بديهية الفصل

في علم الطوبولوجيا والفروع الرياضية ذات الصلة ، توجد قيود عديدة تُفرض عادةً على أنواع الفضاءات الطوبولوجية التي يرغب الباحث في دراستها. بعض هذه القيود تُحددها بديهيات الفصل ، والتي تُسمى أحيانًا بديهيات فصل تيكونوف ، نسبةً إلى أندريه تيكونوف .

لا تُعدّ بديهيات الفصل بديهيات أساسية كتلك الموجودة في نظرية المجموعات ، بل هي خصائص تعريفية يمكن تحديدها لتمييز أنواع معينة من الفضاءات الطوبولوجية. يُرمز لبديهيات الفصل بالحرف "T" نسبةً إلى الكلمة الألمانية Trennungsaxiom ("بديهية الفصل")، وتشير الأرقام السفلية المتزايدة إلى خصائص أقوى فأقوى.

لقد تباينت التعريفات الدقيقة لبديهيات الفصل عبر الزمن . وخاصة في الأدبيات القديمة، قد يكون لدى المؤلفين المختلفين تعريفات مختلفة لكل شرط.

قبل أن نُعرّف بديهيات الفصل نفسها، سنُعطي معنىً ملموساً لمفهوم المجموعات (والنقاط) المنفصلة في الفضاءات الطوبولوجية . (المجموعات المنفصلة ليست هي نفسها الفضاءات المنفصلة ، ​​والتي سيتم تعريفها في القسم التالي).

تتعلق بديهيات الفصل باستخدام الوسائل الطوبولوجية لتمييز المجموعات المنفصلة والنقاط المتميزة . لا يكفي أن تكون عناصر الفضاء الطوبولوجي متميزة (أي غير متساوية )؛ بل قد نرغب في أن تكون قابلة للتمييز طوبولوجيًا . وبالمثل، لا يكفي أن تكون المجموعات الجزئية من الفضاء الطوبولوجي منفصلة؛ بل قد نرغب في أن تكون منفصلة (بأي طريقة من الطرق المختلفة). تنص بديهيات الفصل جميعها، بشكل أو بآخر، على أن النقاط أو المجموعات القابلة للتمييز أو المنفصلة بمعنى ضعيف يجب أن تكون أيضًا قابلة للتمييز أو المنفصلة بمعنى أقوى.

ليكن X فضاءً طوبولوجيًا. عندئذٍ، تكون نقطتان x و y في X قابلتين للتمييز طوبولوجيًا إذا لم يكن لهما نفس الجوار تمامًا (أو ما يعادله، نفس الجوار المفتوح)؛ أي أن إحداهما على الأقل لها جوار ليس جوارًا للأخرى (أو ما يعادله، توجد مجموعة مفتوحة تنتمي إليها إحدى النقطتين ولا تنتمي إليها الأخرى). أي أن إحدى النقطتين على الأقل لا تنتمي إلى إغلاق الأخرى .

تُعتبر النقطتان x و y منفصلتين إذا كانت لكل منهما جوار لا يُمثل جوارًا للأخرى؛ أي أن أياً منهما لا تنتمي إلى إغلاق الأخرى. وبشكل أعم، تُعتبر مجموعتان جزئيتان A و B من X منفصلتين إذا كانت كل منهما غير متداخلة مع إغلاق الأخرى، مع العلم أن الإغلاقات نفسها لا يشترط أن تكون غير متداخلة. وبصورة مكافئة، تكون كل مجموعة جزئية مُضمنة في مجموعة مفتوحة غير متداخلة مع المجموعة الجزئية الأخرى. يمكن تطبيق جميع الشروط المتبقية لفصل المجموعات على النقاط (أو على نقطة ومجموعة) باستخدام مجموعات أحادية. تُعتبر النقطتان x و y منفصلتين، بحسب الجوار، أو بحسب الجوار المغلق، أو بحسب دالة متصلة، أو بحسب دالة تحديدًا، إذا وفقط إذا كانت مجموعتاهما الأحاديتان { x } و { y } منفصلتين وفقًا للمعيار المُناسب.

