \varphi &\sinh \varphi &0&0\\\sinh \varphi &\cosh \varphi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}\,,}$	${\displaystyle K_{x}=K_{1}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x})}{\partial \varphi }}\right|_{\varphi =0}=i{\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}\,,}$
${\displaystyle {\widehat {B}}_{y}\equiv {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y})={\begin{pmatrix}\cosh \varphi &0&\sinh \varphi &0\\0&1&0&0\\\sinh \varphi &0&\cosh \varphi &0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}\,,}$	${\displaystyle K_{y}=K_{2}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y})}{\partial \varphi }}\right|_{\varphi =0}=i{\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}\,,}$
${\displaystyle {\widehat {B}}_{z}\equiv {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})={\begin{pmatrix}\cosh \varphi &0&0&\sinh \varphi \\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\sinh \varphi &0&0&\cosh \varphi \\\end{pmatrix}}\,,}$	${\displaystyle K_{z}=K_{3}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})}{\partial \varphi }}\right|_{\varphi =0}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\\end{pmatrix}}\,.}$

تعمل مصفوفات التعزيز على أي متجه رباعي _A = ( A0, A1 _, A2 _, A3 ) وتمزج _{المكونات} الزمنية والمكانية، وفقًا لما يلي :

$${\displaystyle \mathbf {A} '={\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }})\mathbf {A} }$$

يشير مصطلح "الدفعة" إلى السرعة النسبية بين إطارين، ولا ينبغي الخلط بينه وبين الزخم باعتباره مولد الانتقالات ، كما هو موضح أدناه .

ينتج عن ضرب الدورانات دوران آخر (وهو مثال شائع لمجموعة فرعية)، بينما لا يمكن التعبير عن ضرب التحويلات المعززة أو الدورانات المعززة كتحويلات معززة خالصة أو دورانات خالصة. بشكل عام، يمكن التعبير عن أي تحويل لورنتز كحاصل ضرب دوران خالص وتحويل معزز خالص. لمزيد من المعلومات، انظر (على سبيل المثال) BR Durney (2011) ^{[ 6 ]} وHL Berk et al. ^{[ 7 ]} والمراجع الواردة فيهما.

تحتوي مولدات التعزيز والدوران على تمثيلات يرمز لها بـ D ( K ) و D ( J ) على التوالي، يشير الحرف D الكبير في هذا السياق إلى تمثيل المجموعة .

بالنسبة لمجموعة لورنتز، فإن التمثيلات D ( K ) و D ( J ) للمولدات K و J تحقق قواعد التبديل التالية.

المبدل

	مولدات كهربائية	التمثيلات
دوران نقي	${\displaystyle \left[J_{a},J_{b}\right]=i\varepsilon _{abc}J_{c}}$	${\displaystyle \left[{D(J_{a})},{D(J_{b})}\right]=i\varepsilon _{abc}{D(J_{c})}}$
بيور بوست	${\displaystyle \left[K_{a},K_{b}\right]=-i\varepsilon _{abc}J_{c}}$	${\displaystyle \left[{D(K_{a})},{D(K_{b})}\right]=-i\varepsilon _{abc}{D(J_{c})}}$
تحويل لورنتز	${\displaystyle \left[J_{a},K_{b}\right]=i\varepsilon _{abc}K_{c}}$	${\displaystyle \left[{D(J_{a})},{D(K_{b})}\right]=i\varepsilon _{abc}{D(K_{c})}}$

في جميع المبدلات، تختلط كيانات التعزيز مع كيانات الدوران، مع العلم أن الدوران وحده يُنتج دورانًا آخر. يؤدي رفع المولدات إلى أسّها إلى الحصول على مُعاملي التعزيز والدوران اللذين يتحدان في تحويل لورنتز العام، والذي بموجبه تتحول إحداثيات الزمكان من إطار سكون إلى إطار مُعزّز و/أو دوّار. وبالمثل، يؤدي رفع تمثيلات المولدات إلى أسّها إلى الحصول على تمثيلات مُعاملي التعزيز والدوران، والتي بموجبها يتحول حقل سبينور الجسيم.

