قانون التربيع العكسي

في العلوم ، قانون التربيع العكسي هو أي قانون علمي ينص على أن "الكثافة" المرصودة لكمية فيزيائية محددة تتناسب عكسياً مع مربع المسافة من مصدر تلك الكمية الفيزيائية. يمكن فهم السبب الأساسي لذلك على أنه التخفيف الهندسي المقابل لإشعاع المصدر النقطي في الفضاء ثلاثي الأبعاد .

تتوسع طاقة الرادار أثناء كل من نقل الإشارة والعودة المنعكسة ، وبالتالي فإن التربيع العكسي لكلا المسارين يعني أن الرادار سوف يستقبل الطاقة وفقًا للقوة الرابعة العكسية للنطاق.

ولمنع تخفيف الطاقة أثناء نشر الإشارة، يمكن استخدام طرق معينة مثل الموجّه الموجي ، الذي يعمل مثلما تعمل القناة بالنسبة للماء، أو كيف يقيد برميل البندقية تمدد الغاز الساخن إلى بُعد واحد من أجل منع فقدان نقل الطاقة إلى رصاصة .

في التدوين الرياضي يمكن التعبير عن قانون التربيع العكسي على أنه شدة (I) تتغير كدالة للمسافة (d) من مركز ما. الشدة تتناسب (انظر ∝ ) مع مقلوب مربع المسافة على النحو التالي: $${\displaystyle {\text{الكثافة}}\ \propto \ {\frac {1}{{\text{المسافة}}^{2}}}\,}$$

ويمكن أيضًا التعبير عنها رياضيًا على النحو التالي: $${\displaystyle {\frac {{\text{الكثافة}}_{1}}{{\text{الكثافة}}_{2}}}={\frac {{\text{المسافة}}_{2}^{2}}{{\text{المسافة}}_{1}^{2}}}}$$

أو كصيغة لكمية ثابتة: $${\displaystyle {\text{الكثافة}}_{1}\times {\text{المسافة}}_{1}^{2}={\text{الكثافة}}_{2}\times {\text{المسافة}}_{2}^{2}}$$

إن تباعد حقل متجه ناتج عن حقول شعاعية خاضعة لقانون التربيع العكسي فيما يتعلق بمصدر واحد أو أكثر يتناسب طرديًا مع قوة المصادر المحلية، وبالتالي لا يوجد أي مصادر خارجية. يتبع قانون نيوتن للجاذبية الكونية قانون التربيع العكسي، كما هو الحال مع تأثيرات الظواهر الكهربائية والضوء والصوت والإشعاع .

ينطبق قانون التربيع العكسي عمومًا عندما يتم إشعاع بعض القوة أو الطاقة أو أي كمية محفوظة أخرى بالتساوي إلى الخارج من مصدر نقطي في فضاء ثلاثي الأبعاد . نظرًا لأن مساحة سطح الكرة (والتي تساوي 4π r ² ) تتناسب مع مربع نصف القطر، فمع ابتعاد الإشعاع المنبعث عن المصدر، فإنه ينتشر على مساحة تتزايد بما يتناسب مع مربع المسافة من المصدر. وبالتالي، فإن شدة الإشعاع الذي يمر عبر أي وحدة مساحة (تواجه المصدر النقطي مباشرة) تتناسب عكسيًا مع مربع المسافة من المصدر النقطي. ينطبق قانون جاوس للجاذبية بشكل مماثل، ويمكن استخدامه مع أي كمية فيزيائية تعمل وفقًا لعلاقة التربيع العكسي.

الجاذبية هي قوة الجذب بين الأجسام التي لها كتلة. ينص قانون نيوتن على:

قوة الجذب الثقالي بين كتلتين نقطيتين تتناسب طرديًا مع حاصل ضرب كتلتيهما وتتناسب عكسيًا مع مربع المسافة الفاصلة بينهما. تكون القوة دائمًا جاذبة وتعمل على طول الخط الذي يربط بينهما. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

إذا كان توزيع المادة في كل جسم متماثلًا كرويًا، فيمكن التعامل مع الأجسام ككتل نقطية دون تقريب، كما هو موضح في نظرية الغلاف . بخلاف ذلك، إذا أردنا حساب الجاذبية بين الأجسام الضخمة، فنحن بحاجة إلى إضافة جميع قوى الجذب النقطية متجهيًا وقد لا يكون الجذب الصافي مربعًا عكسيًا دقيقًا. ومع ذلك، إذا كان الفصل بين الأجسام الضخمة أكبر بكثير مقارنة بأحجامها، فعندئذٍ لتقريب جيد، من المعقول التعامل مع الكتل ككتلة نقطية تقع في مركز كتلة الجسم أثناء حساب قوة الجاذبية.

