تدوين بناء المجموعات

📅 آخر تحديث: ٢١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 49 صور
الموسوعة الحرة

{ن|∃ك∈Z،ن=2ك}{\displaystyle \{n\mid \exists k\in \mathbb {Z} ,n=2k\}}

— مجموعة جميع الأعداد الزوجية ، معبر عنها باستخدام تدوين بناء المجموعة.

في الرياضيات، وتحديدًا في نظرية المجموعات ، يُستخدم ترميز بناء المجموعة لتحديد مجموعة ما من خلال خاصية تميز عناصرها. [ 1 ] أما ترميز القائمة فهو ترميز مشابه يُستخدم لتحديد مجموعة ما عن طريق تعداد عناصرها.

يسمح مخطط المواصفات بتحديد المجموعات باستخدام خصائص أعضائها . ويُعرف هذا أيضاً باسم فهم المجموعات وتجريد المجموعات .

المجموعات المحددة بواسطة مسند

يمكن استخدام ترميز بناء المجموعة لوصف مجموعة مُعرَّفة بواسطة مُسند ، أي صيغة منطقية تُقيَّم إلى صحيح لعنصر من عناصر المجموعة، وخاطئة فيما عدا ذلك. [ 2 ] في هذا الشكل، يتكون ترميز بناء المجموعة من ثلاثة أجزاء: متغير، وفاصل (نقطتان رأسيتان أو خط عمودي) ، ومُسند. بالتالي، يوجد متغير على يسار الفاصل، وقاعدة على يمينه. تُحاط هذه الأجزاء الثلاثة بأقواس معقوفة.

{x|Φ(x)}{\displaystyle \{x\mid \Phi (x)\}}

أو

{x:Φ(x)}.{\displaystyle \{x\colon \Phi (x)\}.}

الخط العمودي (أو النقطتان الرأسيتان) هو فاصل يمكن قراءته على أنه " بحيث "، أو "لأن"، أو "مع الخاصية التي". تُسمى الصيغة Φ ( x ) بالقاعدة أو المسند . جميع قيم x التي يتحقق عندها المسند (يكون صحيحًا) تنتمي إلى المجموعة المُعرَّفة. جميع قيم x التي لا يتحقق عندها المسند لا تنتمي إلى المجموعة.{x|Φ(x)}{\displaystyle \{x\mid \Phi (x)\}}هي مجموعة جميع قيم x التي تحقق الصيغة Φ . [ 3 ] قد تكون المجموعة فارغة ، إذا لم تحقق أي قيمة من قيم x الصيغة.

تحديد النطاق

يمكن أن يظهر المجال E - أي مجموعة تحدد لها الرموز مجموعة فرعية - على يسار الشريط العمودي: [ 4 ]

{x∈هـ|Φ(x)}،{\displaystyle \{x\in E\mid \Phi (x)\},}

أو عن طريق إلحاقها بالمسند:

{x|x∈هـ و Φ(x)}أو{x|x∈هـ∧Φ(x)}.{\displaystyle \{x\mid x\in E{\text{ and }}\Phi (x)\}\quad {\text{or}}\quad \{x\mid x\in E\land \Phi (x)\}.}

(الرمز ⁠∈{\displaystyle \in }يشير الرمز ⁠ إلى عضوية المجموعة ، والرمز∧{\displaystyle \land }يرمز إلى عامل الربط المنطقي (و ). يمثل هذا الترميز مجموعة جميع قيم x التي تنتمي إلى المجموعة E والتي يكون عندها المسند صحيحًا. تضمن بديهية المجموعة الجزئية أنه إذا كانت E مجموعة وΦ{\displaystyle \Phi }إذا كان ⁠ مسندًا، فإن الترميز يُعرّف دائمًا مجموعة، وهي مجموعة جزئية من E.Φ(x){\displaystyle \Phi (x)}له الشكلΦ1(x)∧Φ2(x){\displaystyle \Phi _{1}(x)\land \Phi _{2}(x)}، ثم{x∈هـ|Φ(x)}{\displaystyle \{x\in E\mid \Phi (x)\}}يُكتب أحيانًا{x∈هـ|Φ1(x)،Φ2(x)}{\displaystyle \{x\in E\mid \Phi _{1}(x),\Phi _{2}(x)\}}، باستخدام الفاصلة بدلاً من الرمز∧{\displaystyle \land }.

