نظرية تمثيل مجموعة لورنتز

مجموعة لورنتز هي مجموعة لي لتناظرات الزمكان في النسبية الخاصة . يمكن تمثيل هذه المجموعة كمجموعة من المصفوفات ، أو التحويلات الخطية ، أو المؤثرات الوحدوية على فضاء هيلبرت ما؛ ولها تمثيلات متنوعة . ^{[ ملاحظة 1 ]} تكتسب هذه المجموعة أهمية بالغة لأن النسبية الخاصة، إلى جانب ميكانيكا الكم، هما النظريتان الفيزيائيتان الأكثر رسوخًا، ^{[ ملاحظة 2 ]} ويرتبط هذان النظريتان بدراسة التمثيلات الوحدوية اللانهائية الأبعاد لمجموعة لورنتز. لهذه التمثيلات أهمية تاريخية في الفيزياء السائدة، فضلًا عن ارتباطها بنظريات معاصرة أكثر تأملًا.

لقد تزامن تطور نظرية التمثيل تاريخيًا مع تطور نظرية تمثيل المجموعات شبه البسيطة الأكثر عمومية ، ويعود الفضل في ذلك إلى حد كبير إلى إيلي كارتان وهيرمان فايل ، إلا أن مجموعة لورنتز حظيت باهتمام خاص نظرًا لأهميتها في الفيزياء. ومن أبرز المساهمين في هذا المجال الفيزيائي إي بي ويغنر والرياضي فالنتين بارغمان من خلال برنامج بارغمان-ويغنر ^{[ 1 ]} ، والذي يتمثل أحد استنتاجاته، بشكل عام، في أن تصنيف جميع التمثيلات الوحدوية لمجموعة لورنتز غير المتجانسة يُعد بمثابة تصنيف لجميع معادلات الموجة النسبية الممكنة ^{[ 2 ]} . وقد وضع هاريش تشاندرا ، طالب الدكتوراه في الفيزياء النظرية لدى بول ديراك والذي أصبح فيما بعد رياضيًا ^[³^] ، تصنيف التمثيلات غير القابلة للاختزال ذات الأبعاد اللانهائية لمجموعة لورنتز في عام 1947. ونُشرت أعمال وثيقة الصلة بشكل مستقل من قِبل بارغمان وإسرائيل غيلفاند بالاشتراك مع مارك نايمارك في العام نفسه.

تم استنتاج النظرية الكاملة للتمثيلات ذات الأبعاد المحدودة لجبر لي لمجموعة لورنتز باستخدام الإطار العام لنظرية تمثيل جبر لي شبه البسيط . التمثيلات ذات الأبعاد المحدودة للمكون المتصل ${\text{SO}}(3;1)^{+}$ يتم الحصول على عناصر مجموعة لورنتز الكاملة $O(3; 1)$ باستخدام تناظر لي والدالة الأسية للمصفوفة . وتُقدم نظرية التمثيل الكاملة ذات الأبعاد المحدودة لمجموعة التغطية الشاملة (وكذلك مجموعة الدوران ، وهي تغطية مزدوجة). ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ل ${\text{SO}}(3;1)^{+}$ يتم الحصول عليها، ويتم تقديمها صراحةً من حيث التأثير على فضاء الدالة في تمثيلات ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ و ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ تُقدَّم تمثيلات انعكاس الزمن وانعكاس المكان في قسمي انعكاس المكان وانعكاس الزمن ، مُكمِّلةً بذلك نظرية الأبعاد المحدودة لمجموعة لورنتز الكاملة. وتُوضَّح الخصائص العامة لتمثيلات ( m , n ) . ويُناقَش التأثير على فضاءات الدوال ، مع ظهور التأثير على التوافقيات الكروية ودوال ريمان P كأمثلة. وتُحقَّق الحالة اللانهائية الأبعاد للتمثيلات الوحدوية غير القابلة للاختزال لـ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ السلسلة الرئيسية والسلسلة التكميلية . وأخيرًا، صيغة بلانشيريل لـ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ يتم تقديمها، ويتم تصنيف تمثيلات $SO(3, 1)$ وتحقيقها لجبر لي.

التمثيلات ذات الأبعاد المحدودة

تُعدّ نظرية تمثيل الزمر عمومًا، وزمر لي خصوصًا، موضوعًا ثريًا للغاية. تتمتع زمرة لورنتز ببعض الخصائص التي تجعلها "متوافقة" وأخرى تجعلها "غير متوافقة" في سياق نظرية التمثيل؛ فهي زمرة بسيطة ، وبالتالي شبه بسيطة ، لكنها غير متصلة ، ولا يوجد أي من مكوناتها متصل اتصالًا بسيطًا . علاوة على ذلك، فإن زمرة لورنتز ليست متراصة . ^{[ 3 ]}

بالنسبة للتمثيلات ذات الأبعاد المحدودة، فإن وجود شبه البساطة يعني إمكانية التعامل مع زمرة لورنتز بنفس طريقة التعامل مع الزمر شبه البسيطة الأخرى باستخدام نظرية متطورة. إضافةً إلى ذلك، تُبنى جميع التمثيلات من التمثيلات غير القابلة للاختزال ^، نظرًا لأن جبر لي يتمتع بخاصية الاختزال الكامل . ^{[ 4 ] ولكن، لا يمكن التعامل مع عدم تماسك زمرة لورنتز}^، بالإضافة إلى غياب الاتصال البسيط، من جميع جوانبها كما هو الحال في الإطار البسيط الذي ينطبق على الزمر المتماسكة والمتصلة ببساطة. يشير عدم التماسك، بالنسبة لزمرة لي بسيطة متصلة، إلى عدم وجود تمثيلات وحدوية غير تافهة ذات أبعاد محدودة ^. [ 5 ^{] يؤدي غياب} الاتصال البسيط إلى ظهور تمثيلات الدوران للزمرة. ^{[ 6 ]} يعني عدم الاتصال أنه بالنسبة لتمثيلات زمرة لورنتز الكاملة، يجب التعامل مع انعكاس الزمن وانعكاس التوجه المكاني بشكل منفصل. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

تاريخ

يتبع تطور نظرية التمثيل ذات الأبعاد المحدودة لمجموعة لورنتز في الغالب مسار نظرية التمثيل بشكل عام. نشأت نظرية لي مع سوفوس لي عام 1873. ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]} وبحلول عام 1888، اكتمل تصنيف جبر لي البسيط بشكل أساسي على يد فيلهلم كيلينغ . ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]} وفي عام 1913، أكمل إيلي كارتان نظرية الوزن الأعلى لتمثيلات جبر لي البسيط، وهو المسار الذي سنتبعه هنا. [ ¹³^]^[¹⁴^]^وكان ريتشارد براور، خلال الفترة من 1935 إلى 1938، مسؤولاً إلى حد كبير عن تطوير مصفوفات ويل-براور التي تصف كيفية تضمين تمثيلات الدوران لجبر لي لورنتز في جبر كليفورد . ^[¹⁵^]^[¹⁶^] حظيت مجموعة لورنتز تاريخيًا باهتمام خاص في نظرية التمثيل نظرًا لأهميتها الاستثنائية في الفيزياء (انظر تاريخ التمثيلات الوحدوية اللانهائية الأبعاد أدناه). وقدّم علماء الرياضيات هيرمان فايل ^[¹³^]^[¹⁷^]^[⁹^]^[¹⁸^]^[¹⁹^] وهاريش تشاندرا ^[²⁰^]^[²¹^] ، والفيزيائيون يوجين ويغنر ^[²²^]^[²³^] وفالنتين بارغمان ^[²⁴^]^[²⁵^]^[²⁶^] إسهاماتٍ جوهرية في نظرية التمثيل العامة، ولا سيما في مجموعة لورنتز. ^[²⁷^] ولعلّ الفيزيائي بول ديراك كان أول من ربط كل شيء معًا بشكلٍ واضح في تطبيق عملي ذي أهمية بالغة ودائمة، وذلك من خلال معادلة ديراك عام 1928. ^[²⁸^]^[²⁹^]^[^{ملاحظة 5}^]

جبر لي

يمكن اشتقاق التمثيلات غير القابلة للاختزال لجبر لي لمجموعة لورنتز عن طريق تحليل جبر لي هذا إلى حاصل ضرب مباشر لجبريْن جزئييْن. كل جبر جزئي متماثل مع ${\mathfrak {su}}(2)$ والتمثيلات غير القابلة للاختزال لـ ${\mathfrak {su}}(2)$ تُصنّف هذه العناصر بأعداد نصفية غير سالبة. ونتيجة لذلك، تُصنّف التمثيلات غير القابلة للاختزال لجبر لي لمجموعة لورنتز بأزواج مرتبة. $(m,n)$ من أنصاف الأعداد الصحيحة غير السالبة. ^{[ 30 ]}

يتناول هذا القسم التمثيلات الخطية المعقدة غير القابلة للاختزال لعملية التعقيد ${\mathfrak {so}}(3;1)_{\mathbb {C} }$ من جبر لي ${\mathfrak {so}}(3;1)$ من مجموعة لورنتز. أساس مناسب لـ ${\mathfrak {so}}(3;1)$ يتم تحديدها بواسطة المولدات الثلاثة $J i$ للدوران والمولدات الثلاثة $Ki للتعزيز$ . وهي معطاة صراحةً في الاصطلاحات وقواعد جبر لي .

يتم تعقيد جبر لي ، ويتم تغيير الأساس إلى مكونات مثاليه ^{[ 31 ]} $\mathbf {A} ={\frac {\mathbf {J} +i\mathbf {K} }{2}},\quad \mathbf {B} ={\frac {\mathbf {J} -i\mathbf {K} }{2}}.$

تُحقق مكونات $A = ($ $A1$ $,$ $A2$ $,$ $A3$ $)$ $و$ B $= (B1, B2,$ $B3$ $)$ $بشكل$ $منفصل$ $علاقات$ $التبادل$ $في$ جبر لي ${\mathfrak {su}}(2)$ وعلاوة على ذلك، فإنهم يتنقلون مع بعضهم البعض، ^{[ 32 ]}

$\left[A_{i},A_{j}\right]=i\varepsilon _{ijk}A_{k},\quad \left[B_{i},B_{j}\right]=i\varepsilon _{ijk}B_{k},\quad \left[A_{i},B_{j}\right]=0,$

حيث $i و j و k$ هي مؤشرات تأخذ كل منها القيم $1 و 2 و 3$ ، و $ε ijk$ هو رمز ليفي-سيفيتا ثلاثي الأبعاد . $\mathbf {A} _{\mathbb {C} }$ و $\mathbf {B} _{\mathbb {C} }$ تشير إلى الامتداد الخطي المعقد لـ $A$ و $B$ على التوالي.

أحدها له التشاكلات ^{[ 33 ]}^{[ ملاحظة 6 ]}

{\begin{aligned}{\mathfrak {so}}(3;1)\hookrightarrow {\mathfrak {so}}(3;1)_{\mathbb {C} }&\cong \mathbf {A} _{\mathbb {C} }\oplus \mathbf {B} _{\mathbb {C} }\cong {\mathfrak {su}}(2)_{\mathbb {C} }\oplus {\mathfrak {su}}(2)_{\mathbb {C} }\\[5pt]&\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\\[5pt]&\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus i{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )_{\mathbb {C} }\hookleftarrow {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),\end{aligned}}

A1

أين ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ هو تعقيد ${\mathfrak {su}}(2)\cong \mathbf {A} \cong \mathbf {B} .$

تكمن فائدة هذه التشاكلات في حقيقة أن جميع التمثيلات غير القابلة للاختزال لـ ${\mathfrak {su}}(2)$ وبالتالي جميع التمثيلات الخطية المعقدة غير القابلة للاختزال لـ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),$ معروفة. التمثيل الخطي المركب غير القابل للاختزال لـ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ وهي متماثلة مع أحد التمثيلات ذات الوزن الأعلى . ويتم تقديم هذه التمثيلات صراحةً في تمثيلات خطية معقدة لـ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).$ ^{[ 33 ]}

خدعة الموحدين

جبر لي ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ هي جبر لي لـ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\times {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).$ تحتوي على المجموعة الفرعية المدمجة $SU(2) \times SU(2)$ مع جبر لي ${\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2).$ الأخير هو شكل حقيقي مختصر لـ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).$ وبالتالي، انطلاقًا من البيان الأول للحيلة الوحدوية، فإن تمثيلات $SU(2) \times SU(2)$ تتطابق تطابقًا تامًا مع التمثيلات الهولومورفية لـ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\times {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).$

بسبب خاصية التراص، تنطبق نظرية بيتر-ويل على $SU(2) \times SU(2)$ ، ^{[ 34 ]} وبالتالي يمكن الاستناد إلى خاصية التعامد المعياري للخصائص غير القابلة للاختزال . إن التمثيلات الوحدوية غير القابلة للاختزال لـ $SU(2) \times SU(2)$ هي تحديدًا حاصل ضرب الموترات للتمثيلات الوحدوية غير القابلة للاختزال لـ $SU(2)$ . ^{[ 35 ]}

بالاستناد إلى مبدأ الترابط البسيط، يتم تطبيق العبارة الثانية من خدعة التوحيد. العناصر في القائمة التالية متناظرة تناظراً تاماً:

التمثيلات الهولومورفية لـ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\times {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$
تمثيلات سلسة لـ $SU(2) \times SU(2)$
التمثيلات الخطية الحقيقية لـ ${\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2)$
التمثيلات الخطية المعقدة لـ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$

تظهر نواتج الموتر للتمثيلات على مستوى جبر لي كأحد ^{[ nb 7 ]}

{\begin{aligned}\pi _{1}\otimes \pi _{2}(X)&=\pi _{1}(X)\otimes \mathrm {Id} _{V}+\mathrm {Id} _{U}\otimes \pi _{2}(X)&&X\in {\mathfrak {g}}\\\pi _{1}\otimes \pi _{2}(X,Y)&=\pi _{1}(X)\otimes \mathrm {Id} _{V}+\mathrm {Id} _{U}\otimes \pi _{2}(Y)&&(X,Y)\in {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}\end{aligned}}

A0

حيث $Id$ هو عامل الهوية. هنا، يُقصد التفسير الأخير، الذي يتبع من (G6) . تمثيلات الوزن الأعلى لـ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ يتم فهرسة القيم بواسطة $μ$ حيث $μ = 0، 1/2، 1، ...$ . (أعلى الأوزان هي في الواقع $2μ = 0 ، 1، 2، ...$ ، ولكن تم تكييف الترميز هنا مع ترميز ... ${\mathfrak {so}}(3;1).$ ) تشكل حاصلات الضرب الموترية لعاملين خطيين معقدين من هذا القبيل تمثيلات خطية معقدة غير قابلة للاختزال لـ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).$

وأخيراً، $\mathbb {R}$ - تمثيلات خطية للأشكال الحقيقية لليسار المتطرف، ${\mathfrak {so}}(3;1)$ واليمين المتطرف، ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),$ ^{[ ملاحظة 8 ]} في(A1)يتم الحصول عليها من $\mathbb {C}$ التمثيلات الخطية لـ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ كما هو موضح في الفقرة السابقة.

( μ , ν ) - تمثيلات sl(2, C)

التمثيلات الخطية المعقدة لتعقيد ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )_{\mathbb {C} },$ تُطابق التمثيلات الخطية الحقيقية لـ (A1) التي تم الحصول عليها عبر التشاكلات في (A1) تطابقًا تامًا. ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).$ ^{[ 36 ]} مجموعة جميعالخطية الحقيقيةغير القابلة للاختزال لـ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ وبالتالي، يتم فهرسة هذه المتغيرات بواسطة زوج $(μ ، ν)$ . أما المتغيرات الخطية المركبة، فتتوافق بدقة مع تحويل المتغيرات الخطية الحقيقية إلى متغيرات معقدة. ${\mathfrak {su}}(2)$ تكون التمثيلات من الشكل $(μ, 0)$ ، بينما تكون التمثيلات الخطية المترافقة من الشكل $(0, ν)$ . ^{[ 36 ]} جميع التمثيلات الأخرى خطية حقيقية فقط. وتنتج خصائص الخطية من الحقن الكنسي، الموجود في أقصى اليمين في (A1) ، لـ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ في تعقيدها. تُعطى التمثيلات على الصورة $(ν, ν)$ أو $(μ, ν) \oplus (ν, μ) بواسطة مصفوفات$ حقيقية (الأخيرة ليست غير قابلة للاختزال). بشكل صريح، التمثيلات الخطية الحقيقية $(μ, ν)$ لـ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ نكون $\varphi _{\mu ,\nu }(X)=\left(\varphi _{\mu }\otimes {\overline {\varphi _{\nu }}}\right)(X)=\varphi _{\mu }(X)\otimes \operatorname {Id} _{\nu +1}+\operatorname {Id} _{\mu +1}\otimes {\overline {\varphi _{\nu }(X)}},\qquad X\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ أين ${\textstyle \varphi _{\mu },\mu =0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots }$ هي التمثيلات الخطية المعقدة غير القابلة للاختزال لـ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ و ${\overline {\varphi _{\nu }}},\nu =0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots$ تمثيلاتها المترافقة المعقدة. (عادةً ما يكون الترقيم في الأدبيات الرياضية $0، 1، 2، ...$ ، ولكن تم اختيار أنصاف الأعداد الصحيحة هنا لتتوافق مع ترقيم ... ${\mathfrak {so}}(3,1)$ (جبر لي.) هنا، يُفسَّر حاصل الضرب الموتري بالمعنى السابق لـ (A0) . وتُوضَّح هذه التمثيلات عمليًا أدناه.

تمثيلات ( m , n ) لـ so(3; 1)

من خلال التشاكلات المعروضة في (A1) ومعرفة التمثيلات الخطية المعقدة غير القابلة للاختزال لـ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ عند حل المعادلة لإيجاد قيمتي $J$ و $K$ ، فإن جميع التمثيلات غير القابلة للاختزال لـ ${\mathfrak {so}}(3;1)_{\mathbb {C} },$ وبحكم التقييد، تلك الخاصة بـ ${\mathfrak {so}}(3;1)$ يتم الحصول على تمثيلات لـ ${\mathfrak {so}}(3;1)$ تكون الأعداد التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة أعدادًا خطية حقيقية (وليست أعدادًا مركبة أو أعدادًا خطية مترافقة) لأن الجبر لا يكون مغلقًا عند الترافق، لكنها مع ذلك غير قابلة للاختزال. ^{[ 33 ]} بما أن ${\mathfrak {so}}(3;1)$ شبه بسيط ، ^{[ 33 ]} يمكن بناء جميع تمثيلاته كمجموعات مباشرة للتمثيلات غير القابلة للاختزال.

وبالتالي، تُصنف التمثيلات غير القابلة للاختزال ذات الأبعاد المحدودة لجبر لورنتز بواسطة زوج مرتب من أنصاف الأعداد الصحيحة $m = μ$ و $n = ν$ ، والتي تُكتب اصطلاحًا على أنها واحدة من $(m,n)\equiv \pi _{(m,n)}:{\mathfrak {so}}(3;1)\to {\mathfrak {gl}}(V),$ حيث $V$ فضاء متجهي ذو أبعاد محدودة. هذه، حتى تحويل التشابه ، معطاة بشكل فريد بواسطة ^{[ nb 9 ]}

$\pi _{(m,n)}(J_{i})=J_{i}^{(m)}\otimes 1_{(2n+1)}+1_{(2m+1)}\otimes J_{i}^{(n)}$ $\pi _{(m,n)}(K_{i})=-i\left(J_{i}^{(m)}\otimes 1_{(2n+1)}-1_{(2m+1)}\otimes J_{i}^{(n)}\right),$

A2

حيث $1 n$ هي مصفوفة الوحدة ذات الأبعاد $n$ و $\mathbf {J} ^{(n)}=\left(J_{1}^{(n)},J_{2}^{(n)},J_{3}^{(n)}\right)$ هي التمثيلات غير القابلة للاختزال ذات الأبعاد $(2 n + 1)$ لـ ${\mathfrak {so}}(3)\cong {\mathfrak {su}}(2)$ وتسمى أيضاً مصفوفات الدوران أو مصفوفات الزخم الزاوي . وقد وردت هذه المصفوفات صراحةً في ^{[ 37 ].} ${\begin{aligned}\left(J_{1}^{(j)}\right)_{a'a}&={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {(j-a)(j+a+1)}}\delta _{a',a+1}+{\sqrt {(j+a)(j-a+1)}}\delta _{a',a-1}\right)\\\left(J_{2}^{(j)}\right)_{a'a}&={\frac {1}{2i}}\left({\sqrt {(j-a)(j+a+1)}}\delta _{a',a+1}-{\sqrt {(j+a)(j-a+1)}}\delta _{a',a-1}\right)\\\left(J_{3}^{(j)}\right)_{a'a}&=a\delta _{a',a}\end{aligned}}$ حيث $δ$ تشير إلى دلتا كرونكر . في المكونات، مع $- m \leq a ، a' \leq m$ ، $- n \leq b ، b' \leq n$ ، يتم إعطاء التمثيلات بواسطة ^{[ 38 ]} ${\begin{aligned}\left(\pi _{(m,n)}\left(J_{i}\right)\right)_{a'b',ab}&=\delta _{b'b}\left(J_{i}^{(m)}\right)_{a'a}+\delta _{a'a}\left(J_{i}^{(n)}\right)_{b'b}\\\left(\pi _{(m,n)}\left(K_{i}\right)\right)_{a'b',ab}&=-i\left(\delta _{b'b}\left(J_{i}^{(m)}\right)_{a'a}-\delta _{a'a}\left(J_{i}^{(n)}\right)_{b'b}\right)\end{aligned}}$

التمثيلات الشائعة

التمثيلات غير القابلة للاختزال للأعداد الصغيرة $(m, n)$ . البعد بين قوسين.
	$م = 0$	$١/٢ $	$1$	$3 / 2 $
$ن = 0$	(1) كمية قياسية	سبينور ويل أعسر (2)	الشكل الثنائي الذاتي (3)	(4)
$١/٢ $	سبينور ويل الأيمن (2)	المتجه الرباعي (4)	(6)	(8)
$1$	مضاد للازدواجية الذاتية 2-شكل (3)	(6)	الموتر المتناظر عديم الأثر (9)	(12)
$3 / 2 $	(4)	(8)	(12)	(16)

تُستخدم تمثيلات جبر لي هذا في الفيزياء، حيث أن العديد من الكميات الفيزيائية ذات الأهمية هي دوال، أو مجموعات من الدوال، معرفة على الزمكان وتتحول معًا تحت تمثيل ذي بُعد مناسب. ^{[ 39 ]}

التمثيل $(0, 0) هو$ التمثيل التافه أحادي البعد ويتم حمله بواسطة نظريات الحقل القياسي النسبي. ^{[ 40 ]}
$تتحول$ مولدات التناظر الفائق الفرميوني تحت أحد التمثيلات $(0 ، 1/2)$ أو $(1/2 ،$ $0$ $)$ ⁽ سبينورات $فايل$ $)$ ^. $[$ $41$ ^]
يتحول الزخم الرباعي للجسيم (سواء كان عديم الكتلة أو ذا كتلة ) تحت التمثيل $(⁠ 1 / 2 ⁠, ⁠ 1 / 2 ⁠)$ ، وهو متجه رباعي . ^{[ 42 ]}
من الأمثلة الفيزيائية على حقل موتر متناظر عديم الأثر (1,1) الجزء عديم الأثر ^[^{nb 10}^] من موتر الطاقة-الزخم $T$ $μν$ . ^[⁴³^]^[^{nb 11}^]

بما أن التبادلات المترافقة المعقدة $(m, n)$ و $(n, m)$ ، فإن المجموع المباشر للتمثيلات $(m, n)$ و $(n, m)$ يقبل ممثلين مصفوفيين حقيقيين، وبالتالي له أهمية خاصة في الفيزياء. ^{[ 44 ]}^{[ 45 ]}

$(⁠ 1 / 2 ⁠, 0) \oplus (0, ⁠ 1 / 2 ⁠)$ هو تمثيل ديراك سبينور . انظر أيضًا سبينورات فايل أدناه.
$(1, ⁠ 1 / 2 ⁠) \oplus (⁠ 1 / 2 ⁠, 1)$ هو تمثيل مجال Rarita-Schwinger .
$(⁠ 3 / 2 ⁠, 0) \oplus (0, ⁠ 3 / 2 ⁠)$ سيكون تناظر الجرافيتينو المفترض . ^{[ nb 12 ]} ويمكن الحصول عليه من التمثيل $(1, ⁠ 1 / 2 ⁠) \oplus (⁠ 1 / 2 ⁠, 1)$ .
$يمثل (1, 0) \oplus (0, 1)$ تمثيلاً لحقل ثنائي الشكل ثابت التكافؤ (يُعرف أيضاً باسم شكل الانحناء ). ويتحول موتر المجال الكهرومغناطيسي تحت هذا التمثيل.

مجموعة

يعتمد المنهج المتبع في هذا القسم على نظريات تستند بدورها إلى تناظر لي الأساسي . ^{[ 46 ]} يُعد تناظر لي في جوهره قاموسًا بين زمر لي المتصلة وجبر لي. ^{[ 47 ]} والرابط بينهما هو التحويل الأسي من جبر لي إلى زمرة لي، ويرمز له بـ ${\displaystyle \exp$

لو ${\displaystyle \pi$ لدينا فضاء متجهي $V$ يمثل تمثيلاً، فإن التمثيل $Π$ للمكون المتصل من $G$ يُعرَّف كما يلي:

{\begin{aligned}\Pi (g=e^{iX})&\equiv e^{i\pi (X)},&&X\in {\mathfrak {g}},\quad g=e^{iX}\in \mathrm {im} (\exp ),\\\Pi (g=g_{1}g_{2}\cdots g_{n})&\equiv \Pi (g_{1})\Pi (g_{2})\cdots \Pi (g_{n}),&&g\notin \mathrm {im} (\exp ),\quad g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}\in \mathrm {im} (\exp ).\end{aligned}}

G2

ينطبق هذا التعريف سواء كان التمثيل الناتج إسقاطيًا أم لا.