تُفصل المجموعتان الجزئيتان A و B بواسطة جوارات منفصلة إذا كانت جواراتهما منفصلة. وتُفصلان بواسطة جوارات مغلقة إذا كانت جواراتهما مغلقة ومنفصلة. وتُفصلان بواسطة دالة متصلة إذا وُجدت دالة متصلة f من الفضاء X إلى خط الأعداد الحقيقية R بحيث تكون A مجموعة جزئية من الصورة العكسية f⁻¹ ( ^{0} ) وB مجموعة جزئية من الصورة العكسية f⁻¹ ( ^{1} ). وأخيرًا، تُفصلان بدقة بواسطة دالة متصلة إذا وُجدت دالة متصلة f من X إلى R بحيث تكون A مساوية للصورة العكسية f⁻¹ ( ^{0} ) و B مساوية لـ f⁻¹ ({1}) ^.

تُعطى هذه الشروط بترتيب تصاعدي حسب قوتها: يجب أن تكون أي نقطتين قابلتين للتمييز طوبولوجيًا مختلفتين، ويجب أن تكون أي نقطتين منفصلتين قابلتين للتمييز طوبولوجيًا. يجب أن تكون أي مجموعتين منفصلتين غير متداخلتين، ويجب أن تكون أي مجموعتين مفصولتين بجوار منفصلتين، وهكذا.

تستخدم هذه التعريفات جميعها بشكل أساسي التعريفات الأولية المذكورة أعلاه.

العديد من هذه الأسماء لها معانٍ بديلة في بعض الأدبيات الرياضية ؛ على سبيل المثال، يتم أحيانًا تبادل معاني "عادي" و"T _{4 "، وبالمثل "منتظم" و"T 3} "، وما إلى ذلك. كما أن العديد من المفاهيم لها عدة أسماء؛ ومع ذلك، فإن الاسم المدرج أولاً هو دائمًا الأقل عرضة للغموض.

معظم هذه البديهيات لها تعريفات بديلة تحمل المعنى نفسه؛ والتعريفات الواردة هنا تتبع نمطًا متسقًا يربط بين مختلف مفاهيم الفصل المحددة في القسم السابق. ويمكن الاطلاع على تعريفات أخرى محتملة في المقالات الفردية.

في جميع التعريفات التالية، X هو مرة أخرى فضاء طوبولوجي .

