المساواة (الرياضيات)

المتطابقة هي مساواة صحيحة لجميع قيم متغيراتها في مجال معين. ^{[ 26 ] [ 27 ]} قد تعني "المعادلة" أحيانًا متطابقة، ولكن في أغلب الأحيان، تحدد مجموعة جزئية من فضاء المتغيرات لتكون المجموعة الجزئية التي تكون فيها المعادلة صحيحة. مثال على ذلك:${\displaystyle \left(x+1\right)\left(x+1\right)=x^{2}+2x+1,}$وهذا ينطبق على كل عدد حقيقي${\displaystyle x.}$لا توجد صيغة قياسية تميز المعادلة عن المتطابقة، أو أي استخدام آخر لعلاقة المساواة: يجب على المرء أن يخمن التفسير المناسب من دلالات التعبيرات وسياقها. ^{[ 28 ]} أحيانًا، وليس دائمًا، تُكتب المتطابقة بثلاثة خطوط أفقية .${\displaystyle \left(x+1\right)\left(x+1\right)\equiv x^{2}+2x+1.}$^{[ 29 ]} قدمبرنارد ريمانفي محاضراته عن الدوال الإهليلجية عام 1857 (والتي نُشرت عام 1899). ^{[ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]}

بدلاً من ذلك، يمكن النظر إلى المتطابقات على أنها مساواة بين الدوال ، حيث بدلاً من كتابة${\displaystyle f(a)=g(a){\text{ لجميع }}a,}$يمكن للمرء أن يكتب ببساطة${\displaystyle f=g.}$^{[ 33 ] [ 34 ]} يُطلق على هذا اسمامتدادالدوال. ^{[ 35 ] [ 36 ]} وبهذا المعنى، تشير خاصية تطبيق الدالة إلىالمؤثرات، وهي عمليات علىفضاء الدوال(دوال تربط بين الدوال) مثلالتركيب ^{[ 37 ]} أوالاشتقاق، والتي تُستخدم عادةً فيحساب التفاضل والتكامل العملي. ^{[ 38 ]} يمكن أن تحتوي المتطابقة على دوال كمجاهيل، والتي يمكن حلها بطريقة مشابهة للمعادلة العادية، والتي تُسمىمعادلة دالية. ^{[ 39 ]} تُسمى المعادلة الدالية التي تتضمن مشتقاتمعادلة تفاضلية. ^{[ 40 ]}

تُستخدم المعادلات غالبًا لتقديم مصطلحات أو رموز جديدة للثوابت، ولتأكيد المساواة، ولتقديم اختصار للتعبيرات المعقدة، وهو ما يُسمى "المساواة بالتعريف"، وغالبًا ما يُرمز إليه بـ (${\displaystyle$ :=} ). ^{[ 41 ]} يشبه هذا المفهوم مفهوم إسناد قيمة لمتغير في علوم الحاسوب . على سبيل المثال،${\textstyle \mathbb {e}$ :=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}} يُعرّف عدد أويلر ، ^{[ 42 ]} و${\displaystyle i^{2}=-1}$هي الخاصية المميزة للعدد التخيلي${\displaystyle i.}$^{[ 43 ]}

في المنطق الرياضي ، يُطلق على هذا اسم التمديد بالتعريف (بالمساواة)، وهو تمديد محافظ لنظام صوري . ^{[ 44 ]} ويتم ذلك بأخذ المعادلة التي تُعرّف رمز الثابت الجديد كمسلّمة جديدة للنظرية . ظهر أول استخدام رمزي مُسجّل لعبارة "متساوي بالتعريف" في كتاب "المنطق الرياضي " (1894) للرياضي الإيطالي سيزار بورالي فورتي . استخدم بورالي فورتي في كتابه الرمز (${\displaystyle =_{\text{Def}}}$). ^{[ 45 ] [ 46 ]}

يُعتبر مفهوم المساواة في كثير من الأحيان مفهومًا بدائيًا ، ويُقال عنه بشكل غير رسمي إنه "علاقة تربط كل شيء بنفسه فقط، دون غيره". ^{[ 47 ]} ويمكن تتبع هذا التقليد إلى أرسطو على الأقل ، الذي عرّف في كتابه " المقولات " (حوالي  350  قبل الميلاد) مفهوم الكمية من حيث مساواة أكثر بدائية (مختلفة عن التطابق أو التشابه )، قائلاً: ^{[ 48 ]}

إن أبرز سمات الكمية هي أن المساواة وعدم المساواة ملازمتان لها. فكل كمية من الكميات المذكورة آنفاً تُوصف بأنها متساوية أو غير متساوية. فعلى سبيل المثال، يُقال إن جسماً صلباً ما يساوي جسماً صلباً آخر أو لا يساويه؛ وكذلك العدد والزمن، بل يمكن تطبيق هذه المصطلحات على جميع أنواع الكميات التي ذُكرت.