في الحالات التي تكون فيها المجموعة E واضحة من السياق، قد لا يتم تحديدها صراحةً. من الشائع في الأدبيات أن يذكر المؤلف المجال مسبقًا، ثم لا يحدده في تدوين بناء المجموعة. على سبيل المثال، قد يقول المؤلف شيئًا مثل: "ما لم يُذكر خلاف ذلك، تُعتبر المتغيرات أعدادًا طبيعية"، مع أن الإشارة المكتوبة غالبًا ما تكون غير ضرورية في السياقات الأقل رسمية حيث يمكن افتراض المجال.

في الحالات التي لا يكون فيها المجال E مُعرَّفًا (ضمنًا أو صراحةً)، قد يحدث أن الترميز لا يُعرِّف مجموعة، بل فئةً حقيقية . [ 5 ] على سبيل المثال، تُظهر مفارقة راسل أن التعبير{x|x∉x}،{\displaystyle \{x\mid x\not \in x\},}على الرغم من أنها تبدو جيدة التكوين كتعبير لبناء مجموعة، إلا أنها لا تستطيع تعريف مجموعة دون إنتاج تناقض. [ 6 ]

في بعض الحالات، قد يُعرّف الترميز مجموعةً ليست مجموعةً جزئيةً من مجموعةٍ مُعرّفةٍ سابقًا. هذا هو حال مجموعة القوى لمجموعة E ، والتي تُعرّف على النحو التالي: P(هـ)={x|x⊂هـ}={x|y∈x⟹y∈هـ}.{\displaystyle {\mathcal {P}}(E)=\{x\mid x\subset E\}=\{x\mid y\in x\implies y\in E\}.} إن حقيقة أن هذا يحدد مجموعة هي بديهية في نظرية المجموعات، وتسمى بديهية مجموعة القوى .

أمثلة

توضح الأمثلة التالية مجموعات محددة مُعرَّفة باستخدام ترميز بناء المجموعات عبر المسندات. في كل حالة، يتم تحديد المجال على الجانب الأيسر من الخط العمودي، بينما يتم تحديد القاعدة على الجانب الأيمن.