شمولية الخريطة الأسية لـ SO(3, 1)

من الناحية العملية، من المهم معرفة ما إذا كان بالإمكان استخدام الصيغة الأولى في (G2) لجميع عناصر المجموعة . وهي تنطبق على جميع $X\in {\mathfrak {g}}$ ومع ذلك، في الحالة العامة، على سبيل المثال لـ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ، ليس كل $g \in G$ موجودًا في صورة $exp$ .

لكن ${\displaystyle \exp$ شاملة . إحدى طرق إثبات ذلك هي استخدام التشاكل. ${\text{SO}}(3;1)^{+}\cong {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} ),$ أما الأخيرة فهي مجموعة موبيوس . وهي ناتج قسمة ${\text{GL}}(n,\mathbb {C} )$ (انظر المقال المرفق). يُرمز إلى خريطة القسمة بـ $p:{\text{GL}}(n,\mathbb {C} )\to {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} ).$ الخريطة ${\displaystyle \exp$ شاملة.^{[ 48 ]} بتطبيق (لي) حيث $π$ هو تفاضل $p$ عند نقطة التطابق. عندئذٍ

$\forall X\in {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} ):\quad p(\exp(iX))=\exp(i\pi (X)).$

بما أن الطرف الأيسر شامل (كل من $exp$ و $p$ كذلك)، فإن الطرف الأيمن شامل، وبالتالي ${\displaystyle \exp$ شاملة.^{[ 49 ]} وأخيرًا، نعيد استخدام الحجة مرة أخرى، ولكن الآن مع التشاكل المعروف بين $SO(3; 1) +$ و ${\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )$ لإيجاد أن $الدالة الأسية$ شاملة للمكون المتصل لمجموعة لورنتز.

المجموعة الأساسية

مجموعة لورنتز متصلة بشكل مزدوج ، أي أن $π 1 (SO(3; 1))$ هي مجموعة تحتوي على فئتين متكافئتين من الحلقات كعناصر لها.

دليل

لإظهار المجموعة الأساسية لـ $SO(3; 1) +$ ، طوبولوجيا مجموعة التغطية الخاصة بها ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ يُؤخذ في الاعتبار. وفقًا لنظرية التحليل القطبي ، فإن أي مصفوفة $\lambda \in {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ يمكن التعبير عنها بشكل فريد على النحو التالي: ^{[ 50 ]}

$\lambda =ue^{h},$

حيث $u$ دالة وحدوية ومحددها يساوي واحدًا، وبالتالي تنتمي إلى $SU(2)$ ، و $h$ دالة هيرميتية وأثرها يساوي صفرًا. وتستلزم شروط الأثر والمحدد ما يلي : ^{[ 51 ]} ${\begin{aligned}h&={\begin{pmatrix}c&a-ib\\a+ib&-c\end{pmatrix}}&&(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}\\[4pt]u&={\begin{pmatrix}d+ie&f+ig\\-f+ig&d-ie\end{pmatrix}}&&(d,e,f,g)\in \mathbb {R} ^{4}{\text{ subject to }}d^{2}+e^{2}+f^{2}+g^{2}=1.\end{aligned}}$

التطبيق التقابلي المستمر بشكل واضح هو تماثل شكلي مع معكوس مستمر معطى بواسطة ( يتم تحديد موضع $u بـ$ $\mathbb {S} ^{3}\subset \mathbb {R} ^{4}$ )

${\begin{cases}\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {S} ^{3}\to {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\\(r,s)\mapsto u(s)e^{h(r)}\end{cases}}$

يُظهر ذلك صراحةً ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ الأمر بسيط، إنه متصل. لكن ${\text{SO}}(3;1)\cong {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )/\{\pm I\},$ أين $\{\pm I\}$ هو مركز ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ إن تحديد $λ$ و $- λ$ يعادل تحديد $u$ مع $- u$ ، وهو ما يعادل بدوره تحديد النقاط المتقابلة على $\mathbb {S} ^{3}.$ وبالتالي من الناحية الطوبولوجية، ^{[ 51 ]} ${\text{SO}}(3;1)\cong \mathbb {R} ^{3}\times (\mathbb {S} ^{3}/\mathbb {Z} _{2}),$

حيث لا يكون العامل الأخير متصلاً ببساطة: من الناحية الهندسية، يُرى (لأغراض التصور، $\mathbb {S} ^{3}$ قد يتم استبدالها بـ $\mathbb {S} ^{2}$ ) أن المسار من $u$ إلى $- u$ في $SU(2)\cong \mathbb {S} ^{3}$ حلقة في $\mathbb {S} ^{3}/\mathbb {Z} _{2}$ بما أن $u$ و $-u نقطتان$ متقابلتان، ولأن المسار غير قابل للانكماش إلى نقطة، فإن المسار من $u إلى -u، ثم إلى u$ $مرة$ أخرى $،$ يشكل $حلقة$ في $\mathbb {S} ^{3}$ وحلقة مزدوجة (مع الأخذ في الاعتبار أن $p$ $(ueh) = p (-ueh))$ ، حيث $p:{\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{SO}}(3;1)$ (الخريطة المغطية) في $\mathbb {S} ^{3}/\mathbb {Z} _{2}$ قابلة للانكماش إلى حد ما (تتحرك باستمرار بعيدًا عن $-u " في$ الطابق العلوي" في $\mathbb {S} ^{3}$ وتقليص المسار هناك إلى النقطة $u$ ). ^{[ 51 ]} وبالتالي فإن $π 1 (SO(3; 1))$ هي مجموعة تحتوي على فئتين متكافئتين من الحلقات كعناصر لها، أو بعبارة أبسط، فإن $SO(3; 1)$ متصلة بشكل مزدوج .

التمثيلات الإسقاطية

بما أن $π 1 (SO(3; 1) +)$ يحتوي على عنصرين، فإن بعض تمثيلات جبر لي ستؤدي إلى تمثيلات إسقاطية . ^{[ 52 ]}^{[ nb 13 ]} بمجرد معرفة ما إذا كان التمثيل إسقاطيًا، تنطبق الصيغة (G2) على جميع عناصر المجموعة وجميع التمثيلات، بما في ذلك التمثيلات الإسقاطية - مع العلم أن ممثل عنصر المجموعة سيعتمد على العنصر المستخدم في جبر لي ( $X$ في (G2) ) لتمثيل عنصر المجموعة في التمثيل القياسي.

بالنسبة لمجموعة لورنتز، يكون التمثيل $(m, n)$ إسقاطيًا عندما يكون $m + n$ عددًا صحيحًا نصفيًا. انظر § سبينورات .

بالنسبة للتمثيل الإسقاطي $Π$ لـ $SO(3; 1) +$ ، فإنه يتحقق ^{[ 51 ]}

\left[\Pi (\Lambda _{1})\Pi (\Lambda _{2})\Pi ^{-1}(\Lambda _{1}\Lambda _{2})\right]^{2}=1\Rightarrow \Pi (\Lambda _{1}\Lambda _{2})=\pm \Pi (\Lambda _{1})\Pi (\Lambda _{2}),\quad \Lambda _{1},\Lambda _{2}\in \mathrm {SO} (3;1),

جي 5

بما أن أي حلقة في $SO(3; 1) +$ يتم اجتيازها مرتين، نظرًا للاتصال المزدوج، قابلة للانكماش إلى نقطة، فإن فئة التماثل الخاصة بها هي فئة دالة ثابتة. ويترتب على ذلك أن $Π$ دالة ثنائية القيمة. لا يمكن اختيار إشارة متسقة للحصول على تمثيل متصل لجميع عناصر $SO(3; 1) +$ ، ولكن هذا ممكن محليًا حول أي نقطة. ^{[ 5 ]}

المجموعة المغطية SL(2, C)

يعتبر ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ كجبر لي حقيقي ذي أساس

$\left({\frac {1}{2}}\sigma _{1},{\frac {1}{2}}\sigma _{2},{\frac {1}{2}}\sigma _{3},{\frac {i}{2}}\sigma _{1},{\frac {i}{2}}\sigma _{2},{\frac {i}{2}}\sigma _{3}\right)\equiv (j_{1},j_{2},j_{3},k_{1},k_{2},k_{3}),$

حيث تمثل سيجما مصفوفات باولي . من العلاقات

[\sigma _{i},\sigma _{j}]=2i\epsilon _{ijk}\sigma _{k}

J1

يتم الحصول على

[j_{i},j_{j}]=i\epsilon _{ijk}j_{k},\quad [j_{i},k_{j}]=i\epsilon _{ijk}k_{k},\quad [k_{i},k_{j}]=-i\epsilon _{ijk}j_{k},

J2

والتي تتخذ بالضبط شكل النسخة $ثلاثية$ الأبعاد لعلاقات التبادل لـ ${\mathfrak {so}}(3;1)$ (انظر الاصطلاحات وقواعد جبر لي أدناه). بالتالي، فإن التطبيق $J i \leftrightarrow j i$ ، $K i \leftrightarrow k i$ ، الممتد بالخطية، هو تماثل. بما أن ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ببساطة متصلة، إنها مجموعة التغطية الشاملة لـ $SO(3; 1) +$ .

المزيد حول تغطية المجموعات بشكل عام و

{\text{SL}}(2,\mathbb {C} )

تغطية مجموعة لورنتز على وجه الخصوص

منظور هندسي

قام إي. بي. ويغنر بدراسة مجموعة لورنتز بتعمق، وهو معروف بمعادلات بارغمان-ويغنر . إن تمثيل مجموعة التغطية المذكور هنا مأخوذ من بحثه المنشور عام 1939.

ليكن $p g (t), 0 \leq t \leq 1$ مسارًا من $1 \in SO(3; 1) +$ إلى $g \in SO(3; 1) +$ ، ولنرمز إلى فئة التماثل الخاصة به بـ $[p g]$ ، ولتكن $π g$ مجموعة جميع فئات التماثل هذه. عرّف المجموعة

G=\{(g,[p_{g}]):g\in \mathrm {SO} (3;1)^{+},[p_{g}]\in \pi _{g}\}

ج1

وأضف إليها عملية الضرب

(g_{1},[p_{1}])(g_{2},[p_{2}])=(g_{1}g_{2},[p_{12}]),

C2

أين $p_{12}$ هو ضرب المسار لـ $p_{1}$ و $p_{2}$ :

$p_{12}(t)=(p_{1}*p_{2})(t)={\begin{cases}p_{1}(2t)&0\leqslant t\leqslant {\tfrac {1}{2}}\\p_{2}(2t-1)&{\tfrac {1}{2}}\leqslant t\leqslant 1\end{cases}}$

بهذا الضرب، تصبح $G$ مجموعة متماثلة مع ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),$ ^{[ 53 ]} مجموعة التغطية الشاملة لـ $SO(3; 1) +$ . بما أن كل $πg$ يحتوي على عنصرين، فبحسب البناء المذكور أعلاه، توجدخريطة تغطية 2:1 $p : G$ $SO$ $(3; 1)$ $+$ . وفقًامجموعات التغطية، فإن جبر لي ${\mathfrak {so}}(3;1),{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ و ${\mathfrak {g}}$ جميع عناصر $G$ متماثلة. يُعطى تطبيق التغطية $p : G \to SO(3; 1) + ببساطة بواسطة$ $p (g, [p g]) = g$ .

منظور جبري

للحصول على رؤية جبرية لمجموعة التغطية الشاملة، دع ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ قم بالتأثير على مجموعة جميع المصفوفات الهرميتية 2 × 2 ${\mathfrak {h}}$ عن طريق العملية ^{[ 51 ]}

{\begin{cases}\mathbf {P} (A):{\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {h}}\\X\mapsto A^{\dagger }XA\end{cases}}\qquad A\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )

ج3

الإجراء بشأن ${\mathfrak {h}}$ خطي. عنصر من ${\mathfrak {h}}$ يمكن كتابتها بالشكل التالي

X={\begin{pmatrix}\xi _{4}+\xi _{3}&\xi _{1}+i\xi _{2}\\\xi _{1}-i\xi _{2}&\xi _{4}-\xi _{3}\\\end{pmatrix}}\qquad \xi _{1},\ldots ,\xi _{4}\in \mathbb {R} .

C4

التطبيق $P$ هو تشاكل زمر إلى ${\text{GL}}({\mathfrak {h}})\subset {\text{End}}({\mathfrak {h}}).$ هكذا $\mathbf {P$ تمثيلاً رباعي الأبعاد لـ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ يجب أن تأخذ نواتها على وجه الخصوص مصفوفة الوحدة إلى نفسها، $A † IA = A † A = I$ ، وبالتالي $A † = A -1$ . ومن ثم، $AX = XA$ لـ $A$ في النواة، لذا، وفقًا لفرضية شور ، ^{[ ملاحظة 14 ]} $فإن A$ مضاعف لمصفوفة الوحدة، والتي يجب أن تكون $\pm I$ لأن $det A =$ 1. ^{[ 54 ]} الفضاء ${\mathfrak {h}}$ يتم تعيينها إلى فضاء مينكوفسكي $M 4$ ، عبر

X=(\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\xi _{4})\leftrightarrow {\overrightarrow {(\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\xi _{4})}}=(x,y,z,t)={\overrightarrow {X}}.

C5

تأثير $P (A)$ على ${\mathfrak {h}}$ يحافظ على المحددات. التمثيل المستحث $p$ لـ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ على $\mathbb {R} ^{4},$ عن طريق التشاكل المذكور أعلاه، المعطى بواسطة

\mathbf {p} (A){\overrightarrow {X}}={\overrightarrow {AXA^{\dagger }}}

C6

يحافظ على حاصل الضرب الداخلي لورنتز لأن $-\det X=\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}+\xi _{3}^{2}-\xi _{4}^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}.$

هذا يعني أن $p (A)$ ينتمي إلى مجموعة لورنتز الكاملة $SO(3; 1)$ . وبحسب النظرية الرئيسية للاتصال ، بما أن ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ متصلة، صورتها تحت $p$ في $SO(3; 1)$ متصلة، وبالتالي فهي موجودة في $SO(3; 1) +$ .

يمكن إثبات أن خريطة لي لـ $\mathbf {p$ هو تماثل جبر لي: ${\displaystyle \pi$ ^{[ ملاحظة 15 ]} التطبيق $P$ شامل أيضًا.^{[ ملاحظة 16 ]}

هكذا ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ، نظرًا لأنها متصلة ببساطة، فهي مجموعة التغطية الشاملة لـ $SO(3; 1) +$ ، متماثلة مع المجموعة $G$ المذكورة أعلاه.

عدم شمولية التحويل الأسي لـ SL(2, C)

{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),{\mathfrak {so}}(3;1),} — يوضح هذا الرسم التخطيطي شبكة الخرائط التي نوقشت في النص. هنا، $V$ هو فضاء متجهي محدود الأبعاد يحمل تمثيلات لـ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),{\mathfrak {so}}(3;1),$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ و ${\text{SO}}(3;1)^{+}.$ $\exp$ هي الدالة الأسية، و $p$ هي دالة التغطية من ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),$ على $SO(3; 1) +$ و $σ$ هو تماثل جبر لي الناتج عنه. التطبيقات $Π و π$ و $Φ$ هي تمثيلات. الصورة صحيحة جزئيًا فقط عندما يكون $Π$ إسقاطيًا.

التحويل الأسي ${\displaystyle \exp$ المصفوفة $:{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ليست شاملة.^{[ 55 ]}

q={\begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\\\end{pmatrix}}

S6

هو في ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),$ لكن لا يوجد $Q\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ بحيث يكون $q = exp(Q)$ . ^{[ nb 17 ]}

بشكل عام، إذا كان $g$ عنصرًا من زمرة لي متصلة $G$ ذات جبر لي ${\mathfrak {g}},$ ثم، عن طريق (الكذب) ،

g=\exp(X_{1})\cdots \exp(X_{n}),\qquad X_{1},\ldots X_{n}\in {\mathfrak {g}}.

S7

يمكن كتابة المصفوفة $q على النحو التالي$

{\begin{aligned}&\exp(-X)\exp(i\pi H)\\{}={}&\exp \left({\begin{pmatrix}0&-1\\0&0\\\end{pmatrix}}\right)\exp \left(i\pi {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}\right)\\[6pt]{}={}&{\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}\\[6pt]{}={}&{\begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\\\end{pmatrix}}\\{}={}&q.\end{aligned}}

S8

تحقيق تمثيلات $SL(2, C)$ و $sl(2, C)$ وجبر لي الخاص بهما

التمثيلات الخطية المعقدة لـ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ و ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ يسهل الحصول عليها أكثر من... ${\mathfrak {so}}(3;1)^{+}$ التمثيلات. ترتبط تمثيلات المجموعة الهولومورفية (أي أن تمثيل جبر لي المقابل هو تمثيل خطي مركب) بتمثيلات جبر لي الخطي المركب عن طريق الأس. التمثيلات الخطية الحقيقية لـ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ هي بالضبط تمثيلات $(μ, ν)$ . ويمكن رفعها إلى أسّ أيضًا. تمثيلات $(μ, 0)$ هي تمثيلات خطية مركبة، وهي (متماثلة مع) تمثيلات الوزن الأعلى. عادةً ما يتم فهرسة هذه التمثيلات بعدد صحيح واحد فقط (ولكن تُستخدم هنا أنصاف الأعداد الصحيحة).

يُستخدم الاصطلاح الرياضي في هذا القسم للتسهيل. تختلف عناصر جبر لي بمعامل $i$ ، ولا يوجد معامل $i$ في التحويل الأسي مقارنةً بالاصطلاح الفيزيائي المستخدم في أماكن أخرى. لنفترض أن أساس ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ كن ^{[ 56 ]}

H={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}},\quad X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\\end{pmatrix}},\quad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\\\end{pmatrix}}.

S1

يُعد هذا الاختيار للأساس والترميز معيارياً في الأدبيات الرياضية. ^{[ 56 ]}

التمثيلات الخطية المعقدة

التمثيلات الهولومورفية غير القابلة للاختزال ذات الأبعاد $(ن + 1)$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),n\geqslant 2,$ يمكن تحقيق ذلك على فضاء كثيرات الحدود المتجانسة من الدرجة $n$ في متغيرين $\mathbf {P} _{n}^{2},$ ^{[ 57 ]}^{[ 58 ]} عناصرها هي

$P{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=c_{n}z_{1}^{n}+c_{n-1}z_{1}^{n-1}z_{2}+\cdots +c_{0}z_{2}^{n},\quad c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n}\in \mathbb {Z} .$

فعل ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ يتم تحديده بواسطة ^{[ 59 ]}^{[ 60 ]}

(\phi _{n}(g)P){\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=\left[\phi _{n}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}P\right]{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=P\left({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}\right),\qquad P\in \mathbf {P} _{n}^{2}.

S2

المرتبط ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ - الإجراء هو، باستخدام (G6) والتعريف أعلاه، للعناصر الأساسية لـ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),$ ^{[ 61 ]}

\phi _{n}(H)=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}+z_{2}{\frac {\partial }{\partial z_{2}}},\quad \phi _{n}(X)=-z_{2}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}},\quad \phi _{n}(Y)=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{2}}}.

S5

مع خيار الأساس لـ $P\in \mathbf {P} _{n}^{2}$ ، تصبح هذه التمثيلات جبر لي المصفوفي.

التمثيلات الخطية الحقيقية

تُحقق تمثيلات ( $μ, ν) على فضاء من كثيرات الحدود$ $\mathbf {P} _{\mu ,\nu }^{2}$ في $z_{1},{\overline {z_{1}}},z_{2},{\overline {z_{2}}},$ متجانس من الدرجة $μ$ في $z_{1},z_{2}$ ومتجانس من الدرجة $ν$ في ${\overline {z_{1}}},{\overline {z_{2}}}.$ ^{[ 58 ]} يتم تقديم التمثيلات بواسطة^{[ 62 ]}

(\phi _{\mu ,\nu }(g)P){\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=\left[\phi _{\mu ,\nu }{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}P\right]{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=P\left({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}\right),\quad P\in \mathbf {P} _{\mu ,\nu }^{2}.

S6

وباستخدام (G6) مرة أخرى، نجد أن

{\begin{aligned}\phi _{\mu ,\nu }(E)P=&-{\frac {\partial P}{\partial z_{1}}}\left(E_{11}z_{1}+E_{12}z_{2}\right)-{\frac {\partial P}{\partial z_{2}}}\left(E_{21}z_{1}+E_{22}z_{2}\right)\\&-{\frac {\partial P}{\partial {\overline {z_{1}}}}}\left({\overline {E_{11}}}{\overline {z_{1}}}+{\overline {E_{12}}}{\overline {z_{2}}}\right)-{\frac {\partial P}{\partial {\overline {z_{2}}}}}\left({\overline {E_{21}}}{\overline {z_{1}}}+{\overline {E_{22}}}{\overline {z_{2}}}\right)\end{aligned}},\quad E\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} ).

S7

وبالتحديد بالنسبة للعناصر الأساسية،

{\begin{aligned}\phi _{\mu ,\nu }(H)&=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}+z_{2}{\frac {\partial }{\partial z_{2}}}-{\overline {z_{1}}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{1}}}}}+{\overline {z_{2}}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{2}}}}}\\\phi _{\mu ,\nu }(X)&=-z_{2}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}-{\overline {z_{2}}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{1}}}}}\\\phi _{\mu ,\nu }(Y)&=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{2}}}-{\overline {z_{1}}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{2}}}}}\end{aligned}}

S8

خصائص تمثيلات ( م ، ن )

التمثيلات $(m, n)$ ، المحددة أعلاه عبر (A1) (كقيود على الشكل الحقيقي ) ${\mathfrak {sl}}(3,1)$ ) من جداءات الموترات للتمثيلات الخطية المعقدة غير القابلة للاختزال $π m = μ$ و $π n = ν$ من ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),$ هي غير قابلة للاختزال، وهي التمثيلات الوحيدة غير القابلة للاختزال. ^{[ 34 ]}

تتبع عدم الاختزال من الخدعة التوحيدية ^{[ 63 ]} وأن التمثيل $Π$ لـ $SU(2) \times SU(2)$ غير قابل للاختزال إذا وفقط إذا كانت $Π = Π μ \otimes Π ν$ , ^{[ nb 18 ]} حيث $Π μ, Π ν$ هي تمثيلات غير قابلة للاختزال لـ $SU(2)$ .
تترتب خاصية التفرد على أن $Π m$ هي التمثيلات الوحيدة غير القابلة للاختزال لـ $SU(2)$ ، وهو أحد استنتاجات نظرية الوزن الأعلى. ^{[ 64 ]}

مشغلو كازيمير

بالنسبة لجبر لي لورنتز، تُعدّ مؤثرات كازيمير عناصر أساسية في الجبر الشامل ، وبالتالي، وفقًا لفرضية شور، فإنها تعمل ككميات قياسية على كل تمثيل غير قابل للاختزال. ^{[ 65 ]}^{[ 66 ]} بالنسبة للنظرية ذات الأبعاد المحدودة، من الملائم الانتقال إلى التعقيد واستخدام التفكيك. ${\mathfrak {so}}(3,1)_{\mathbb {C} }\cong \mathbf {A} _{\mathbb {C} }\oplus \mathbf {B} _{\mathbb {C} },$ حيث كل من $\mathbf {A} _{\mathbb {C} }$ و $\mathbf {B} _{\mathbb {C} }$ هي نسخة من ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ (يُعامل هنا على أنه) ${\mathfrak {su}}(2)_{\mathbb {C} }$ كما هو مذكور أعلاه ، مع المولدات $A_{i}$ و $B_{i}$ ^[⁶⁷^]

مع هذا التوحيد، يمكن اعتبار كازيميرات تربيعية للعاملين كما يلي: $\Omega _{A}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2},\qquad \Omega _{B}=B_{1}^{2}+B_{2}^{2}+B_{3}^{2}.$ وبعبارة أخرى، إذا $A_{\pm }=A_{1}\pm iA_{2}$ و $B_{\pm }=B_{1}\pm iB_{2}$ ، ثم $\Omega _{A}=A_{3}^{2}+{\frac {1}{2}}(A_{+}A_{-}+A_{-}A_{+}),\qquad \Omega _{B}=B_{3}^{2}+{\frac {1}{2}}(B_{+}B_{-}+B_{-}B_{+}).$ بما أن العاملين يتبادلان، $\Omega _{A}$ و $\Omega _{B}$ تُعدّ هذه العناصر أساسية في الجبر الشامل الشامل لـ ${\mathfrak {so}}(3,1)_{\mathbb {C} }$ لذا، فإن الاختيار المعياري المناسب لمؤثرات كازيمير التربيعية المستقلة جبريًا لجبر لورنتز هو $C_{1}=2(\Omega _{A}+\Omega _{B}),\qquad C_{2}=\Omega _{A}-\Omega _{B}.$

أما فيما يتعلق بمولدات الدوران والتعزيز، فيصبح هذا $C_{1}=\mathbf {J} ^{2}-\mathbf {K} ^{2},\qquad C_{2}=i\,\mathbf {J} \cdot \mathbf {K} .$ إذا كان $(m,n)$ يمثل التمثيل غير القابل للاختزال الذي تم الحصول عليه من تمثيل الدوران $m$ لـ ${\mathfrak {a}}$ والتمثيل ذو اللف المغزلي $n لـ$ ${\mathfrak {b}}$ ، ثم $\Omega _{A}\mapsto m(m+1),\qquad \Omega _{B}\mapsto n(n+1),$ وبالتالي $C_{1}\mapsto 2{\bigl (}m(m+1)+n(n+1){\bigr )},\qquad C_{2}\mapsto m(m+1)-n(n+1).$ على وجه الخصوص، فإن الزوج المترافق $(م، ن)$ و $(ن، م)$ لهما نفس قيمة $C_{1}$ لكن القيم المعاكسة لـ $C_{2}$ عندما يكون $m=n$ ، يختفي كازيمير الثاني. ^{[ 67 ]}

الأبعاد

التمثيلات $(m, n)$ هي تمثيلات ذات أبعاد $(2m + 1)(2n + 1)$ . ^{[ 68 ]} ويتضح هذا بسهولة من خلال حساب الأبعاد في أي تمثيل ملموس، مثل التمثيلات الواردة في ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ و ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ . بالنسبة للجبر العام لـ Lie ${\mathfrak {g}}$ صيغة بُعد ويل ، ^{[ 69 ]} $\dim \pi _{\rho }={\frac {\Pi _{\alpha \in R^{+}}\langle \alpha ,\rho +\delta \rangle }{\Pi _{\alpha \in R^{+}}\langle \alpha ,\delta \rangle }},$ ينطبق ذلك، حيث $R +$ هي مجموعة الجذور الموجبة، $وρ$ هي أعلى وزن، و $δ$ هي نصف مجموع الجذور الموجبة. الضرب الداخلي $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ هو ذلك الخاص بجبر لي ${\mathfrak {g}},$ ثابت تحت تأثير مجموعة ويل على ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}},$ الجبر الفرعي لكارتان . الجذور (في الواقع عناصر من ${\mathfrak {h}}^{*}$ ) يتم تحديدها من خلال هذا المنتج الداخلي بعناصر من ${\mathfrak {h}}.$ ل ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),$ تُختزل الصيغة إلى $dim π μ = 2 μ + 1 = 2 m + 1$ ، مع مراعاة الترميز الحالي . أعلى وزن هو $2 μ$ . ^{[ 70 ]} وبأخذ جداءات الموترات، نحصل على النتيجة.