• تكون X من النوع T ₀ ، أو كولموغوروف ، إذا كان بالإمكان تمييز أي نقطتين مختلفتين في X طوبولوجيًا . (سيكون من السمات الشائعة بين بديهيات الفصل وجود صيغة تتطلب T ₀ وصيغة أخرى لا تتطلبها).
• X يكون R ₀ ، أو متناظرًا ، إذا تم فصل أي نقطتين قابلتين للتمييز طوبولوجيًا في X.
• تكون X من _النوع T1 ، أو قابلة للوصول ، أو فريشيه ، إذا كانت أي نقطتين مختلفتين فيها منفصلتين . وبالمثل، فإن كل مجموعة تحتوي على نقطة واحدة هي مجموعة مغلقة. وبالتالي، تكون X من النوع _T1 إذا وفقط إذا كانت من النوع T0 وR0 معًا _. ( _مع أنه يمكن استخدام مصطلحات مثل "فضاء T1 _" و"طوبولوجيا فريشيه" و"لنفترض أن الفضاء الطوبولوجي X هو فريشيه"، إلا أنه ينبغي تجنب استخدام مصطلح "فضاء فريشيه" في هذا السياق، لوجود مفهوم مختلف تمامًا لفضاء فريشيه في التحليل الوظيفي ).
• تكون X فضاءً من النوع R ₁ ، أو فضاءً شبه منتظم ، إذا كانت أي نقطتين متميزتين طوبولوجيًا في X مفصولتين بجوار. كل فضاء من النوع R ₁ هو أيضًا فضاء من النوع R ₀ .
• تكون X فضاءً هاوسدورفياً ، أو T² _، أو منفصلاً ، إذا كانت أي نقطتين مختلفتين في X منفصلتين بواسطة جوارات. بالتالي، تكون X فضاءً هاوسدورفياً إذا وفقط إذا كانت T⁰ وR¹ معاً _. كل _فضاء هاوسدورفي هو أيضاً _T¹ .
• تكون X فضاءً من نوع T _2½ ، أو فضاء أوريسون ، إذا كانت أي نقطتين مختلفتين في X مفصولتين بجوارات مغلقة. كل فضاء من نوع T _2½ هو أيضاً فضاء هاوسدورف.
• يكون الفضاء X فضاءً هاوسدورفياً كاملاً ، أو _{فضاءً T²} كاملاً ، إذا كانت أي نقطتين مختلفتين فيه مفصولتين بدالة متصلة. كل فضاء هاوسدورفي كامل هو أيضاً فضاء _T²½ .
• يكون الفضاء X منتظمًا إذا كان، لأي نقطة x ومجموعة مغلقة F في X بحيث لا تنتمي x إلى F ، مفصولتين بجوار. (في الواقع، في الفضاء المنتظم، أي x و F من هذا القبيل سيكونان مفصولين أيضًا بجوار مغلق). كل فضاء منتظم هو أيضًا _R¹ .
• يكون الفضاء X فضاءً منتظماً من نوع هاوسدورف ، أو T ₃ ، إذا كان T ₀ ومنتظماً في الوقت نفسه. ^{[ 1 ]} كل فضاء منتظم من نوع هاوسدورف هو أيضاً T _2½ .
• يكون الفضاء X منتظمًا تمامًا إذا كان، لأي نقطة x ومجموعة مغلقة F في X بحيث لا تنتمي x إلى F ، مفصولتين بدالة متصلة. ^{[ 2 ]} كل فضاء منتظم تمامًا يكون منتظمًا أيضًا.
• X فضاء تيكونوف ، أو T _3½ ، أو T ₃ كامل ، أو هاوسدورف منتظم تمامًا ، إذا كان T ₀ ومنتظمًا تمامًا. ^{[ 3 ]} كل فضاء تيكونوف هو هاوسدورف منتظم وهاوسدورف كامل.
• تكون المجموعة X طبيعية إذا كان أي مجموعتين جزئيتين مغلقتين منفصلتين من X مفصولتين بجوار. (في الواقع، يكون الفضاء طبيعيًا إذا وفقط إذا كان من الممكن فصل أي مجموعتين جزئيتين مغلقتين منفصلتين بدالة متصلة؛ هذه هي مبرهنة أوريسون ).
• يكون الفضاء X منتظمًا طبيعيًا إذا كان R ₀ وطبيعيًا في آن واحد. كل فضاء منتظم طبيعي يكون أيضًا منتظمًا تمامًا.
• يكون الفضاء X فضاءً هاوسدورف طبيعياً ، أو T ₄ ، إذا كان T ₁ وطبيعياً في آن واحد. كل فضاء هاوسدورف طبيعي يكون أيضاً فضاء تيكونوڤ منتظماً وطبيعياً.
• تكون المجموعة X طبيعية تمامًا إذا كانت أي مجموعتين منفصلتين مفصولتين بجوار. كل فضاء طبيعي تمامًا هو فضاء طبيعي أيضًا.
• يكون X فضاء هاوسدورف طبيعيًا تمامًا ، أو T ₅ أو T ₄ تمامًا ، إذا كان طبيعيًا تمامًا و T ₁ في نفس الوقت . كل فضاء هاوسدورف طبيعي تمامًا هو أيضًا فضاء هاوسدورف طبيعي.
• يكون الفضاء X طبيعيًا تمامًا إذا كانت أي مجموعتين مغلقتين منفصلتين مفصولتين بدقة بدالة متصلة. كل فضاء طبيعي تمامًا يكون أيضًا طبيعيًا تمامًا ومنتظمًا تمامًا.
• يكون الفضاء X فضاءً هاوسدورف طبيعياً تماماً ، أو T ₆ أو T ₄ تماماً ، إذا كان طبيعياً تماماً و T ₀ في الوقت نفسه . كل فضاء هاوسدورف طبيعي تماماً هو أيضاً فضاء هاوسدورف طبيعي تماماً.

