نظرية رول

📅 آخر تحديث: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 38 صور
الموسوعة الحرة
إذا كانت الدالة الحقيقية f متصلة على الفترة المغلقة المناسبة [ a , b ] ، وقابلة للتفاضل على الفترة المفتوحة ( a , b ) ، و f ( a ) = f ( b ) ، فإنه يوجد c في ( a , b ) بحيث f ′( c ) = 0 .

في حساب التفاضل والتكامل والتحليل الحقيقي ، تنص نظرية رول (أو اللمة ) على أن الدالة الحقيقية القابلة للتفاضل والتي تأخذ قيمًا متساوية عند نقطتين مختلفتين، لا بد أن يكون لها نقطة ثابتة في مكان ما بينهما، أي نقطة تكون عندها مشتقتها صفرًا. سُميت النظرية نسبةً إلى ميشيل رول .

تُعد هذه النظرية حالة خاصة من نظرية القيمة المتوسطة ، وتُستخدم لإثباتها .

إفادة

إذا كانت الدالة الحقيقية f متصلة على فترة مغلقة مناسبة [ a , b ] ، وقابلة للتفاضل على الفترة المفتوحة ( a , b ) ، و f ( a ) = f ( b ) ، فإنه يوجد على الأقل قيمة واحدة c في الفترة المفتوحة ( a , b ) بحيث و′(ج)=0.{\displaystyle f'(c)=0.}

تاريخ

في القرن الثاني عشر، ذكر بهاسكارا الثاني صيغةً مبكرةً لنظرية رول في مؤلفاته، وإن لم تكن مدعومةً ببرهانٍ رسميٍّ حديث. [ 1 ] ورغم أن النظرية سُمّيت نسبةً إلى ميشيل رول ، إلا أن برهان رول عام 1691 اقتصر على حالة الدوال متعددة الحدود. ولم يستخدم برهانه أساليب حساب التفاضل والتكامل ، التي كان يعتبرها في ذلك الوقت مغالطة. وقد برهن كوشي النظرية لأول مرة عام 1823 كنتيجةٍ منطقيةٍ لبرهان نظرية القيمة المتوسطة . [ 2 ] واستُخدم اسم "نظرية رول" لأول مرة من قِبل موريتز فيلهلم دروبيش الألماني عام 1834، ومن قِبل جوستو بيلافيتيس الإيطالي عام 1846. [ 3 ]

أمثلة وأمثلة مضادة

لا حاجة إلى قابلية التفاضل عند نقاط النهاية: نصف دائرة

بالنسبة لعدد حقيقي موجب r ، ضع في اعتبارك الدالةو:[-ر،ر]→R{\displaystyle f:[-r,r]\to \mathbb {R} }بحيث و(x)=ر2-x2{\displaystyle f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}للجميعx∈[-ر،ر].{\displaystyle x\in [-r,r].}

يمثل منحنى هذه الدالة نصف دائرة علوية مركزها نقطة الأصل. هذه الدالة متصلة على الفترة المغلقة [ −r , r ] وقابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة (−r , r ) ، ولكنها غير قابلة للاشتقاق عند النقطتين −r و r ، لأن منحنى الدالة f له مماسات رأسية عند هاتين النقطتين. وبما أن f (−r ) = f ( r ) ، فإن نظرية رول تنطبق، وبالفعل، توجد نقطة يكون عندها مشتق f مساويًا للصفر. تنطبق النظرية حتى عندما لا يمكن اشتقاق الدالة عند النقطتين، لأنها تشترط فقط أن تكون الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة.

يلزم وجود خاصية الاشتقاق ضمن الفترة المفتوحة: القيمة المطلقة

رسم بياني لدالة القيمة المطلقة

إذا فشلت قابلية الاشتقاق عند نقطة داخلية في الفترة، فقد لا تصح نتيجة نظرية رول. لنأخذ دالة القيمة المطلقة كمثال.و(x)=|x|،x∈[-1،1].{\displaystyle f(x)=|x|,\quad x\in [-1,1].}

إذن ، f (−1) = f (1) ، ولكن لا توجد قيمة لـ c بين −1 و1 تجعل f ′( c ) تساوي صفرًا. والسبب في ذلك هو أن هذه الدالة، على الرغم من كونها متصلة، غير قابلة للتفاضل عند x = 0. يتغير إشارة مشتقة f عند x = 0 ، ولكن دون أن تصل إلى القيمة صفر. لا يمكن تطبيق النظرية على هذه الدالة لأنها لا تحقق شرط أن تكون الدالة قابلة للتفاضل لكل قيمة لـ x في الفترة المفتوحة.

الدوال ذات المشتقة الصفرية

تنص نظرية رول على أن الدالة القابلة للتفاضل التي مشتقتها هي0{\displaystyle 0}⁠ في فترة زمنية ثابتة في هذه الفترة.