ما ليس كميةً لا يمكن بأي حال من الأحوال أن يُوصف بأنه مساوٍ أو غير مساوٍ لأي شيء آخر. فصفةٌ أو سمةٌ معينة، كالبياض مثلاً، لا تُقارن بأخرى من حيث المساواة أو عدم المساواة، بل من حيث التشابه. ولذا، فإن السمة المميزة للكمية هي إمكانية وصفها بأنها متساوية أو غير متساوية. (ترجمة: إي إم إدجيل )

خصص أرسطو تصنيفات منفصلة للكميات (العدد، الطول، الحجم) والصفات (درجة الحرارة، الكثافة، الضغط)، والتي تُعرف الآن بالخواص المكثفة والواسعة . بدأ علماء اللاهوت المدرسي ، ولا سيما ريتشارد سوينزهيد وغيره من علماء أكسفورد في القرن الرابع عشر، بالتفكير بجدية في علم الحركة والمعالجة الكمية للصفات. على سبيل المثال، تتساوى شدة حرارة لهبين إذا أحدثا التأثير نفسه على الماء (مثل التسخين مقابل الغليان ). وبما أنه يمكن إثبات تساوي شدتين، ولأن التساوي كان يُعتبر السمة المميزة للكميات، فقد كان ذلك يعني إمكانية قياس هاتين الشدتين. ^{[ 49 ] [ 50 ]}

صاغ غوتفريد لايبنتز في كتابه "مقال في الميتافيزيقا " (1686) مقدمة لخاصية الاستبدال في المساواة ، حيث ذكر باختصار أنه "لا يمكن لشيئين مختلفين أن يشتركا في جميع الخصائص". وقد انقسم هذا المبدأ منذ ذلك الحين إلى مبدأين، هما خاصية الاستبدال (إذا${\displaystyle x=y,}$ثم أي ملكية لـ${\displaystyle x}$هي ملكية لـ${\displaystyle y}$)، وعكسها ، هوية غير المتمايزين (إذا${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$إذا كانت جميع الخصائص مشتركة، فإن${\displaystyle x=y}$). ^{[ 51 ]}

مع مطلع القرن العشرين، بات من الضروري وضع وصف أكثر دقة للمساواة. في عام ١٨٧٩، نشر غوتلوب فريجه كتابه الرائد "Begriffsschrift" ، الذي حوّل تركيز المنطق من المنطق الأرسطي ، الذي كان يركز على فئات الأشياء، إلى المنطق القائم على الخصائص، والذي تطور لاحقًا ليصبح منطق المحمولات الحديث . تبع ذلك حركةٌ لوصف الرياضيات بأسس منطقية، عُرفت باسم "المنطقية" . أدى هذا التوجه إلى وضع مسلمات للمساواة من خلال قانون الهوية وخاصية الاستبدال، لا سيما في المنطق الرياضي ^{[ ١١ ] [ ٢٤ ]} والفلسفة التحليلية ^{[ ٥٢ ]} .

لاحقًا، حاول فريجه في كتابيه "أسس الحساب" (1884) و "القوانين الأساسية للحساب" (1893، 1903) استنباط أسس الرياضيات من النظام المنطقي الذي طوره في كتابه "Begriffsschrift". لكن تبين لاحقًا أن هذا النهج معيبٌ بسبب مفارقة راسل ، مما ساهم في الأزمة التأسيسية للرياضيات . وتم حل أعمال فريجه في نهاية المطاف من خلال عملٍ من ثلاثة مجلدات لبرتراند راسل وألفريد وايتهيد بعنوان "Principia Mathematica" (1910-1913 ) . كما قدم راسل ووايتهيد في عملهما قانون لايبنتز للمنطق الرمزي، حيث زعما أنه يتبع من بديهية الاختزال ، لكنهما نسبا الفكرة إلى لايبنتز. ^{[ 53 ]}