اقترح إسماعيل بوليالدوس قانون الجاذبية في عام 1645. لكن بوليالدوس لم يقبل قانوني كبلر الثاني والثالث ، كما لم يقدر حل كريستيان هويجنز للحركة الدائرية (الحركة في خط مستقيم تسحبه القوة المركزية جانبًا). في الواقع، أكد بوليالدوس أن قوة الشمس كانت جاذبة عند الأوج ومنفرة عند الحضيض. شرح روبرت هوك وجيوفاني ألفونسو بوريلي الجاذبية في عام 1666 كقوة جاذبة. ^[1] كانت محاضرة هوك "عن الجاذبية" في الجمعية الملكية، في لندن، في 21 مارس. ^[2] نُشرت "نظرية الكواكب" لبوريللي لاحقًا في عام 1666. ^[3] أوضحت محاضرة هوك في جريشام عام 1670 أن الجاذبية تنطبق على "جميع الأجرام السماوية" وأضافت المبادئ التي تنص على أن قوة الجاذبية تتناقص مع المسافة وأنه في غياب أي قوة من هذا القبيل تتحرك الأجسام في خطوط مستقيمة. بحلول عام 1679، اعتقد هوك أن الجاذبية تعتمد على التربيع العكسي وأبلغ عن ذلك في رسالة إلى إسحاق نيوتن : ^[4] افتراضاتي هي أن الجاذبية تكون دائمًا في نسبة مضاعفة للمسافة من المركز متبادلة . ^[5]

ظل هوك يشعر بالمرارة بسبب ادعاء نيوتن باختراع هذا المبدأ، على الرغم من أن كتاب نيوتن " المبادئ" لعام 1686 اعترف بأن هوك، إلى جانب رين وهالي، قد قدروا بشكل منفصل قانون التربيع العكسي في النظام الشمسي، ^[6] بالإضافة إلى منح بعض الفضل لبوليالدوس. ^[7]

إن قوة الجذب أو التنافر بين جسيمين مشحونين كهربائيًا، بالإضافة إلى كونها متناسبة بشكل مباشر مع حاصل ضرب الشحنتين الكهربائيتين، فإنها تتناسب عكسيًا مع مربع المسافة بينهما؛ وهذا ما يُعرف بقانون كولومب . إن انحراف الأس عن 2 أقل من جزء واحد في 10 ^{15. [8]}

$${\displaystyle F=k_{e}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}}$$

إن شدة (أو استضاءة أو إشعاع ) الضوء أو الموجات الخطية الأخرى المنبعثة من مصدر نقطي (طاقة لكل وحدة مساحة عمودية على المصدر) تتناسب عكسياً مع مربع المسافة من المصدر، وبالتالي فإن الجسم (من نفس الحجم) الذي يبعد ضعف المسافة يتلقى ربع الطاقة فقط ( في نفس الفترة الزمنية).

وبشكل عام، فإن الإشعاع، أي شدته (أو قدرته لكل وحدة مساحة في اتجاه الانتشار )، لجبهة الموجة الكروية يتغير عكسيا مع مربع المسافة من المصدر (على افتراض عدم وجود خسائر ناجمة عن الامتصاص أو التشتت ).

على سبيل المثال، تبلغ شدة الإشعاع من الشمس 9126 واط لكل متر مربع على مسافة عطارد (0.387 وحدة فلكية )؛ ولكنها تبلغ 1367 واط فقط لكل متر مربع على مسافة الأرض (وحدة فلكية واحدة) - فزيادة المسافة بنحو ثلاثة أضعاف تؤدي إلى انخفاض بنحو تسعة أضعاف في شدة الإشعاع.

بالنسبة للمشعات غير المتساوية الخواص مثل الهوائيات المكافئة والمصابيح الأمامية وأجهزة الليزر ، يقع الأصل الفعال بعيدًا خلف فتحة الشعاع. إذا كنت قريبًا من الأصل، فلن تضطر إلى الذهاب بعيدًا لمضاعفة نصف القطر، وبالتالي تنخفض الإشارة بسرعة. عندما تكون بعيدًا عن الأصل ولا تزال لديك إشارة قوية، كما هو الحال مع الليزر، يجب أن تسافر بعيدًا جدًا لمضاعفة نصف القطر وتقليل الإشارة. هذا يعني أن لديك إشارة أقوى أو لديك كسب هوائي في اتجاه الشعاع الضيق بالنسبة لشعاع عريض في جميع اتجاهات الهوائي المتساوي الخواص .