في الواقع، إذا كانت a و b نقطتين في فترة تكون فيها الدالة f قابلة للتفاضل، فإن الدالة ز(x)=و(x)-و(أ)-و(ب)-و(أ)ب-أ(x-أ){\displaystyle g(x)=f(x)-f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{ba}}(xa)} يحقق فرضيات نظرية رول على الفترة ⁠[أ،ب]{\displaystyle [a,b]}⁠ .

إذا كانت مشتقة ⁠و{\displaystyle f}يساوي صفرًا في كل مكان، مشتقةز{\displaystyle g}هو​ ز′(x)=-و(ب)-و(أ)ب-أ،{\displaystyle g'(x)=-{\frac {f(b)-f(a)}{ba}},} وتشير نظرية رول إلى وجودج∈(أ،ب){\displaystyle c\in (a,b)}بحيث​ 0=ز′(ج)=-و(ب)-و(أ)ب-أ.{\displaystyle 0=g'(c)=-{\frac {f(b)-f(a)}{ba}}.}

وبالتالي ،و(أ)=و(ب){\displaystyle f(a)=f(b)}لكل​​أ{\displaystyle a}و​​ب{\displaystyle b}، والدالة​و{\displaystyle f}ثابت .

متطلبات اكتمال المجال

تعتمد نظرية رول على اكتمال الأعداد الحقيقية . إذا كان المجال حقلاً مرتباً كثيفاً غير مكتمل ، فيمكن استغلال "الفجوات" في المجال لإنشاء دالة لا تخضع لنظرية رول (بافتراض تعديل تعريفات الاتصال والتفاضل للمجال المرتب غير المكتمل).

على سبيل المثال، انظرو:سؤال→سؤال{\displaystyle f:\mathbb {Q} \to \mathbb {Q} }بحيث يكون ذلك لجميعx∈سؤال{\displaystyle x\in \mathbb {Q} }،و(x)=(x2-2)2{\displaystyle f(x)=(x^{2}-2)^{2}}. ثمو{\displaystyle f}مستمر على[0،2]∩سؤال{\displaystyle [0,2]\cap \mathbb {Q} }، قابلة للتفاضل على(0،2)∩سؤال{\displaystyle (0,2)\cap \mathbb {Q} }،و(0)=4{\displaystyle f(0)=4}وو(2)=4{\displaystyle f(2)=4}لكن لا يوجدx∈(0،2)∩سؤال{\displaystyle x\in (0,2)\cap \mathbb {Q} }بحيثو′(x)=0{\displaystyle f'(x)=0}أما في الأعداد الحقيقية، فستكون هذه القيمة2{\displaystyle {\sqrt {2}}}، لكن2{\displaystyle {\sqrt {2}}}ليس في(0،2)∩سؤال{\displaystyle (0,2)\cap \mathbb {Q} }.

تعميم

يوضح المثال الثاني التعميم التالي لنظرية رول:

لنفترض دالة حقيقية متصلة f على فترة مغلقة [ a , b ] حيث f ( a ) = f ( b ) . إذا كان لكل x في الفترة المفتوحة ( a , b ) فإن النهاية اليمنىو′(x+):=ليمح→0+و(x+ح)-و(x)ح{\displaystyle f'(x^{+}):=\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}} والحد الأيسر و′(x-):=ليمح→0-و(x+ح)-و(x)ح{\displaystyle f'(x^{-}):=\lim _{h\to 0^{-}}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}

إذا كانت هناك قيمتان في خط الأعداد الحقيقية الممتد [ −∞, ∞ ] ، فإنه يوجد عدد c في الفترة المفتوحة ( a , b ) بحيث تكون إحدى النهايتين و′(ج+)وو′(ج-){\displaystyle f'(c^{+})\quad {\text{and}}\quad f'(c^{-})} إحدى النهايتين أكبر من أو تساوي صفرًا، والأخرى أصغر من أو تساوي صفرًا (في خط الأعداد الحقيقية الممتد). إذا اتفقت النهايتان اليمنى واليسرى لكل قيمة لـ x ، فإنهما تتفقان تحديدًا عند c ، وبالتالي فإن مشتقة f موجودة عند c وتساوي صفرًا.

ملاحظات

  • إذا كانت f محدبة أو مقعرة، فإن المشتقات اليمنى واليسرى موجودة عند كل نقطة داخلية، وبالتالي فإن النهايات المذكورة أعلاه موجودة وهي أعداد حقيقية.
  • هذا الإصدار المعمم من النظرية يكفي لإثبات التحدب عندما تكون المشتقات أحادية الجانب متزايدة بشكل رتيب : [ 4 ]و′(x-)≤و′(x+)≤و′(y-)،x<y.{\displaystyle f'(x^{-})\leq f'(x^{+})\leq f'(y^{-}),\quad x<y.}

برهان النسخة المعممة

بما أن برهان النسخة القياسية من نظرية رول والتعميم متشابهان للغاية، فإننا نثبت التعميم.