يلخص الجدول التالي بديهيات الفصل بالإضافة إلى الآثار المترتبة عليها: تمثل الخلايا المدمجة خصائص متكافئة، كل بديهية تعني البديهيات الموجودة في الخلايا على يسارها، وإذا افترضنا بديهية T ₁ ، فإن كل بديهية تعني أيضًا البديهيات الموجودة في الخلايا التي تعلوها (على سبيل المثال، جميع مساحات T ₁ العادية منتظمة تمامًا أيضًا).

تتميز بديهية T₀ بأنها لا تُضاف إلى خاصية فحسب (بحيث يكون المنتظم تمامًا + T₀ _{هو تيكونوف) ،} بل تُطرح منها أيضًا (بحيث يكون هاوسدورف ناقص T₀ _هو R₁ ₎ ، وذلك بدقة عالية؛ انظر قسمة كولموغوروف لمزيد من المعلومات. عند تطبيقها على بديهيات الفصل، ينتج عن ذلك العلاقات الموضحة في الجدول على اليسار أدناه. في هذا الجدول، ننتقل من اليمين إلى اليسار بإضافة شرط T₀ _، وننتقل من اليسار إلى اليمين بإزالة هذا الشرط، باستخدام عملية قسمة كولموغوروف. (الأسماء بين قوسين في الجانب الأيسر من هذا الجدول غامضة عمومًا أو غير معروفة على نطاق واسع؛ ولكنها مستخدمة في الرسم التوضيحي أدناه).

باستثناء تضمين أو استبعاد T ₀ ، تُوضح العلاقات بين بديهيات الفصل في الرسم البياني على اليمين. في هذا الرسم، يظهر الشرط غير T ₀ على يسار الشرطة المائلة، بينما يظهر الشرط T ₀ على يمينها. تُستخدم الأحرف للاختصار كما يلي: "P" = "بشكل مثالي"، "C" = "بشكل كامل"، "N" = "طبيعي"، و"R" (بدون رمز سفلي) = "عادي". تشير النقطة إلى عدم وجود اسم خاص للمسافة في ذلك الموضع. تشير الشرطة في الأسفل إلى عدم وجود شرط.

يمكن دمج خاصيتين باستخدام هذا المخطط باتباع الرسم البياني تصاعديًا حتى يلتقي الفرعان. على سبيل المثال، إذا كان الفضاء طبيعيًا تمامًا ("CN") وهاوسدورف تمامًا ("CT ₂ ")، فعند اتباع الفرعين تصاعديًا، نجد النقطة "•/T ₅ ". بما أن فضاءات هاوسدورف تمامًا هي T ₀ (مع أن الفضاءات الطبيعية تمامًا قد لا تكون كذلك)، نأخذ جانب T ₀ من الخط المائل، وبالتالي فإن الفضاء الطبيعي تمامًا والهاوسدورف تمامًا هو نفسه فضاء T ₅ (المعروف بشكل أقل غموضًا باسم فضاء هاوسدورف طبيعي تمامًا، كما هو موضح في الجدول أعلاه).

كما هو موضح في الرسم التخطيطي، فإن الجمع بين الخاصيتين "العادي" و"R _0" يستلزم مجموعة من الخصائص الأخرى، إذ يؤدي الجمع بينهما إلى ظهور العديد من العقد على الفرع الأيمن. ولأن الانتظام هو أشهر هذه الخصائص، تُسمى الفضاءات التي تجمع بين الخاصيتين "العادي" و"R _0" عادةً "الفضاءات المنتظمة العادية". وبالمثل، تُسمى الفضاءات التي تجمع بين الخاصيتين "العادي" و"T ₁ " غالبًا "فضاءات هاوسدورف العادية" لتجنب استخدام رمز "T" المبهم. ويمكن تعميم هذه الاصطلاحات على الفضاءات المنتظمة الأخرى وفضاءات هاوسدورف.