الإخلاص

إذا لم يكن التمثيل (غير التافه) $Π$ لمجموعة لي $G أمينًا، فإن$ $N = ker Π$ هي مجموعة جزئية طبيعية غير تافهة. ^{[ 71 ]} هناك ثلاث حالات ذات صلة.

$N$ غير منفصلة وأبيلية .
$N$ غير منفصلة وغير تبديلية.
$N$ منفصلة. في هذه الحالة $N \subset Z$ ، حيث $Z$ هو مركز $G.$ [^{ملاحظة 19 ]}

في حالة $SO(3; 1) +$ ، تُستبعد الحالة الأولى لأن $SO(3; 1) +$ شبه بسيطة. ^{[ ملاحظة 20 ]} تُستبعد الحالة الثانية (والحالة الأولى) لأن $SO(3; 1) +$ بسيطة. ^{[ ملاحظة 21 ]} أما في الحالة الثالثة، $فإن SO(3; 1) +$ متماثلة مع خارج القسمة. ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )/\{\pm I\}.$ لكن $\{\pm I\}$ هو مركز ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).$ يستنتج من ذلك أن مركز $SO(3; 1) +$ تافه، وهذا يستبعد الحالة الثالثة. والخلاصة أن كل تمثيل $Π : SO(3; 1) + \to GL(V)$ وكل تمثيل إسقاطي $Π : SO(3; 1) + \to PGL(W)$ للفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة $V و W تمثيلان أمينان.$

باستخدام تناظر لي الأساسي، تُترجم العبارات والاستدلالات المذكورة أعلاه مباشرةً إلى جبر لي مع استبدال الزمر الجزئية الطبيعية غير المنفصلة (الأبيلية) غير التافهة بمثاليّات غير تافهة (أحادية البعد) في جبر لي، ^{[ 72 ]} ويتم استبدال مركز $SO(3; 1) +$ بمركز ${\mathfrak {sl}}(3;1)^{+}$ مركز أي جبر لي شبه بسيط هو مركز تافه ^{[ 73 ]} و ${\mathfrak {so}}(3;1)$ هو شبه بسيط وبسيط، وبالتالي ليس لديه مُثُل غير تافهة.

ومن الحقائق ذات الصلة أنه إذا كان التمثيل المقابل لـ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ إذا كان التمثيل أمينًا، فإن التمثيل يكون إسقاطيًا. وعلى العكس، إذا كان التمثيل غير إسقاطي، فإن التمثيل المقابل له ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ التمثيل ليس أميناً، ولكنه $2:1$ .

عدم الوحدة

إن تمثيل جبر لي $(m, n)$ ليس هيرميتيًا . وبناءً على ذلك، فإن التمثيل (الإسقاطي) المقابل للمجموعة ليس وحدويًا أبدًا . ^{[ ملاحظة 22 ]} ويعود ذلك إلى عدم تماسك مجموعة لورنتز. في الواقع، لا يمكن لمجموعة لي بسيطة متصلة وغير متراصة أن تمتلك أي تمثيلات وحدوية غير تافهة ذات أبعاد منتهية. ^{[ 5 ]} وهناك برهان طوبولوجي على ذلك. ^{[ 74 ]} ليكن $u : G \to GL(V)$ ، حيث $V$ مجموعة ذات أبعاد منتهية، تمثيلًا وحدويًا متصلًا لمجموعة لي البسيطة المتصلة غير المتراصة $G.$ عندئذٍ $u (G) \subset U(V) \subset GL(V)،$ $حيث$ U $(V)$ هي المجموعة الفرعية المتراصة من $GL(V) التي تتكون$ من التحويلات الوحدوية لـ $V.$ نواة u هي مجموعة فرعية طبيعية من $G.$ بما أن $G$ بسيطة، $فإن نواة$ $u$ $إما أن تكون G$ بأكملها ، وفي هذه الحالة تكون $u$ تافهة، أو $أن نواة$ $u$ تافهة، وفي هذه الحالة تكون $u$ أمينة . في الحالة الأخيرة، تكون $u$ تماثلاً تفاضلياً على صورتها، ^[⁷⁵^] $u$ $($ $G$ $) ≅$ $G$ و $u$ $($ $G$ $)$ زمرة لي. هذا يعني أن $u$ $($ $G$ $)$ زمرة لي غير متراصة مضمنة في الزمرة المتراصة $U($ $V$ $)$ . هذا مستحيل مع طوبولوجيا الفضاء الجزئي على $u$ $($ $G$ $) \subset U($ $V$ $)$ لأن جميع زمر لي المضمنة في زمرة لي مغلقة ^[⁷⁶^]^. إذا كانت $u$ $($ $G$ $)$ مغلقة، فستكون متراصة، ^[^{ملاحظة 23}^] وبالتالي ستكون $G متراصة،$ ^[^{ملاحظة 24}^] على عكس الافتراض.^{رقم 25 ]}

في حالة مجموعة لورنتز، يمكن ملاحظة ذلك مباشرةً من التعريفات. تمثيلات $A$ و $B$ المستخدمة في البناء هيرميتية. هذا يعني أن $J$ هيرميتية، بينما $K$ مضادة للهرميتية . ^{[ 77 ]} لا تُشكل عدم الوحدة مشكلة في نظرية الحقل الكمومي، إذ لا يُشترط أن تمتلك الكائنات محل الاهتمام معيارًا موجبًا محددًا ثابتًا تحت تأثير لورنتز. ^{[ 78 ]}

يقتصر على SO(3)

مع ذلك، يكون التمثيل $(m, n)$ وحدويًا عند تقييده بمجموعة الدوران $SO(3)$ ، لكن هذه التمثيلات ليست غير قابلة للاختزال كتمثيلات لـ SO(3). يمكن تطبيق تحليل كليبش-غوردان لإثبات أن التمثيل $(m, n)$ له فضاءات فرعية ثابتة تحت تأثير $SO(3) ذات أعلى وزن (لف مغزلي)$ $m + n ، m + n - 1، ...، | m - n |$ ، ^{[ 79 ]} حيث يظهر كل وزن (لف مغزلي) ممكن مرة واحدة فقط. فضاء الوزن الفرعي ذو أعلى وزن (لف مغزلي) j هو فضاء ذو بُعد (2j + 1). على سبيل المثال، يحتوي التمثيل (1/2, 1/2 $)$ على فضاءات $فرعية ذات لف$ مغزلي 1 و 0 ذات بُعد 3 و 1 على التوالي .

بما أن مؤثر الزخم الزاوي يُعطى بالعلاقة $J = A + B$ ، فإن أعلى قيمة دوران في ميكانيكا الكم للتمثيل الفرعي للدوران ستكون $(m + n)ℏ،$ وتنطبق قواعد الجمع "المعتادة" للزخم الزاوي وصيغة رموز 3-j ، ورموز 6-j ، وما إلى ذلك. ^{[ 80 ]}

سبينورز

تُحدد الفضاءات الجزئية الثابتة تحت تأثير $SO(3)$ للتمثيلات غير القابلة للاختزال ما إذا كان للتمثيل دوران مغزلي. يتضح من الفقرة السابقة أن التمثيل $(m, n)$ له دوران مغزلي إذا كان $مجموع$ $m + n$ نصف عدد صحيح. أبسط هذه التمثيلات هما $($ $1/2$ $, 0) و$ ( $0, 1/2) ،$ $وهما$ تمثيلات ويل ذات بُعد $2.$ $على$ $سبيل$ المثال، يُعدّ $كل$ $من$ $(0,$ $3/2$ $)$ و $(1,$ $1/2$ $)$ $تمثيلات$ $دوران$ $مغزلي بأبعاد 2$ $\times$ $3/2$ $+$ $1$ $= 4$ و $( 2$ $+ 1$ $)$ $(2 \times$ $1/2$ $+$ $1$ $)$ $=$ $6$ $على$ $التوالي$ . وفقًا للفقرة السابقة، توجد فضاءات فرعية ذات لف مغزلي $⁠ 3/2 ⁠ و ⁠ 1/2$ $⁠$ $في$ $الحالتين$ الأخيرتين $،$ $لذا$ $فمن$ غير المرجح أن تمثل هذه التمثيلات $جسيمًا$ فيزيائيًا واحدًا يجب $أن$ يكون منتظم السلوك في ظل $SO(3) . مع ذلك$ $،$ لا يمكن استبعاد احتمال أن تمثل التمثيلات ذات التمثيلات الفرعية المتعددة $لـ SO(3)$ ذات اللف المغزلي المختلف جسيمات فيزيائية ذات لف مغزلي محدد. قد يكون هناك معادلة موجية نسبية مناسبة تُسقط المكونات غير الفيزيائية ، تاركةً لفًا مغزليًا واحدًا فقط. ^[⁸¹^]

يتضمن بناء تمثيلات الدوران النقي $n$ $/$ $2$ $لأي$ n $($ تحت $SO(3)$ ) من التمثيلات غير القابلة للاختزال أخذ جداءات الموترات لتمثيل ديراك مع تمثيل غير دوراني، واستخراج فضاء فرعي مناسب، وأخيراً فرض قيود تفاضلية $.$ ^[⁸²^]

تمثيلات مزدوجة

{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).} — نظام الجذر $A 1 \times A 1$ من ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).$

يتم تطبيق النظريات التالية لدراسة ما إذا كان التمثيل الثنائي لتمثيل غير قابل للاختزال متماثلاً مع التمثيل الأصلي:

مجموعة أوزان التمثيل الثنائي لتمثيل غير قابل للاختزال لجبر لي شبه بسيط، بما في ذلك التعددية، هي معكوس مجموعة أوزان التمثيل الأصلي. ^{[ 83 ]}
يكون التمثيلان غير القابلين للاختزال متماثلين إذا وفقط إذا كان لهما نفس الوزن الأعلى . ^{[ ملاحظة 26 ]}
لكل جبر لي شبه بسيط، يوجد عنصر وحيد $w 0$ من زمرة ويل بحيث إذا كان $μ$ وزنًا صحيحًا مهيمنًا، فإن $w 0 \cdot (- μ)$ يكون أيضًا وزنًا صحيحًا مهيمنًا. ^{[ 84 ]}
لو $\pi _{\mu _{0}}$ إذا كان تمثيلاً غير قابل للاختزال ذو أعلى وزن $μ 0$ ، فإن $\pi _{\mu _{0}}^{*}$ له أعلى وزن $w 0 \cdot (- μ)$ . ^{[ 84 ]}

هنا، تُعتبر عناصر زمرة ويل تحويلات متعامدة، تعمل عن طريق ضرب المصفوفات، على فضاء المتجهات الحقيقي للجذور . إذا $كان -I$ $عنصرًا$ من زمرة ويل لجبر $لي$ شبه بسيط، فإن $w₀ = -I .$ في حالة ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),$ زمرة ويل هي $W = {I, - I}$ . ^{[ 85 ]} ويترتب على ذلك أن كل $π μ ، حيث μ = 0, 1, ...$ متماثل مع نظيره الثنائي. $\pi _{\mu }^{*}.$ نظام الجذور لـ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ يظهر ذلك في الشكل على اليمين. ^{[ ملاحظة 27 ]} يتم توليد مجموعة ويل بواسطة $\{w_{\gamma }\}$ أين $w_{\gamma }$ الانعكاس في المستوى العمودي على $γ$ عندما يمتد $γ$ على جميع الجذور. ^{[ ملاحظة 28 ]} يُظهر الفحص أن $wα \cdot wβ = -I، لذا -I$ ∈ $W. باستخدام حقيقة$ أنه إذا كانت $π$ $و$ $σ$ تمثيلات جبر لي، و $π$ $≅ σ ،$ $فإن$ Π $≅ Σ$ ، ^{[ 86 ]} فإن النتيجة لـ $SO(3; 1) +$ هي $\pi _{m,n}^{*}\cong \pi _{m,n},\quad \Pi _{m,n}^{*}\cong \Pi _{m,n},\quad 2m,2n\in \mathbf {N} .$

تمثيلات المرافق المعقدة

إذا كان $π$ تمثيلاً لجبر لي، فإن ${\overline {\pi }}$ هو تمثيل، حيث يشير الخط إلى المرافق المركب عنصرًا بعنصر في المصفوفات التمثيلية. وينتج هذا من أن المرافق المركب يتبادل مع الجمع والضرب. ^{[ 87 ]} بشكل عام، كل تمثيل غير قابل للاختزال $π$ لـ ${\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )$ يمكن كتابتها بشكل فريد على النحو التالي: $π = π + + π -$ ، حيث ^{[ 88 ]} $\pi ^{\pm }(X)={\frac {1}{2}}\left(\pi (X)\pm i\pi \left(i^{-1}X\right)\right),$ مع $\pi ^{+}$ هولومورفي (خطي معقد) و $\pi ^{-}$ مضاد للتماثل (خطي مترافق). لـ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),$ منذ $\pi _{\mu }$ هو هولومورفي، ${\overline {\pi _{\mu }}}$ هو مضاد للشكلية. فحص مباشر للتعبيرات الصريحة لـ $\pi _{\mu ,0}$ و $\pi _{0,\nu }$ يوضح الشكل في المعادلة (S8) أدناه أنهما دالة تامة الشكل ودالة مضادة تامة الشكل على التوالي. كما يسمح التدقيق في التعبير (S8) بتحديد $\pi ^{+}$ و $\pi ^{-}$ ل $\pi _{\mu ,\nu }$ مثل $\pi _{\mu ,\nu }^{+}=\pi _{\mu }^{\oplus _{\nu +1}},\qquad \pi _{\mu ,\nu }^{-}={\overline {\pi _{\nu }^{\oplus _{\mu +1}}}}.$

باستخدام المتطابقات المذكورة أعلاه (والتي تُفسَّر على أنها جمع نقطي للدوال)، فإن $SO(3; 1) +$ ينتج ${\begin{aligned}{\overline {\pi _{m,n}}}&={\overline {\pi _{m,n}^{+}+\pi _{m,n}^{-}}}={\overline {\pi _{m}^{\oplus _{2n+1}}}}+{\overline {{\overline {\pi _{n}}}^{\oplus _{2m+1}}}}\\&=\pi _{n}^{\oplus _{2m+1}}+{\overline {\pi _{m}}}^{\oplus _{2n+1}}=\pi _{n,m}^{+}+\pi _{n,m}^{-}=\pi _{n,m}\\&&&2m,2n\in \mathbb {N} \\{\overline {\Pi _{m,n}}}&=\Pi _{n,m}\end{aligned}}$ حيث تُستنتج عبارة تمثيلات المجموعة من $exp(X) = exp(X)$ . ويترتب على ذلك أن التمثيلات غير القابلة للاختزال $(m, n)$ لها ممثلات مصفوفية حقيقية إذا وفقط إذا كان $m = n$ . كما أن التمثيلات القابلة للاختزال على الصورة $(m, n) \oplus (n, m)$ لها مصفوفات حقيقية أيضًا.

التمثيل المرافق، وجبر كليفورد، وتمثيل سبينور ديراك

في نظرية التمثيل العامة، إذا كان $(π ، V)$ تمثيلاً لجبر لي ${\mathfrak {g}},$ ثم هناك تمثيل مرتبط بـ ${\mathfrak {g}},$ على $النهاية (V)$ ، ويرمز لها أيضًا $بـ π$ ، معطاة بواسطة

\pi (X)(A)=[\pi (X),A],\qquad A\in \operatorname {End} (V),\ X\in {\mathfrak {g}}.

I1

وبالمثل، فإن تمثيل $(Π، V)$ لمجموعة $G$ ينتج عنه تمثيل $Π$ على $End(V)$ من $G$ ، والذي لا يزال يُشار إليه بـ $Π$ ، معطى بواسطة ^{[ 89 ].}

\Pi (g)(A)=\Pi (g)A\Pi (g)^{-1},\qquad A\in \operatorname {End} (V),\ g\in G.

I2

إذا كان $π$ و $Π$ هما التمثيلان القياسيان على $\mathbb {R} ^{4}$ وإذا اقتصر الإجراء على ${\mathfrak {so}}(3,1)\subset {\text{End}}(\mathbb {R} ^{4}),$ إذن، يُمثل التمثيلان المذكوران أعلاه التمثيل المرافق لجبر لي والتمثيل المرافق للمجموعة على التوالي. التمثيلات المقابلة (بعضها) $\mathbb {R} ^{n}$ أو $\mathbb {C} ^{n}$ توجد دائمًا لأي مجموعة لي مصفوفية، وهي ذات أهمية قصوى للتحقيق في نظرية التمثيل بشكل عام، ولأي مجموعة لي معينة على وجه الخصوص.

بتطبيق هذا على مجموعة لورنتز، إذا كان $(Π, V)$ تمثيلًا إسقاطيًا، فإن الحساب المباشر باستخدام (G5) يوضح أن التمثيل المستحث على $End(V)$ هو تمثيل صحيح، أي تمثيل بدون عوامل طور.

في ميكانيكا الكم، يعني هذا أنه إذا كان $(π, H)$ أو $(Π, H)$ تمثيلاً يؤثر على فضاء هيلبرت $H$ ، فإن التمثيل المستحث المقابل يؤثر على مجموعة المؤثرات الخطية على $H.$ $على سبيل المثال$ ، التمثيل المستحث للدوران الإسقاطي $(1/2, 0$ ) ⊕ $(0$ $,$ 1/2 $)$ $على$ End $($ $H$ $)$ $هو$ ^{التمثيل} غير ^{الإسقاطي}^للمتجه الرباعي ( 1/2 $,$ 1/2 ) . $[$ 90 $]$

لتبسيط الأمر، لننظر فقط إلى "الجزء المنفصل" من $End(H)$ ، أي، بالنظر إلى أساس لـ $H$ ، مجموعة المصفوفات الثابتة ذات الأبعاد المختلفة، بما في ذلك الأبعاد اللانهائية المحتملة. التمثيل الرباعي المتجهي المُستحث لما سبق على $End(H)$ المُبسطة هذه له فضاء فرعي ثابت رباعي الأبعاد يمتد بواسطة مصفوفات غاما الأربع . ^{[ 91 ]} (يختلف اصطلاح القياس في المقالة المرتبطة). وبالمثل، فإن جبر كليفورد الكامل للزمكان ، ${\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} ),$ تعقيدها ${\text{M}}(4,\mathbb {C} ),$ تُحلَّل المصفوفة الناتجة عن مصفوفات غاما إلى مجموع مباشر لمساحات تمثيلية لتمثيل قياسي غير قابل للاختزال (irrep)، وهو $(0, 0)$ $،$ وتمثيل قياسي زائف $غير$ قابل للاختزال ، وهو أيضًا $(0, 0)$ ، ولكن بقيمة ذاتية لانعكاس التكافؤ $-1$ $،$ $انظر القسم التالي أدناه، والتمثيل المتجهي غير القابل للاختزال المذكور سابقًا، (1/2, 1/2)، والتمثيل المتجهي الزائف غير القابل للاختزال، (1/2,$ 1/2 ) بقيمة $ذاتية$ $لانعكاس$ $التكافؤ$ +1 ( $وليس -1) ، والتمثيل الموتري$ غير القابل $للاختزال$ ، $($ $1$ $, 0$ $)$ $\oplus$ $($ 0 ^{, 1). [92]} مجموع الأبعاد $يساوي$ $1$ $+$ $1$ $+$ 4 ^{+ 4} $+$ 6 $= 16$ . بعبارة أخرى،

{\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )=(0,0)\oplus \left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)\oplus [(1,0)\oplus (0,1)]\oplus \left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)_{p}\oplus (0,0)_{p},

I3

حيث، كما هو معتاد ، يتم الخلط بين التمثيل ومساحة التمثيل الخاصة به.

تمثيل الدوران $($ $⁠$ $1$ $/$ $2$ $⁠$ $, 0) \oplus (0,$ $⁠$ $1$ $/$ $2$ $⁠$ $)$

فضاء التمثيل سداسي الأبعاد للموتر $(1, 0) \oplus (0, 1)$ - التمثيل داخل ${\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )$ له دورين. ^{[ 93 ]}

\sigma ^{\mu \nu }=-{\frac {i}{4}}\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right],

I4

أين $\gamma ^{0},\ldots ,\gamma ^{3}\in {\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )$ تمثل مصفوفات غاما، ومصفوفات سيغما، التي لا تتجاوز $ستة$ منها الصفر بسبب التناظر العكسي للأقواس، فضاء تمثيل الموتر. علاوة على ذلك، تتمتع هذه المصفوفات بعلاقات التبادل الخاصة بجبر لورنتز لي، ^{[ 94 ]}

\left[\sigma ^{\mu \nu },\sigma ^{\rho \tau }\right]=i\left(\eta ^{\tau \mu }\sigma ^{\rho \nu }+\eta ^{\nu \tau }\sigma ^{\mu \rho }-\eta ^{\rho \mu }\sigma ^{\tau \nu }-\eta ^{\nu \rho }\sigma ^{\mu \tau }\right),

I5

وبالتالي تشكل تمثيلاً (بالإضافة إلى امتدادها على مساحة تمثيلية) تقع في الداخل ${\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} ),$ التمثيل الدوراني $(⁠ 1 / 2 ⁠, 0) \oplus (0, ⁠ 1 / 2 ⁠)$ . لمزيد من التفاصيل، انظر سبينور ديراك وجبر ديراك .

والخلاصة هي أن كل عنصر من عناصر التعقيد ${\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )$ تتمتع المصفوفة $End(H)$ (أي كل مصفوفة معقدة 4 × 4 ) بخصائص تحويل لورنتز محددة جيدًا. بالإضافة إلى ذلك، لها تمثيل دوراني لجبر لي لورنتز، والذي يصبح عند رفعه إلى الأس تمثيلًا دورانيًا للمجموعة، يعمل على $\mathbb {C} ^{4},$ مما يجعلها فضاءً من سبينورات ديراك.

التمثيلات القابلة للاختزال

يمكن استنتاج تمثيلات أخرى من التمثيلات غير القابلة للاختزال، مثل تلك التي يتم الحصول عليها عن طريق الجمع المباشر، والضرب الموتري، وقسمة التمثيلات غير القابلة للاختزال. وتشمل الطرق الأخرى للحصول على التمثيلات تقييد تمثيل مجموعة أكبر تحتوي على مجموعة لورنتز، على سبيل المثال ${\text{GL}}(n,\mathbb {R} )$ ومجموعة بوانكاريه. هذه التمثيلات ليست غير قابلة للاختزال بشكل عام. ^{[ 95 ]}

تتمتع زمرة لورنتز وجبر لي الخاص بها بخاصية الاختزال الكامل . وهذا يعني أن كل تمثيل يختزل إلى مجموع مباشر من التمثيلات غير القابلة للاختزال. ^{[ 96 ]}^{[ 97 ]}

انعكاس المكان وانعكاس الزمن

$إن التمثيل (m, n)$ (الذي قد يكون إسقاطيًا) غير قابل للاختزال كتمثيل $SO(3; 1) +$ ، وهو عنصر الوحدة لمجموعة لورنتز، أو ما يُعرف في المصطلحات الفيزيائية بمجموعة لورنتز المتعامدة الصحيحة . إذا كان $m = n،$ فيمكن تمديده ليشمل تمثيلًا لمجموعة $O(3; 1)$ بأكملها، بما في ذلك انعكاس تكافؤ الفضاء وانعكاس الزمن . ويمكن تمديد التمثيلات $(m, n) \oplus (n, m)$ بالمثل. ^{[ 98 ]}

انعكاس التكافؤ المكاني

بالنسبة لانعكاس تكافؤ الفضاء، فإن الفعل المرافق $Ad P$ لـ $P \in SO(3; 1)$ على ${\mathfrak {so}}(3;1)$ يُؤخذ في الاعتبار، حيث $P$ هو الممثل القياسي لانعكاس تكافؤ الفضاء، $P = diag(1, -1, -1, -1)$ ، المعطى بواسطة

\mathrm {Ad} _{P}(J_{i})=PJ_{i}P^{-1}=J_{i},\qquad \mathrm {Ad} _{P}(K_{i})=PK_{i}P^{-1}=-K_{i}.

