نظرية شيل

في الميكانيكا الكلاسيكية ، تُقدّم نظرية الغلاف تبسيطاتٍ للجاذبية يُمكن تطبيقها على الأجسام داخل أو خارج جسمٍ متناظرٍ كرويًا . لهذه النظرية تطبيقاتٌ خاصةٌ في علم الفلك .

أثبت إسحاق نيوتن نظرية شيل ^{[ 1 ]} وذكر أن:

1. يؤثر الجسم المتناظر كرويًا على الأجسام الخارجية جاذبيًا كما لو أن كل كتلته تتركز في نقطة في مركزه.
2. إذا كان الجسم عبارة عن غلاف متناظر كرويًا (أي كرة مجوفة)، فلن يمارس الغلاف أي قوة جاذبية صافية على أي جسم بداخله، بغض النظر عن موقع الجسم داخل الغلاف.

ومن النتائج المترتبة على ذلك أنه داخل كرة صلبة ذات كثافة ثابتة، تتغير قوة الجاذبية داخل الجسم خطيًا مع المسافة من المركز، وتصبح صفرًا بسبب التناظر عند مركز الكتلة . ويمكن توضيح ذلك على النحو التالي: خذ نقطة داخل هذه الكرة، على مسافة${\displaystyle r}$من مركز الكرة. عندئذٍ، يمكنك تجاهل جميع الأغلفة ذات نصف القطر الأكبر، وفقًا لنظرية الأغلفة (2). ولكن يمكن اعتبار النقطة خارجية بالنسبة للكرة المتبقية ذات نصف القطر r، ووفقًا لـ (1) يمكن اعتبار كل كتلة هذه الكرة مركزة في مركزها. الكتلة المتبقية${\displaystyle m}$يتناسب مع${\displaystyle r^{3}}$(لأنها تعتمد على الحجم). ستكون قوة الجاذبية المؤثرة على جسم عند نصف قطر r متناسبة مع${\displaystyle m/r^{2}}$( قانون التربيع العكسي )، لذا فإن التأثير الجاذبي الكلي يتناسب مع${\displaystyle r^{3}/r^{2}=r}$، لذا فهو خطي في${\displaystyle r}$.

كانت هذه النتائج مهمة لتحليل نيوتن لحركة الكواكب؛ فهي ليست واضحة للعيان، ولكن يمكن إثباتها باستخدام حساب التفاضل والتكامل . ( يقدم قانون جاوس للجاذبية طريقة بديلة لصياغة النظرية).

إضافةً إلى الجاذبية ، يمكن استخدام نظرية الغلاف لوصف المجال الكهربائي الناتج عن كثافة شحنة ثابتة متناظرة كرويًا ، أو بالمثل لأي تفاعل آخر تتبع قوته قانون التربيع العكسي . تركز الاشتقاقات أدناه على الجاذبية، ولكن يمكن تعميم النتائج بسهولة لتشمل القوة الكهروستاتيكية .

لإثبات نظرية نيوتن للأغلفة (1)، ثلاث خطوات. أولًا، تُشتق معادلة مجال الجاذبية الناتج عن حلقة ذات كتلة. ثم، بترتيب عدد لا نهائي من الحلقات الرقيقة جدًا لتكوين قرص، تُستخدم هذه المعادلة لإيجاد مجال الجاذبية الناتج عن القرص. وأخيرًا، بترتيب عدد لا نهائي من الأقراص الرقيقة جدًا لتكوين كرة، تُستخدم هذه المعادلة لإيجاد مجال الجاذبية الناتج عن الكرة.

المجال الجاذبي${\displaystyle E}$في منصب يسمى${\displaystyle P}$في${\displaystyle (x,y)=(-p,0)}$على المحور السيني بسبب نقطة كتلة${\displaystyle M}$الأصل هو$${\displaystyle E_{\text{point}}={\frac {GM}{p^{2}}}}$$ لنفترض أن هذه الكتلة تحركت لأعلى على طول المحور y إلى النقطة${\displaystyle (0,R)}$المسافة بين${\displaystyle P}$وأصبحت الكتلة النقطية الآن أطول من ذي قبل؛ لتصبح وتر المثلث القائم الزاوية ذي الساقين${\displaystyle p}$و${\displaystyle R}$وهو${\textstyle {\sqrt {p^{2}+R^{2}}}}$وبالتالي ، فإن مجال الجاذبية للنقطة المرتفعة هو: $${\displaystyle E_{\text{النقطة المرتفعة}}={\frac {GM}{p^{2}+R^{2}}}}$$