• قانون الهوية : ينص على أن كل شيء هو نفسه تماماً، دون أي قيد أو شرط. أي أنه بالنسبة لكل${\displaystyle a,}$${\displaystyle a=a.}$وهو أول القوانين الثلاثة التقليدية للفكر . ^{[ 54 ]} ويمكن التعبير عن ما سبق رمزياً على النحو التالي:${\displaystyle \forall a(a=a).}$
• خاصية الإحلال : تنص عمومًا على أنه إذا تساوى شيئان، فإن أي خاصية لأحدهما يجب أن تكون خاصية للآخر. ويُشار إليها أحيانًا باسم "قانون لايبنتز ". ^{[ 55 ]} ويمكن صياغتها رسميًا على النحو التالي: لكل a و b ، وأي صيغة${\displaystyle \phi (x),}$مع متغير حر x ، إذا${\displaystyle a=b,}$ثم${\displaystyle \phi (a)}$يشير إلى${\displaystyle \phi (b).}$يمكن التعبير عن ما سبق بشكل رمزي كما يلي:${\displaystyle (a=b)\implies {\bigl [}\phi (a)\Rightarrow \phi (b){\bigr ]}.}$

يُدرج تطبيق الدوال أحيانًا ضمن بديهيات المساواة، ^{[ 13 ]} ولكنه ليس ضروريًا إذ يمكن استنتاجه من البديهيتين الأخريين، وينطبق الأمر نفسه على التناظر والتعدي (انظر §  اشتقاقات الخصائص الأساسية ). في منطق الرتبة الأولى ، تُعرف هذه البديهيات بمخططات البديهيات (عادةً، انظر أدناه)، حيث يُحدد كل منها مجموعة لانهائية من البديهيات. ^{[ 56 ]} إذا احتوت نظرية ما على محمول يحقق قانون الهوية وخاصية الاستبدال، فمن الشائع القول إنها "تتمتع بالمساواة"، أو أنها "نظرية ذات مساواة". ^{[ 44 ]}

إن استخدام مصطلح "المساواة" هنا يُعدّ تسميةً غير دقيقة إلى حد ما ، إذ يمكن نمذجة أي نظام يتمتع بالمساواة بنظرية لا تتضمن هوية قياسية، وتتضمن عناصر غير قابلة للتمييز . ^{[ 57 ] [ 56 ]} ومع ذلك، فإن هذين البديهيتين قويتان بما يكفي ليكون النظام متماثلًا مع نموذج يتضمن هوية قياسية؛ أي، إذا كان للنظام خاصية تحقق هذين البديهيتين دون مساواة قياسية، فإنه يوجد نموذج لهذا النظام يتضمن مساواة قياسية. ^{[ 56 ]} ويمكن تحقيق ذلك بتعريف مجال جديد تكون عناصره هي فئات التكافؤ الخاصة بـ "المساواة" الأصلية. ^{[ 58 ]} إذا تم تفسير نموذج ما على أنه يتمتع بالمساواة، فإن هذه الخصائص كافية، لأنه إذا${\displaystyle x}$له نفس الخصائص مثل${\displaystyle y,}$و${\displaystyle x}$له خاصية كونه مساوياً لـ${\displaystyle x,}$ثم${\displaystyle y}$له خاصية كونه مساوياً لـ${\displaystyle x.}$^{[ 53 ] [ 59 ]}

يمكن استنتاج البديهيات من الأولى باستخدام التجسيد الشامل ، ومن الثانية، بالنظر إلى${\displaystyle a=b}$و${\displaystyle \phi (a),}$باستخدام قاعدة القياس المنطقي مرتين. أو بدلاً من ذلك، يمكن تضمين كل منهما في المنطق كقواعد استدلال . ^{[ 56 ]} تُسمى الأولى "إدخال المساواة"، والثانية "إزالة المساواة" ^{[ 60 ]} (وتُسمى أيضًا التعديل الموازي )، وقد استخدمها بعض علماء الحاسوب النظريين مثل جون آلان روبنسون في أعمالهم حول الاستدلال والإثبات الآلي للنظريات . ^{[ 61 ]}