F1

إن هذه الخصائص لـ $K$ و $J$ تحت $P$ هي التي تحفز استخدام مصطلحي " متجه" لـ $K$ و "متجه زائف" أو "متجه محوري" لـ $J.$ وبالمثل، إذا كان $π$ أي تمثيل لـ ${\mathfrak {so}}(3;1)$ وإذا كان $Π$ هو تمثيل المجموعة المرتبط به، فإن $Π(SO(3; 1) +)$ يؤثر على تمثيل $π$ بواسطة الفعل المرافق، $π (X) \mapsto Π(g) π (X) Π(g) -1$ لـ $X\in {\mathfrak {so}}(3;1),$ $g \in SO(3; 1) +$ . إذا كان $P$ سيُضمّن في $Π$ ، فإن التوافق مع (F1) يتطلب أن

\Pi (P)\pi (B_{i})\Pi (P)^{-1}=\pi (A_{i})

F2

يتحقق هذا الشرط، حيث تُعرَّف $A$ و $B$ كما في القسم الأول. ويتحقق فقط إذا كان $لـ$ $Aᵢ$ $و$ Bᵢ $نفس$ الأبعاد، أي فقط إذا كان $m = n$ . عندما $m \neq n،$ يمكن تمديد $(m, n) \oplus (n, m) إلى تمثيل غير قابل للاختزال لـ$ $SO(3; 1) ⁺$ $،$ وهي مجموعة لورنتز المتعامدة. لا يأتي ممثل انعكاس التكافؤ $Π(P)$ تلقائيًا مع البناء العام لتمثيلات $(m, n)$ $، بل يجب تحديده بشكل منفصل. يمكن$ $استخدام$ المصفوفة $β = iγ₀$ (أو مضاعف لها مضروبًا في -1) في $التمثيل$ $($ $½$ $, 0) \oplus ( 0, ½)$ ^{[ 99 ]} .

إذا تم تضمين التكافؤ مع علامة ناقص ( المصفوفة $1\times1$ $[-1]$ ) في التمثيل $(0,0)$ ، فإنه يسمى تمثيلًا زائفًا قياسيًا .

عكس الزمن

يعمل انعكاس الزمن $T = diag(-1, 1, 1, 1) بشكل مشابه على$ ${\mathfrak {so}}(3;1)$ بواسطة ^{[ 100 ]}

\mathrm {Ad} _{T}(J_{i})=TJ_{i}T^{-1}=-J_{i},\qquad \mathrm {Ad} _{T}(K_{i})=TK_{i}T^{-1}=K_{i}.

F3

بإضافة ممثل صريح لـ $T$ ، وممثل آخر لـ $P$ ، نحصل على تمثيل لمجموعة لورنتز الكاملة $O(3; 1)$ . مع ذلك، تظهر مشكلة دقيقة عند تطبيقها في الفيزياء، وخاصةً ميكانيكا الكم. عند النظر إلى مجموعة بوانكاريه الكاملة، $تُولّد$ أربعة مولدات إضافية، هي $Pμ$ ، بالإضافة إلى $J و$ $K ، المجموعة. تُفسَّر هذه$ $المولدات$ على أنها مولدات إزاحات. المكون الزمني $P₀$ هو الهاميلتوني $H.$ يحقق المؤثر $T$ العلاقة ^[¹⁰¹^] .

\mathrm {Ad} _{T}(iH)=TiHT^{-1}=-iH

F4

قياساً على العلاقات المذكورة أعلاه مع ${\mathfrak {so}}(3;1)$ يُستبدل بجبر بوانكاريه الكامل . بمجرد حذف $i$ ، فإن النتيجة $THT -1 = -H$ تعني أنه لكل حالة $Ψ$ ذات طاقة موجبة $E$ في فضاء هيلبرت للحالات الكمومية ذات ثبات انعكاس الزمن، ستكون هناك حالة $Π(T -1)Ψ$ ذات طاقة سالبة $-E$ . مثل هذه الحالات غير موجودة. لذلك ، يُختار المؤثر $Π(T)$ مضادًا للخطية ومضادًا للوحدة ، $بحيث$ يكون مضادًا للتبادل مع $i$ ، مما ينتج عنه $THT -1 = H$ ، ويصبح تأثيره على فضاء هيلبرت مضادًا للخطية ومضادًا للوحدة أيضًا. ^{[ 102 ]} يمكن التعبير عنه كتركيب للمرافق المركب مع الضرب بمصفوفة وحدوية. ^{[ 103 ]} هذا صحيح رياضيًا، انظر نظرية ويغنر ، لكن $Π(T)$ يكون حينها مضادًا للوحدة وليس مؤثر تمثيل خطي مركب. ^{[ 104 ]}

عند بناء نظريات مثل نظرية الكهروديناميكا الكمية (QED) التي لا تتأثر بانعكاس الفضاء والزمن، يمكن استخدام سبينورات ديراك، بينما يجب صياغة النظريات التي لا تتأثر بها، مثل القوة الكهروضعيفة ، باستخدام سبينورات فايل. عادةً ما يُفترض أن تمثيل ديراك، (1/2 , 0 ) ⊕ ( 0, 1/2 ) ، يشمل كلاً من انعكاس الفضاء والزمن. وبدون انعكاس الفضاء، يكون تمثيلاً قابلاً للاختزال بدلاً من كونه غير قابل للاختزال . ^{[ 45 ]}^{[ 7 ]}

إن التناظر المنفصل الثالث الذي يدخل في نظرية CPT إلى جانب $P$ و $T$ ، وهو تناظر اقتران الشحنة $C$ ، لا علاقة له مباشرة بثبات لورنتز. ^{[ 105 ]}

العمل على المساحات الوظيفية

إذا كان $V$ فضاءً متجهيًا للدوال ذات عدد محدود من المتغيرات $n$ ، فإن التأثير على دالة قياسية $f\in V$ مقدم من

(\Pi (g)f)(x)=f\left(\Pi _{x}(g)^{-1}x\right),\qquad x\in \mathbb {R} ^{n},f\in V

H1

ينتج دالة أخرى $Π f \in V.$ هنا، $Π x$ تمثيل ذو بُعد $n$ ، و $Π$ تمثيل قد يكون ذا بُعد لانهائي. حالة خاصة من هذا البناء هي عندما يكون $V$ فضاءً للدوال مُعرَّفًا على زمرة خطية $G$ نفسها، تُعتبر متعددة شعب ذات بُعد $n$ مُضمنة في $\mathbb {R} ^{m^{2}}$ (حيث $m$ هو بُعد المصفوفات). ^{[ 106 ]} هذا هو الإطار الذي صيغت فيه نظرية بيتر-ويل ونظرية بوريل-ويل . تُبرهن الأولى على وجود تحليل فورييه للدوال على زمرة متراصة إلى خصائص تمثيلات ذات أبعاد منتهية. ^{[ 34 ]} أما النظرية الثانية، التي تُقدم تمثيلات أكثر وضوحًا، فتستخدم الحيلة الوحدوية للحصول على تمثيلات للزمر المعقدة غير المتراصة، على سبيل المثال ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).$

يوضح المثال التالي تأثير مجموعة لورنتز ومجموعة الدوران الفرعية على بعض فضاءات الدوال.

الدوران الإقليدي

تتمتع المجموعة الفرعية $SO(3)$ من الدورانات الإقليدية ثلاثية الأبعاد بتمثيل لا نهائي الأبعاد على فضاء هيلبرت. $L^{2}\left(\mathbb {S} ^{2}\right)=\operatorname {span} \left\{Y_{m}^{l},l\in \mathbb {N} ^{+},-l\leqslant m\leqslant l\right\},$

أين $Y_{m}^{l}$ هي التوافقيات الكروية . يمكن التعبير عن دالة قابلة للتكامل التربيعي $f$ على كرة الوحدة على النحو التالي ^{[ 107 ]}

f(\theta ,\varphi )=\sum _{l=1}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}f_{lm}Y_{m}^{l}(\theta ,\varphi ),

H2

حيث تمثل $f و$ ...

يقتصر تأثير مجموعة لورنتز على تأثير $SO(3)$ ويُعبَّر عنه على النحو التالي:

{\begin{aligned}(\Pi (R)f)(\theta (x),\varphi (x))&=\sum _{l=1}^{\infty }\sum _{m,=-l}^{l}\sum _{m'=-l}^{l}D_{mm'}^{(l)}(R)f_{lm'}Y_{m}^{l}\left(\theta \left(R^{-1}x\right),\varphi \left(R^{-1}x\right)\right),\\[5pt]&R\in \mathrm {SO} (3),x\in \mathbb {S} ^{2},\end{aligned}}

H4

حيث يتم الحصول على $D l$ من ممثلي الأبعاد الفردية لمولدات الدوران.

مجموعة موبيوس

إنّ عنصر الوحدة في زمرة لورنتز متماثل مع زمرة موبيوس $M.$ ويمكن اعتبار هذه الزمرة بمثابة تحويلات توافقية إما للمستوى المركب أو، عبر الإسقاط المجسم ، لسطح ريمان . وبهذه الطريقة، يمكن اعتبار زمرة لورنتز نفسها عاملة توافقياً على المستوى المركب أو على سطح ريمان. ^{[ 108 ]}

في المستوى، يعمل تحويل موبيوس الذي يتميز بالأعداد المركبة $a و b و c و d$ على المستوى وفقًا لـ ^{[ 109 ].}

f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},\qquad ad-bc\neq 0

.

M1

ويمكن تمثيلها بواسطة مصفوفات معقدة

\Pi _{f}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},\qquad \lambda \in \mathbb {C} -\{0\},\operatorname {det} \Pi _{f}=1,

M2

بما أن الضرب في عدد مركب غير صفري لا يغير $f$ . هذه عناصر من ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ وهي فريدة حتى الإشارة (لأن $\pmΠ f$ تعطي نفس $f$ )، وبالتالي ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )/\{\pm I\}\cong {\text{SO}}(3;1)^{+}.$

دوال ريمان P

تُعدّ دوال ريمان P ، وهي حلول معادلة ريمان التفاضلية، مثالاً على مجموعة من الدوال التي تتحول فيما بينها تحت تأثير زمرة لورنتز. وتُعبّر دوال ريمان P عن نفسها بالصيغة ^{[ 110 ].}

{\begin{aligned}w(z)&=P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\\\alpha &\beta &\gamma &\;z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\end{matrix}}\right\}\\&=\left({\frac {z-a}{z-b}}\right)^{\alpha }\left({\frac {z-c}{z-b}}\right)^{\gamma }P\left\{{\begin{matrix}0&\infty &1&\\0&\alpha +\beta +\gamma &0&\;{\frac {(z-a)(c-b)}{(z-b)(c-a)}}\\\alpha '-\alpha &\alpha +\beta '+\gamma &\gamma '-\gamma &\end{matrix}}\right\}\end{aligned}},

T1

حيث $a و b و c و α و β و γ و α' و β' و γ'$ ثوابت مركبة. يمكن التعبير عن دالة P في الطرف الأيمن باستخدام الدوال الهندسية الفائقة القياسية . العلاقة هي ^{[ 111 ]}

P\left\{{\begin{matrix}0&\infty &1&\\0&a&0&\;z\\1-c&b&c-a-b&\end{matrix}}\right\}={}_{2}F_{1}(a,\,b;\,c;\,z).

T2

تمثل مجموعة الثوابت $0، \infty، 1$ في الصف العلوي على الجانب الأيسر النقاط الشاذة المنتظمة لمعادلة غاوس فوق الهندسية . ^{[ 112 ]} أسسها ، أي حلول المعادلة الدليلية ، للتوسع حول النقطة الشاذة $0$ هي $0$ و $1 -$ $c$ ، وهما يمثلان الحلين المستقلين خطيًا، ^[^{ملاحظة 29}^] وللتوسع حول النقطة الشاذة $1$ هما $0$ و $c$ $-$ $a$ $-$ $b$ . ^[¹¹³^] وبالمثل، فإن أسس $\infty$ هي $a$ و $b$ للحلين. ^[¹¹⁴^]

وبالتالي يكون لدى المرء

{\displaystyle w(z)=\left({\frac {z-a}{z-b}}\right)^{\alpha }\left({\frac {z-c}{z-b}}\right)^{\gamma }{}_{2}F_{1}\left(\alpha +\beta +\gamma ,\,\alpha +\beta '+\gamma

T3

حيث الشرط (يسمى أحيانًا هوية ريمان) ^{[ 115 ]} $\alpha +\alpha '+\beta +\beta '+\gamma +\gamma '=1$ تم استخدام أسس حلول معادلة ريمان التفاضلية لتعريف $γ'$ .

تمثل المجموعة الأولى من الثوابت على الجانب الأيسر في المعادلة (T1) ، وهي $a و b و c$ ، النقاط الشاذة المنتظمة لمعادلة ريمان التفاضلية. أما المجموعة الثانية، $α و β و γ$ ، فهي الأسس المناظرة عند $a و b و c$ لأحد الحلين المستقلين خطيًا، وبالتالي، فإن $α' و β' و γ'$ هي الأسس عند $a و b و c$ للحل الثاني.

عرّف تأثير مجموعة لورنتز على مجموعة جميع دوال ريمان P عن طريق وضع

u(\Lambda )(z)={\frac {Az+B}{Cz+D}},

T4

حيث $A و B و C و D$ هي المدخلات في

\lambda ={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),

T5

إلى عن على $Λ = p (lect) \in SO(3; 1) +$ تحويل لورنتز.

يُعرِّف

[\Pi (\Lambda )P](z)=P[u(\Lambda )(z)],

T6

حيث $P$ دالة ريمان P. الدالة الناتجة هي أيضًا دالة ريمان P. يتمثل تأثير تحويل موبيوس للمتغير في نقل الأقطاب إلى مواقع جديدة، وبالتالي تغيير النقاط الحرجة، ولكن لا يوجد تغيير في أسس المعادلة التفاضلية التي تحققها الدالة الجديدة. تُكتب الدالة الجديدة على النحو التالي:

[\Pi (\Lambda )P](u)=P\left\{{\begin{matrix}\eta &\zeta &\theta &\\\alpha &\beta &\gamma &\;u\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\end{matrix}}\right\},

T6

أين

\eta ={\frac {Aa+B}{Ca+D}}\quad {\text{ and }}\quad \zeta ={\frac {Ab+B}{Cb+D}}\quad {\text{ and }}\quad \theta ={\frac {Ac+B}{Cc+D}}.

T7

التمثيلات الوحدوية اللانهائية الأبعاد

تاريخ

مجموعة لورنتز $SO(3; 1) +$ وغطائها المزدوج ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ كما توجد تمثيلات وحدوية لا نهائية الأبعاد، درسها بشكل مستقل كل من بارغمان (1947) ، وجيلفاند ونايمارك (1947) ، وهاريش-شاندرا (1947) بتحريض من بول ديراك . ^{[ 116 ]}^{[ 117 ]} بدأ هذا المسار التطويري مع ديراك (1936) حيث ابتكر المصفوفتين $U$ و $B$ اللازمتين لوصف اللف المغزلي العالي (قارن بمصفوفات ديراك )، ثم توسع فيه فيرز (1939) ، انظر أيضًا فيرز وباولي (1939) ، واقترح نماذج أولية لمعادلات بارغمان-ويغنر . ^{[ 118 ]} في عام 1945، اقترح ديراك فضاء تمثيل لا نهائي الأبعاد محددًا، سُميت عناصره بالموسعات كتعميم للموترات. ^{[ nb 30 ]} تم دمج هذه الأفكار بواسطة هاريش تشاندرا وتوسيعها باستخدام الأسية كتعميم لا نهائي الأبعاد للسبينورات في ورقته البحثية عام 1947. ^{[ 119 ]}

تم التوصل إلى صيغة بلانشيريل لهذه المجموعات لأول مرة بواسطة جيلفاند ونايمارك من خلال حسابات معقدة. ثم تم تبسيط المعالجة بشكل كبير لاحقًا بواسطة هاريش-شاندرا (1951) وجيلفاند وجرييف ( 1953) ، استنادًا إلى نظير لـ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ من صيغة التكامل لهيرمان فايل لمجموعات لي المدمجة . ^{[ 120 ]} يمكن الاطلاع على شروحات أولية لهذا النهج في روهل (1970) وكناب (2001) . ^{[ 121 ]}^{[ 34 ]}

تُعدّ نظرية الدوال الكروية لمجموعة لورنتز، اللازمة للتحليل التوافقي على نموذج القطع الزائد للفضاء الزائدي ثلاثي الأبعاد الواقع في فضاء مينكوفسكي، أسهل بكثير من النظرية العامة. فهي لا تتضمن سوى تمثيلات من السلسلة الرئيسية الكروية ، ويمكن معالجتها مباشرةً، لأن لابلاس على القطع الزائد في الإحداثيات القطرية يُكافئ لابلاس على $\mathbb {R} .$ تُناقش هذه النظرية في تاكاهاشي (1963) ، وهيلغاسون (1968) ، وهيلغاسون (2000) ، وفي النص الذي نُشر بعد وفاة جورجنسون ولانغ (2008) . ^{[ 122 ]}^{[ 123 ]}^{[ 124 ]}

السلسلة الرئيسية لـ SL(2, C)

السلسلة الرئيسية ، أو السلسلة الرئيسية الوحدوية ، هي التمثيلات الوحدوية المستحثة من التمثيلات أحادية البعد للمجموعة الفرعية المثلثية السفلية $B$ من $G={\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).$ ^{[ 125 ]} بما أن التمثيلات أحادية البعد لـ $B$ تتوافق مع تمثيلات المصفوفات القطرية، ذات المدخلات المركبة غير الصفرية $z$ و $z -1$ ، فإنها بالتالي تأخذ الشكل التالي $\chi _{\nu ,k}{\begin{pmatrix}z&0\\c&z^{-1}\end{pmatrix}}=r^{i\nu }e^{ik\theta },$ لكل $k$ عدد صحيح، و $ν$ عدد حقيقي، و $z = re iθ$ . التمثيلات غير قابلة للاختزال ؛ التكرارات الوحيدة، أي التشاكلات بين التمثيلات، تحدث عند استبدال $k$ $بـ$ $-k . بحسب التعريف$ $،$ تتحقق التمثيلات على مقاطع $L² من$ حزم الخطوط على $G/B=\mathbb {S} ^{2},$ وهو متماثل مع كرة ريمان . عندما $k = 0$ ، تشكل هذه التمثيلات ما يسمى بالمتسلسلة الرئيسية الكروية . ^{[ 126 ]}

يمكن أيضًا تحقيق تقييد سلسلة رئيسية على المجموعة الفرعية المدمجة القصوى $K = SU(2)$ من $G$ كتمثيل مستحث لـ $K$ باستخدام التعريف $G$ $/$ $B$ $=$ $K$ $/$ $T$ ، حيث $T$ $=$ $B$ $\cap$ $K$ هو الطارة القصوى في $K$ المكونة من مصفوفات قطرية مع $|$ $z$ $|$ $= 1.$ وهو التمثيل المستحث من التمثيل أحادي البعد $zkT$ $،$ وهو مستقل عن $ν$ . وبحسب تبادلية فروبينيوس ، تتحلل هذه المصفوفات على $K$ كمجموع مباشر للتمثيلات غير القابلة للاختزال لـ $K$ ذات الأبعاد $|$ $k$ $|$ $+$ $2m$ $+ 1$ $،$ حيث $m$ عدد صحيح غير سالب.

باستخدام التطابق بين كرة ريمان ناقص نقطة و $\mathbb {C} ,$ يمكن تعريف السلسلة الرئيسية مباشرة على $L^{2}(\mathbb {C} )$ وفقًا للصيغة ^{[ 127 ]} $\pi _{\nu ,k}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}f(z)=|cz+d|^{-2-i\nu }\left({cz+d \over |cz+d|}\right)^{-k}f\left({az+b \over cz+d}\right).$

يمكن التحقق من عدم قابلية الاختزال بعدة طرق:

التمثيل غير قابل للاختزال بالفعل على $B.$ يمكن رؤية ذلك مباشرة، ولكنه أيضًا حالة خاصة من النتائج العامة حول عدم قابلية اختزال التمثيلات المستحثة التي توصل إليها فرانسوا بروهات وجورج ماكي ، بالاعتماد على تحليل بروهات $G$ $=$ $B$ $\cup$ $BsB$ حيث $s$ هو عنصر مجموعة ويل ^[¹²⁸^]. ${\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$ .
تأثير جبر لي ${\mathfrak {g}}$ يمكن حساب G على المجموع الجبري المباشر للفضاءات الجزئية غير القابلة للاختزال لـ $K،$ $ويمكن$ حسابه بشكل صريح، ويمكن التحقق مباشرة من أن الفضاء الجزئي ذي البعد الأدنى يولد هذا المجموع المباشر كـ ${\mathfrak {g}}$ -وحدة. ^{[ 119 ]}^{[ 129 ]}

المتسلسلة التكميلية لـ $SL(2, C)$

بالنسبة للفترة $0 < t < 2$ ، تُعرَّف المتسلسلة التكميلية على $L^{2}(\mathbb {C} )$ بالنسبة للمنتج الداخلي ^{[ 130 ]} $(f,g)_{t}=\iint {\frac {f(z){\overline {g(w)}}}{|z-w|^{2-t}}}\,dz\,dw,$ مع الإجراء المقدم من ^{[ 131 ]}^{[ 132 ]} $\pi _{t}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}f(z)=|cz+d|^{-2-t}f\left({az+b \over cz+d}\right).$

التمثيلات في السلسلة التكميلية غير قابلة للاختزال وغير متماثلة ثنائياً. باعتبارها تمثيلاً لـ $K$ ، فإن كل منها متماثل مع المجموع المباشر لفضاء هيلبرت لجميع التمثيلات غير القابلة للاختزال ذات الأبعاد الفردية لـ $K$ $= SU(2)$ . يمكن إثبات عدم القابلية للاختزال بتحليل تأثير ${\mathfrak {g}}$ على المجموع الجبري لهذه الفضاءات الجزئية ^{[ 119 ]}^{[ 129 ]} أو مباشرة دون استخدام جبر لي. ^{[ 133 ]}^{[ 134 ]}

نظرية بلانشيريل لـ SL(2, C)

التمثيلات الوحدوية الوحيدة غير القابلة للاختزال لـ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ هي السلسلة الرئيسية، والسلسلة المكملة، والتمثيل التافه. بما أن $- I$ يعمل كـ $(-1) k$ على السلسلة الرئيسية وبشكل تافه على الباقي، فإن هذه ستعطي جميع التمثيلات الوحدوية غير القابلة للاختزال لمجموعة لورنتز، بشرط أن يكون $k عددًا زوجيًا.$

لتحليل التمثيل المنتظم الأيسر لـ $G$ على $L^{2}(G)$ لا يلزم سوى السلاسل الرئيسية. وهذا يؤدي مباشرة إلى التفكيك على التمثيلات الفرعية. $L^{2}(G/\{\pm I\}),$ التمثيل المنتظم الأيسر لمجموعة لورنتز، و $L^{2}(G/K),$ التمثيل المنتظم على الفضاء الزائدي ثلاثي الأبعاد. (يتضمن الأول فقط تمثيلات السلسلة الرئيسية عندما يكون k زوجيًا، بينما يتضمن الثاني فقط تلك التي يكون فيها $k = 0.$ )

يتم تعريف التمثيل المنتظم الأيسر والأيمن $λ$ و $ρ على$ $L^{2}(G)$ بواسطة ${\begin{aligned}(\lambda (g)f)(x)&=f\left(g^{-1}x\right)\\(\rho (g)f)(x)&=f(xg)\end{aligned}}$

الآن، إذا كان $f$ عنصرًا من $C c (G)$ ، فإن المؤثر $\pi _{\nu ,k}(f)$ محدد بواسطة $\pi _{\nu ,k}(f)=\int _{G}f(g)\pi (g)\,dg$ هي فضاء هيلبرت-شميدت . عرّف فضاء هيلبرت $H$ كما يلي: $H=\bigoplus _{k\geqslant 0}{\text{HS}}\left(L^{2}(\mathbb {C} )\right)\otimes L^{2}\left(\mathbb {R} ,c_{k}{\sqrt {\nu ^{2}+k^{2}}}d\nu \right),$ أين $c_{k}={\begin{cases}{\frac {1}{4\pi ^{3/2}}}&k=0\\{\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}&k\neq 0\end{cases}}$ و ${\text{HS}}\left(L^{2}(\mathbb {C} )\right)$ يرمز إلى فضاء هيلبرت لمؤثرات هيلبرت-شميدت على $L^{2}(\mathbb {C} ).$ ^{[ ملاحظة 31 ]} إذن، التطبيق $U$ المعرف على $C$ $c$ $($ $G$ $)$ بواسطة $U(f)(\nu ,k)=\pi _{\nu ,k}(f)$ يمتد إلى وحدة من $L^{2}(G)$ على $H.$

تحقق الخريطة $U$ خاصية التشابك $U(\lambda (x)\rho (y)f)(\nu ,k)=\pi _{\nu ,k}(x)^{-1}\pi _{\nu ,k}(f)\pi _{\nu ,k}(y).$

إذا كانت $f1$ $و f2 تنتميان$ إلى $C c (G )$ $،$ فإنهما، بحسب خاصية الوحدة، تنتميان إلى C c(G $).$ $(f_{1},f_{2})=\sum _{k\geqslant 0}c_{k}^{2}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Tr} \left(\pi _{\nu ,k}(f_{1})\pi _{\nu ,k}(f_{2})^{*}\right)\left(\nu ^{2}+k^{2}\right)\,d\nu .$

وبالتالي إذا $f=f_{1}*f_{2}^{*}$ يشير إلى التفاف $f_{1}$ و $f_{2}^{*},$ و $f_{2}^{*}(g)={\overline {f_{2}(g^{-1})}},$ ثم ^{[ 135 ]} $f(1)=\sum _{k\geqslant 0}c_{k}^{2}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Tr} \left(\pi _{\nu ,k}(f)\right)\left(\nu ^{2}+k^{2}\right)\,d\nu .$

يُشار عادةً إلى الصيغتين الأخيرتين المعروضتين باسم صيغة بلانشيريل وصيغة انعكاس فورييه على التوالي.