تتلخص فكرة البرهان في إثبات أنه إذا كانت f ( a ) = f ( b ) ، فلا بد أن تصل f إلى قيمة عظمى أو صغرى في مكان ما بين a و b ، ولنقل عند c ، ويجب أن تتغير الدالة من التزايد إلى التناقص (أو العكس) عند c . وبالتحديد، إذا كانت المشتقة موجودة، فلا بد أن تساوي صفرًا عند c .

بافتراض أن الدالة f متصلة على الفترة [ a , b ] ، وبحسب نظرية القيمة القصوى، فإنها تحقق قيمتيها العظمى والصغرى على هذه الفترة. إذا تحققت هاتان القيمتان عند طرفي الفترة [ a , b ] ، فإن f تكون ثابتة على هذه الفترة، وبالتالي فإن مشتقة f تساوي صفرًا عند كل نقطة على الفترة ( a , b ) .

لنفترض إذن أن القيمة العظمى تُحقق عند نقطة داخلية c من ( a , b ) (الحجة للقيمة الصغرى مشابهة جدًا، انظر فقط إلى −f ) . سندرس النهايات اليمنى واليسرى المذكورة أعلاه بشكل منفصل.

بالنسبة لقيمة حقيقية h بحيث يكون c + h في الفترة [ a , b ] ، فإن قيمة f ( c + h ) تكون أصغر من أو تساوي f ( c ) لأن f تصل إلى قيمتها القصوى عند c . لذلك، لكل h > 0 ، و(ج+ح)-و(ج)ح≤0،{\displaystyle {\frac {f(c+h)-f(c)}{h}}\leq 0,} لذلك و′(ج+):=ليمح→0+و(ج+ح)-و(ج)ح≤0،{\displaystyle f'(c^{+}):=\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {f(c+h)-f(c)}{h}}\leq 0,} حيث توجد النهاية بافتراض؛ وقد تكون سالبة ما لا نهاية.

وبالمثل، لكل قيمة h < 0 ، تنعكس المتباينة لأن المقام أصبح سالبًا، فنحصل على و(ج+ح)-و(ج)ح≥0،{\displaystyle {\frac {f(c+h)-f(c)}{h}}\geq 0,} لذلك و′(ج-):=ليمح→0-و(ج+ح)-و(ج)ح≥0،{\displaystyle f'(c^{-}):=\lim _{h\to 0^{-}}{\frac {f(c+h)-f(c)}{h}}\geq 0,} حيث قد تكون النهاية مضافًا إليها اللانهاية.

وأخيرًا، عندما تتفق الحدود اليمنى واليسرى المذكورة أعلاه (خاصة عندما تكون f قابلة للتفاضل)، فإن مشتقة f عند c يجب أن تكون صفرًا.

(بدلاً من ذلك، يمكننا تطبيق نظرية النقطة الثابتة لفيرما مباشرة.)

التعميم على المشتقات العليا

يمكننا أيضًا تعميم نظرية رول باشتراط أن يكون للدالة f نقاط أكثر ذات قيم متساوية وانتظام أكبر. على وجه التحديد، لنفترض أن

  • الدالة f قابلة للتفاضل بشكل مستمر n − 1 مرة على الفترة المغلقة [ a , b ] ، والمشتقة من الرتبة n موجودة على الفترة المفتوحة ( a , b ) ، و
  • هناك n فترات معطاة بواسطة a 1 < b 1 ≤ a 2 < b 2 ≤ ⋯ ≤ a n < b n في [ a , b ] بحيث f ( a k ) = f ( b k ) لكل k من 1 إلى n .

ثم يوجد عدد c في ( a , b ) بحيث تكون المشتقة النونية لـ f عند c تساوي صفرًا.

المنحنى الأحمر هو رسم بياني لدالة لها 3 جذور في الفترة [ −3, 2 ] . وبالتالي، فإن مشتقتها الثانية (الممثلة باللون الأخضر) لها أيضًا جذر في نفس الفترة.

يمكن تخفيف المتطلبات المتعلقة بالمشتقة النونية لـ f كما في التعميم أعلاه، مما يعطي التأكيدات المقابلة (ربما الأضعف) للحدود اليمنى واليسرى المحددة أعلاه مع f ( n − 1) بدلاً من f .

على وجه الخصوص، تؤكد هذه النسخة من النظرية أنه إذا كانت الدالة قابلة للتفاضل مرات كافية ولها n جذر (بحيث يكون لها نفس القيمة، أي 0)، فإن هناك نقطة داخلية حيث تتلاشى f ( n − 1) .