قد تؤدي خاصية الاستبدال إلى نتائج خاطئة عند تطبيقها بشكل ساذج. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle n}$يشير إلى "عدد الكواكب في النظام الشمسي"، ثم العبارة " لم يكن يوهانس كيبلر يعلم ذلك${\displaystyle n>6}$هذا صحيح، لأن أورانوس ونبتون تم اكتشافهما بعد وفاته. ومع ذلك، بما أن${\displaystyle n=8}$بتطبيق خاصية الاستبدال، نحصل على العبارة التالية: "لم يكن يوهانس كيبلر يعلم أن${\displaystyle 8>6}$وهذا غير صحيح. ^{[ 62 ]} يكمن الفرق هنا في أنه بينما تشير عبارتا "عدد الكواكب" و"8" إلى الشيء نفسه (امتدادهما ) ، فإنهما تحملان معاني مختلفة (مقصودهما ) . وبالتالي، لا يمكن ضمان خاصية الاستبدال إلا في سياقات الامتداد ، وهو ما يضمنه في الرياضيات الحديثة مبدأ الامتدادية . ^{[ 63 ]}

• الانعكاسية: بالنظر إلى أي تعبير${\displaystyle a,}$بموجب قانون الهوية،${\displaystyle a=a.}$^{[ 64 ]}
• التناظر: معطى${\displaystyle a=b,}$خذ الصيغة${\displaystyle \phi (x):x=a.}$وفقاً لذلك،${\displaystyle (a=b)\implies ((a=a)\Rightarrow (b=a)).}$منذ${\displaystyle a=b}$بافتراض، و${\displaystyle a=a}$وبموجب مبدأ الانعكاسية، يترتب على ذلك أن${\displaystyle b=a.}$^{[ 64 ]}
• خاصية التعدي: معطى${\displaystyle a=b}$و${\displaystyle b=c,}$خذ الصيغة${\displaystyle \phi (x):x=c.}$وفقاً لذلك،${\displaystyle (b=a)\implies ((b=c)\Rightarrow (a=c)).}$منذ${\displaystyle b=a}$بالتناظر، و${\displaystyle b=c}$وبناءً على هذا الافتراض، يترتب على ذلك أن${\displaystyle a=c.}$^{[ 64 ]}
• تطبيق الدالة: بالنظر إلى دالة معينة${\displaystyle f(x)}$وإذا كان لدينا تعبيران a و b بحيث يكون a = b ، فسنأخذ الصيغة${\displaystyle \phi (x):f(a)=f(x).}$^{[ 64 ]} وبناءً على ذلك،${\displaystyle (a=b)\implies [(f(a)=f(a))\Rightarrow (f(a)=f(b))].}$منذ${\displaystyle a=b}$بافتراض، و${\displaystyle f(a)=f(a)}$وبموجب مبدأ الانعكاسية، يترتب على ذلك أن${\displaystyle f(a)=f(b).}$

مع مطلع القرن العشرين، واجهت الرياضيات العديد من المفارقات والنتائج غير البديهية. فعلى سبيل المثال، أظهرت مفارقة راسل تناقضًا مع نظرية المجموعات البسيطة ، كما تبين استحالة إثبات مسلمة التوازي ، ووجود كائنات رياضية لا يمكن حسابها أو وصفها بشكل صريح، ووجود نظريات حسابية لا يمكن إثباتها باستخدام حساب بيانو . وقد نتج عن ذلك أزمة تأسيسية في الرياضيات . ^{[ 72 ]}

تطلّب حلّ هذه الأزمة ظهور فرع رياضي جديد يُسمى المنطق الرياضي ، والذي يدرس المنطق الصوري ضمن الرياضيات. وقد ساهمت الاكتشافات التي تحققت خلال القرن العشرين في ترسيخ أسس الرياضيات، وأنتجت إطارًا متماسكًا صالحًا لجميع فروع هذا العلم. ويستند هذا الإطار إلى استخدام منهجي للمنهج البديهي ونظرية المجموعات، وتحديدًا نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات ، التي طورها إرنست زيرميلو وأبراهام فرانكل . وتُعتبر هذه النظرية (ونظرية المجموعات عمومًا) الآن الأساس الأكثر شيوعًا في الرياضيات . ^{[ 73 ]}