تركيبة بلانشيريل تشمل جميع $f_{i}\in L^{2}(G).$ بحسب نظرية جاك ديكسمير وبول ماليافين ، فإن كل دالة ملساء ذات دعم مضغوط على $G$ إذا كانت f عبارة عن مجموع محدود من عمليات الالتفاف لدوال متشابهة، فإن صيغة الانعكاس تنطبق على هذه الدالة $f$ . ويمكن تعميمها على فئات أوسع بكثير من الدوال التي تحقق شروط تفاضلية بسيطة. ^{[ 34 ]}

تصنيف تمثيلات $SO(3, 1)$

تعتمد استراتيجية تصنيف التمثيلات غير القابلة للاختزال ذات الأبعاد اللانهائية، قياسًا على الحالة ذات الأبعاد المحدودة، على $افتراض$ وجودها ودراسة خصائصها. لذا، نفترض أولًا وجود تمثيل غير قابل للاختزال، متصل بقوة، لانهائي الأبعاد $ΠH$ على فضاء هيلبرت $H$ للمجموعة $SO(3; 1) +$ . ^{[ 136 ]} وبما أن $SO(3)$ زمرة جزئية، $فإن ΠH$ $يمثلها$ أيضًا. كل تمثيل جزئي غير قابل للاختزال للمجموعة $SO(3)$ محدود الأبعاد، ويمكن اختزال تمثيل $SO(3)$ إلى مجموع مباشر لتمثيلات وحدوية غير قابلة للاختزال ومحدودة الأبعاد للمجموعة $SO$ $(3)$ إذا كان $ΠH$ وحدويًا. ^{[ 137 ]}

الخطوات هي التالية: ^{[ 138 ]}

اختر أساسًا مناسبًا للمتجهات الذاتية المشتركة لـ $J 2$ و $J 3$ .
احسب عناصر المصفوفة $J 1 ، J 2 ، J 3$ و $K 1 ، K 2 ، K 3$ .
فرض علاقات التبادل في جبر لي.
يشترط أن تكون العناصر موحدة بالإضافة إلى تعامد الأساس. ^{[ ملاحظة 32 ]}

الخطوة 1

أحد الخيارات المناسبة للأساس والتسمية هو ما يلي: $\left|j_{0}\,j_{1};j\,m\right\rangle .$

إذا كان هذا تمثيلاً محدود الأبعاد ، فإن $j₀$ يُقابل أدنى قيمة ذاتية $j (j$ $+$ $1)$ $للمصفوفة$ J₂ $في$ التمثيل، وتساوي $| m - n |$ ، بينما يُقابل $j₁ أعلى قيمة ذاتية$ $، وتساوي$ $m + n$ . في حالة التمثيل غير المحدود الأبعاد، يحتفظ $j₀ \geq 0$ بهذا المعنى، بينما لا يحتفظ $j₁$ $به .$ ^{[ 43 ]} ولتبسيط الأمر، يُفترض أن قيمة $j$ معينة تظهر مرة واحدة على الأكثر في التمثيل المعطى (وهذا هو الحال بالنسبة للتمثيلات محدودة الأبعاد)، ويمكن إثبات ^{[ 139 ]} أنه من الممكن تجنب هذا الافتراض (بحساب أكثر تعقيدًا بعض الشيء) مع الحصول على النتائج نفسها.

الخطوة الثانية

تتمثل الخطوة التالية في حساب عناصر المصفوفة للمؤثرات $J 1 و J 2 و J 3$ و $K 1 و K 2 و K 3$ التي تشكل أساس جبر لي لـ ${\mathfrak {so}}(3;1).$ عناصر المصفوفة لـ $J_{\pm }=J_{1}\pm iJ_{2}$ و $J_{3}$ ( يُفهم أن جبر لي المعقد ) معروف من نظرية التمثيل لمجموعة الدوران، ويتم تقديمه بواسطة ^{[ 140 ]}^{[ 141 ]} ${\begin{aligned}\left\langle j\,m\right|J_{+}\left|j\,m-1\right\rangle =\left\langle j\,m-1\right|J_{-}\left|j\,m\right\rangle &={\sqrt {(j+m)(j-m+1)}},\\\left\langle j\,m\right|J_{3}\left|j\,m\right\rangle &=m,\end{aligned}}$ حيث تم حذف التسميات $j 0$ و $j 1$ لأنها متشابهة لجميع متجهات الأساس في التمثيل.

بسبب علاقات التبادل $[J_{i},K_{j}]=i\epsilon _{ijk}K_{k},$ الثلاثية $(K1, K2, K3) \equiv K$ هي مؤثر متجهي ^{[ 142 ]} $، وتُطبق$ ^{نظرية ويغنر-إيكارت [143]} لحساب عناصر $المصفوفة$ $بين$ ^{الحالات المُمثلة} بالأساس المُختار. ^{[ 144 ]} عناصر المصفوفة لـ ${\begin{aligned}K_{0}^{(1)}&=K_{3},\\K_{\pm 1}^{(1)}&=\mp {\frac {1}{\sqrt {2}}}(K_{1}\pm iK_{2}),\end{aligned}}$

حيث يشير الرمز العلوي $(1)$ إلى أن الكميات المحددة هي مكونات عامل موتر كروي من الرتبة $k = 1$ (وهو ما يفسر العامل $\sqrt 2$ أيضًا) ويتم الإشارة إلى الرموز السفلية $0 و \pm1 باسم$ $q$ في الصيغ أدناه، ويتم إعطاؤها بواسطة ^{[ 145 ].} ${\begin{aligned}\left\langle j'm'\left|K_{0}^{(1)}\right|j\,m\right\rangle &=\left\langle j'\,m'\,k=1\,q=0|j\,m\right\rangle \left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j'\right\rangle ,\\\left\langle j'm'\left|K_{\pm 1}^{(1)}\right|j\,m\right\rangle &=\left\langle j'\,m'\,k=1\,q=\pm 1|j\,m\right\rangle \left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j'\right\rangle .\end{aligned}}$

هنا، تمثل العوامل الأولى على الجانب الأيمن معاملات كليبيش-غوردان لربط $j'$ مع $k$ للحصول على $j .$ ^أما العوامل الثانية فهي عناصر المصفوفة المختزلة . وهي لا تعتمد على $m أو m'$ أو $q$ ، ولكنها تعتمد على $j و j'$ ، وبالطبع $K.$ ^[^{ملاحظة 33} ]

الخطوة 3

الخطوة التالية هي اشتراط صحة علاقات جبر لي، أي أن $[K_{\pm },K_{3}]=\pm J_{\pm },\quad [K_{+},K_{-}]=-2J_{3}.$

ينتج عن ذلك مجموعة من المعادلات ^{[ 146 ]} التي تكون حلولها ^{[ 147 ]} ${\begin{aligned}\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle &=i{\frac {j_{1}j_{0}}{\sqrt {j(j+1)}}},\\\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j-1\right\rangle &=-B_{j}\xi _{j}{\sqrt {j(2j-1)}},\\\left\langle j-1\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle &=B_{j}\xi _{j}^{-1}{\sqrt {j(2j+1)}},\end{aligned}}$ أين $B_{j}={\sqrt {\frac {(j^{2}-j_{0}^{2})(j^{2}-j_{1}^{2})}{j^{2}(4j^{2}-1)}}},\quad j_{0}=0,{\tfrac {1}{2}},1,\ldots \quad {\text{and}}\quad j_{1},\xi _{j}\in \mathbb {C} .$

الخطوة الرابعة

إن فرض شرط وحدة التمثيل المقابل للمجموعة يقيد القيم الممكنة للأعداد المركبة العشوائية $j 0$ و $ξ j$ . وتُترجم وحدة تمثيل المجموعة إلى اشتراط أن تكون ممثلات جبر لي هيرميتية، أي $K_{\pm }^{\dagger }=K_{\mp },\quad K_{3}^{\dagger }=K_{3}.$

وهذا يترجم إلى ^{[ 148 ]} ${\begin{aligned}\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle &={\overline {\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle }},\\\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j-1\right\rangle &=-{\overline {\left\langle j-1\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle }},\end{aligned}}$ مما يؤدي إلى ^{[ 149 ]} ${\begin{aligned}j_{0}\left(j_{1}+{\overline {j_{1}}}\right)&=0,\\\left|B_{j}\right|\left(\left|\xi _{j}\right|^{2}-e^{-2i\beta _{j}}\right)&=0,\end{aligned}}$ حيث $βj$ هي زاوية $Bj$ في الصيغة القطبية. بالنسبة $لـ$ $| Bj |$ $\neq$ $0$ $،$ يتبع $\left|\xi _{j}\right|^{2}=1$ و $\xi _{j}=1$ يتم اختيارها وفقاً للعرف. هناك حالتان محتملتان:

${\underline {j_{1}+{\overline {j_{1}}}=0.}}$ في هذه الحالة $j 1 = - iν$ ، $ν$ حقيقي، ^{[ 150 ]} $\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle ={\frac {\nu j_{0}}{j(j+1)}}\quad {\text{and}}\quad B_{j}={\sqrt {\frac {(j^{2}-j_{0}^{2})(j^{2}+\nu ^{2})}{4j^{2}-1}}}$ هذه هي السلسلة الرئيسية . عناصرها يُرمز لها بـ $(j_{0},\nu ),2j_{0}\in \mathbb {N} ,\nu \in \mathbb {R} .$
${\underline {j_{0}=0.}}$ ويتبع ذلك: ^{[ 151 ]} $\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle =0\quad {\text{and}}\quad B_{j}={\sqrt {\frac {j^{2}-\nu ^{2}}{4j^{2}-1}}}$ بما أن $B₀$ $= Bⱼ₀ ، فإن$ B₂ⱼ $عدد حقيقي$ وموجب لجميع $قيم j$ $من$ $1 إلى 2،$ مما يؤدي إلى $-1 \leq ν \leq 1.$ هذه متسلسلة مكملة . يُرمز لعناصرها $بـ$ $(0, ν)، -1 \leq ν \leq 1 .$

وهذا يدل على أن التمثيلات المذكورة أعلاه هي جميعها تمثيلات وحدوية غير قابلة للاختزال ذات أبعاد لا نهائية.

صيغ صريحة

الاصطلاحات وأسس جبر لي

يُعطى المقياس المُختار بالصيغة $η = diag(-1, 1, 1, 1)$ ، ويُستخدم الاصطلاح الفيزيائي لجبر لي والتحويل الأسي. هذه الاختيارات اعتباطية، ولكن بمجرد تحديدها، تصبح ثابتة. أحد الخيارات الممكنة لأساس جبر لي، في تمثيل المتجهات الرباعية، يُعطى بالصيغة التالية: ${\begin{aligned}J_{1}=J^{23}=-J^{32}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}},&K_{1}=J^{01}=-J^{10}&=i{\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},\\[8pt]J_{2}=J^{31}=-J^{13}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\end{pmatrix}},&K_{2}=J^{02}=-J^{20}&=i{\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},\\[8pt]J_{3}=J^{12}=-J^{21}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},&K_{3}=J^{03}=-J^{30}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}}.\\[8pt]\end{aligned}}$

علاقات التبادل في جبر لي ${\mathfrak {so}}(3;1)$ هي: ^{[ 152 ]} $\left[J^{\mu \nu },J^{\rho \sigma }\right]=i\left(\eta ^{\sigma \mu }J^{\rho \nu }+\eta ^{\nu \sigma }J^{\mu \rho }-\eta ^{\rho \mu }J^{\sigma \nu }-\eta ^{\nu \rho }J^{\mu \sigma }\right).$

في التدوين ثلاثي الأبعاد، هذه هي ^{[ 153 ]} $\left[J_{i},J_{j}\right]=i\epsilon _{ijk}J_{k},\quad \left[J_{i},K_{j}\right]=i\epsilon _{ijk}K_{k},\quad \left[K_{i},K_{j}\right]=-i\epsilon _{ijk}J_{k}.$

يُحقق اختيار الأساس المذكور أعلاه العلاقات المطلوبة، ولكن توجد خيارات أخرى ممكنة. يُرجى ملاحظة الاستخدام المتكرر للرمز $J$ أعلاه وفيما يلي.

على سبيل المثال، تتضاعف قيمة التعزيز النموذجي وقيمة الدوران النموذجي إلى أسٍّ كما يلي: $\exp(-i\xi K_{1})={\begin{pmatrix}\cosh \xi &\sinh \xi &0&0\\\sinh \xi &\cosh \xi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}},\qquad \exp(-i\theta J_{1})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&0&\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}},$ متناظر ومتعامد، على التوالي.

دوارات ويل

بأخذ $m = 1/2 و n$ $=$ $0$ $،$ ثم $m$ = $0$ $و$ $n$ $=$ $1/2$ $،$ $وبوضع$ $$ $$ $$ $J_{i}^{\left({\frac {1}{2}}\right)}={\frac {1}{2}}\sigma _{i}$ في التعبير العام (G1) ، وباستخدام العلاقات التافهة $11 = 1$ و $J (0) = 0$ ، ينتج

{\begin{aligned}\pi _{\left({\frac {1}{2}},0\right)}(J_{i})&={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{i}\otimes 1_{(1)}+1_{(2)}\otimes J_{i}^{(0)}\right)={\frac {1}{2}}\sigma _{i}\\\pi _{\left({\frac {1}{2}},0\right)}(K_{i})&={\frac {-i}{2}}\left(1_{(2)}\otimes J_{i}^{(0)}-\sigma _{i}\otimes 1_{(1)}\right)={\frac {i}{2}}\sigma _{i}\\[6pt]\pi _{\left(0,{\frac {1}{2}}\right)}(J_{i})&={\frac {1}{2}}\left(J_{i}^{(0)}\otimes 1_{(2)}+1_{(1)}\otimes \sigma _{i}\right)={\frac {1}{2}}\sigma _{i}\\\pi _{\left(0,{\frac {1}{2}}\right)}(K_{i})&={\frac {-i}{2}}\left(1_{(1)}\otimes \sigma _{i}-J_{i}^{(0)}\otimes 1_{(2)}\right)={\frac {-i}{2}}\sigma _{i}\end{aligned}}

W1

هذه هي تمثيلات سبينور فايل اليسرى واليمنى . وهي تعمل عن طريق ضرب المصفوفات على فضاءات متجهة معقدة ثنائية الأبعاد (مع اختيار أساس) $V L$ و $V R$ ، والتي تسمى عناصرها $Ψ L$ و $Ψ R$ سبينورات فايل اليسرى واليمنى على التوالي. $\left(\pi _{\left({\frac {1}{2}},0\right)},V_{\text{L}}\right)\quad {\text{and}}\quad \left(\pi _{\left(0,{\frac {1}{2}}\right)},V_{\text{R}}\right)$ يتم تشكيل مجموعها المباشر كتمثيلات، ^{[ 154 ]}

{\begin{aligned}\pi _{\left({\frac {1}{2}},0\right)\oplus \left(0,{\frac {1}{2}}\right)}\left(J_{i}\right)&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\sigma _{i}&0\\0&\sigma _{i}\end{pmatrix}}\\[8pt]\pi _{\left({\frac {1}{2}},0\right)\oplus \left(0,{\frac {1}{2}}\right)}\left(K_{i}\right)&={\frac {i}{2}}{\begin{pmatrix}\sigma _{i}&0\\0&-\sigma _{i}\end{pmatrix}}\end{aligned}}

D1

هذا، بعد تحويل التشابه، هو تمثيل سبينور ديراك $(⁠ 1 / 2 ⁠,0) \oplus (0, ⁠ 1 / 2 ⁠) لـ$ ${\mathfrak {so}}(3;1).$ يؤثر هذا التمثيل على العناصر الرباعية $(ΨL, ΨR) من$ ( $VL \oplus VR) عن طريق ضرب المصفوفات. ويمكن أيضًا الحصول على$ هذا التمثيل بطريقة أكثر عمومية واستقلالية عن الأساس من خلال تأثير جبر كليفورد المقابل $ومجموعة$ الدوران الخاصة به على وحدة الدوران. ^{[ 155 ]} تمتد هذه التعبيرات الخاصة بدوران ديراك ودوران فايل جميعها، عن طريق خطية جبر لي والتمثيلات، إلى جميع ${\mathfrak {so}}(3;1).$ يتم الحصول على تعابير تمثيلات المجموعة عن طريق الأس. ^{[ 156 ]}

تطبيقات الفيزياء

تُعدّ العديد من التمثيلات، سواءً المحدودة الأبعاد أو غير المحدودة الأبعاد، ذات أهمية بالغة في الفيزياء النظرية. تظهر هذه التمثيلات في وصف الحقول في نظرية الحقول الكلاسيكية ، ولا سيما الحقل الكهرومغناطيسي ، وفي وصف الجسيمات في ميكانيكا الكم النسبية ، وكذلك في وصف كلٍّ من الجسيمات والحقول الكمومية في نظرية الحقول الكمومية ، وفي وصف مختلف الأجسام في نظرية الأوتار وما بعدها. كما تُوفّر نظرية التمثيل الأساس النظري لمفهوم اللف المغزلي . وتدخل هذه النظرية في النسبية العامة بمعنى أنه في مناطق صغيرة بما يكفي من الزمكان، تُصبح الفيزياء هي فيزياء النسبية الخاصة. ^{[ 157 ]}

إن التمثيلات غير الوحدوية غير القابلة للاختزال ذات الأبعاد المحدودة، إلى جانب التمثيلات الوحدوية غير القابلة للاختزال ذات الأبعاد اللانهائية لمجموعة لورنتز غير المتجانسة ، أي مجموعة بوانكاريه ، هي التمثيلات ذات الصلة الفيزيائية المباشرة. ^[¹⁵⁸^]^[¹⁵⁹^]

تظهر التمثيلات الوحدوية اللانهائية الأبعاد لمجموعة لورنتز من خلال تقييد التمثيلات الوحدوية اللانهائية الأبعاد غير القابلة للاختزال لمجموعة بوانكاريه، والتي تؤثر على فضاءات هيلبرت في ميكانيكا الكم النسبية ونظرية الحقل الكمومي . إلا أن هذه التمثيلات ذات أهمية رياضية، ولها أيضًا أهمية فيزيائية مباشرة محتملة في أدوار أخرى غير مجرد التقييد. ^{[ 160 ]} كانت هناك نظريات تخمينية - حيث تمتلك الموترات والسبينورات نظائر لانهائية في موسعات ديراك وموسعات هاريش-تشاندرا، على التوالي - تتوافق مع النسبية وميكانيكا الكم، لكنها لم تجد أي تطبيق فيزيائي مثبت. ^[¹⁶¹^]^[¹¹⁹^] قد تحتوي النظريات التخمينية الحديثة على عناصر مشابهة لتلك المذكورة أدناه.

نظرية المجال الكلاسيكية

بينما يُعدّ المجال الكهرومغناطيسي، إلى جانب مجال الجاذبية، المجالين الكلاسيكيين الوحيدين اللذين يُقدّمان وصفًا دقيقًا للطبيعة، فإنّ أنواعًا أخرى من المجالات الكلاسيكية تُعدّ مهمة أيضًا. في منهج نظرية المجال الكمومي (QFT) المُشار إليه بالتكميم الثاني ، تكون نقطة البداية مجالًا كلاسيكيًا واحدًا أو أكثر، حيث تُعتبر الدوال الموجية التي تحلّ معادلة ديراك، على سبيل المثال، مجالات كلاسيكية قبل التكميم (الثاني). ^{[ 162 ]} مع أنّ التكميم الثاني والصيغة اللاغرانجية المرتبطة به ليسا جانبًا أساسيًا من نظرية المجال الكمومي، ^{[ 163 ]} إلا أنّه حتى الآن يُمكن تناول جميع نظريات المجال الكمومي بهذه الطريقة، بما في ذلك النموذج القياسي . ^{[ 164 ]} يجب أن تكون المعادلات التي تصف المجالات ثابتة نسبيًا، ويجب أن تتحوّل حلولها (التي ستُصنّف كدوال موجية نسبية وفقًا للتعريف أدناه) تحت تمثيل ما لمجموعة لورنتز. ^{[ 165 ]}

يشبه تأثير مجموعة لورنتز على فضاء تكوينات المجال (تكوين المجال هو تاريخ الزمكان لحل معين، على سبيل المثال، المجال الكهرومغناطيسي في كل الفضاء على مدى كل الزمن هو تكوين مجال واحد ) التأثير على فضاءات هيلبرت في ميكانيكا الكم، باستثناء استبدال أقواس المبدل بأقواس بواسون النظرية للمجال . ^{[ 162 ]}

ميكانيكا الكم النسبية

لأغراض هذا البحث، يُعرَّف ما يلي: الدالة الموجية النسبية هي مجموعة من $n$ دالة $ψ α$ على الزمكان، والتي تتحول تحت تحويل لورنتز مناسب $Λ$ كما يلي: $\psi '^{\alpha }(x)=D{[\Lambda ]^{\alpha }}_{\beta }\psi ^{\beta }\left(\Lambda ^{-1}x\right),$ حيث $D [Λ]$ هي مصفوفة ذات أبعاد $n$ تمثل $Λ$ . ^{[ 166 ]}

تُعدّ معادلة كلاين-غوردون ^[¹⁶⁷^] ومعادلة ديراك ^[¹⁶⁸^] ، في سياقهما الأصلي، من أكثر نظريات ميكانيكا الكم النسبية فائدةً للجسيم الواحد (إذ لا توجد نظريات متسقة تمامًا في هذا المجال). وهما ثابتتان نسبيًا، وتتحول حلولهما تحت تأثير مجموعة لورنتز إلى كميات قياسية لورنتزية ومتجهات ديراك الدورانية على التوالي. كما يُعدّ المجال الكهرومغناطيسي دالة موجية نسبية وفقًا لهذا التعريف. ^[¹⁶⁹^]

يمكن استخدام التمثيلات ذات الأبعاد اللانهائية في تحليل التشتت. ^{[ 170 ]}

نظرية الحقل الكمومي

في نظرية الحقل الكمومي ، يبرز شرط الثبات النسبي، من بين أمور أخرى، في أن مصفوفة التشتت (S) يجب أن تكون ثابتة تحت تأثير بوانكاريه. ^{[ 171 ]} وهذا يعني ضمناً وجود تمثيل واحد أو أكثر لانهائي الأبعاد لمجموعة لورنتز المؤثرة على فضاء فوك . ^{[ ملاحظة 34 ]} إحدى طرق ضمان وجود هذه التمثيلات هي وجود وصف لاغرانجي (مع فرض شروط بسيطة، انظر المرجع) للنظام باستخدام الصيغة الكلاسيكية، والتي يمكن من خلالها استنتاج تحقق مولدات مجموعة لورنتز. ^{[ 172 ]}

تُبيّن تحويلات مؤثرات الحقل الدور التكاملي الذي تؤديه التمثيلات ذات الأبعاد المحدودة لمجموعة لورنتز والتمثيلات الوحدوية ذات الأبعاد اللانهائية لمجموعة بوانكاريه، مما يُؤكد الوحدة العميقة بين الرياضيات والفيزياء. ^{[ 173 ]} وللتوضيح، لننظر في تعريف مؤثر حقل ذي $n$ مكون : ^[¹⁷⁴^] مؤثر الحقل النسبي هو مجموعة من $n$ دالة ذات قيم مؤثرة على الزمكان، والتي تتحول تحت تحويلات بوانكاريه المناسبة $(Λ,$ $a$ $)$ وفقًا لـ ^[¹⁷⁵^]^[¹⁷⁶^].

$\Psi ^{\alpha }(x)\to \Psi '^{\alpha }(x)=U[\Lambda ,a]\Psi ^{\alpha }(x)U^{-1}\left[\Lambda ,a\right]=D{\left[\Lambda ^{-1}\right]^{\alpha }}_{\beta }\Psi ^{\beta }(\Lambda x+a)$

هنا $، U [Λ, a]$ هو المؤثر الوحدوي الذي يمثل $(Λ, a)$ على فضاء هيلبرت الذي تُعرَّف عليه $Ψ، و$ $D$ هو تمثيل ذو بُعد $n$ لمجموعة لورنتز. قاعدة التحويل هي بديهية وايتمان الثانية في نظرية الحقل الكمومي.