مقدار مجال الجاذبية الذي من شأنه أن يجذب جسيمًا عند نقطة${\displaystyle P}$في اتجاه المحور السيني ، يكون مجال الجاذبية مضروبًا في${\displaystyle \cos(\theta )}$أين${\displaystyle \theta }$هي الزاوية المجاورة للمحور السيني . في هذه الحالة،${\displaystyle \cos(\theta )={\frac {p}{\sqrt {p^{2}+R^{2}}}}}$وبالتالي ، فإن مقدار مجال الجاذبية في الاتجاه السيني ،${\displaystyle E_{x}}$يكون: $${\displaystyle E_{x}={\frac {GM\cos {\theta }}{p^{2}+R^{2}}}}$$ استبدال في${\displaystyle \cos(\theta )}$أعطِ $${\displaystyle E_{x}={\frac {GMp}{\left(p^{2}+R^{2}\right)^{3/2}}}}$$ لنفترض أن هذه الكتلة موزعة بالتساوي في حلقة مركزها نقطة الأصل ونقطة المواجهة${\displaystyle P}$بنفس نصف القطر${\displaystyle R}$بما أن الكتلة بأكملها تقع بنفس الزاوية بالنسبة للمحور السيني ، والمسافة بين النقاط على الحلقة هي نفسها كما كانت من قبل، فإن مجال الجاذبية في اتجاه المحور السيني عند النقطة${\displaystyle P}$بسبب الحلقة، فإنها تشبه كتلة نقطية تقع في نقطة${\displaystyle R}$الوحدات أعلى المحور الصادي : $${\displaystyle E_{\text{ring}}={\frac {GMp}{\left(p^{2}+R^{2}\right)^{3/2}}}}$$

لإيجاد مجال الجاذبية عند النقطة${\displaystyle P}$بسبب قرص، عدد لا نهائي من الحلقات الرقيقة للغاية المواجهة${\displaystyle P}$، كل منها بنصف قطر${\displaystyle y}$عرض​${\displaystyle dy}$، وكتلة${\displaystyle dM}$يمكن وضعها داخل بعضها البعض لتشكيل قرص. كتلة أي حلقة من الحلقات${\displaystyle dM}$كتلة القرص مضروبة في نسبة مساحة الحلقة${\displaystyle 2\pi y\,dy}$إلى المساحة الكلية للقرص${\displaystyle \pi R^{2}}$. لذا،${\textstyle dM={\frac {M\cdot 2y\,dy}{R^{2}}}}$وبالتالي ، فإن تغييراً طفيفاً في مجال الجاذبية،${\displaystyle E}$يكون: $${\displaystyle dE={\frac {Gp\,dM}{(p^{2}+y^{2})^{3/2}}}}$$

استبدال في${\displaystyle dM}$وبإجراء التكامل على كلا الجانبين نحصل على مجال الجاذبية للقرص: $${\displaystyle E=\int {\frac {GMp\cdot {\frac {2y\,dy}{R^{2}}}}{(p^{2}+y^{2})^{3/2}}}}$$ بجمع مساهمة كل حلقة من هذه الحلقات في مجال الجاذبية، نحصل على تعبير مجال الجاذبية الناتج عن قرص. وهذا يكافئ تكامل التعبير أعلاه من${\displaystyle y=0}$ل${\displaystyle y=R}$، مما أدى إلى: $${\displaystyle E_{\text{disc}}={\frac {2GM}{R^{2}}}\left(1-{\frac {p}{\sqrt {p^{2}+R^{2}}}}\right)}$$ لإيجاد مجال الجاذبية عند النقطة${\displaystyle P}$بسبب كرة مركزها نقطة الأصل، عدد لا نهائي من الأقراص الرقيقة للغاية المواجهة${\displaystyle P}$، كل منها بنصف قطر${\displaystyle R}$عرض​${\displaystyle dx}$، وكتلة${\displaystyle dM}$يمكن وضعها معًا.

أنصاف أقطار هذه الأقراص${\displaystyle R}$اتبع ارتفاع المقطع العرضي للكرة (ذات نصف قطر ثابت)${\displaystyle a}$) وهي معادلة نصف دائرة:$R = √(a² - x²)$.${\displaystyle x}$يختلف من${\displaystyle -a}$ل${\displaystyle a}$.