  • {x∈R|x>0}{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \mid x>0\}}هي مجموعة جميع الأعداد الحقيقية الموجبة تمامًا ، والتي يمكن كتابتها باستخدام ترميز الفترة على النحو التالي:(0،∞){\displaystyle (0,\infty )}.
  • {x∈R||x|=1}{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \mid |x|=1\}}هي المجموعة{-1،1}{\displaystyle \{-1,1\}}ويمكن تعريف هذه المجموعة أيضًا على النحو التالي:{x∈R|x2=1}{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \mid x^{2}=1\}}انظر أدناه إلى المسندات المتكافئة التي تُنتج مجموعات متساوية .
  • لكل عدد صحيح m ، يمكننا تعريفجيم={x∈Z|x≥م}={م،م+1،م+2،...}{\displaystyle G_{m}=\{x\in \mathbb {Z} \mid x\geq m\}=\{m,m+1,m+2,\ldots \}}على سبيل المثال،جي3={x∈Z|x≥3}={3،4،5،...}{\displaystyle G_{3}=\{x\in \mathbb {Z} \mid x\geq 3\}=\{3,4,5,\ldots \}}وجي-2={-2،-1،0،...}{\displaystyle G_{-2}=\{-2,-1,0,\ldots \}}.
  • {(x،y)∈R×R|0<y<و(x)}{\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} \mid 0<y<f(x)\}} هي مجموعة أزواج الأعداد الحقيقية التي يكون فيها y أكبر من 0 وأصغر من f ( x ) ، وذلك لدالة معينة f . هنا، الضرب الديكارتيR×R{\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }يرمز إلى مجموعة الأزواج المرتبة من الأعداد الحقيقية.
  • {ن∈شمال|(∃ك)[ك∈شمال∧ن=2ك]}{\displaystyle \{n\in \mathbb {N} \mid (\exists k)[k\in \mathbb {N} \land n=2k]\}}هي مجموعة جميع الأعداد الطبيعية الزوجية .∧{\displaystyle \land }يرمز الرمز ∃ إلى "و"، وهو ما يُعرف بالربط المنطقي . أما الرمز ∃ فيرمز إلى "يوجد"، وهو ما يُعرف بالتحديد الوجودي . على سبيل المثال،(∃x)P(x){\displaystyle (\exists x)P(x)}تُقرأ على النحو التالي: "يوجد x بحيث يكون P ( x ) ".
  • {ن|(∃ك∈شمال)[ن=2ك]}{\displaystyle \{n\mid (\exists k\in \mathbb {N} )[n=2k]\}}يُعدّ هذا شكلاً تدوينياً بديلاً لنفس مجموعة الأعداد الطبيعية الزوجية. ليس من الضروري تحديد أن n عدد طبيعي، إذ يُفهم ذلك ضمناً من الصيغة الموجودة على اليمين.
  • {أ∈R|(∃ص∈Z)(∃q∈Z)[q≠0∧أq=ص]}{\displaystyle \{a\in \mathbb {R} \mid (\exists p\in \mathbb {Z} )(\exists q\in \mathbb {Z} )[q\not =0\land aq=p]\}}هي مجموعة الأعداد النسبية ؛ أي الأعداد الحقيقية التي يمكن كتابتها كنسبة بين عددين صحيحين .

تعبيرات أكثر تعقيدًا على الجانب الأيسر من الترميز

يستبدل امتداد تدوين بناء المجموعة المتغير الوحيد x بتعبير . لذا بدلاً من {x|Φ(x)}{\displaystyle \{x\mid \Phi (x)\}}ربما يكون لدينا{و(x)|Φ(x)}،{\displaystyle \{f(x)\mid \Phi (x)\},}والتي ينبغي قراءتها

{و(x)|Φ(x)}={y|∃x(y=و(x)∧Φ(x))}{\displaystyle \{f(x)\mid \Phi (x)\}=\{y\mid \exists x(y=f(x)\wedge \Phi (x))\}}.

على سبيل المثال:

  • {2ن|ن∈شمال}{\displaystyle \{2n\mid n\in \mathbb {N} \}}، أينشمال{\displaystyle \mathbb {N} }هي مجموعة جميع الأعداد الطبيعية، وهي مجموعة جميع الأعداد الطبيعية الزوجية.
  • {ص/q|ص،q∈Z،q≠0}{\displaystyle \{p/q\mid p,q\in \mathbb {Z} ,q\not =0\}}، أينZ{\displaystyle \mathbb {Z} }هي مجموعة جميع الأعداد الصحيحة، هيسؤال،{\displaystyle \mathbb {Q} ,}مجموعة جميع الأعداد النسبية.
  • {2ت+1|ت∈Z}{\displaystyle \{2t+1\mid t\in \mathbb {Z} \}}هي مجموعة الأعداد الفردية.
  • {(ت،2ت+1)|ت∈Z}{\displaystyle \{(t,2t+1)\mid t\in \mathbb {Z} \}} يقوم بإنشاء مجموعة من الأزواج، حيث يضع كل زوج عددًا صحيحًا في مقابل عدد صحيح فردي.