في التصوير الفوتوغرافي وإضاءة المسرح ، يُستخدم قانون التربيع العكسي لتحديد "الانخفاض" أو الفرق في الإضاءة على جسم ما عندما يقترب أو يبتعد عن مصدر الضوء. للحصول على تقريبات سريعة، يكفي أن نتذكر أن مضاعفة المسافة تقلل الإضاءة إلى الربع؛ ^[9] أو على نحو مماثل، لتقليل الإضاءة إلى النصف، قم بزيادة المسافة بعامل 1.4 ( الجذر التربيعي لـ 2 )، ولمضاعفة الإضاءة، قلل المسافة إلى 0.7 (الجذر التربيعي لـ 1/2). عندما لا يكون مصدر الإضاءة مصدرًا نقطيًا، غالبًا ما تظل قاعدة التربيع العكسي تقريبًا مفيدًا؛ عندما يكون حجم مصدر الضوء أقل من خمس المسافة إلى الجسم، يكون خطأ الحساب أقل من 1٪. ^[10]

يمكن حساب الانخفاض الجزئي في التأثير الكهرومغناطيسي (Φ) للإشعاع المؤين غير المباشر مع زيادة المسافة من مصدر نقطي باستخدام قانون التربيع العكسي. نظرًا لأن الانبعاثات من مصدر نقطي لها اتجاهات شعاعية، فإنها تعترض عند سقوط عمودي. تبلغ مساحة مثل هذه القشرة 4π r ² حيث r هي المسافة الشعاعية من المركز. يعد القانون مهمًا بشكل خاص في التصوير الشعاعي التشخيصي وتخطيط علاج العلاج الإشعاعي ، على الرغم من أن هذه التناسبية لا تنطبق في المواقف العملية ما لم تكن أبعاد المصدر أصغر بكثير من المسافة. كما ورد في نظرية فورييه للحرارة "نظرًا لأن المصدر النقطي يتم تكبيره بالمسافات، فإن إشعاعه يكون مخففًا متناسبًا مع جيب الزاوية، للقوس المحيط المتزايد من نقطة الأصل".

ليكن P   هو إجمالي القدرة المشعة من مصدر نقطي (على سبيل المثال، مشع متساوي الخواص متعدد الاتجاهات ). على مسافات كبيرة من المصدر (مقارنة بحجم المصدر)، يتم توزيع هذه القدرة على أسطح كروية أكبر وأكبر كلما زادت المسافة من المصدر. نظرًا لأن مساحة سطح كرة نصف قطرها r هي A  = 4 πr  ² ، فإن شدة الإشعاع I (القدرة لكل وحدة مساحة) على مسافة r هي $${\displaystyle I={\frac {P}{A}}={\frac {P}{4\pi r^{2}}}.\,}$$

تقل الطاقة أو الشدة (مقسومة على 4) مع مضاعفة المسافة r ؛ وإذا تم قياسها بالديسيبل فإنها تقل بمقدار 6.02 ديسيبل مع مضاعفة المسافة. وعند الإشارة إلى قياسات كميات الطاقة، يمكن التعبير عن النسبة كمستوى بالديسيبل من خلال تقييم عشرة أضعاف اللوغاريتم الأساسي 10 لنسبة الكمية المقاسة إلى القيمة المرجعية.

في علم الصوتيات ، ينخفض ​​ضغط الصوت لموجة كروية تشع من مصدر نقطي بنسبة 50% مع مضاعفة المسافة r ؛ وعند قياسه بالديسيبل ، يظل الانخفاض 6.02 ديسيبل، لأن الديسيبل يمثل نسبة شدة. نسبة الضغط (على عكس نسبة القدرة) ليست مربعة عكسية، ولكنها متناسبة عكسيًا (قانون المسافة العكسية):

$${\displaystyle p\ \propto \ {\frac {1}{r}}\,}$$

والشيء نفسه ينطبق على مكون سرعة الجسيم الذي يتوافق مع ضغط الصوت اللحظي : ${\displaystyle v\,}$${\displaystyle p\,}$

$${\displaystyle v\ \propto {\frac {1}{r}}\ \,}$$

في المجال القريب يوجد مكون تربيعي لسرعة الجسيم يختلف عن ضغط الصوت بمقدار 90 درجة ولا يساهم في متوسط ​​الطاقة الزمنية أو شدة الصوت. شدة الصوت هي حاصل ضرب ضغط الصوت التربيعي المتوسط ​​ومكون الطور لسرعة الجسيم التربيعي المتوسط، وكلاهما متناسب عكسيًا. وفقًا لذلك، تتبع الشدة سلوكًا عكسيًا مربعًا:

$${\displaystyle I\ =\ pv\ \propto \ {\frac {1}{r^{2}}}.\,}$$

بالنسبة لحقل متجه غير دوراني في فضاء ثلاثي الأبعاد، يتوافق قانون التربيع العكسي مع الخاصية التي تنص على أن التباعد يساوي صفرًا خارج المصدر. ويمكن تعميم ذلك على أبعاد أعلى. بشكل عام، بالنسبة لحقل متجه غير دوراني في فضاء إقليدي ذي n بعد ، تنخفض شدة "I" لحقل المتجه مع المسافة "r" التي تتبع قانون القوة ^{العكسية (} n  − 1)

$${\displaystyle I\propto {\frac {1}{r^{n-1}}},}$$

مع العلم أن الفضاء خارج المصدر خالٍ من التباعد. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