في منطق الرتبة الأولى مع المساواة (انظر §  البديهيات )، تنص بديهية الامتداد على أن مجموعتين تحتويان على نفس العناصر هما نفس المجموعة. ^{[ 74 ]}

• بديهية منطقية:${\displaystyle x=y\implies \forall z,(z\in x\iff z\in y)}$
• بديهية منطقية:${\displaystyle x=y\implies \forall z,(x\in z\iff y\in z)}$
• بديهية نظرية المجموعات:${\displaystyle (\forall z,(z\in x\iff z\in y))\implies x=y}$

يُستمدّ أول اثنين من خاصية الاستبدال للمساواة من منطق الرتبة الأولى؛ أما الأخير فهو بديهية جديدة في النظرية. ويمكن اعتبار دمج نصف العمل في منطق الرتبة الأولى مجرد مسألة تسهيل، كما أشار أزرييل ليفي .

إن سبب تناولنا لحسابات المسندات من الدرجة الأولى مع المساواة هو مسألة تسهيل؛ فبذلك نوفر عناء تعريف المساواة وإثبات جميع خصائصها؛ إذ يتحمل المنطق هذا العبء الآن. ^{[ 75 ]}

في منطق الرتبة الأولى بدون مساواة، تُعرَّف مجموعتان بأنهما متساويتان إذا احتوتا على العناصر نفسها. ثم تنص بديهية الامتداد على أن مجموعتين متساويتين موجودتان في المجموعات نفسها. ^{[ 76 ]}

• تعريف نظرية المجموعات: ${\displaystyle (x=y)\$ := لكل z، (z ∈ x إذا وفقط إذا z ∈ y)}
• بديهية نظرية المجموعات:${\displaystyle x=y\implies \forall z,(x\in z\iff y\in z)}$

أو، بشكل مكافئ، يمكن للمرء أن يختار تعريف المساواة بطريقة تحاكي خاصية الاستبدال بشكل صريح، باعتبارها اقتران جميع الصيغ الذرية : ^{[ 77 ]}

• تعريف نظرية المجموعات:${\displaystyle (x=y)\,:=\,\forall z(z\in x\implies z\in y)\,\land \,\forall w(x\in w\implies y\in w)}$
• بديهية نظرية المجموعات:${\displaystyle (\forall z,(z\in x\iff z\in y))\implies x=y}$

في كلتا الحالتين، تنص بديهية الامتدادية القائمة على منطق الرتبة الأولى بدون مساواة على أن المجموعات التي تحتوي على نفس العناصر تكون دائماً موجودة في نفس المجموعات:

$${\displaystyle \forall z(z\in x\iff z\in y)\implies \forall w(x\in w\iff y\in w).}$$

• خاصية الانعكاسية: بالنظر إلى مجموعة${\displaystyle X,}$يفترض${\displaystyle z\in X,}$ويترتب على ذلك بشكل بديهي أن${\displaystyle z\in X,}$وينطبق الأمر نفسه في الاتجاه المعاكس،${\displaystyle \forall z,(z\in X\iff z\in X),}$لذلك${\displaystyle X=X.}$^{[ 78 ]}
• التناظر: مجموعات معينة${\displaystyle X,Y,}$بحيث${\displaystyle X=Y,}$ثم${\displaystyle \forall z,(z\in X\iff z\in Y),}$وهذا يعني${\displaystyle \forall z,(z\in Y\iff z\in X),}$لذلك${\displaystyle Y=X.}$^{[ 78 ]}
• خاصية التعدي: مجموعات معينة${\displaystyle X,Y,Z,}$بحيث:
  1. ${\displaystyle X=Y,}$و
  2. ${\displaystyle Y=Z,}$

يفترض${\displaystyle z\in X.}$ثم،${\displaystyle z\in Y}$بحسب (1)، مما يعني${\displaystyle z\in Z}$بحسب (2)، وبالمثل بالنسبة للعكس. وهكذا${\displaystyle \forall z,(z\in X\iff z\in Z),}$لذلك${\displaystyle X=Z.}$^{[ 78 ]}