كتلة أي من الأقراص${\displaystyle dM}$كتلة الكرة${\displaystyle M}$مضروبًا في نسبة حجم قرص رقيق للغاية مقسومًا على حجم كرة (ذات نصف قطر ثابت)${\displaystyle a}$حجم قرص رقيق للغاية هو${\displaystyle \pi R^{2}\,dx}$، أو${\textstyle \pi \left(a^{2}-x^{2}\right)dx}$. لذا،${\textstyle dM={\frac {\pi M(a^{2}-x^{2})\,dx}{{\frac {4}{3}}\pi a^{3}}}}$التبسيط  يعطي${\textstyle dM={\frac {3M(a^{2}-x^{2})\,dx}{4a^{3}}}}$.

موقع كل قرص بعيدًا عن${\displaystyle P}$سيختلف ذلك باختلاف موقعه داخل "الكرة" المصنوعة من الأقراص، لذلك${\displaystyle p}$يجب استبدالها بـ${\displaystyle p+x}$.

استبدال${\displaystyle M}$مع${\displaystyle dM}$،${\displaystyle R}$مع${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}$، و${\displaystyle p}$مع${\displaystyle p+x}$ينتج عن معادلة "القرص" ما يلي: $${\displaystyle dE={\frac {\left({\frac {2G\left[3M\left(a^{2}-x^{2}\right)\right]}{4a^{3}}}\right)}{{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}^{2}}}\cdot \left(1-{\frac {p+x}{\sqrt {(p+x)^{2}+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}^{2}}}}\right)\,dx}$$ التبسيط، $${\displaystyle \int dE=\int _{-a}^{a}{\frac {3GM}{2a^{3}}}\left(1-{\frac {p+x}{\sqrt {p^{2}+a^{2}+2px}}}\right)dx}$$ دمج مجال الجاذبية لكل قرص رقيق من${\displaystyle x=-a}$ل${\displaystyle x=+a}$بالنسبة إلى${\displaystyle x}$وبإجراء بعض العمليات الجبرية الدقيقة، ينتج عنه نظرية نيوتن للأغلفة: $${\displaystyle E={\frac {GM}{p^{2}}}}$$ أين${\displaystyle p}$هي المسافة بين مركز الكتلة الكروية ونقطة عشوائية${\displaystyle P}$يمكن  حساب مجال الجاذبية لكتلة كروية من خلال التعامل مع كل الكتلة كجسيم نقطي في مركز الكرة.

يمكن نمذجة جسم صلب متناظر كرويًا على أنه عدد لا نهائي من الأغلفة الكروية متحدة المركز ، رقيقة للغاية. إذا أمكن اعتبار أحد هذه الأغلفة كتلة نقطية، فإنه يمكن أيضًا اعتبار نظام الأغلفة (أي الكرة) كتلة نقطية. لنأخذ غلافًا واحدًا من هذا النوع (يوضح الرسم التخطيطي مقطعًا عرضيًا):

(ملاحظة: الـ${\displaystyle d\theta }$يشير الرمز في الرسم التخطيطي إلى الزاوية الصغيرة، وليس إلى طول القوس . طول القوس هو${\textstyle R\,d\theta }$.)

بتطبيق قانون نيوتن للجاذبية الكونية ، يكون مجموع القوى الناتجة عن عناصر الكتلة في النطاق المظلل هو

${\displaystyle dF={\frac {Gm}{s^{2}}}dM.}$

ومع ذلك، نظرًا لوجود إلغاء جزئي بسبب الطبيعة المتجهة للقوة بالإضافة إلى تناظر الشريط الدائري، فإن المكون المتبقي (في الاتجاه المتجه نحو${\displaystyle m}$) معطى بواسطة

${\displaystyle dF_{r}={\frac {Gm}{s^{2}}}\cos(\varphi )\,dM}$

القوة الكلية المؤثرة${\displaystyle m}$إذن ، فإنّ مجموع القوة التي تبذلها جميع الأربطة هو ببساطة مجموع القوة التي تبذلها جميع الأربطة. بتقليص عرض كل رباط، وزيادة عدد الأربطة، يصبح المجموع تعبيرًا صحيحًا.