[ملاحظة: لا يعكس هذا الرسم التخطيطي حقيقة أن المساحات العادية تمامًا تكون منتظمة دائمًا؛ ويعمل المحررون على هذا الأمر الآن.]

توجد بعض الشروط الأخرى على الفضاءات الطوبولوجية التي تُصنّف أحيانًا ضمن بديهيات الفصل، لكنها لا تتوافق معها تمامًا. وباستثناء تعريفاتها، لن نتناولها هنا؛ يُرجى مراجعة المقالات الخاصة بها.

• يكون الفضاء X رصينًا إذا كان لكل مجموعة مغلقة غير فارغة C، لا تمثل اتحاد مجموعتين جزئيتين مغلقتين منها، نقطة وحيدة p بحيث يكون إغلاق المجموعة { p } مساويًا لـ C. باختصار، لكل مجموعة مغلقة غير قابلة للاختزال نقطة عامة وحيدة. يجب أن يكون أي فضاء هاوسدورف رصينًا، ويجب أن يكون أي فضاء رصين من النوع _T₀ .
• يكون الفضاء X ضعيفًا من نوع هاوسدورف إذا كانت صورة أي دالة متصلة f من فضاء هاوسدورف مضغوط إلى X مغلقة في X. أي فضاء هاوسدورف يجب أن يكون ضعيفًا من نوع هاوسدورف، وأي فضاء ضعيف من نوع هاوسدورف يجب أن يكون T ₁ .
• يُقال عن X أنه فضاء KC إذا كانت جميع المجموعات الجزئية المدمجة من X مغلقة. تقع خاصية فضاء KC بين T1 _و T2 ₍ هاوسدورف) من حيث القوة. ^{[ أ ] [ ب ]} خاصية فضاء KC أقوى من خاصية فضاء هاوسدورف الضعيفة. ^{[ ج ]}
• تكون المجموعة X شبه منتظمة إذا شكلت المجموعات المفتوحة المنتظمة أساسًا للمجموعات المفتوحة للمجموعة X. أي فضاء منتظم يجب أن يكون شبه منتظم أيضًا.
• X شبه منتظم إذا كان لأي مجموعة مفتوحة غير فارغة G ، توجد مجموعة مفتوحة غير فارغة H بحيث يكون إغلاق H موجودًا في G.
• يكون الفضاء X طبيعيًا تمامًا إذا كان لكل غطاء مفتوح فيه تحسين نجمي مفتوح . ويكون X من النوع _T⁴ تمامًا ، أو من النوع هاوسدورف الطبيعي تمامًا ، إذا كان من النوع T⁹ _{وطبيعيًا} تمامًا. كل فضاء طبيعي تمامًا هو فضاء طبيعي، وكل فضاء من النوع T⁴ تمامًا _هو من النوع T⁴ _. علاوة على ذلك، يمكن إثبات أن كل فضاء من النوع T⁴ تمامًا _هو فضاء شبه متراص . في الواقع، ترتبط الفضاءات الطبيعية تمامًا بالتراص أكثر من ارتباطها ببديهيات الفصل المعتادة.

• الطوبولوجيا العامة

• شيشتر، إريك (1997). دليل التحليل وأسسه . سان دييغو: أكاديميك برس. ISBN 0126227608.(يحتوي على بديهيات R _i ، من بين أمور أخرى)
• ويلارد، ستيفن (1970). الطوبولوجيا العامة . ريدينغ، ماساتشوستس: شركة أديسون-ويسلي للنشر. ISBN 0-486-43479-6.(يحتوي على جميع البديهيات غير المتعلقة بـ R _{المذكورة} في التعريفات الرئيسية، مع هذه التعريفات)

• بديهيات الفصل في ProvenMath
• جدول بديهيات الفصل والقياس من شيختر