قوانين التحول

	التحولات	التمثيلات
بيور بوست	${\displaystyle {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\varphi {\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {K} \right)}$	${\displaystyle D[{\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }})]=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\varphi {\hat {\mathbf {n} }}\cdot D(\mathbf {K} )\right)}$
دوران نقي	${\displaystyle {\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot \mathbf {J} \right)}$	${\displaystyle D[{\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})]=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot D(\mathbf {J} )\right)}$
تحويل لورنتز	${\displaystyle \Lambda (\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }},\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}\left(\varphi {\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {K} +\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot \mathbf {J} \right)\right]}$	${\displaystyle D[\Lambda (\theta ,{\hat {\mathbf {a} }},\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }})]=\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}\left(\varphi {\hat {\mathbf {n} }}\cdot D(\mathbf {K} )+\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot D(\mathbf {J} )\right)\right]}$

في الأدبيات، يتم أحيانًا دمج مولدات التعزيز K ومولدات الدوران J في مولد واحد لتحويلات لورنتز M ، وهي مصفوفة رباعية الأبعاد مضادة للتناظر ذات مدخلات:

$${\displaystyle M^{0a}=-M^{a0}=K_{a}\,,\quad M^{ab}=\varepsilon _{abc}J_{c}\,.}$$

وبناءً على ذلك، يتم تجميع معلمات التعزيز والدوران في مصفوفة رباعية الأبعاد مضادة للتناظر ω ، مع المدخلات التالية:

$${\displaystyle \omega _{0a}=-\omega _{a0}=\varphi n_{a}\,,\quad \omega _{ab}=\theta \varepsilon _{abc}a_{c}\,,}$$

إذن، يكون تحويل لورنتز العام كما يلي:

$${\displaystyle \Lambda (\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }},\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left(-{\frac {i}{2}}\omega _{\alpha \beta }M^{\alpha \beta }\right)=\exp \left[-{\frac {i}{2}}\left(\varphi {\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {K} +\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot \mathbf {J} \right)\right]}$$

مع الجمع على مؤشرات المصفوفة المتكررة _α و β . تعمل مصفوفات Λ على أي متجه رباعي A = ( A0, A1 _, A2 _, A3 ) وتمزج _{المكونات} الزمنية والمكانية، وفقًا لما يلي :

$${\displaystyle \mathbf {A} '=\Lambda (\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }},\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})\mathbf {A} }$$

في ميكانيكا الكم النسبية ، لم تعد الدوال الموجية حقولاً قياسية أحادية المكون، بل أصبحت حقولاً سبينورية مكونة من 2(2 s + 1)، حيث s هو دوران الجسيم. ترد أدناه تحويلات هذه الدوال في الزمكان.

تحت تحويل لورنتز المتعامد المناسب ( r , t ) → Λ( r , t ) في فضاء مينكوفسكي ، تتحول جميع الحالات الكمومية أحادية الجسيم ψ _σ محليًا تحت تمثيل D لمجموعة لورنتز : ^{[ 8 ] [ 9 ]}

$${\displaystyle \psi _{\sigma }(\mathbf {r} ,t)\rightarrow D(\Lambda )\psi _{\sigma }(\Lambda ^{-1}(\mathbf {r} ,t))}$$

حيث D (Λ) هو تمثيل محدود الأبعاد، بمعنى آخر مصفوفة مربعة ذات أبعاد (2 s + 1)×(2 s + 1) ، ويُعتبر ψ متجهًا عموديًا يحتوي على مكونات ذات قيم σ المسموح بها (2 s + 1) :

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)={\begin{bmatrix}\psi _{\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)\\\vdots \\\psi _{\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)\end{bmatrix}}\quad \rightleftharpoons \quad {\psi (\mathbf {r} ,t)}^{\dagger }={\begin{bmatrix}{\psi _{\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&{\psi _{\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&\cdots &{\psi _{\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&{\psi _{\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }\end{bmatrix}}}$$

يمكن استخدام التمثيلات غير القابلة للاختزال لـ D ( K ) و D ( J ) ، والتي تُعرف اختصارًا بـ "irreps"، لبناء تمثيلات دورانية لمجموعة لورنتز. تعريف مؤثرات جديدة:

$${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {\mathbf {J} +i\mathbf {K} }{2}}\,,\quad \mathbf {B} ={\frac {\mathbf {J} -i\mathbf {K} }{2}}\,,}$$

إذن، فإن A و B هما ببساطة مترافقان معقدان لبعضهما البعض، وبالتالي فإنهما يحققان المبدلات المتناظرة:

$${\displaystyle \left[A_{i},A_{j}\right]=\varepsilon _{ijk}A_{k}\,,\quad \left[B_{i},B_{j}\right]=\varepsilon _{ijk}B_{k}\,,\quad \left[A_{i},B_{j}\right]=0\,,}$$