${\displaystyle F_{r}=\int dF_{r}}$

منذ${\displaystyle G}$و${\displaystyle m}$إذا كانت ثوابت، فيمكن إخراجها من التكامل:

${\displaystyle F_{r}=Gm\int {\frac {\cos(\varphi )}{s^{2}}}\,dM.}$

لتقييم هذا التكامل، يجب أولاً التعبير عن${\displaystyle dM}$كدالة لـ${\displaystyle d\theta }$

المساحة الكلية للغلاف الكروي هي

${\displaystyle 4\pi R^{2}}$

بينما مساحة سطح الشريحة الرقيقة بين${\displaystyle \theta }$و${\displaystyle \theta +d\theta }$يكون

${\displaystyle 2\pi R\sin(\theta )R\,d\theta =2\pi R^{2}\sin(\theta )\,d\theta }$

إذا كانت كتلة القذيفة${\displaystyle M}$وبالتالي ، فإن المرء يمتلك ذلك

${\displaystyle dM={\frac {2\pi R^{2}\sin(\theta )}{4\pi R^{2}}}M\,d\theta ={\frac {1}{2}}M\sin(\theta )\,d\theta }$

و

${\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{2}}\int {\frac {\sin(\theta )\cos(\varphi )}{s^{2}}}\,d\theta }$

بحسب قانون جيب التمام ،

${\displaystyle \cos(\varphi )={\frac {r^{2}+s^{2}-R^{2}}{2rs}}}$

و

${\displaystyle \cos(\theta )={\frac {r^{2}+R^{2}-s^{2}}{2rR}}.}$

تربط هاتان العلاقتان بين المعايير الثلاثة${\displaystyle \theta }$،${\displaystyle \varphi }$و${\displaystyle s}$التي تظهر معًا في التكامل.${\displaystyle \theta }$ارتفاع من${\displaystyle 0}$ل${\displaystyle \pi }$الراديان،${\displaystyle \varphi }$يتغير من القيمة الابتدائية 0 إلى قيمة قصوى قبل أن يعود في النهاية إلى الصفر عند${\displaystyle \theta =\pi }$في الوقت نفسه ،${\displaystyle s}$تزداد عن القيمة الأولية${\displaystyle r-R}$إلى القيمة النهائية${\displaystyle r+R}$مثل${\displaystyle \theta }$يزداد من 0 إلى${\displaystyle \pi }$الراديان. ويتضح ذلك في الرسوم المتحركة التالية:

(ملاحظة: كما يُرى من${\displaystyle m}$يظهر الشريط الأزرق المظلل كحلقة رقيقة تتقارب أنصاف أقطارها الداخلية والخارجية إلى${\displaystyle R\sin(\theta )}$مثل${\displaystyle d\theta }$يختفي.)

لإيجاد دالة أولية للدالة المراد تكاملها، يجب على المرء أن يقوم بـ${\displaystyle s}$متغير التكامل المستقل بدلاً من${\displaystyle \theta }$.

يؤدي إجراء التفاضل الضمني للتعبير الثاني من تعبيرات "قانون جيب التمام" المذكورة أعلاه إلى

${\displaystyle -\sin(\theta )\,d\theta ={\frac {-2s}{2rR}}\,ds}$

وبالتالي

${\displaystyle \sin(\theta )\,d\theta ={\frac {s}{rR}}\,ds.}$

ويترتب على ذلك أن

${\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{2}}{\frac {1}{rR}}\int {\frac {s\cos(\varphi )}{s^{2}}}\,ds={\frac {GMm}{2rR}}\int {\frac {\cos(\varphi )}{s}}\,ds}$

حيث متغير التكامل الجديد${\displaystyle s}$ارتفاع من${\displaystyle r-R}$ل${\displaystyle r+R}$.

إدخال التعبير لـ${\displaystyle \cos(\varphi )}$باستخدام التعبير الأول من تعبيرات "قانون جيب التمام" المذكورة أعلاه، نحصل في النهاية على ذلك

${\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{4r^{2}R}}\int \left(1+{\frac {r^{2}-R^{2}}{s^{2}}}\right)\ ds\ .}$

الدالة الأولية للدالة التكاملية هي

${\displaystyle s-{\frac {r^{2}-R^{2}}{s}}\ ,}$

وإدراج الحدود${\displaystyle r-R}$و${\displaystyle r+R}$بالنسبة لمتغير التكامل${\displaystyle s}$في هذه الدالة الأولية، نحصل على ما يلي:

${\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{r^{2}}},}$

القول بأن قوة الجاذبية هي نفسها قوة كتلة نقطية في مركز الغلاف لها نفس الكتلة.