• الاستبدال: انظر الاستبدال (المنطق) §  إثبات الاستبدال في ZFC .
• تطبيق الدالة: معطى${\displaystyle a=b}$و${\displaystyle f(a)=c,}$ثم${\displaystyle (a,c)\in f.}$منذ${\displaystyle a=b}$و${\displaystyle c=c,}$ثم${\displaystyle (a,c)=(b,c).}$هذه هي الخاصية المميزة للزوج المرتب . ^{[ 79 ]} بما أن${\displaystyle (a,c)=(b,c),}$بحسب بديهية الامتداد، يجب أن تنتمي إلى نفس المجموعات. وبالتالي، بما أن${\displaystyle (a,c)\in f,}$ويترتب على ذلك أن${\displaystyle (b,c)\in f,}$أو${\displaystyle f(b)=c.}$لذلك،${\displaystyle f(a)=f(b).}$

التحليل العددي هو دراسة الأساليب والخوارزميات البنائية لإيجاد تقريبات عددية (بدلاً من التلاعبات الرمزية ) لحلول مسائل التحليل الرياضي ، وخاصة تلك التي لا يمكن حلها تحليلياً . ^{[ 80 ]}

من المرجح أن تتضمن العمليات الحسابية أخطاء تقريبية وأخطاء أخرى ناتجة عن التقريب . تُنتج جداول اللوغاريتمات والمسطرة الحاسبة والآلات الحاسبة إجابات تقريبية لجميع العمليات الحسابية باستثناء أبسطها. عادةً ما تكون نتائج العمليات الحسابية الحاسوبية تقريبية، معبرًا عنها بعدد محدود من الأرقام المعنوية، على الرغم من إمكانية برمجتها لإنتاج نتائج أكثر دقة. ^{[ 81 ]}

إذا نُظر إلى المساواة التقريبية على أنها علاقة ثنائية (يرمز لها بالرمز${\displaystyle \approx }$في حالة العلاقة بين الأعداد الحقيقية أو غيرها، فإن أي تعريف دقيق لها لن يكون علاقة تكافؤ، نظرًا لعدم كونها علاقة متعدية. وينطبق هذا حتى عند نمذجتها كعلاقة ضبابية . ^{[ 82 ]}

في علم الحاسوب ، يُعبَّر عن المساواة باستخدام عوامل المقارنة . في الحواسيب، تحدّ القيود الفيزيائية بشكلٍ أساسي من مستوى الدقة التي يمكن بها تمثيل الأعداد. لذا، غالبًا ما تُقارب الأعداد الحقيقية بأعداد الفاصلة العائمة . يُمثَّل كل عدد من أعداد الفاصلة العائمة بجزءٍ دالٍّ - يتألف من سلسلة أرقام ثابتة الطول في أساسٍ مُحدد - يُضرب في أسٍّ صحيح لهذا الأساس، مما يسمح فعليًا للفاصلة العشرية بالتحرك بين كل موقعٍ مُمكن في الجزء الدال. هذا يسمح بتمثيل أعدادٍ تغطي نطاقاتٍ واسعة من المقادير، ولكن فقط كنطاقاتٍ غير دقيقة من القيم التي تقل دقتها كلما زادت قيمتها. ^{[ 83 ]} لتجنب فقدان الدقة، من الشائع تمثيل الأعداد الحقيقية في الحواسيب على شكل تعبيرٍ يدل على العدد الحقيقي. مع ذلك، من المعروف أن مسألة تساوي عددين حقيقيين مُعطى بتعبير رياضي غير قابلة للحسم (وتحديدًا، الأعداد الحقيقية المُعرّفة بتعبيرات رياضية تتضمن الأعداد الصحيحة ، والعمليات الحسابية الأساسية ، واللوغاريتم ، والدالة الأسية ). بعبارة أخرى، لا يمكن أن توجد أي خوارزمية لحسم مثل هذا التساوي (انظر نظرية ريتشاردسون ). ^{[ 84 ]}