وهذه هي في الأساس المبدلات التي تحققها مؤثرات الزخم الزاوي المداري والدوراني. لذلك، يشكل كل من A و B جبر مؤثرات مماثل للزخم الزاوي؛ نفس مؤثرات السلم ، والإسقاطات على المحور z ، وما إلى ذلك، بشكل مستقل عن بعضها البعض لأن كل مكون من مكوناتها يتبادل فيما بينه. قياسًا على العدد الكمي الدوراني، يمكننا تعريف أعداد صحيحة موجبة أو أنصاف أعداد صحيحة، a و b ، مع مجموعات القيم المناظرة m = a ، a − 1، ... − a + 1، −a و n = b ، b − 1، ... − b + 1، −b . المصفوفات التي تحقق علاقات التبادل المذكورة أعلاه هي نفسها بالنسبة للدوران a و b، ولها مكونات معطاة بضرب قيم دلتا كرونكر بعناصر مصفوفة الزخم الزاوي.

$${\displaystyle \left(A_{x}\right)_{m'n',mn}=\delta _{n'n}\left(J_{x}^{(m)}\right)_{m'm}\,\quad \left(B_{x}\right)_{m'n',mn}=\delta _{m'm}\left(J_{x}^{(n)}\right)_{n'n}}$$$${\displaystyle \left(A_{y}\right)_{m'n',mn}=\delta _{n'n}\left(J_{y}^{(m)}\right)_{m'm}\,\quad \left(B_{y}\right)_{m'n',mn}=\delta _{m'm}\left(J_{y}^{(n)}\right)_{n'n}}$$$${\displaystyle \left(A_{z}\right)_{m'n',mn}=\delta _{n'n}\left(J_{z}^{(m)}\right)_{m'm}\,\quad \left(B_{z}\right)_{m'n',mn}=\delta _{m'm}\left(J_{z}^{(n)}\right)_{n'n}}$$

حيث يتم في كل حالة فصل رقم الصف m ′ n ′ ورقم العمود mn بفاصلة، وبالتالي:

$${\displaystyle \left(J_{z}^{(m)}\right)_{m'm}=m\delta _{m'm}\,\quad \left(J_{x}^{(m)}\pm iJ_{y}^{(m)}\right)_{m'm}=m\delta _{a',a\pm 1}{\sqrt {(a\mp m)(a\pm m+1)}}}$$

وبالمثل بالنسبة لـ J ^{( n )} . ^{[ ملاحظة 1 ]} المصفوفات الثلاث J ^{( m )} هي مصفوفات مربعة من الرتبة ( 2m + 1)×( 2m + 1) ، والمصفوفات الثلاث J ^{( n )} هي مصفوفات مربعة من الرتبة ( 2n + 1)×( 2n + 1) . يُرمز إلى جميع التمثيلات غير القابلة للاختزال بالأعداد الصحيحة أو أنصاف الأعداد m و n ، وذلك باستخدام رموز مكافئة يستخدمها المؤلفون: D ^{( m , n )} ≡ ( m , n ) ≡ D ^{( m )} ⊗ D ^{( n )} ، وهي مصفوفات مربعة من الرتبة [( 2m + 1)( 2n + 1)]×[(2m + 1)(2n + 1)] .

تطبيق هذا على الجسيمات ذات اللف المغزلي s ؛

• تتحول السبينورات ذات المكونات اليسارية (2 s + 1) تحت التمثيلات غير القابلة للاختزال الحقيقية D ^{( s , 0 )} ،
• تتحول السبينورات ذات المكونات (2 s + 1) ذات اليد اليمنى تحت التمثيلات غير القابلة للاختزال الحقيقية D ^{(0, s )} ،
• بأخذ المجاميع المباشرة التي يرمز لها بـ ⊕ (انظر المجموع المباشر للمصفوفات لمفهوم المصفوفة الأبسط)، نحصل على التمثيلات التي تتحول بموجبها السبينورات المكونة من 2(2 s + 1) عنصرًا: D ^{( m , n )} ⊕ D ^{( n , m )} حيث m + n = s . هذه أيضًا تمثيلات غير قابلة للاختزال حقيقية، ولكن كما هو موضح أعلاه، فإنها تنقسم إلى مرافقات مركبة.

في هذه الحالات يشير D إلى أي من D ( J ) ، D ( K ) ، أو تحويل لورنتز كامل D (Λ) .