دليل

يستخدم البرهان الاستقراء الرياضي . الحالة n = 1 هي ببساطة الصيغة القياسية لنظرية رول. بالنسبة لـ n > 1 ، نفترض كفرضية استقراء أن التعميم صحيح لـ n − 1. نريد إثبات ذلك لـ n . نفترض أن الدالة f تحقق فرضيات النظرية. وفقًا للصيغة القياسية لنظرية رول، لكل عدد صحيح k من 1 إلى n ، يوجد c k في الفترة المفتوحة ( ak , bk ) بحيث f ′( ck ) = 0. بالتالي، تحقق المشتقة الأولى الفرضيات على الفترات المغلقة n − 1 [c1, c2 ] ، ... ، [ cn − 1 , cn ] . وفقًا لفرضية الاستقراء، يوجد c بحيث تكون المشتقة ( n − 1 ) لـ f ′ عند c مساوية للصفر.

تعميمات على مجالات أخرى

تُعدّ نظرية رول خاصيةً للدوال القابلة للتفاضل على حقل الأعداد الحقيقية، وهو حقل مُرتب . ولذلك، لا يُمكن تعميمها على حقول أخرى ، ولكن النتيجة التالية تُعمّمها: إذا كان لكثير حدود حقيقي جميع جذوره على حقل الأعداد الحقيقية، فإن مشتقته كذلك. يُمكن تسمية هذه الخاصية للحقل بخاصية رول . [ 5 ] لا تحتوي الحقول الأكثر عمومية دائمًا على دوال قابلة للتفاضل، ولكنها تحتوي دائمًا على كثيرات حدود يُمكن تفاضلها رمزيًا. وبالمثل، قد لا تحتوي الحقول الأكثر عمومية على ترتيب، ولكن يوجد مفهوم لجذر كثير الحدود الذي يقع في حقل.

وبالتالي، تُظهر نظرية رول أن الأعداد الحقيقية تتمتع بخاصية رول. أي حقل مغلق جبريًا، مثل الأعداد المركبة، يتمتع بخاصية رول. مع ذلك، لا تتمتع الأعداد النسبية بهذه الخاصية – على سبيل المثال، x³ - x = x ( x - 1)( x + 1) يحلل إلى عوامل على الأعداد النسبية ، ولكن مشتقته تتحلل إلى عوامل على الأعداد النسبية.  3x2-1=3(x-13)(x+13)،{\displaystyle 3x^{2}-1=3\left(x-{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\right)\left(x+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\right),} لا. طُرح سؤال تحديد الحقول التي تحقق خاصية رول في كابلانسكي عام 1972. [ 6 ] بالنسبة للحقول المنتهية ، فإن الإجابة هي أن F2 و F4 فقط هما اللذان يحققان خاصية رول. [ 7 ] [ 8 ]

للاطلاع على نسخة أكثر تفصيلاً، انظر فهرس فورهوف .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ "نظرية رول | التعريف، المعادلة، والحقائق | بريتانيكا" . www.britannica.com . تاريخ الاسترجاع: 2025-03-02 .
  2. ↑ بيسيني، أ. (17 سبتمبر 2012). "تاريخ موجز لنظرية القيمة المتوسطة" (PDF) .
  3. ↑ انظر كاجوري، فلوريان (1999). تاريخ الرياضيات . الجمعية الرياضية الأمريكية. ص 224. ISBN  9780821821022.
  4. ↑ آرتين، إميل (1964) [1931]، دالة غاما ، ترجمة بتلر، مايكل، هولت، راينهارت ووينستون ، الصفحات 3-4 .
  5. ↑ رون براون؛ توماس سي. كرافن؛ إم جيه بيلينج. "الحقول المرتبة التي تحقق نظرية رول" (ملف PDF) . جامعة هاواي، هونولولو . تاريخ الاسترجاع: 8 ديسمبر 2025 .
  6. ↑ كابلانسكي، إيرفينغ (1972)، الحقول والحلقات.
  7. ↑ كرافن، توماس؛ كسورداس، جورج (1977)، "متواليات المضاعفات للحقول" ، مجلة إلينوي للرياضيات ، 21 (4): 801-817 ، doi : 10.1215/ijm/1256048929.
  8. ↑ بالانتاين، سي.؛ روبرتس، ج. (يناير 2002)، "برهان بسيط لنظرية رول للحقول المنتهية"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 109 (1)، الجمعية الرياضية الأمريكية: 72-74 ، doi : 10.2307/2695770 ، JSTOR 2695770 .

للمزيد من القراءة

  • ليثولد، لويس (1972). حساب التفاضل والتكامل، مع الهندسة التحليلية (  الطبعة الثانية). نيويورك: هاربر آند رو. الصفحات 201-207 . ISBN  0-06-043959-9.
  • تايلور، أنجوس إي. (1955). حساب التفاضل والتكامل المتقدم . بوسطن: جين وشركاه. ص 30-37 .