عندما يمكن التعبير عن الدوال العكسية بشكل صريح، يمكن حذف التعبير الموجود على اليسار من خلال التعويض البسيط. لنأخذ مجموعة الأمثلة التالية{2ت+1|ت∈Z}{\displaystyle \{2t+1\mid t\in \mathbb {Z} \}}قم بإجراء الاستبدالu=2ت+1{\displaystyle u=2t+1}وهذا يعنيت=(u-1)/2{\displaystyle t=(u-1)/2}ثم استبدل t في تدوين بناء المجموعة لإيجاد

{2ت+1|ت∈Z}={u|(u-1)/2∈Z}.{\displaystyle \{2t+1\mid t\in \mathbb {Z} \}=\{u\mid (u-1)/2\in \mathbb {Z} \}.}

تؤدي المسندات المتكافئة إلى مجموعات متساوية

تتساوى مجموعتان إذا وفقط إذا كانتا تحتويان على نفس العناصر. وتتساوى المجموعات المعرفة باستخدام ترميز بناء المجموعات إذا وفقط إذا كانت قواعد بناء المجموعات الخاصة بها، بما في ذلك محددات المجال، متكافئة.

{x∈أ|P(x)}={x∈ب|سؤال(x)}{\displaystyle \{x\in A\mid P(x)\}=\{x\in B\mid Q(x)\}}

إذا وفقط إذا

(∀ت)[(ت∈أ∧P(ت))⇔(ت∈ب∧سؤال(ت))]{\displaystyle (\forall t)[(t\in A\land P(t))\Leftrightarrow (t\in B\land Q(t))]}.

لذلك، من أجل إثبات مساواة مجموعتين معرفتين بواسطة تدوين بناء المجموعة، يكفي إثبات تكافؤ مسنداتهما، بما في ذلك محددات المجال.

على سبيل المثال،

{x∈R|x2=1}={x∈سؤال||x|=1}{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \mid x^{2}=1\}=\{x\in \mathbb {Q} \mid |x|=1\}}

لأن المسندين الشرطيين متكافئان منطقياً:

(x∈R∧x2=1)⇔(x∈سؤال∧|x|=1).{\displaystyle (x\in \mathbb {R} \land x^{2}=1)\Leftrightarrow (x\in \mathbb {Q} \land |x|=1).}

هذا التكافؤ صحيح لأنه، لأي عدد حقيقي x ، لديناx2=1{\displaystyle x^{2}=1}إذا وفقط إذا كان x عددًا نسبيًا|x|=1{\displaystyle |x|=1}وبالتحديد، فإن المجموعتين متساويتان مع المجموعة{-1،1}{\displaystyle \{-1,1\}}.

مسلمة وجود المجموعة

في العديد من نظريات المجموعات الرسمية، مثل نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات ، لا يُعدّ ترميز بناء المجموعة جزءًا من الصيغة الرسمية للنظرية. بدلاً من ذلك، يوجد مخطط بديهي لوجود المجموعة ، ينص على أنه إذا كانت E مجموعة و Φ( x ) صيغة في لغة نظرية المجموعات، فإنه توجد مجموعة Y عناصرها هي بالضبط عناصر E التي تحقق Φ .

(∀هـ)(∃Y)(∀x)[x∈Y⇔x∈هـ∧Φ(x)].{\displaystyle (\forall E)(\exists Y)(\forall x)[x\in Y\Leftrightarrow x\in E\land \Phi (x)].}

إن المجموعة Y التي تم الحصول عليها من هذه البديهية هي بالضبط المجموعة الموصوفة في تدوين بناء المجموعة على النحو التالي:{x∈هـ|Φ(x)}{\displaystyle \{x\in E\mid \Phi (x)\}}.

في لغات البرمجة

هناك طريقة تدوين مماثلة متاحة في عدد من لغات البرمجة (لا سيما بايثون وهاسكل ) وهي فهم القوائم ، والتي تجمع بين عمليات الخريطة والتصفية على قائمة واحدة أو أكثر .

