نصف المحيط

في أي مثلث، يقسم أي رأس ونقطة تماس الدائرة الخارجية المقابلة له محيط المثلث إلى قسمين متساويين في الطول، مما يُنشئ مسارين، طول كل منهما يساوي نصف المحيط. إذا كانت A وB وB' وC' كما هو موضح في الشكل، فإن القطع المستقيمة التي تربط رأسًا بنقطة تماس الدائرة الخارجية المقابلة له ( AA' و BB' و CC' ، الموضحة باللون الأحمر في الرسم التخطيطي) تُعرف باسم " المقسمات ".

${\displaystyle {\begin{aligned}s&=|AB|+|A'B|=|AB|+|AB'|=|AC|+|A'C|\\&=|AC|+|AC'|=|BC|+|B'C|=|BC|+|BC'|.\end{aligned}}}$

تتفق الفواصل الثلاثة عند نقطة ناجل في المثلث.

قاطع المثلث هو قطعة مستقيمة تنصف محيط المثلث، ولها نقطة بداية عند منتصف أحد أضلاعه الثلاثة. لذا، فإن أي قاطع، كأي فاصل، يقسم المثلث إلى مسارين، طول كل منهما يساوي نصف المحيط. تلتقي هذه المقاطع الثلاثة في مركز دائرة سبيكر ، وهي الدائرة الداخلية للمثلث المتوسط ؛ ومركز سبيكر هو مركز ثقل جميع النقاط على أضلاع المثلث.

يقسم الخط المار بمركز المثلث المحيط إلى نصفين إذا وفقط إذا كان يقسم المساحة أيضاً إلى نصفين.

نصف محيط المثلث يساوي محيط المثلث المتوسط ​​فيه .

بحسب متباينة المثلث ، فإن طول أطول ضلع في المثلث أقل من نصف المحيط.

مساحة أي مثلث (A ) هي حاصل ضرب نصف قطر الدائرة الداخلية (نصف قطر الدائرة المحيطة به) ونصف محيطه:

${\displaystyle A=rs.}$

يمكن أيضًا حساب مساحة المثلث من نصف محيطه وأطوال أضلاعه a و b و c باستخدام صيغة هيرون :

${\displaystyle A={\sqrt {s\left(sa\right)\left(sb\right)\left(sc\right)}}.}$

يمكن أيضًا حساب نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث (R) من نصف المحيط وأطوال الأضلاع:

${\displaystyle R={\frac {abc}{4{\sqrt {s(sa)(sb)(sc)}}}}.}$

يمكن اشتقاق هذه الصيغة من قانون الجيب .

نصف القطر الداخلي هو

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {(sa)(sb)(sc)}{s}}}.}$

ينص قانون الظل التمام على إعطاء الظل التمام لأنصاف الزوايا عند رؤوس المثلث بدلالة نصف المحيط والأضلاع ونصف القطر الداخلي.

طول المنصف الداخلي للزاوية المقابلة للضلع الذي طوله a هو ^{[ 1 ]}

${\displaystyle t_{a}={\frac {2{\sqrt {bcs(sa)}}}{b+c}}.}$

في المثلث القائم الزاوية ، يساوي نصف قطر الدائرة الخارجية المرسومة على الوتر نصف المحيط. ونصف المحيط هو مجموع نصف قطر الدائرة الداخلية وضعف نصف قطر الدائرة المحيطة. مساحة المثلث القائم الزاوية هي${\displaystyle (sa)(sb)}$حيث a و b هما الساقان.

صيغة نصف محيط شكل رباعي الأضلاع بأطوال أضلاع a و b و c و d هي

${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}.}$

إحدى صيغ حساب مساحة المثلث التي تتضمن نصف المحيط تنطبق أيضًا على الأشكال الرباعية المماسية ، والتي لها دائرة داخلية، والتي (وفقًا لنظرية بيتو ) يكون مجموع أطوال أزواج الأضلاع المتقابلة فيها مساويًا لنصف المحيط - أي أن المساحة هي حاصل ضرب نصف قطر الدائرة الداخلية ونصف المحيط:

${\displaystyle K=rs.}$

إن أبسط شكل لصيغة براهماجوبتا لحساب مساحة الشكل الرباعي الدائري له شكل مشابه لصيغة هيرون لحساب مساحة المثلث:

${\displaystyle K={\sqrt {\left(sa\right)\left(sb\right)\left(sc\right)\left(sd\right)}}.}$

تعمم صيغة بريتشنايدر هذا الأمر ليشمل جميع الأشكال الرباعية المحدبة :

${\displaystyle K={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}},}$

حيث α و γ زاويتان متقابلتان.

الأضلاع الأربعة للشكل الرباعي ثنائي المركز هي الحلول الأربعة لمعادلة من الدرجة الرابعة يتم تحديدها بواسطة نصف المحيط ونصف القطر الداخلي ونصف القطر المحيط .

مساحة المضلع المنتظم المحدب هي حاصل ضرب نصف محيطه في عموده .