علاقة التكافؤ هي علاقة رياضية تعمم فكرة التشابه أو التماثل. وهي تُعرَّف على مجموعة.${\displaystyle X}$كعلاقة ثنائية${\displaystyle \sim }$الذي يحقق الخصائص الثلاث: الانعكاسية ، والتناظر ، والتعدي . الانعكاسية تعني أن كل عنصر في${\displaystyle X}$هو مكافئ لنفسه (${\displaystyle a\sim a}$للجميع${\displaystyle a\in X}$). يتطلب التناظر أنه إذا كان أحد العناصر مكافئًا لعنصر آخر، فإن العكس صحيح أيضًا (${\displaystyle a\sim b\implies b\sim a}$تضمن خاصية التعدي أنه إذا كان أحد العناصر مكافئًا لعنصر ثانٍ، والثاني لعنصر ثالث، فإن الأول يكون مكافئًا للثالث.${\displaystyle a\sim b}$و${\displaystyle b\sim c\implies a\sim c}$^{[ 85 ]} هذه الخصائص كافية لتقسيم مجموعة إلى فئات تكافؤ منفصلة . وعلى العكس من ذلك ، يُعرّف كل تقسيم فئة تكافؤ. ^{[ 86 ]}

تُعد علاقة التكافؤ للمساواة حالة خاصة، كما هو الحال إذا اقتصرت على مجموعة معينة.${\displaystyle S,}$إنها علاقة التكافؤ الأكثر صرامة على${\displaystyle S}$على وجه التحديد، تقسم المساواة مجموعةً إلى فئات تكافؤ تتكون من جميع المجموعات الفردية . ^{[ 86 ]} أما علاقات التكافؤ الأخرى، لكونها أقل تقييدًا، فتعمم المساواة بتحديد العناصر بناءً على خصائص أو تحويلات مشتركة، مثل التطابق في الحساب النمطي أو التشابه في الهندسة . ^{[ 87 ] [ 88 ]}

في الرياضيات، وخاصة في الجبر المجرد ونظرية الفئات ، من الشائع التعامل مع كائنات تمتلك بالفعل بنية داخلية . يصف التشاكل نوعًا من التطابق الذي يحافظ على البنية بين كائنين، مما يثبت أنهما متطابقان جوهريًا في بنيتهما أو خصائصهما. ^{[ 90 ] [ 91 ]}

بصورة أكثر رسمية، التشاكل هو تطبيق تقابلي ( أو مورفيزم ).${\displaystyle f}$بين مجموعتين أو هيكلين${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$بحيث${\displaystyle f}$وعكسه${\displaystyle f^{-1}}$الحفاظ على العمليات أو العلاقات أو الدوال المعرفة على تلك الهياكل. ^{[ 90 ]} وهذا يعني أن أي عملية أو علاقة صالحة في${\displaystyle A}$يتوافق تمامًا مع العملية أو العلاقة في${\displaystyle B}$تحت تأثير التطبيق. على سبيل المثال، في نظرية الزمر ، تماثل الزمر${\displaystyle f:G\mapsto H}$يرضي${\displaystyle f(a*b)=f(a)*f(b)}$لجميع العناصر${\displaystyle a,b,}$أين${\displaystyle *}$^{[ 92 ]} يشير إلى عملية المجموعة.

عندما يكون كائنان أو نظامان متماثلين، يُعتبران غير قابلين للتمييز من حيث بنيتهما الداخلية، حتى وإن اختلفت عناصرهما أو تمثيلاتهما. على سبيل المثال، جميع المجموعات الدورية من الرتبة${\displaystyle \infty }$متماثلة مع الأعداد الصحيحة،${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$مع الجمع. ^{[ 93 ]} وبالمثل، في الجبر الخطي ، يكون فضاءان متجهان متماثلين إذا كان لهما نفس البعد ، حيث يوجد تقابل خطي بين عناصرهما. ^{[ 94 ]}

عند تعريف كائنات مثل تلك المذكورة أعلاه بدلالة خصائصها التطبيقية (أي الخصائص الشاملة )، يكون أي كائنين من هذا النوع متماثلين بشكل فريد. يبقى السؤال مطروحًا حول ما إذا كان ينبغي اعتبارهما نفس الكائن (الفريد) ومتساويين، حتى لو اختلفت بنيتهما المادية. يُمارس هذا الأمر أحيانًا ضمنيًا في الأدبيات الرياضية عند تحديد هذه الكائنات وربطها باستخدام علامة المساواة (=)، مما يُخفي في بعض الحالات مسائل تقنية قد تتطلب تحققًا (قد يكون شاقًا). مع ذلك، أدت هذه الممارسة إلى صعوبات عند التحقق رسميًا من البراهين التي تؤكد هذه "المساواة" باستخدام برامج مساعدة البرهان . ^{[ 95 ]}