بالنسبة لنقطة داخل الغلاف، يكمن الاختلاف في أنه عندما تكون θ مساوية للصفر، تأخذ ϕ القيمة π راديان و s القيمة R − r . وعندما تزداد θ من 0 إلى π راديان، تنخفض ϕ من القيمة الابتدائية π راديان إلى الصفر، وتزداد s من القيمة الابتدائية R − r إلى القيمة R + r .

يمكن رؤية كل هذا في الشكل التالي

إدخال هذه الحدود في الدالة الأولية

${\displaystyle s-{\frac {r^{2}-R^{2}}{s}}}$

يفهم المرء ذلك، في هذه الحالة

${\displaystyle F_{r}=0,}$

بمعنى أن قوى الجاذبية المحصلة المؤثرة على الكتلة النقطية من عناصر كتلة الغلاف، خارج نقطة القياس، تلغي بعضها بعضاً.

التعميم: إذا${\displaystyle f={\frac {k}{r^{p}}}}$، القوة الناتجة داخل الغلاف هي:

${\displaystyle F(r)={\frac {GMm}{4r^{2}R}}\int _{R-r}^{R+r}\left({\frac {1}{s^{p-2}}}+{\frac {r^{2}-R^{2}}{s^{p}}}\right)\,ds}$

النتائج المذكورة أعلاه${\displaystyle F(r)}$تكون قيمتها صفرًا تمامًا إذا وفقط إذا${\displaystyle p=2}$

خارج القشرة (أي${\displaystyle r>R}$أو${\displaystyle r<-R}$):

${\displaystyle F(r)={\frac {GMm}{4r^{2}R}}\int _{r-R}^{r+R}\left({\frac {1}{s^{p-2}}}+{\frac {r^{2}-R^{2}}{s^{p}}}\right)\,ds}$

تُعدّ نظرية الغلاف نتيجة مباشرة لقانون جاوس للجاذبية، الذي ينص على أن

${\displaystyle \int _{S}{\mathbf {g} }\cdot \,d{\mathbf {S} }=-4\pi GM}$

حيث M هي كتلة الجزء من توزيع الكتلة المتناظر كرويًا الموجود داخل الكرة ذات نصف القطر r و

${\displaystyle \int _{S}{\mathbf {g} }\cdot \,d{\mathbf {S} }=\int _{S}{\mathbf {g} }\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS}$

هو التكامل السطحي لحقل الجاذبية${\displaystyle \mathbf {g} }$على أي سطح مغلق تكون الكتلة الكلية داخله M ، متجه الوحدة${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$كونه العمودي الخارجي على السطح.

يجب أن يكون مجال الجاذبية لتوزيع كتلة متناظر كرويًا، مثل نقطة كتلة أو غلاف كروي أو كرة متجانسة، متناظرًا كرويًا أيضًا.${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$إذا كان متجه وحدة في الاتجاه من نقطة التناظر إلى نقطة أخرى، فإن مجال الجاذبية عند هذه النقطة الأخرى يجب أن يكون

${\displaystyle \mathbf {g} =g(r){\hat {\mathbf {n} }}}$

حيث تعتمد الدالة g ( r ) فقط على المسافة r إلى نقطة التناظر

باختيار السطح المغلق ككرة نصف قطرها r ومركزها عند نقطة التناظر، يكون العمودي الخارجي على نقطة على السطح،${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$، وهو تحديداً الاتجاه الذي يشير بعيداً عن نقطة تناظر توزيع الكتلة.

وبالتالي، فإن المرء يمتلك ذلك

${\displaystyle \mathbf {g} =g(r){\hat {\mathbf {n} }}}$

و

${\displaystyle \int _{S}\mathbf {g} \cdot \,d{\mathbf {S} }=g(r)\int _{S}\,dS=g(r)4\pi r^{2}}$

بما أن مساحة الكرة هي 4πr² ^.