من خلال اعتبارات القيود التفاضلية التي يجب أن يخضع لها عامل المجال من أجل وصف جسيم واحد بكتلة محددة $m$ ودوران $s$ (أو حلزونية)، يتم استنتاج أن ^{[ 177 ]}^{[ nb 35 ]}

\Psi ^{\alpha }(x)=\sum _{\sigma }\int dp\left(a(\mathbf {p} ,\sigma )u^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{ip\cdot x}+a^{\dagger }(\mathbf {p} ,\sigma )v^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{-ip\cdot x}\right),

إكس 1

حيث يُفسَّر الرمزان $a † و a$ على أنهما عاملان للإنشاء والإفناء على التوالي. ويتحول عامل الإنشاء $a †$ وفقًا للمراجع ^{[ 177 ] و}^{[ 178 ].}

$a^{\dagger }(\mathbf {p} ,\sigma )\rightarrow a'^{\dagger }\left(\mathbf {p} ,\sigma \right)=U[\Lambda ]a^{\dagger }(\mathbf {p} ,\sigma )U\left[\Lambda ^{-1}\right]=a^{\dagger }(\Lambda \mathbf {p} ,\rho )D^{(s)}{\left[R(\Lambda ,\mathbf {p} )^{-1}\right]^{\rho }}_{\sigma },$

وينطبق الأمر نفسه على عامل الإفناء. والخلاصة أن عامل المجال يتحول وفقًا لتمثيل غير وحدوي محدود الأبعاد لمجموعة لورنتز، بينما يتحول عامل الإنشاء وفقًا لتمثيل وحدوي لا نهائي الأبعاد لمجموعة بوانكاريه، والذي يتميز بكتلة الجسيم ودورانه $(m, s)$ . والرابط بينهما هو الدوال الموجية ، والتي تُسمى أيضًا دوال المعاملات.

$u^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{ip\cdot x},\quad v^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{-ip\cdot x}$

التي تحمل كلاً من المؤشرات $(x ، α)$ التي تُطبق عليها تحويلات لورنتز والمؤشرات $(p ، σ)$ التي تُطبق عليها تحويلات بوانكاريه. يُمكن تسمية هذا بوصلة لورنتز-بوانكاريه. ^{[ 179 ]} لإظهار هذه الوصلة، نُخضع طرفي المعادلة (X1) لتحويل لورنتز ينتج عنه، على سبيل المثال، $u$ ،

${D[\Lambda ]^{\alpha }}_{\alpha '}u^{\alpha '}(\mathbf {p} ,\lambda )={D^{(s)}[R(\Lambda ,\mathbf {p} )]^{\lambda '}}_{\lambda }u^{\alpha }\left(\Lambda \mathbf {p} ,\lambda '\right),$

حيث $D$ هي مجموعة لورنتز غير الوحدوية التي تمثل $Λ$ و $D (s)$ هي تمثيل وحدوي لما يسمى دوران ويغنر $R$ المرتبط بـ $Λ$ و $p$ والذي يستمد من تمثيل مجموعة بوانكاريه، و $s$ هو دوران الجسيم.

يمكن اشتقاق جميع الصيغ المذكورة أعلاه، بما في ذلك تعريف مؤثر المجال بدلالة مؤثرات الإنشاء والإفناء، بالإضافة إلى المعادلات التفاضلية التي يحققها مؤثر المجال لجسيم ذي كتلة ودوران محددين، والتمثيل $(m, n)$ الذي يُفترض أن يتحول بموجبه، ^{[ ملاحظة 36 ]} وكذلك دالة الموجة، من اعتبارات نظرية الزمر وحدها بمجرد تحديد أطر ميكانيكا الكم والنسبية الخاصة. ^{[ ملاحظة 37 ]}

النظريات التخمينية

في النظريات التي يمكن أن يكون فيها للزمكان أكثر من $4$ $أبعاد$ ، فإن مجموعات لورنتز المعممة $O(D - 1; 1)$ ذات البعد المناسب تحل محل $O(3; 1)$ . ^{[ nb 38 ]}

ربما يكون لشرط ثبات لورنتز أثره الأبرز في نظرية الأوتار . يمكن التعامل مع الأوتار النسبية الكلاسيكية في إطار لاغرانج باستخدام فعل نامبو-غوتو . ^{[ 180 ]} ينتج عن ذلك نظرية ثابتة نسبيًا في أي بُعد من أبعاد الزمكان. ^{[ 181 ]} ولكن ، كما اتضح، يستحيل تكميم نظرية الأوتار البوزونية المفتوحة والمغلقة (أبسط نظرية أوتار) بحيث يتم تمثيل زمرة لورنتز على فضاء الحالات ( فضاء هيلبرت ) إلا إذا كان بُعد الزمكان 26. ^[¹⁸²^] تُستنتج النتيجة المقابلة لنظرية الأوتار الفائقة مرة أخرى، مع اشتراط ثبات لورنتز، ولكن هذه المرة مع التناظر الفائق . في هذه النظريات، يُستبدل جبر بوانكاريه بجبر تناظر فائق، $وهو$ جبر لي متدرج $Z2$ يمتد من جبر بوانكاريه. تُحدد بنية هذا النوع من الجبر إلى حد كبير بمتطلبات ثبات لورنتز. وعلى وجه الخصوص، فإن البعد الوحيد الممكن للزمكان في هذه النظريات هو 10. ^[¹⁸³^]

المشكلات المفتوحة

تم الانتهاء من تصنيف وتوصيف نظرية التمثيل لمجموعة لورنتز في عام 1947. ^{[ 184 ]}

قد يكون للتمثيلات الوحدوية غير القابلة للاختزال ذات الأبعاد اللانهائية صلة غير مباشرة بالواقع الفيزيائي في النظريات الحديثة التأملية، إذ تظهر مجموعة لورنتز (المعممة) كمجموعة صغيرة لمجموعة بوانكاريه للمتجهات المكانية في بُعد الزمكان الأعلى. وتُعرف التمثيلات الوحدوية اللانهائية المقابلة لمجموعة بوانكاريه (المعممة) بالتمثيلات التاكيونية . تظهر التاكيونات في طيف الأوتار البوزونية وترتبط بعدم استقرار الفراغ. ^{[ 185 ]}^{[ 186 ]} على الرغم من أن التاكيونات قد لا تتحقق في الطبيعة، إلا أنه يجب فهم هذه التمثيلات رياضيًا لفهم نظرية الأوتار. وذلك لأن حالات التاكيون تظهر أيضًا في نظريات الأوتار الفائقة في محاولات إنشاء نماذج واقعية. ^{[ 187 ]}

تتمثل إحدى المشكلات المفتوحة في إكمال برنامج بارغمان-ويغنر لمجموعة التناظر $SO(D -2, 1)$ لزمكان دي سيتر $dS(D -2$ ) . من الناحية المثالية، ينبغي تحقيق المكونات الفيزيائية للدوال الموجية على القطع الزائد $dS(D -2)$ ذي نصف القطر $μ > 0$ والمضمن في $\mathbb {R} ^{D-2,1}$ والمعادلات الموجية المتغيرة المقابلة $O(D -2, 1)$ للتمثيل الوحدوي اللانهائي الأبعاد المطلوب معرفتها. ^{[ 186 ]}

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ قد تتخذ طريقة تمثيل تناظرات الزمكان أشكالًا عديدة تبعًا للنظرية المستخدمة. مع أن هذا ليس موضوعنا الحالي، سيتم تقديم بعض التفاصيل في الحواشي السفلية المُعنونة بـ "ملاحظة"، وفي قسم التطبيقات .
↑ واينبرغ 2002 ، ص. 1 "إذا تبين أن نظامًا ما لا يمكن وصفه بنظرية المجال الكمومي، فسيكون ذلك بمثابة ضجة كبيرة؛ وإذا تبين أنه لا يخضع لقواعد ميكانيكا الكم والنسبية، فسيكون ذلك بمثابة كارثة."
في عام ١٩٤٥، زار هاريش تشاندرا ديراك في كامبريدج. اقتنع هاريش تشاندرا بأن الفيزياء النظرية ليست المجال المناسب له. فقد اكتشف خطأً في برهان لديراك في عمله على مجموعة لورنتز. قال ديراك: "أنا لست مهتمًا بالبراهين، بل بما تفعله الطبيعة فقط". كتب هاريش تشاندرا لاحقًا: "أكدت هذه الملاحظة قناعتي المتزايدة بأنني لا أملك تلك الحاسة السادسة الغامضة التي يحتاجها المرء للنجاح في الفيزياء، وسرعان ما قررت الانتقال إلى الرياضيات". مع ذلك، اقترح ديراك موضوع أطروحة هاريش تشاندرا، وهو تصنيف التمثيلات غير القابلة للاختزال ذات الأبعاد اللانهائية لمجموعة لورنتز. انظر داليتز وبيرلز ١٩٨٦
↑ هول (2015 ، القسم 4.4.)
يقول أحدهم أن المجموعة تتمتع بخاصية الاختزال الكامل إذا كان كل تمثيل يتحلل إلى مجموع مباشر من التمثيلات غير القابلة للاختزال.
↑ اقترح ديراك موضوع ويغنر (1939) في وقت مبكر من عام 1928 (كما ورد في ورقة ويغنر). كما نشر إحدى أوائل الأوراق البحثية حول التمثيلات الوحدوية اللانهائية الأبعاد الصريحة في ديراك (1945) ( لانغلاندز 1985 )، واقترح موضوع أطروحة هاريش-تشاندرا لتصنيف التمثيلات اللانهائية الأبعاد غير القابلة للاختزال ( داليتز وبيرلز 1986 ).
↑ Knapp 2001 تم إثبات التشاكل الثالث الغامض نوعًا ما في الفصل 2، الفقرة 4.
↑ حاصل ضرب الموترات للتمثيلات، $π g \otimes π h$ من ${\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}$ يمكن ذلك، عندما يأتي كلا العاملين من نفس جبر لي ${\mathfrak {h}}={\mathfrak {g}},$ إما أن يُنظر إليها على أنها تمثيل لـ ${\mathfrak {g}}$ أو ${\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}$ .
عند تحويل جبر لي المركب إلى جبر لي حقيقي ، ينبغي اعتباره جبر لي حقيقيًا ذو بُعد حقيقي يساوي ضعف بُعده المركب. وبالمثل ، قد يكون الشكل الحقيقي مركبًا أيضًا، كما هو الحال هنا.
↑ اجمع واينبرغ (2002 ، المعادلات 5.6.7-8، 5.6.14-15) مع هول (2015 ، الاقتراح 4.18) حول تمثيلات جبر لي لتمثيلات ضرب موتر المجموعة.
↑ يمكن التعبير عن خاصية "عدم وجود أثر" على النحو التالي: $S αβ g αβ = 0$ ، أو $S α α = 0$ ، أو $S αβ g αβ = 0$ اعتمادًا على طريقة عرض المجال: متغاير، مختلط، ومتغاير عكسي على التوالي.
↑ هذا لا يأتي بالضرورة متناظرًا مباشرة من لاغرانجيان باستخدام نظرية نوثر ، ولكن يمكن جعله متناظرًا كموتر الإجهاد والطاقة لبيلينفانتي-روزنفيلد .
↑ هذا بشرط أن تكون الزوجية تناظرًا. وإلا فسيكون هناك نوعان، $(⁠ 3 / 2 ⁠, 0)$ و $(0, ⁠ 3 / 2 ⁠)$ قياسًا على النيوترينوات .
↑ تختلف المصطلحات بين الرياضيات والفيزياء. في المقالة المذكورة، يحمل مصطلح "التمثيل الإسقاطي" معنىً مختلفًا بعض الشيء عن معناه في الفيزياء، حيث يُنظر إلى التمثيل الإسقاطي على أنه مقطع محلي (معكوس محلي) للخريطة المُغطية من المجموعة المُغطية إلى المجموعة المراد تغطيتها، مُركبًا مع تمثيل مناسب للمجموعة المُغطية. وبما أنه يُمكن القيام بذلك (محليًا) بشكل مستمر بطريقتين في الحالة قيد الدراسة كما هو موضح أدناه، فإن مصطلح "التمثيل ثنائي القيمة" أو "التمثيل ذو القيمتين" يُعدّ طبيعيًا.
↑ على وجه الخصوص، $فإن A$ يتبادل مع مصفوفات باولي ، وبالتالي مع كل $SU(2)$ مما يجعل ليمّة شور قابلة للتطبيق.
↑ بمعنى أن النواة تافهة، ولتوضيح ذلك، تذكر أن نواة تشاكل جبر لي هي مثالي ، وبالتالي فضاء جزئي. بما أن $p$ هو $2:1$ وكلاهما ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ و $SO(3; 1) +$ هي ذات $6$ أبعاد ، يجب أن تكون النواة ذات $0$ أبعاد ، وبالتالي ${0}.$
↑ الدالة الأسية هي دالة تقابلية في جوار دالة الهوية في ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),$ وبالتالي التركيب ${\displaystyle \exp \circ \sigma \circ \log$ حيث $σ$ هو تماثل جبر لي، وهو يشمل جوارًا مفتوحًا $U \subset SO(3; 1) +$ يحتوي على العنصر المحايد. يُولّد هذا الجوار المكون المتصل.
↑ روسمان 2002 من المثال 4 في القسم 2.1 : يمكن توضيح ذلك كما يلي. المصفوفة $q$ لها قيم ذاتية ${-1, -1}$ ، لكنها غير قابلة للتقطير . إذا كانت $q = exp(Q)$ ، فإن $Q$ لها قيم ذاتية $λ ، -λ$ حيث $λ = iπ + 2πik$ لبعض $k$ لأن عناصر ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ هي عديمة الأثر. ولكن بما أن $Q$ قابلة للتقطير، فإن $q$ قابلة للتقطير، وهذا تناقض.
↑ روسمان 2002 ، الاقتراح 10، الفقرة 6.3. أسهل طريقة لإثبات ذلك هي باستخدام نظرية الشخصية .
↑ أي مجموعة فرعية طبيعية منفصلةلمجموعة متصلة مسارياً G $تكون$ موجودة في المركز $Z$ من $G.$
هول 2015 ، التمرين 11، الفصل 1.
↑ لا تحتوي زمرة لي شبه البسيطة على أي زمر فرعية أبيلية طبيعية غير منفصلة . ويمكن اعتبار هذا تعريفًا لشبه البساطة.
↑ لا تحتوي المجموعة البسيطة على أي مجموعات فرعية طبيعية غير منفصلة.
↑ على النقيض من ذلك، توجد حيلة، تُعرف أيضًا بحيلة ويل الوحدوية، ولكنها لا ترتبط بالحيلة الوحدوية المذكورة أعلاه، تُبين أن جميع التمثيلات ذات الأبعاد المحدودة هي تمثيلات وحدوية، أو يمكن جعلها كذلك. إذا كان $(Π, V)$ تمثيلًا ذا أبعاد محدودة لزمرةلي متراصة $G،$ وإذا $كان (\cdot, \cdot)$ أي جداء داخلي على $V$ ، فنُعرّف جداءً داخليًا جديدًا $(\cdot, \cdot) Π$ كما $يلي: (x, y) Π = \int G (Π(g) x, Π(g) y) dμ (g)$ ، حيث $μ$ هو مقياس هار على $G.$ عندئذٍ $يكون Π$ وحدويًا بالنسبة إلى $(\cdot, \cdot) Π$ . انظر هول (2015 ، النظرية 4.28).
ومن النتائج الأخرى أن كل زمرة لي متراصة تتمتع بخاصية الاختزال الكامل ، مما يعني أن جميع تمثيلاتها ذات الأبعاد المحدودة تتحلل إلى مجموع مباشر من التمثيلات غير القابلة للاختزال . (هال، 2015 ، التعريف 4.24، النظرية 4.28).
صحيح أيضًا أنه لا توجد تمثيلات وحدوية غير قابلة للاختزال ذات أبعاد لا نهائية لمجموعات لي المدمجة، كما هو مذكور، ولكن لم يتم إثباته في Greiner & Müller (1994 ، القسم 15.2) .
↑ لي 2003 اللمة أ.17 (ج). المجموعات الجزئية المغلقة من المجموعات المدمجة هي مجموعات مدمجة.
↑ لي 2003، اللمة أ.17 (أ). إذا $كانت الدالة f : X \to Y$ متصلة، $و X$ متراصة، فإن $f (X)$ متراصة.
↑ يُعدّ عدم التوحيد عنصرًا أساسيًا في برهان نظرية كولمان-ماندولا ، والتي تنصّ على أنه، على عكس النظريات غير النسبية، لا يمكن أن توجد تناظرات عادية تربط الجسيمات ذات اللف المغزلي المختلف. انظر واينبرغ (2000).
↑ هذه إحدى نتائج نظرية كارتان ، وهي نظرية الوزن الأعلى.
هول (2015 ، النظريات 9.4-5.)
↑ Hall 2015 ، القسم 8.2 نظام الجذر هو اتحاد نسختين من $A 1$ ، حيث توجد كل نسخة في أبعادها الخاصة في فضاء متجه التضمين.
↑ روسمان 2002 هذا التعريف يعادل التعريف من حيث مجموعة لي المتصلة التي يكون جبر لي الخاص بها هو جبر لي لنظام الجذر قيد الدراسة.
↑ انظر سيمونز (1972 ، القسم 30) للاطلاع على الشروط الدقيقة التي بموجبها تُعطي طريقة فروبينيوس حلين مستقلين خطيًا. إذا لم يختلف الأسّان بعدد صحيح، فإن هذا هو الحال دائمًا.
↑ "هذا هو أقرب ما يمكن للمرء أن يصل إليه من مصدر نظرية التمثيلات اللانهائية الأبعاد للمجموعات شبه البسيطة والمختزلة ..." ، لانغلاندز (1985 ، ص 204) ، في إشارة إلى فقرة تمهيدية في ورقة ديراك عام 1945.
↑ لاحظ أنه بالنسبة لفضاء هيلبرت $H$ ،يمكن تحديد $HS($ $H$ $) بشكل قانوني مع حاصل ضرب موتر فضاء هيلبرت لـ$ $H$ وفضائه المرافق.
↑ إذا اشترطنا الأبعاد المحدودة، فإن النتيجة هي $تمثيلات (m, n)$ ، انظر تونغ (1985 ، المسألة 10.8). أما إذا لم يُشترط أيٌّ منهما، فسنحصل على تصنيف أوسع لجميع التمثيلات غير القابلة للاختزال، بما في ذلك التمثيلات ذات الأبعاد المحدودة والتمثيلات الوحدوية. وقد تم اتباع هذا النهج في بحث هاريش-شاندرا (1947) .
↑ للحصول على قائمة كاملة بالمعادلات غير المتلاشية، انظر Harish-Chandra (1947 ، ص 375) .
↑ انظر الصيغة (1) في مصفوفة S# من حالات الجسيمات الحرة لمعرفة كيفية تحول حالات الجسيمات المتعددة الحرة.
↑ واينبرغ 2002 ، المعادلات 5.1.4-5. يستنتج واينبرغ ضرورة عوامل الإنشاء والإفناء من اعتبار آخر، وهو مبدأ تفكيك المجموعة ، واينبرغ (2002 ، الفصل 4).
↑ قد تكون هناك حاجة أيضًا إلى وصفة لكيفية تصرف الجسيم في ظل تناظر CPT.
على سبيل المثال ، توجد صيغ (معادلات المجال الحر، أي بدون حدود تفاعل) لمعادلة كلاين-غوردون ، ومعادلة ديراك ، ومعادلات ماكسويل ، ومعادلة بروكا ، ومعادلة راريتا-شوينغر ، ومعادلات أينشتاين للمجال، والتي يمكن استنتاجها بشكل منهجي انطلاقًا من تمثيل مُعطى لمجموعة لورنتز. وبشكل عام، تُعدّ هذه مجتمعةً صيغ نظرية المجال الكمومي لمعادلات بارغمان-ويغنر .انظر واينبرغ (2002 ، الفصل 5) ، وتونغ (1985 ، القسم 10.5.2)، والمراجع الواردة في هذه الأعمال.تجدر الإشارة إلى أن نظريات اللف المغزلي العالي ( $s > 1$ ) تواجه صعوبات. انظر واينبرغ (2002 ، القسم 5.8) ، حول المجالات العامة $(m, n)$ ، حيث نوقش هذا الأمر بتفصيل، والمراجع الواردة فيه. لا شك في وجود جسيمات ذات دوران عالٍ ، مثل النوى، لكن الجسيمات المعروفة ليست أولية .
↑ للاطلاع على جزء من نظرية التمثيل الخاصة بهم، انظر بيكيرت وبولانجر (2006) ، المخصص لنظرية تمثيل زمرة بوانكاريه. تُستخلص هذه التمثيلات بطريقة التمثيلات المستحثة ، أو بلغة الفيزياء، طريقة الزمرة الصغيرة ، التي رائدها ويجنر عام 1939 لهذا النوع من الزمر، ووضعها جورج ماكي على أسس رياضية متينة في الخمسينيات.