يمتد مفهوم التشاكل إلى فروع عديدة من الرياضيات، بما في ذلك نظرية المخططات ( تشاكل المخططات )، والطوبولوجيا ( التشاكل الموضعي )، والجبر ( تشاكل الزمر والحلقات )، وغيرها. تُسهّل التشاكلات تصنيف الكيانات الرياضية، وتُمكّن من نقل النتائج والتقنيات بين الأنظمة المتشابهة. وكان سدّ الفجوة بين التشاكل والمساواة أحد دوافع تطوير نظرية الفئات ، وكذلك نظرية نوع التماثل والأسس أحادية التكافؤ . ^{[ 96 ] [ 97 ] [ 98 ]}

في الهندسة ، يُقال رسميًا إن شكلين متساويان إذا احتوا على نفس النقاط تمامًا . مع ذلك، تاريخيًا، كان يُنظر إلى التساوي الهندسي على أنه أوسع بكثير. استخدم إقليدس وأرخميدس مصطلح "متساوٍ" ( ἴσος isos ) غالبًا للإشارة إلى الأشكال ذات المساحة نفسها أو تلك التي يمكن قصها وإعادة ترتيبها لتكوين شكل آخر. على سبيل المثال، نصّ إقليدس على نظرية فيثاغورس على أنها "مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين"، وقال أرخميدس إن "الدائرة تساوي المستطيل الذي طول ضلعيه نصف القطر ونصف المحيط". ^{[ 99 ]} (انظر مساحة الدائرة § برهان إعادة الترتيب ). 

استمر هذا المفهوم حتى عام 1867 ، عندما قدم أدريان ماري ليجندر مصطلح "متكافئ" لوصف الأشكال ذات المساحة المتساوية، وحصر استخدام "متساوٍ" بمعنى " متطابق " - أي له نفس الشكل والحجم ، أو إذا كان لأحدهما نفس الشكل والحجم كصورة معكوسة للآخر. ^{[ 100 ] [ 101 ]} استمر استخدام مصطلحات إقليدس في عمل ديفيد هيلبرت في كتابه "أسس الهندسة" ، الذي طور أفكار إقليدس بشكل أكبر من خلال تقديم مفهومي "المضلعات المتساوية قابلاً للقسمة" ( zerlegungsgleich ) إذا أمكن تقسيمها إلى عدد محدود من المثلثات المتطابقة، و"المضلعات المتساوية في المحتوى" ( inhaltsgleichheit ) إذا أمكن إضافة عدد محدود من المضلعات المتساوية قابلاً للقسمة إلى كل مضلع بحيث تكون المضلعات الناتجة متساوية قابلاً للقسمة. ^{[ 102 ]}

بعد ظهور نظرية المجموعات، في ستينيات القرن العشرين تقريبًا، ظهرت حركة إصلاحية في تعليم الرياضيات عُرفت باسم " الرياضيات الجديدة "، وذلك على خطى أندريه كولموغوروف ، الذي اقترح، في محاولة لإعادة هيكلة مناهج الهندسة الروسية، تقديم الهندسة من منظور التحويلات ونظرية المجموعات. ولأن الشكل كان يُنظر إليه كمجموعة من النقاط، فإنه لا يمكن أن يكون مساويًا إلا لنفسه، ونتيجةً لأفكار كولموغوروف، أصبح مصطلح "متطابق" هو ​​المصطلح الشائع في المدارس للأشكال التي كانت تُسمى سابقًا "متساوية"، مما ساهم في انتشار هذا المصطلح. ^{[ 103 ]}

على الرغم من أن إقليدس تناول مسألة التناسب والأشكال المتشابهة، إلا أن مفهوم التشابه لم يُصاغ بشكله الحديث إلا في القرن السابع عشر. الأشكال المتشابهة هي تلك التي لها نفس الشكل ولكنها قد تختلف في الحجم؛ ويمكن تحويلها إلى بعضها البعض عن طريق تغيير الحجم والتطابق. ^{[ 104 ]} وفي وقت لاحق ، طرح جوستو بيلافيتيس مفهوم تساوي القطع المستقيمة الموجهة ، أو ما يُعرف بتكافؤ القوى ، عام 1835. ^{[ 105 ]}