في سياق معادلة ديراك ومعادلة فايل ، تتحول متجهات فايل الدورانية التي تحقق معادلة فايل تحت أبسط تمثيلات الدوران غير القابلة للاختزال لمجموعة لورنتز، لأن عدد الكم الدوراني في هذه الحالة هو أصغر عدد غير صفري مسموح به: 1/2. يتحول متجه فايل الدوراني ذو المكونين الأيسر تحت التمثيل D ^{(1/2, 0)} ، ويتحول متجه فايل الدوراني ذو المكونين الأيمن تحت التمثيل D ^{(0, 1/2)} . أما متجهات ديراك الدورانية التي تحقق معادلة ديراك فتتحول تحت التمثيل D ^{(1/2, 0)} ⊕ D ^{(0, 1/2)} ، وهو المجموع المباشر للتمثيلات غير القابلة للاختزال لمتجهات فايل الدورانية.

نظرية الزمر هي طريقة مجردة لتحليل التناظرات رياضيًا. تُعدّ المؤثرات الوحدوية أساسية في نظرية الكم، لذا فإن الزمر الوحدوية مهمة في فيزياء الجسيمات. يُرمز إلى زمرة المصفوفات المربعة الوحدوية ذات البعد N بالرمز U( N ). تحافظ المؤثرات الوحدوية على الضرب الداخلي، مما يعني أن الاحتمالات محفوظة أيضًا، وبالتالي فإن ميكانيكا الكم للنظام ثابتة تحت التحويلات الوحدوية.${\displaystyle {\widehat {U}}}$إذا كان عاملًا وحدويًا، فإن معكوسه هو العامل المرافق الهيرميتي.${\displaystyle {\widehat {U}}^{-1}={\widehat {U}}^{\dagger }}$، والتي تتبادل مع الهاميلتوني:

$${\displaystyle \left[{\widehat {U}},{\widehat {H}}\right]=0}$$

ثم الكمية القابلة للملاحظة المقابلة للمؤثر${\displaystyle {\widehat {U}}}$يتم الحفاظ على القيمة، ويكون الهاميلتوني ثابتًا تحت التحويل.${\displaystyle {\widehat {U}}}$.

بما أن تنبؤات ميكانيكا الكم يجب أن تكون ثابتة تحت تأثير مجموعة، فإن الفيزيائيين يبحثون عن تحويلات وحدوية لتمثيل المجموعة.

المجموعات الفرعية المهمة لكل U( N ) هي تلك المصفوفات الوحدوية التي لها محدد واحد (أو "أحادية النمط"): تسمى هذه المجموعات الوحدوية الخاصة ويرمز لها بـ SU( N ).

في ميكانيكا الكم النسبية، تتنبأ معادلات الموجة النسبية بتناظر طبيعي لافت: أن لكل جسيم جسيم مضاد مقابل . وهذا مضمن رياضياً في حقول السبينور التي تمثل حلول معادلات الموجة النسبية.

يؤدي اقتران الشحنة إلى تبديل الجسيمات والجسيمات المضادة. تتمتع القوانين الفيزيائية والتفاعلات التي لا تتغير بفعل هذه العملية بتناظر C.

• يعكس التناظر اتجاه الإحداثيات المكانية من اليسار إلى اليمين. بعبارة أخرى، ينعكس الفضاء في صورته المرآوية. تتمتع القوانين والتفاعلات الفيزيائية التي لا تتغير بفعل هذه العملية بتناظر P.
• يقلب انعكاس الزمن إحداثيات الزمن، ما يعني أن الزمن يسير من المستقبل إلى الماضي. ومن خصائص الزمن الفريدة، التي لا يمتلكها المكان، أنه أحادي الاتجاه: فالجسيمات التي تسير للأمام في الزمن تُكافئ الجسيمات المضادة التي تسير للخلف في الزمن. وتتمتع القوانين والتفاعلات الفيزيائية التي لا تتغير بفعل هذه العملية بتناظر زمني .

• التكافؤ (الفيزياء) §  الجزيئات
• نظرية CPT
• انتهاك قانون حماية الطفل
• التناظر PT
• انتهاك لورنتز

في الديناميكا الكهربائية الكمومية ، تكون مجموعة التناظر المحلية U(1) وهي مجموعة تبديلية . أما في الديناميكا اللونية الكمومية ، فتكون مجموعة التناظر المحلية SU(3) وهي مجموعة غير تبديلية .

يتم التفاعل الكهرومغناطيسي بواسطة الفوتونات ، وهي جسيمات عديمة الشحنة الكهربائية. يمتلك الموتر الكهرومغناطيسي مجالًا كهرومغناطيسيًا رباعي الجهد يتمتع بتناظر قياسي.

يتم التوسط في التفاعل القوي (اللوني) بواسطة الغلوونات ، التي يمكن أن تحمل ثمانية شحنات لونية . يوجد ثمانية موترات لقوة مجال الغلوون مع مجال كمون رباعي للغلوون ، كل منها يتمتع بتناظر قياسي.