الاقتباسات

↑ بارغمان وويغنر 1948
↑ بيكارت وبولانجر 2006
↑ يمكن العثور على هذه الحقائق في معظم كتب الرياضيات والفيزياء التمهيدية. انظر على سبيل المثال روسمان (2002) ، وهال (2015) ، وتونغ (1985) .
↑ هول (2015 ، النظرية 4.34 والمناقشة التالية.)
1 2 3 ويغنر 1939
↑ هول 2015 ، الملحق د2.
1 2 غرينر ورينهارت 1996
↑ واينبرغ 2002 ، القسم 2.6 والفصل 5.
1 2 كولمان 1989 ، ص. 30.
↑ لاي 1888 ، 1890، 1893. مصدر أساسي.
↑ كولمان 1989 ، ص 34.
↑ جريمة قتل عام 1888 (مصدر أساسي).
1 2 روسمان 2002 ، معلومات تاريخية متناثرة في جميع أنحاء النص.
↑ كارتان 1913 المصدر الأساسي.
↑ Green 1998 ، ص = 76.
↑ براور وويل 1935 مصدر أساسي.
↑ تونغ 1985 ، مقدمة.
↑ ويل 1931 مصدر أساسي.
↑ ويل 1953 مصدر أساسي.
↑ لانغلاندز 1985 ، الصفحات 203-205
↑ هاريش-شاندرا 1947 مصدر أساسي.
↑ تونغ 1985 ، مقدمة
↑ ويغنر 1939 مصدر أساسي.
↑ كلاودر 1999
↑ بارغمان 1947 مصدر أساسي.
↑ كان بارغمان أيضًا عالم رياضيات . عمل كمساعد لألبرت أينشتاين في معهد الدراسات المتقدمة في برينستون ( كلاودر (1999) ).
↑ بارغمان وويغنر 1948 مصدر أساسي.
↑ داليتز وبيرلز 1986
↑ ديراك 1928 المصدر الأساسي.
↑ تونغ 1985 ، ص 187.
↑ واينبرغ 2002 ، المعادلات 5.6.7–8.
↑ واينبرغ 2002 ، المعادلات 5.6.9–11.
1 2 3 4 هول 2003 ، الفصل 6.
1 2 3 4 5 كناب 2001
↑ هذا تطبيق لـ Rossmann 2002 ، القسم 6.3، الاقتراح 10.
1 2 Knapp 2001 ، ص. 32.
↑ واينبرغ 2002 ، المعادلات 5.6.16–17.
↑ واينبرغ 2002 ، القسم 5.6. المعادلات تتبع من المعادلات 5.6.7-8 و5.6.14-15.
↑ واينبرغ 2002 ، الفصل 5
↑ تونغ 1985 ، ص 203
↑ واينبرغ 2000 ، القسم 25.2.
↑ واينبرغ 2002 ، القسمان 2.5 و5.1
1 2 تونغ 1985
↑ هول 2003 ، ص 219
1 2 واينبرغ 2002 ، القسم 5.7
↑ كذبة 1888
↑ روسمان 2002 ، القسم 2.5.
↑ هول 2015 ، النظرية 2.10.
↑ بورباكي 1998 ، ص 424.
↑ واينبرغ 2002 ، القسم 2.7 ص.88.
1 2 3 4 5 واينبرغ 2002 ، القسم 2.7.
↑ هول 2015 ، الملحق ج.3.
↑ ويغنر 1939 ، ص 27.
↑ جيلفاند، مينلوس وشابيرو 1963 يتم تناول هذا البناء للمجموعة المغطية في الفقرة 4، القسم 1، الفصل 1 في الجزء الثاني.
↑ روسمان 2002 ، القسم 2.1.
1 2 هول 2015 ، المعادلات المعروضة لأول مرة في القسم 4.6..
↑ هول 2015 ، مثال 4.10.
1 2 كناب 2001 ، الفصل 2.
↑ كناب 2001 المعادلة 2.1.
↑ هول 2015 ، المعادلة 4.2.
↑ هول 2015 ، المعادلة قبل 4.5.
↑ كناب 2001 المعادلة 2.4.
↑ كناب 2001 ، القسم 2.3.
↑ هول 2015 ، النظريات 9.4–5.
^ بيكارت وبولانجر 2006 ، ص. 3
↑ هول 2015
1 2 واينبرغ 2002 ، القسم 5.6
↑ واينبرغ 2002 ، الفصل 5.
↑ هول 2015 ، النظرية 10.18.
↑ هول 2003 ، ص 235.
↑ انظر أي نص حول نظرية المجموعات الأساسية.
↑ روسمان 2002 الاقتراحات 3 و 6 الفقرة 2.5.
↑ هول 2003 انظر التمرين 1، الفصل 6.
^ بيكارت وبولانجر 2006 ص.4.
↑ هول 2003 الاقتراح 1.20.
↑ لي 2003 ، النظرية 8.30.
↑ واينبرغ 2002 ، القسم 5.6، ص 231.
↑ واينبرغ 2002 ، القسم 5.6.
↑ واينبرغ 2002 ، ص 231.
↑ واينبرغ 2002 ، الأقسام 2.5، 5.7.
↑ تونغ 1985 ، القسم 10.5.
↑ واينبرغ 2002 تم توضيح هذا (باختصار شديد) في الصفحة 232، بالكاد أكثر من حاشية.
↑ هول 2003 ، الاقتراح 7.39.
1 2 هول 2003 ، النظرية 7.40.
↑ هول 2003 ، القسم 6.6.
↑ هول 2003 ، البند الثاني في الاقتراح 4.5.
↑ هول 2003 ، ص 219.
↑ روسمان 2002 ، التمرين 3 في الفقرة 6.5.
↑ هول 2003 انظر الملحق د.3
↑ واينبرغ 2002 ، المعادلة 5.4.8.
1 2 واينبرغ 2002 ، القسم 5.4.
↑ واينبرغ 2002 ، ص 215-216.
↑ واينبرغ 2002 ، المعادلة 5.4.6.
↑ واينبرغ 2002 القسم 5.4.
↑ هول 2015 ، القسم 4.4
↑ هول 2015 ، القسم 4.4.
^ فان دير وايردن 1974 ، ص. 119
↑ واينبرغ 2002 ، القسم 5.7، الصفحات 232-233.
↑ واينبرغ 2002 ، القسم 5.7، ص 233.
↑ واينبرغ 2002 المعادلة 2.6.5.
↑ واينبرغ 2002 المعادلة التالية 2.6.6.
↑ واينبرغ 2002 ، القسم 2.6.
↑ للحصول على مناقشة مفصلة لحالات الدوران 0 و 1 / 2 و 1 ، انظر Greiner & Reinhardt 1996 .
↑ واينبرغ 2002 ، القسم 2.6
↑ واينبرغ 2002 ، الفصل 3.
↑ روسمان 2002 انظر القسم 6.1 لمزيد من الأمثلة، سواء كانت محدودة الأبعاد أو غير محدودة الأبعاد.
↑ جيلفاند، مينلوس وشابيرو 1963
^ عقد، نيومان وبوساداس 1970
↑ تشرشل وبراون 2014 ، الفصل 8، الصفحات 307-310.
↑ غونزاليس، ب.أ.؛ فاسكيز، ي. (2014)، "أنماط ديراك شبه الطبيعية للثقوب السوداء من النوع الجديد في الجاذبية الكتلية الجديدة" ، المجلة الأوروبية للفيزياء ج ، 74:2969 (7): 3، arXiv : 1404.5371 ، Bibcode : 2014EPJC...74.2969G ، doi : 10.1140/epjc/s10052-014-2969-1 ، ISSN 1434-6044 ، S2CID 118725565
↑ أبراموفيتز وستيجون 1965 ، المعادلة 15.6.5.
↑ سيمونز 1972 ، القسمان 30 و31.
↑ سيمونز 1972 ، القسم 30.
↑ سيمونز 1972 ، القسم 31.
↑ سيمونز 1972 ، المعادلة 11 في الملحق هـ، الفصل 5.
↑ لانغلاندز 1985 ، ص 205.
^ فاراداراجان 1989 ، الأقسام 3.1. 4.1.
↑ لانغلاندز 1985 ، ص 203.
1 2 3 4 هاريش تشاندرا 1947
^ فاراداراجان 1989 ، القسم 4.1.
↑ روهل 1970
↑ تاكاهاشي 1963
↑ هيلجاسون 1968
↑ هيلجاسون 2000
↑ بيردنت 2007 ، ص 143
↑ كناب 2001 ، الفصل 2
^ جلفاند وجريف وبياتيتسكي شابيرو 1969
↑ كناب 2001 ، الفصل الثاني.
1 2 تايلور 1986
↑ كناب 2001 الفصل 2. المعادلة 2.12.
↑ بارغمان 1947
↑ جيلفاند وجرييف 1953
↑ جيلفاند ونايمارك 1947
^ تاكاهاشي 1963 ، ص. 343.
^ كناب 2001 ، المعادلة 2.24.
^ فولاند 2015 ، القسم 3.1.
^ فولاند 2015 ، النظرية 5.2.
↑ تونغ 1985 ، القسم 10.3.3.
↑ هاريش-شاندرا 1947 ، الحاشية ص. 374.
↑ Tung 1985 ، المعادلات 7.3–13، 7.3–14.
↑ هاريش-شاندرا 1947 ، المعادلة 8.
↑ هول 2015 ، الاقتراح ج.7.
↑ هول 2015 ، الملحق ج.2.
↑ تونغ 1985 ، الخطوة الثانية القسم 10.2.
↑ Tung 1985 ، المعادلات 10.3–5. يختلف ترميز Tung لمعاملات Clebsch–Gordan عن الترميز المستخدم هنا.
↑ تونغ 1985 ، المعادلة السابعة-3.
↑ تونغ 1985 ، المعادلات 10.3-5، 7، 8.
↑ تونغ 1985 ، المعادلة VII-9.
↑ تونغ 1985 ، المعادلات VII-10، 11.
↑ تونغ 1985 ، المعادلات VII-12.
↑ تونغ 1985 ، المعادلات VII-13.
↑ واينبرغ 2002 ، المعادلة 2.4.12.
↑ واينبرغ 2002 ، المعادلات 2.4.18–2.4.20.
↑ واينبرغ 2002 ، المعادلات 5.4.19، 5.4.20.
↑ لوسون وميشيلسون 1989 ، الفصل الأول
↑ روسمان 2002 ، القسم 2.5
↑ ميسنر، ثورن وويلر 1973
↑ واينبرغ 2002 ، القسم 2.5، الفصل 5.
↑ تونغ 1985 ، الأقسام 10.3، 10.5.
↑ تونغ 1985 ، القسم 10.4.
↑ ديراك 1945
1 2 Greiner & Reinhardt 1996 ، الفصل 2.
↑ واينبرغ 2002 ، مقدمة وفصل تمهيدي للفصل 7.
↑ واينبرغ 2002 ، مقدمة الفصل 7.
↑ تونغ 1985 ، ص 202
↑ تونغ 1985 ، ص 203، التعريف 10.11.
^ غرينر ومولر (1994 ، الفصل الأول)
^ غرينر ومولر (1994 ، الفصل 2)
↑ تونغ 1985 ، ص 203.
↑ ديلبورغو، سلام وستراثدي 1967
↑ واينبرغ (2002 ، القسم 3.3)
↑ واينبرغ (2002 ، القسم 7.4.)
↑ تونغ 1985 ، مقدمة الفصل 10.
↑ تونغ 1985 ، التعريف 10.12.
↑ تونغ 1985 ، المعادلة 10.5-2.
↑ واينبرغ 2002 ، المعادلات 5.1.6–7.
1 2 Tung 1985 ، المعادلة 10.5–18.
↑ واينبرغ 2002 ، المعادلات 5.1.11–12.
↑ تونغ 1985 ، القسم 10.5.3.
^ زويباك 2004 ، القسم 6.4.
^ زويباخ 2004 ، الفصل 7.
^ زويباخ 2004 ، القسم 12.5.
^ زويباخ 2004 ، الفقرة الأخيرة، القسم 12.6.
↑ بارغمان (1947) ، جيلفاند ونايمارك (1947) وهاريش تشاندرا (1947) .
^ زويباخ 2004 ، القسم 12.8.
1 2 بيكارت وبولانجر 2006 ، ص. 48.
^ زويباك 2004 ، القسم 18.8.

مراجع متاحة مجاناً عبر الإنترنت

بيكيرت، إكس.؛ بولانجر، ن. (2006)، "التمثيلات الوحدوية لمجموعة بوانكاريه في أي بُعد من أبعاد الزمكان"، arXiv : hep-th/0611263نسخة موسعة من المحاضرات التي تم تقديمها في المدرسة الصيفية الثانية لموداف في الفيزياء الرياضية (بلجيكا، أغسطس 2006).
كورترايت، تي إل ؛ فيرلي، دي بي ؛ زاكوس، سي كيه (2014)، "صيغة مختصرة للدوران كمتعددات حدود مصفوفة الدوران"، سيجما ، 10 : 084، arXiv : 1402.3541 ، Bibcode : 2014SIGMA..10..084C ، doi : 10.3842/SIGMA.2014.084 ، S2CID 18776942 يتم التعبير عن عناصر المجموعة SU(2) في شكل مغلق على أنها كثيرات حدود محدودة لمولدات جبر لي، لجميع تمثيلات الدوران المحددة لمجموعة الدوران.

مراجع

أبراموفيتز، م .؛ ستيجون، آي. أ. (1965)، دليل الدوال الرياضية: مع الصيغ والرسوم البيانية والجداول الرياضية ، كتب دوفر في الرياضيات، نيويورك: منشورات دوفر ، رقم ISBN 978-0486612720
بارغمان، ف. (1947)، "التمثيلات الوحدوية غير القابلة للاختزال لمجموعة لورنز"، حوليات الرياضيات ، 48 (3): 568-640 ، doi : 10.2307/1969129 ، JSTOR 1969129 (نظرية التمثيل لـ SO(2,1) و SL(2, R )؛ الجزء الثاني حول SO(3; 1) و SL(2, C )، الموصوف في المقدمة، لم يتم نشره مطلقًا).
بارغمان، ف.؛ ويغنر، إي. بي. (1948)، "مناقشة نظرية المجموعات لمعادلات الموجة النسبية"، وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم بالولايات المتحدة الأمريكية ، 34 (5): 211-223 ، رمز Bibcode : 1948PNAS...34..211B ، doi : 10.1073/pnas.34.5.211 ، PMC 1079095 ، PMID 16578292
بيردنت، رولف (2007)، تمثيلات المجموعات الخطية: مقدمة مبنية على أمثلة من الفيزياء ونظرية الأعداد ، دار النشر، رقم ISBN 978-3-8348-9401-4
بورباكي، ن. (1998)، زمر لي وجبر لي: الفصول 1-3 ، سبرينغر، ISBN 978-3-540-64242-8
براور، ر.؛ ويل، هـ. (1935)، "السبينورات في n بُعدًا"، المجلة الأمريكية للرياضيات ، 57 (2): 425-449 ، doi : 10.2307/2371218 ، JSTOR 2371218
باورلي، جي جي إيه؛ دي كيرف، إي إيه (1990)، أ. فان غروسن؛ إي إم دي ياغر (محررون)، جبر لي ذو الأبعاد المحدودة وغير المحدودة وتطبيقاته في الفيزياء ، دراسات في الفيزياء الرياضية، المجلد 1، نورث هولاند، ISBN 978-0-444-88776-4
باورلي، GGA؛ دي كيرف، EA؛ Ten Kroode, APE (1997), A. van Groesen; EM de Jager (eds.)، جبر الكذب محدود وغير محدود الأبعاد وتطبيقاتها في الفيزياء ، دراسات في الفيزياء الرياضية، المجلد. 7، شمال هولندا، ISBN 978-0-444-82836-1
كارتان ، إيلي (1913)، “Les groupes projectifs qui ne laissant invariante aucun multiplicitéplane”، Bull. شركة نفط الجنوب. الرياضيات. الأب. (بالفرنسية)، 41 : 53-96 ، دوى : 10.24033/bsmf.916
تشرشل، آر في ؛ براون، جيه دبليو (2014) [1948]، المتغيرات المركبة وتطبيقاتها ( الطبعة التاسعة)، نيويورك: ماكجرو هيل، ISBN 978-0073-383-170
كولمان، أ. ج. (1989)، "أعظم ورقة بحثية رياضية على مر العصور"، مجلة الرياضيات الذكية ، 11 (3): 29-38 ، doi : 10.1007/BF03025189 ، ISSN 0343-6993 ، S2CID 35487310
داليتز، آر إتش ؛ بيرلز، رودولف (1986)، "بول أدريان موريس ديراك. 8 أغسطس 1902 - 20 أكتوبر 1984" ، مذكرات السيرة الذاتية لزملاء الجمعية الملكية ، 32 : 138-185 ، doi : 10.1098/rsbm.1986.0006 ، S2CID 74547263
Delbourgo, R.; Salam, A.; Strathdee, J. (1967), "Harmonic analysis in terms of the homogeneous Lorentz group", Physics Letters B, 25 (3): 230–32, Bibcode:1967PhLB...25..230D, doi:10.1016/0370-2693(67)90050-0
Dirac, P. A. M. (1928), "The Quantum Theory of the Electron", Proc. R. Soc. A, 117 (778): 610–624, Bibcode:1928RSPSA.117..610D, doi:10.1098/rspa.1928.0023 (free access)
Dirac, P. A. M. (1936), "Relativistic wave equations", Proc. R. Soc. A, 155 (886): 447–459, Bibcode:1936RSPSA.155..447D, doi:10.1098/rspa.1936.0111
Dirac, P. A. M. (1945), "Unitary representations of the Lorentz group", Proc. R. Soc. A, 183 (994): 284–295, Bibcode:1945RSPSA.183..284D, doi:10.1098/rspa.1945.0003, S2CID 202575171
Dixmier, J.; Malliavin, P. (1978), "Factorisations de fonctions et de vecteurs indéfiniment différentiables", Bull. Sci. Math. (in French), 102: 305–330
Fierz, M. (1939), "Über die relativistische theorie Kräftefreier teilchen mit beliebigem spin", Helv. Phys. Acta (in German), 12 (1): 3–37, Bibcode:1939AcHPh..12....3F, doi:10.5169/seals-110930(pdf download available){{citation}}: CS1 maint: postscript (link)
Fierz, M.; Pauli, W. (1939), "On relativistic wave equations for particles of arbitrary spin in an electromagnetic field", Proc. R. Soc. A, 173 (953): 211–232, Bibcode:1939RSPSA.173..211F, doi:10.1098/rspa.1939.0140
Folland, G. (2015), A Course in Abstract Harmonic Analysis (2nd ed.), CRC Press, ISBN 978-1498727136
Fulton, W.; Harris, J. (1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, vol. 129, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97495-8, MR 1153249
Gelfand, I. M.; Graev, M. I. (1953), "On a general method of decomposition of the regular representation of a Lie group into irreducible representations", Doklady Akademii Nauk SSSR, 92: 221–224
Gelfand, I. M.; Graev, M. I.; Vilenkin, N. Ya. (1966), "Harmonic analysis on the group of complex unimodular matrices in two dimensions", Generalized functions. Vol. 5: Integral geometry and representation theory, translated by Eugene Saletan, Academic Press, pp. 202–267, ISBN 978-1-4832-2975-1
Gelfand, I. M.; Graev, M. I.; Pyatetskii-Shapiro, I. I. (1969), Representation theory and automorphic functions, Academic Press, ISBN 978-0-12-279506-0
Gelfand, I.M.; Minlos, R.A.; Shapiro, Z. Ya. (1963), Representations of the Rotation and Lorentz Groups and their Applications, New York: Pergamon Press
Gelfand, I. M.; Naimark, M. A. (1947), "Unitary representations of the Lorentz group"(PDF), Izvestiya Akad. Nauk SSSR. Ser. Mat. (in Russian), 11 (5): 411–504, retrieved 2014-12-15(Pdf from Math.net.ru){{citation}}: CS1 maint: postscript (link)
Green, J. A. (1998), "Richard Dagobert Brauer"(PDF), Biographical Memoirs, vol. 75, National Academy Press, pp. 70–95, ISBN 978-0309062954
Greiner, W.; Müller, B. (1994), Quantum Mechanics: Symmetries (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3540580805
Greiner, W.; Reinhardt, J. (1996), Field Quantization, Springer, ISBN 978-3-540-59179-5
Harish-Chandra (1947), "Infinite irreducible representations of the Lorentz group", Proc. R. Soc. A, 189 (1018): 372–401, Bibcode:1947RSPSA.189..372H, doi:10.1098/rspa.1947.0047, S2CID 124917518
Harish-Chandra (1951), "Plancherel formula for complex semi-simple Lie groups", Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A., 37 (12): 813–818, Bibcode:1951PNAS...37..813H, doi:10.1073/pnas.37.12.813, PMC 1063477, PMID 16589034
Hall, Brian C. (2003), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (1st ed.), Springer, ISBN 978-0-387-40122-5
Hall, Brian C. (2015), Lie groups, Lie algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, doi:10.1007/978-3-319-13467-3, ISBN 978-3319134666, ISSN 0072-5285
Held, A.; Newman, E. T.; Posadas, R. (1970), "The Lorentz group and the sphere", Journal of Mathematical Physics, 11 (11): 3145–3154, Bibcode:1970JMP....11.3145H, doi:10.1063/1.1665105
Helgason, S. (1968), Lie groups and symmetric spaces, Battelle Rencontres, Benjamin, pp. 1–71 (a general introduction for physicists)
Helgason, S. (2000), Groups and geometric analysis. Integral geometry, invariant differential operators, and spherical functions (corrected reprint of the 1984 original), Mathematical Surveys and Monographs, vol. 83, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2673-7
Jorgenson, J.; Lang, S. (2008), The heat kernel and theta inversion on SL(2,C), Springer Monographs in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-38031-5
Killing, Wilhelm (1888), "Die Zusammensetzung der stetigen/endlichen Transformationsgruppen", Mathematische Annalen (in German), 31 (2 (June)): 252–290, doi:10.1007/bf01211904, S2CID 120501356
Kirillov, A. (2008), An Introduction to Lie Groups and Lie Algebras, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 113, Cambridge University Press, ISBN 978-0521889698
Klauder, J. R. (1999), "Valentine Bargmann"(PDF), Biographical Memoirs, vol. 76, National Academy Press, pp. 37–50, ISBN 978-0-309-06434-7
Knapp, Anthony W. (2001), Representation theory of semisimple groups. An overview based on examples., Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-09089-4 (elementary treatment for SL(2,C))
Langlands, R. P. (1985), "Harish-Chandra", Biogr. Mem. Fellows R. Soc., 31: 198–225, doi:10.1098/rsbm.1985.0008, S2CID 61332822
Lawson, Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989), Spin Geometry, Princeton Mathematical Series, vol. 38, Princeton University Press.
Lee, J. M. (2003), Introduction to Smooth manifolds, Springer Graduate Texts in Mathematics, vol. 218, ISBN 978-0-387-95448-6
Lie, Sophus (1888), Theorie der Transformationsgruppen I(1888), II(1890), III(1893) (in German)
Misner, Charles W.; Thorne, Kip. S.; Wheeler, John A. (1973), Gravitation, W. H. Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0
Naimark, M.A. (1964), Linear representations of the Lorentz group (translated from the Russian original by Ann Swinfen and O. J. Marstrand), Macmillan
Rossmann, Wulf (2002), Lie Groups – An Introduction Through Linear Groups, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9
Rühl, W. (1970), The Lorentz group and harmonic analysis, Benjamin (a detailed account for physicists)
Simmons, G. F. (1972), Differential Equations with Applications and historical Notes (T M H ed.), New Dheli: Tata McGra–Hill Publishing Company Ltd, ISBN 978-0-07-099572-7
Stein, Elias M. (1970), "Analytic continuation of group representations", Advances in Mathematics, 4 (2): 172–207, doi:10.1016/0001-8708(70)90022-8 (James K. Whittemore Lectures in Mathematics given at Yale University, 1967)
Takahashi, R. (1963), "Sur les représentations unitaires des groupes de Lorentz généralisés", Bull. Soc. Math. France (in French), 91: 289–433, doi:10.24033/bsmf.1598
Taylor, M. E. (1986), Noncommutative harmonic analysis, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 22, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1523-6, Chapter 9, SL(2, C) and more general Lorentz groups
Tung, Wu-Ki (1985), Group Theory in Physics (1st ed.), New Jersey·London·Singapore·Hong Kong: World Scientific, ISBN 978-9971966577
van der Waerden, B. L. (1974), Group Theory and Quantum Mechanics, Springer-Verlag, ISBN 0-387-06740-X
Varadarajan, V. S. (1989), An Introduction to Harmonic Analysis on Semisimple Lie Groups, Cambridge University Press, ISBN 978-0521663625
Weinberg, S. (2002) [1995], Foundations, The Quantum Theory of Fields, vol. 1, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55001-7
Weinberg, S. (2000), Supersymmetry, The Quantum Theory of Fields, vol. 3 (1st ed.), Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0521670555
Weyl, H. (1953), The Classical Groups. Their Invariants and Representations (2nd ed.), Princeton University Press, ISBN 978-0-691-05756-9, MR 0000255{{citation}}: CS1 maint: ignored ISBN errors (link)
Weyl, H. (1931), The Theory of Groups and Quantum Mechanics, Methuen and Company; reprinted, Dover Publications, 1950, ISBN 978-0-486-60269-1
Wigner, E. P. (1939), "On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group", Annals of Mathematics, 40 (1): 149–204, Bibcode:1939AnMat..40..149W, doi:10.2307/1968551, JSTOR 1968551, MR 1503456, S2CID 121773411.
Zwiebach, B. (2004), A First Course in String Theory, Cambridge University Press, ISBN 0-521-83143-1

[1] قد تتخذ طريقة تمثيل تناظرات الزمكان أشكالًا عديدة تبعًا للنظرية المستخدمة. مع أن هذا ليس موضوعنا الحالي، سيتم تقديم بعض التفاصيل في الحواشي السفلية المُعنونة بـ "ملاحظة"، وفي قسم التطبيقات .

[2] واينبرغ 2002 ، ص. 1 "إذا تبين أن نظامًا ما لا يمكن وصفه بنظرية المجال الكمومي، فسيكون ذلك بمثابة ضجة كبيرة؛ وإذا تبين أنه لا يخضع لقواعد ميكانيكا الكم والنسبية، فسيكون ذلك بمثابة كارثة."

[5] في عام ١٩٤٥، زار هاريش تشاندرا ديراك في كامبريدج. اقتنع هاريش تشاندرا بأن الفيزياء النظرية ليست المجال المناسب له. فقد اكتشف خطأً في برهان لديراك في عمله على مجموعة لورنتز. قال ديراك: "أنا لست مهتمًا بالبراهين، بل بما تفعله الطبيعة فقط". كتب هاريش تشاندرا لاحقًا: "أكدت هذه الملاحظة قناعتي المتزايدة بأنني لا أملك تلك الحاسة السادسة الغامضة التي يحتاجها المرء للنجاح في الفيزياء، وسرعان ما قررت الانتقال إلى الرياضيات". مع ذلك، اقترح ديراك موضوع أطروحة هاريش تشاندرا، وهو تصنيف التمثيلات غير القابلة للاختزال ذات الأبعاد اللانهائية لمجموعة لورنتز. انظر داليتز وبيرلز ١٩٨٦

[7] هول (2015 ، القسم 4.4.)
يقول أحدهم أن المجموعة تتمتع بخاصية الاختزال الكامل إذا كان كل تمثيل يتحلل إلى مجموع مباشر من التمثيلات غير القابلة للاختزال.

[34] اقترح ديراك موضوع ويغنر (1939) في وقت مبكر من عام 1928 (كما ورد في ورقة ويغنر). كما نشر إحدى أوائل الأوراق البحثية حول التمثيلات الوحدوية اللانهائية الأبعاد الصريحة في ديراك (1945) ( لانغلاندز 1985 )، واقترح موضوع أطروحة هاريش-تشاندرا لتصنيف التمثيلات اللانهائية الأبعاد غير القابلة للاختزال ( داليتز وبيرلز 1986 ).

[39] Knapp 2001 تم إثبات التشاكل الثالث الغامض نوعًا ما في الفصل 2، الفقرة 4.

[42] حاصل ضرب الموترات للتمثيلات، $π g \otimes π h$ من ${\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}$ يمكن ذلك، عندما يأتي كلا العاملين من نفس جبر لي ${\mathfrak {h}}={\mathfrak {g}},$ إما أن يُنظر إليها على أنها تمثيل لـ ${\mathfrak {g}}$ أو ${\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}$ .

[43] عند تحويل جبر لي المركب إلى جبر لي حقيقي ، ينبغي اعتباره جبر لي حقيقيًا ذو بُعد حقيقي يساوي ضعف بُعده المركب. وبالمثل ، قد يكون الشكل الحقيقي مركبًا أيضًا، كما هو الحال هنا.

[45] اجمع واينبرغ (2002 ، المعادلات 5.6.7-8، 5.6.14-15) مع هول (2015 ، الاقتراح 4.18) حول تمثيلات جبر لي لتمثيلات ضرب موتر المجموعة.

[52] يمكن التعبير عن خاصية "عدم وجود أثر" على النحو التالي: $S αβ g αβ = 0$ ، أو $S α α = 0$ ، أو $S αβ g αβ = 0$ اعتمادًا على طريقة عرض المجال: متغاير، مختلط، ومتغاير عكسي على التوالي.

[54] هذا لا يأتي بالضرورة متناظرًا مباشرة من لاغرانجيان باستخدام نظرية نوثر ، ولكن يمكن جعله متناظرًا كموتر الإجهاد والطاقة لبيلينفانتي-روزنفيلد .

[57] هذا بشرط أن تكون الزوجية تناظرًا. وإلا فسيكون هناك نوعان، $(⁠ 3 / 2 ⁠, 0)$ و $(0, ⁠ 3 / 2 ⁠)$ قياسًا على النيوترينوات .

[65] تختلف المصطلحات بين الرياضيات والفيزياء. في المقالة المذكورة، يحمل مصطلح "التمثيل الإسقاطي" معنىً مختلفًا بعض الشيء عن معناه في الفيزياء، حيث يُنظر إلى التمثيل الإسقاطي على أنه مقطع محلي (معكوس محلي) للخريطة المُغطية من المجموعة المُغطية إلى المجموعة المراد تغطيتها، مُركبًا مع تمثيل مناسب للمجموعة المُغطية. وبما أنه يُمكن القيام بذلك (محليًا) بشكل مستمر بطريقتين في الحالة قيد الدراسة كما هو موضح أدناه، فإن مصطلح "التمثيل ثنائي القيمة" أو "التمثيل ذو القيمتين" يُعدّ طبيعيًا.

[67] على وجه الخصوص، $فإن A$ يتبادل مع مصفوفات باولي ، وبالتالي مع كل $SU(2)$ مما يجعل ليمّة شور قابلة للتطبيق.

[69] بمعنى أن النواة تافهة، ولتوضيح ذلك، تذكر أن نواة تشاكل جبر لي هي مثالي ، وبالتالي فضاء جزئي. بما أن $p$ هو $2:1$ وكلاهما ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ و $SO(3; 1) +$ هي ذات $6$ أبعاد ، يجب أن تكون النواة ذات $0$ أبعاد ، وبالتالي ${0}.$

[70] الدالة الأسية هي دالة تقابلية في جوار دالة الهوية في ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),$ وبالتالي التركيب ${\displaystyle \exp \circ \sigma \circ \log$ حيث $σ$ هو تماثل جبر لي، وهو يشمل جوارًا مفتوحًا $U \subset SO(3; 1) +$ يحتوي على العنصر المحايد. يُولّد هذا الجوار المكون المتصل.