في لغة بايثون، تُستبدل الأقواس المعقوفة في مُنشئ المجموعة بأقواس مربعة أو أقواس عادية أو أقواس معقوفة، مما يُنتج كائنات القائمة والمولد والمجموعة على التوالي. تستخدم بايثون بنيةً مبنيةً على اللغة الإنجليزية. أما لغة هاسكل، فتستبدل الأقواس المعقوفة في مُنشئ المجموعة بأقواس مربعة وتستخدم رموزًا، بما في ذلك الخط العمودي القياسي لمنشئ المجموعة.

يمكن تحقيق نفس الشيء في لغة سكالا باستخدام تسلسل الفهم، حيث تُعيد الكلمة المفتاحية "for" قائمة بالمتغيرات الناتجة باستخدام الكلمة المفتاحية "yield". [ 7 ]

انظر إلى أمثلة تدوين بناء المجموعات هذه في بعض لغات البرمجة:

المثال 1المثال 2
مُنشئ المجموعات{ل | ل∈ل}{\displaystyle \{l\ |\ l\in L\}}{(ك،x) | ك∈ك∧x∈X∧P(x)}{\displaystyle \{(k,x)\ |\ k\in K\wedge x\in X\wedge P(x)\}}
بايثون
{ l for l in L }
{( k , x ) لكل k في K لكل x في X إذا كان P ( x )}
هاسكل
[ l | l <- ls ]
[( k , x ) | k <- ks , x <- xs , p x ]
سكالا
for ( l <- L ) yield l
for ( k <- K ; x <- X if P ( x )) yield ( k , x )
سي شارب
من l في L اختر l
من k في K من x في X حيث P ( x ) اختر ( k ، x )
SQL
حدد l من L_set
حدد k و x من K_set و X_set حيث P ( x )
مقدمة
مجموعة ( L ، عضو ( L ، Ls )، النتيجة )
مجموعة (( K , X ),( عضو ( K , Ks ), عضو ( X , Xs ), استدعاء ( P , X )), النتيجة )
إرلانغ
[ L || L <- Ls ]
[{ K , X } || K <- Ks , X <- Xs , p ( X )]
جوليا
[ l for l ∈ L ]
[( k , x ) لـ k ∈ K لـ x ∈ X إذا كان P ( x )]
ماثيماتيكا
( l |-> l ) /@ L
الحالات [ الصفوف [{ K , X }], { k_ , x_ } /; P [ x ]]Tuples [{ K , Select [ X , P ]}]

إن تدوين بناء المجموعة وتدوين فهم القائمة كلاهما مثالان على تدوين أكثر عمومية يُعرف باسم فهم الموناد ، والذي يسمح بعمليات تشبه الخريطة/التصفية على أي موناد بعنصر صفري .

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ روزن، كينيث (2007). الرياضيات المتقطعة وتطبيقاتها (الطبعة السادسة  ). نيويورك، نيويورك: ماكجرو هيل. الصفحات 111-112 . ISBN  978-0-07-288008-3.
  2. ↑ مايكل جيه كولينان، 2012، الانتقال إلى الرياضيات مع البراهين ، جونز وبارتليت، ص 44 وما بعدها.
  3. ↑ وايسشتاين، إريك و. "مجموعة" . mathworld.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 20 أغسطس 2020 .
  4. ↑ "تدوين بناء المجموعات" . mathsisfun.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 20 أغسطس 2020 .
  5. ↑ ريتشارد إس. بيرس (1968) مقدمة في نظرية الجبر المجرد ، صفحة 2
  6. ↑ إيرفين، أندرو ديفيد؛ دويتش، هاري (9 أكتوبر 2016) [1995]. "مفارقة راسل" . موسوعة ستانفورد للفلسفة . تم الاطلاع عليه بتاريخ 6 أغسطس 2017 .
  7. ↑ "فهم التسلسلات" . سكالا . تم الاسترجاع في 6 أغسطس 2017 .