ومن قانون جاوس يترتب على ذلك أن

${\displaystyle g(r)4\pi r^{2}=-4\pi GM,}$

أو،

${\displaystyle g(r)=-{\frac {GM}{r^{2}}}.}$

من الطبيعي التساؤل عما إذا كان عكس نظرية الغلاف صحيحًا، أي ما إذا كانت نتيجة النظرية تستلزم قانون الجاذبية الكونية، أو ما إذا كان هناك قانون قوة أكثر عمومية تنطبق عليه النظرية. إذا اشترطنا فقط أن تكون القوة خارج غلاف كروي مساوية للقوة المؤثرة على كتلة نقطية مماثلة في مركزه، فإن ذلك يُضيف درجة حرية إضافية لقوانين القوة. ^{[ 2 ] [ 3 ]} القوة الأكثر عمومية، كما تُبينها نظرية غورزاديان ، هي: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle F(r)=-{\frac {GMm}{r^{2}}}+{\frac {\Lambda mc^{2}r}{3}}}$

أين${\displaystyle G}$و${\displaystyle \Lambda }$يمكن أن تكون ثوابت تأخذ أي قيمة. الحد الأول هو قانون الجاذبية الكونية المعروف؛ أما الحد الثاني فهو قوة إضافية، مماثلة للحد الثابت الكوني في النسبية العامة . ومع ذلك، فإن جهد التربيع العكسي هو الجهد الوحيد الذي تكون فيه محصلة القوى داخل الغلاف صفرًا أيضًا. ^{[ 2 ]}

القوة الموصوفة بواسطة جهد يوكاوا

${\displaystyle U(r)=-{\frac {GMm}{r}}e^{-\lambda r}}$

تتميز هذه الخاصية بأن القوة خارج الغلاف الكروي هي أيضًا جهد يوكاوا بنفس المدى${\displaystyle 1/\lambda }$ومتمركزة في مركز الصدفة، لولا${\displaystyle \lambda >0}$الكتلة النقطية المكافئة لا تساوي كتلة القذيفة. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} بالنسبة لقذيفة نصف قطرها${\displaystyle R}$والكتلة${\displaystyle M}$، الكتلة النقطية المكافئة هي:

${\displaystyle M_{\text{eff}}=M{\frac {\sinh \lambda r}{\lambda r}}}$.

بالنسبة للغلاف الإهليلجي ، يُعمَّم نصفي نظرية الغلاف بأنواع مختلفة من الأغلفة. فالغلاف المحصور بين إهليلجين متماثلين ومتمركزين ( متجانس ) لا يؤثر بقوة جاذبية على أي نقطة داخله. ^{[ 7 ]} في حين أن الغلاف المحصور بين إهليلجين متمركزين ومتحدي البؤرة ( بؤري ) يتميز بأن قوة الجاذبية خارج البؤريين المتمركزين والمتحدي البؤرة متساوية. ^{[ 8 ]}

في ورقة بحثية حديثة، أظهر ليما أن قوى الجاذبية من نوع ويبر تعطي قوة متكاملة غير معدومة من غلاف كروي كتلته M تؤثر على جسيم كتلته m موجود داخل الغلاف كلما تسارع. ^{[ 9 ]}

يوجد نظير لنظرية القشرة في النسبية العامة .

يشير التناظر الكروي إلى أن المقياس له هندسة شوارزشيلد مستقلة عن الزمن، حتى لو كانت كتلة مركزية تخضع لانهيار جاذبي (ميسنر وآخرون، 1973؛ انظر نظرية بيركوف ). وبالتالي، فإن للمقياس شكلًا

${\displaystyle ds^{2}=-(1-2M/r)\,dt^{2}+(1-2M/r)^{-1}\,dr^{2}+r^{2}\,d\Omega ^{2}}$

(باستخدام الوحدات الهندسية ، حيث${\displaystyle G=c=1}$). ل${\displaystyle r>R>0}$(أين${\displaystyle R}$(حيث يمثل نصف قطر غلاف ذي كتلة معينة)، وتعمل الكتلة كدالة دلتا عند نقطة الأصل.${\displaystyle r<R}$قد توجد أغلفة من الكتلة خارجياً، ولكن لكي يكون المقياس غير منفرد عند نقطة الأصل،${\displaystyle M}$يجب أن تكون قيمتها صفرًا في المقياس. هذا يُختزل المقياس إلى فضاء مينكوفسكي مسطح ؛ وبالتالي، لا يكون للأغلفة الخارجية أي تأثير جاذبي.

توضح هذه النتيجة الانهيار الجاذبي الذي يؤدي إلى الثقب الأسود وتأثيره على حركة أشعة الضوء والجسيمات خارج وداخل أفق الحدث (هارتل 2003، الفصل 12).

• نظرية تشارلز (الجاذبية)
• ارتفاع المقياس