[72] روسمان 2002 من المثال 4 في القسم 2.1 : يمكن توضيح ذلك كما يلي. المصفوفة $q$ لها قيم ذاتية ${-1, -1}$ ، لكنها غير قابلة للتقطير . إذا كانت $q = exp(Q)$ ، فإن $Q$ لها قيم ذاتية $λ ، -λ$ حيث $λ = iπ + 2πik$ لبعض $k$ لأن عناصر ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ هي عديمة الأثر. ولكن بما أن $Q$ قابلة للتقطير، فإن $q$ قابلة للتقطير، وهذا تناقض.

[81] روسمان 2002 ، الاقتراح 10، الفقرة 6.3. أسهل طريقة لإثبات ذلك هي باستخدام نظرية الشخصية .

[90] أي مجموعة فرعية طبيعية منفصلةلمجموعة متصلة مسارياً G $تكون$ موجودة في المركز $Z$ من $G.$
هول 2015 ، التمرين 11، الفصل 1.

[91] لا تحتوي زمرة لي شبه البسيطة على أي زمر فرعية أبيلية طبيعية غير منفصلة . ويمكن اعتبار هذا تعريفًا لشبه البساطة.

[92] لا تحتوي المجموعة البسيطة على أي مجموعات فرعية طبيعية غير منفصلة.

[95] على النقيض من ذلك، توجد حيلة، تُعرف أيضًا بحيلة ويل الوحدوية، ولكنها لا ترتبط بالحيلة الوحدوية المذكورة أعلاه، تُبين أن جميع التمثيلات ذات الأبعاد المحدودة هي تمثيلات وحدوية، أو يمكن جعلها كذلك. إذا كان $(Π, V)$ تمثيلًا ذا أبعاد محدودة لزمرةلي متراصة $G،$ وإذا $كان (\cdot, \cdot)$ أي جداء داخلي على $V$ ، فنُعرّف جداءً داخليًا جديدًا $(\cdot, \cdot) Π$ كما $يلي: (x, y) Π = \int G (Π(g) x, Π(g) y) dμ (g)$ ، حيث $μ$ هو مقياس هار على $G.$ عندئذٍ $يكون Π$ وحدويًا بالنسبة إلى $(\cdot, \cdot) Π$ . انظر هول (2015 ، النظرية 4.28).
ومن النتائج الأخرى أن كل زمرة لي متراصة تتمتع بخاصية الاختزال الكامل ، مما يعني أن جميع تمثيلاتها ذات الأبعاد المحدودة تتحلل إلى مجموع مباشر من التمثيلات غير القابلة للاختزال . (هال، 2015 ، التعريف 4.24، النظرية 4.28).
صحيح أيضًا أنه لا توجد تمثيلات وحدوية غير قابلة للاختزال ذات أبعاد لا نهائية لمجموعات لي المدمجة، كما هو مذكور، ولكن لم يتم إثباته في Greiner & Müller (1994 ، القسم 15.2) .

[99] لي 2003 اللمة أ.17 (ج). المجموعات الجزئية المغلقة من المجموعات المدمجة هي مجموعات مدمجة.

[100] لي 2003، اللمة أ.17 (أ). إذا $كانت الدالة f : X \to Y$ متصلة، $و X$ متراصة، فإن $f (X)$ متراصة.

[101] يُعدّ عدم التوحيد عنصرًا أساسيًا في برهان نظرية كولمان-ماندولا ، والتي تنصّ على أنه، على عكس النظريات غير النسبية، لا يمكن أن توجد تناظرات عادية تربط الجسيمات ذات اللف المغزلي المختلف. انظر واينبرغ (2000).

[109] هذه إحدى نتائج نظرية كارتان ، وهي نظرية الوزن الأعلى.
هول (2015 ، النظريات 9.4-5.)

[112] Hall 2015 ، القسم 8.2 نظام الجذر هو اتحاد نسختين من $A 1$ ، حيث توجد كل نسخة في أبعادها الخاصة في فضاء متجه التضمين.

[113] روسمان 2002 هذا التعريف يعادل التعريف من حيث مجموعة لي المتصلة التي يكون جبر لي الخاص بها هو جبر لي لنظام الجذر قيد الدراسة.

[141] انظر سيمونز (1972 ، القسم 30) للاطلاع على الشروط الدقيقة التي بموجبها تُعطي طريقة فروبينيوس حلين مستقلين خطيًا. إذا لم يختلف الأسّان بعدد صحيح، فإن هذا هو الحال دائمًا.

[148] "هذا هو أقرب ما يمكن للمرء أن يصل إليه من مصدر نظرية التمثيلات اللانهائية الأبعاد للمجموعات شبه البسيطة والمختزلة ..." ، لانغلاندز (1985 ، ص 204) ، في إشارة إلى فقرة تمهيدية في ورقة ديراك عام 1945.

[165] لاحظ أنه بالنسبة لفضاء هيلبرت $H$ ،يمكن تحديد $HS($ $H$ $) بشكل قانوني مع حاصل ضرب موتر فضاء هيلبرت لـ$ $H$ وفضائه المرافق.

[170] إذا اشترطنا الأبعاد المحدودة، فإن النتيجة هي $تمثيلات (m, n)$ ، انظر تونغ (1985 ، المسألة 10.8). أما إذا لم يُشترط أيٌّ منهما، فسنحصل على تصنيف أوسع لجميع التمثيلات غير القابلة للاختزال، بما في ذلك التمثيلات ذات الأبعاد المحدودة والتمثيلات الوحدوية. وقد تم اتباع هذا النهج في بحث هاريش-شاندرا (1947) .

[178] للحصول على قائمة كاملة بالمعادلات غير المتلاشية، انظر Harish-Chandra (1947 ، ص 375) .

[205] انظر الصيغة (1) في مصفوفة S# من حالات الجسيمات الحرة لمعرفة كيفية تحول حالات الجسيمات المتعددة الحرة.

[212] واينبرغ 2002 ، المعادلات 5.1.4-5. يستنتج واينبرغ ضرورة عوامل الإنشاء والإفناء من اعتبار آخر، وهو مبدأ تفكيك المجموعة ، واينبرغ (2002 ، الفصل 4).

[215] قد تكون هناك حاجة أيضًا إلى وصفة لكيفية تصرف الجسيم في ظل تناظر CPT.

[216] على سبيل المثال ، توجد صيغ (معادلات المجال الحر، أي بدون حدود تفاعل) لمعادلة كلاين-غوردون ، ومعادلة ديراك ، ومعادلات ماكسويل ، ومعادلة بروكا ، ومعادلة راريتا-شوينغر ، ومعادلات أينشتاين للمجال، والتي يمكن استنتاجها بشكل منهجي انطلاقًا من تمثيل مُعطى لمجموعة لورنتز. وبشكل عام، تُعدّ هذه مجتمعةً صيغ نظرية المجال الكمومي لمعادلات بارغمان-ويغنر .انظر واينبرغ (2002 ، الفصل 5) ، وتونغ (1985 ، القسم 10.5.2)، والمراجع الواردة في هذه الأعمال.تجدر الإشارة إلى أن نظريات اللف المغزلي العالي ( $s > 1$ ) تواجه صعوبات. انظر واينبرغ (2002 ، القسم 5.8) ، حول المجالات العامة $(m, n)$ ، حيث نوقش هذا الأمر بتفصيل، والمراجع الواردة فيه. لا شك في وجود جسيمات ذات دوران عالٍ ، مثل النوى، لكن الجسيمات المعروفة ليست أولية .

[217] للاطلاع على جزء من نظرية التمثيل الخاصة بهم، انظر بيكيرت وبولانجر (2006) ، المخصص لنظرية تمثيل زمرة بوانكاريه. تُستخلص هذه التمثيلات بطريقة التمثيلات المستحثة ، أو بلغة الفيزياء، طريقة الزمرة الصغيرة ، التي رائدها ويجنر عام 1939 لهذا النوع من الزمر، ووضعها جورج ماكي على أسس رياضية متينة في الخمسينيات.

[3] بارغمان وويغنر 1948

[4] بيكارت وبولانجر 2006

[6] يمكن العثور على هذه الحقائق في معظم كتب الرياضيات والفيزياء التمهيدية. انظر على سبيل المثال روسمان (2002) ، وهال (2015) ، وتونغ (1985) .

[8] هول (2015 ، النظرية 4.34 والمناقشة التالية.)

[Wigner_1939-9] 1 2 3 ويغنر 1939

[10] هول 2015 ، الملحق د2.

[greiner-reinhardt-1996-11] 1 2 غرينر ورينهارت 1996

[12] واينبرغ 2002 ، القسم 2.6 والفصل 5.

[Coleman_1989_30-13] 1 2 كولمان 1989 ، ص. 30.

[14] لاي 1888 ، 1890، 1893. مصدر أساسي.

[15] كولمان 1989 ، ص 34.

[16] جريمة قتل عام 1888 (مصدر أساسي).

[Rossmann_2002_loc=Historical_tidbits_scattered_across_the_text-17] 1 2 روسمان 2002 ، معلومات تاريخية متناثرة في جميع أنحاء النص.

[18] كارتان 1913 المصدر الأساسي.

[19] Green 1998 ، ص = 76.

[20] براور وويل 1935 مصدر أساسي.

[21] تونغ 1985 ، مقدمة.

[22] ويل 1931 مصدر أساسي.

[23] ويل 1953 مصدر أساسي.

[24] لانغلاندز 1985 ، الصفحات 203-205

[25] هاريش-شاندرا 1947 مصدر أساسي.

[26] تونغ 1985 ، مقدمة

[27] ويغنر 1939 مصدر أساسي.

[28] كلاودر 1999

[29] بارغمان 1947 مصدر أساسي.

[30] كان بارغمان أيضًا عالم رياضيات . عمل كمساعد لألبرت أينشتاين في معهد الدراسات المتقدمة في برينستون ( كلاودر (1999) ).

[31] بارغمان وويغنر 1948 مصدر أساسي.

[32] داليتز وبيرلز 1986

[33] ديراك 1928 المصدر الأساسي.

[FOOTNOTETung1985187-35] تونغ 1985 ، ص 187.

[36] واينبرغ 2002 ، المعادلات 5.6.7–8.

[37] واينبرغ 2002 ، المعادلات 5.6.9–11.

[Hall_2003-38] 1 2 3 4 هول 2003 ، الفصل 6.

[ReferenceC-40] 1 2 3 4 5 كناب 2001

[41] هذا تطبيق لـ Rossmann 2002 ، القسم 6.3، الاقتراح 10.

[Knapp_2001_32-44] 1 2 Knapp 2001 ، ص. 32.

[46] واينبرغ 2002 ، المعادلات 5.6.16–17.

[Weinberg_2002_Chapter_2-47] واينبرغ 2002 ، القسم 5.6. المعادلات تتبع من المعادلات 5.6.7-8 و5.6.14-15.

[48] واينبرغ 2002 ، الفصل 5

[49] تونغ 1985 ، ص 203

[Weinberg_2000_loc=Section_25.2-50] واينبرغ 2000 ، القسم 25.2.

[51] واينبرغ 2002 ، القسمان 2.5 و5.1

[Tung_1985-53] 1 2 تونغ 1985

[55] هول 2003 ، ص 219

[weinberg-2002-5.7-56] 1 2 واينبرغ 2002 ، القسم 5.7

[58] كذبة 1888

[59] روسمان 2002 ، القسم 2.5.

[60] هول 2015 ، النظرية 2.10.

[61] بورباكي 1998 ، ص 424.

[62] واينبرغ 2002 ، القسم 2.7 ص.88.

[Weinberg_2002_loc=Section_2.7-63] 1 2 3 4 5 واينبرغ 2002 ، القسم 2.7.

[64] هول 2015 ، الملحق ج.3.

[66] ويغنر 1939 ، ص 27.

[Gelfand_1-68] جيلفاند، مينلوس وشابيرو 1963 يتم تناول هذا البناء للمجموعة المغطية في الفقرة 4، القسم 1، الفصل 1 في الجزء الثاني.

[71] روسمان 2002 ، القسم 2.1.

[FOOTNOTEHall2015First_displayed_equations_in_section_4.6.-73] 1 2 هول 2015 ، المعادلات المعروضة لأول مرة في القسم 4.6..

[74] هول 2015 ، مثال 4.10.

[harvnb|Knapp|2001-75] 1 2 كناب 2001 ، الفصل 2.

[76] كناب 2001 المعادلة 2.1.

[77] هول 2015 ، المعادلة 4.2.

[78] هول 2015 ، المعادلة قبل 4.5.

[79] كناب 2001 المعادلة 2.4.

[Knapp_2001-80] كناب 2001 ، القسم 2.3.

[82] هول 2015 ، النظريات 9.4–5.

[83] بيكارت وبولانجر 2006 ، ص. 3

[84] هول 2015

[weinberg-2002-5.6-85] 1 2 واينبرغ 2002 ، القسم 5.6

[86] واينبرغ 2002 ، الفصل 5.

[87] هول 2015 ، النظرية 10.18.

[88] هول 2003 ، ص 235.

[89] انظر أي نص حول نظرية المجموعات الأساسية.

[93] روسمان 2002 الاقتراحات 3 و 6 الفقرة 2.5.

[94] هول 2003 انظر التمرين 1، الفصل 6.

[96] بيكارت وبولانجر 2006 ص.4.

[97] هول 2003 الاقتراح 1.20.

[98] لي 2003 ، النظرية 8.30.

[102] واينبرغ 2002 ، القسم 5.6، ص 231.

[103] واينبرغ 2002 ، القسم 5.6.

[104] واينبرغ 2002 ، ص 231.

[105] واينبرغ 2002 ، الأقسام 2.5، 5.7.

[106] تونغ 1985 ، القسم 10.5.

[107] واينبرغ 2002 تم توضيح هذا (باختصار شديد) في الصفحة 232، بالكاد أكثر من حاشية.

[108] هول 2003 ، الاقتراح 7.39.

[Hall_2003_loc=Theorem_7.40-110] 1 2 هول 2003 ، النظرية 7.40.

[111] هول 2003 ، القسم 6.6.

[114] هول 2003 ، البند الثاني في الاقتراح 4.5.

[115] هول 2003 ، ص 219.

[116] روسمان 2002 ، التمرين 3 في الفقرة 6.5.

[117] هول 2003 انظر الملحق د.3

[118] واينبرغ 2002 ، المعادلة 5.4.8.

[Weinberg_2002_loc=Section_5.4-119] 1 2 واينبرغ 2002 ، القسم 5.4.

[120] واينبرغ 2002 ، ص 215-216.

[121] واينبرغ 2002 ، المعادلة 5.4.6.

[ReferenceA-122] واينبرغ 2002 القسم 5.4.

[123] هول 2015 ، القسم 4.4

[124] هول 2015 ، القسم 4.4.

[125] فان دير وايردن 1974 ، ص. 119

[126] واينبرغ 2002 ، القسم 5.7، الصفحات 232-233.

[127] واينبرغ 2002 ، القسم 5.7، ص 233.

[128] واينبرغ 2002 المعادلة 2.6.5.

[129] واينبرغ 2002 المعادلة التالية 2.6.6.

[130] واينبرغ 2002 ، القسم 2.6.

[131] للحصول على مناقشة مفصلة لحالات الدوران 0 و 1 / 2 و 1 ، انظر Greiner & Reinhardt 1996 .

[132] واينبرغ 2002 ، القسم 2.6

[133] واينبرغ 2002 ، الفصل 3.

[134] روسمان 2002 انظر القسم 6.1 لمزيد من الأمثلة، سواء كانت محدودة الأبعاد أو غير محدودة الأبعاد.

[Gelfand_M_S-135] جيلفاند، مينلوس وشابيرو 1963

[136] عقد، نيومان وبوساداس 1970

[137] تشرشل وبراون 2014 ، الفصل 8، الصفحات 307-310.

[138] غونزاليس، ب.أ.؛ فاسكيز، ي. (2014)، "أنماط ديراك شبه الطبيعية للثقوب السوداء من النوع الجديد في الجاذبية الكتلية الجديدة" ، المجلة الأوروبية للفيزياء ج ، 74:2969 (7): 3، arXiv : 1404.5371 ، Bibcode : 2014EPJC...74.2969G ، doi : 10.1140/epjc/s10052-014-2969-1 ، ISSN 1434-6044 ، S2CID 118725565

[139] أبراموفيتز وستيجون 1965 ، المعادلة 15.6.5.

[140] سيمونز 1972 ، القسمان 30 و31.

[142] سيمونز 1972 ، القسم 30.

[143] سيمونز 1972 ، القسم 31.

[144] سيمونز 1972 ، المعادلة 11 في الملحق هـ، الفصل 5.

[145] لانغلاندز 1985 ، ص 205.

[146] فاراداراجان 1989 ، الأقسام 3.1. 4.1.

[147] لانغلاندز 1985 ، ص 203.

[Harish-Chandra_1947-149] 1 2 3 4 هاريش تشاندرا 1947

[150] فاراداراجان 1989 ، القسم 4.1.

[151] روهل 1970

[152] تاكاهاشي 1963

[153] هيلجاسون 1968

[154] هيلجاسون 2000

[155] بيردنت 2007 ، ص 143

[156] كناب 2001 ، الفصل 2

[157] جلفاند وجريف وبياتيتسكي شابيرو 1969

[158] كناب 2001 ، الفصل الثاني.

[Taylor_1986-159] 1 2 تايلور 1986

[160] كناب 2001 الفصل 2. المعادلة 2.12.

[161] بارغمان 1947

[162] جيلفاند وجرييف 1953

[163] جيلفاند ونايمارك 1947

[164] تاكاهاشي 1963 ، ص. 343.

[166] كناب 2001 ، المعادلة 2.24.

[167] فولاند 2015 ، القسم 3.1.

[168] فولاند 2015 ، النظرية 5.2.

[169] تونغ 1985 ، القسم 10.3.3.

[171] هاريش-شاندرا 1947 ، الحاشية ص. 374.

[172] Tung 1985 ، المعادلات 7.3–13، 7.3–14.

[173] هاريش-شاندرا 1947 ، المعادلة 8.

[174] هول 2015 ، الاقتراح ج.7.

[175] هول 2015 ، الملحق ج.2.

[176] تونغ 1985 ، الخطوة الثانية القسم 10.2.

[177] Tung 1985 ، المعادلات 10.3–5. يختلف ترميز Tung لمعاملات Clebsch–Gordan عن الترميز المستخدم هنا.

[179] تونغ 1985 ، المعادلة السابعة-3.

[180] تونغ 1985 ، المعادلات 10.3-5، 7، 8.

[181] تونغ 1985 ، المعادلة VII-9.

[182] تونغ 1985 ، المعادلات VII-10، 11.

[183] تونغ 1985 ، المعادلات VII-12.

[184] تونغ 1985 ، المعادلات VII-13.

[185] واينبرغ 2002 ، المعادلة 2.4.12.

[186] واينبرغ 2002 ، المعادلات 2.4.18–2.4.20.

[187] واينبرغ 2002 ، المعادلات 5.4.19، 5.4.20.

[188] لوسون وميشيلسون 1989 ، الفصل الأول

[189] روسمان 2002 ، القسم 2.5

[190] ميسنر، ثورن وويلر 1973

[191] واينبرغ 2002 ، القسم 2.5، الفصل 5.

[192] تونغ 1985 ، الأقسام 10.3، 10.5.

[193] تونغ 1985 ، القسم 10.4.

[194] ديراك 1945

[Greiner_1996_loc=Chapter_2-195] 1 2 Greiner & Reinhardt 1996 ، الفصل 2.

[196] واينبرغ 2002 ، مقدمة وفصل تمهيدي للفصل 7.

[197] واينبرغ 2002 ، مقدمة الفصل 7.

[198] تونغ 1985 ، ص 202

[199] تونغ 1985 ، ص 203، التعريف 10.11.

[200] غرينر ومولر (1994 ، الفصل الأول)

[201] غرينر ومولر (1994 ، الفصل 2)

[202] تونغ 1985 ، ص 203.

[203] ديلبورغو، سلام وستراثدي 1967

[204] واينبرغ (2002 ، القسم 3.3)

[206] واينبرغ (2002 ، القسم 7.4.)

[207] تونغ 1985 ، مقدمة الفصل 10.

[208] تونغ 1985 ، التعريف 10.12.

[209] تونغ 1985 ، المعادلة 10.5-2.

[210] واينبرغ 2002 ، المعادلات 5.1.6–7.

[Tung_1985_loc=Equation_10.5-18-211] 1 2 Tung 1985 ، المعادلة 10.5–18.

[213] واينبرغ 2002 ، المعادلات 5.1.11–12.

[214] تونغ 1985 ، القسم 10.5.3.

[218] زويباك 2004 ، القسم 6.4.

[219] زويباخ 2004 ، الفصل 7.

[220] زويباخ 2004 ، القسم 12.5.

[221] زويباخ 2004 ، الفقرة الأخيرة، القسم 12.6.

[222] بارغمان (1947) ، جيلفاند ونايمارك (1947) وهاريش تشاندرا (1947) .

[223] زويباخ 2004 ، القسم 12.8.

[Bekaert_2006_48-224] 1 2 بيكارت وبولانجر 2006 ، ص. 48.

[225] زويباك 2004 ، القسم 18.8.

[ ملاحظة 1 ]

[ ملاحظة 2 ]

[ 1 ]

[ 2 ]

[

[ 3 ]

،

[ 4 ] ولكن، لا يمكن التعامل مع عدم تماسك زمرة لورنتز

] يؤدي غياب

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

13

14

[

[

[

[

[

[

[

[

[

[

[

[

[

[

[

[

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ ملاحظة 6 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ nb 7 ]

[ ملاحظة 8 ]

[ 36 ]

[ nb 9 ]

[ 37 ].

[ 38 ]

[ 39 ]

[ 40 ]

(

[ 42 ]

[

[

[

[ 44 ]

[ 45 ]

[ nb 12 ]

[ 46 ]

[ 47 ]

[ 48 ]

[ 49 ]

[ 50 ]

[ 51 ]

[ 52 ]

[ nb 13 ]

[ 53 ]

[ ملاحظة 14 ]

[ 54 ]

[ ملاحظة 15 ]

[ ملاحظة 16 ]

[ 55 ]

[ nb 17 ]

[ 56 ]

[ 57 ]

[ 58 ]

[ 59 ]

[ 60 ]

[ 61 ]

[ 62 ]

[ 63 ]

[ nb 18 ]

[ 64 ]

[ 65 ]

[ 66 ]

[

[ 68 ]

[ 69 ]

[ 70 ]

[ 71 ]

ملاحظة 19 ]

[ ملاحظة 20 ]

[ ملاحظة 21 ]

[ 72 ]

[ 73 ]

[ ملاحظة 22 ]

[ 74 ]

[

[

.

[

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗

التمثيلات ذات الأبعاد المحدودة

تاريخ

جبر لي

خدعة الموحدين

( μ , ν ) - تمثيلات sl(2, C)

تمثيلات ( m , n ) لـ so(3; 1)

التمثيلات الشائعة

مجموعة

شمولية الخريطة الأسية لـ SO(3, 1)

المجموعة الأساسية

التمثيلات الإسقاطية

المجموعة المغطية SL(2, C)

منظور هندسي

منظور جبري

عدم شمولية التحويل الأسي لـ SL(2, C)

تحقيق تمثيلات SL(2, C) و sl(2, C) وجبر لي الخاص بهما

التمثيلات الخطية المعقدة

التمثيلات الخطية الحقيقية

خصائص تمثيلات ( م ، ن )

مشغلو كازيمير

الأبعاد

الإخلاص

عدم الوحدة

يقتصر على SO(3)

سبينورز

تمثيلات مزدوجة

تمثيلات المرافق المعقدة

التمثيل المرافق، وجبر كليفورد، وتمثيل سبينور ديراك

تمثيل الدوران ( ⁠ 1 / 2 ⁠ , 0) ⊕ (0, ⁠ 1 / 2 ⁠ )

التمثيلات القابلة للاختزال

انعكاس المكان وانعكاس الزمن

انعكاس التكافؤ المكاني

عكس الزمن

العمل على المساحات الوظيفية

الدوران الإقليدي

مجموعة موبيوس

دوال ريمان P

التمثيلات الوحدوية اللانهائية الأبعاد

تاريخ

السلسلة الرئيسية لـ SL(2, C)

المتسلسلة التكميلية لـ SL(2, C)

نظرية بلانشيريل لـ SL(2, C)

تصنيف تمثيلات SO(3, 1)

الخطوة 1

الخطوة الثانية

الخطوة 3

الخطوة الرابعة

صيغ صريحة

الاصطلاحات وأسس جبر لي

دوارات ويل

تطبيقات الفيزياء

نظرية المجال الكلاسيكية

ميكانيكا الكم النسبية

نظرية الحقل الكمومي

النظريات التخمينية

المشكلات المفتوحة

انظر أيضاً

ملحوظات

الاقتباسات

مراجع متاحة مجاناً عبر الإنترنت

مراجع

تحقيق تمثيلات $SL(2, C)$ و $sl(2, C)$ وجبر لي الخاص بهما

تمثيل الدوران $($ $⁠$ $1$ $/$ $2$ $⁠$ $, 0) \oplus (0,$ $⁠$ $1$ $/$ $2$ $⁠$ $)$

المتسلسلة التكميلية لـ $SL(2, C)$

تصنيف تمثيلات $SO(3, 1)$