ينطبق قانون التربيع العكسي، الأساسي في الفضاءات الإقليدية ، أيضًا على الهندسة غير الإقليدية ، بما في ذلك الفضاء الزائدي . يؤدي الانحناء الموجود في هذه الفضاءات إلى تغيير القوانين الفيزيائية، مما يؤثر على مجموعة متنوعة من المجالات مثل علم الكونيات ، والنسبية العامة ، ونظرية الأوتار . ^[11]

جون د. بارو ، في ورقته البحثية لعام 2020 "علم الكونيات النيوتوني غير الإقليدي"، يتوسع في سلوك القوة (F) والجهد (Φ) داخل الفضاء الزائدي الثلاثي (H3). ويوضح أن F وΦ يخضعان للعلاقات F ∝ 1 / R² sinh²(r/R) وΦ ∝ coth(r/R)، حيث يمثل R نصف قطر الانحناء ويمثل r المسافة من نقطة البؤرة.

يظل مفهوم الأبعاد المكانية، الذي اقترحه إيمانويل كانط لأول مرة، موضوع نقاش فيما يتعلق بقانون التربيع العكسي. ^[12] يزعم ديميتريا إليكترا جاتزيا وريكس دي رامسييه، في ورقتهما البحثية لعام 2021، أن قانون التربيع العكسي يرتبط ارتباطًا وثيقًا بتماثل توزيع القوة أكثر من ارتباطه بأبعاد الفضاء.

في سياق الهندسة غير الإقليدية والنسبية العامة، لا تنشأ الانحرافات عن قانون التربيع العكسي من القانون نفسه بل من افتراض أن القوة بين جسمين لحظية، وهو ما يتناقض مع النسبية الخاصة . تعيد النسبية العامة تفسير الجاذبية على أنها انحناء الزمكان، مما يؤدي إلى تحرك الجسيمات على طول خطوط الجيوديسية في هذا الزمكان المنحني. ^[13]

كان جون دمبلتون من حاسبات أكسفورد في القرن الرابع عشر ، أحد أوائل من عبروا عن العلاقات الوظيفية في شكل بياني. وقد قدم دليلاً على نظرية السرعة المتوسطة حيث ذكر أن "خط عرض حركة متباينة الشكل بشكل موحد يتوافق مع درجة نقطة المنتصف" واستخدم هذه الطريقة لدراسة الانخفاض الكمي في شدة الإضاءة في كتابه Summa logicæ et philosophiæ naturalis (حوالي عام 1349)، حيث ذكر أنه لا يتناسب خطيًا مع المسافة، لكنه لم يتمكن من الكشف عن قانون التربيع العكسي. ^[14]

في الاقتراح 9 من الكتاب الأول في كتابه Ad Vitellionem paralipomena, quibus astronomiae pars opticalca traditur (1604)، زعم عالم الفلك يوهانس كيبلر أن انتشار الضوء من مصدر نقطي يخضع لقانون التربيع العكسي: ^{[15] [16]}

Sicut se habent spharicae surfaces, quibus origo lucis pro center est, amplor an angustiorem: ita se habe hartitudo seu densitas lucis radiorum in angustiori, ad illamin in laxiori sphaerica, hoc est, conversim. Nam لكل 6.7.

وكما أن نسبة الأسطح الكروية التي يكون مصدر الضوء فيها هو المركز، تكون من الأوسع إلى الأضيق، فكذلك كثافة أو قوة أشعة الضوء في الفضاء الضيق، نحو الأسطح الكروية الأوسع، أي على العكس. فوفقًا للمقترحين 6 و7، يوجد قدر من الضوء في السطح الكروي الضيق، كما هو الحال في الأوسع، وبالتالي يكون أكثر انضغاطًا وكثافة هنا منه هناك.

في عام 1645، في كتابه Astronomia Philolaica ...، دحض عالم الفلك الفرنسي إسماعيل بوليالدوس (1605-1694) اقتراح يوهانس كيبلر بأن "الجاذبية" ^[17] تضعف باعتبارها عكس المسافة؛ وبدلاً من ذلك، زعم بوليالدوس أن "الجاذبية" تضعف باعتبارها عكس مربع المسافة: ^{[18] [19]}

Virtus autem illa، qua Sol prehendit seu harpagat Planetas، corporalis quae ipsi pro manibus est، خط مستقيم في كل عالم من الاتساع ينبعث شبه الأنواع من دوار الجسم: مع الجلوس الجسدي المصغر، والتمدد في أكبر مساحة وفاصل زمني، نسبة أوتم هويوس الحد الأقصى هو، ac luminus، في عقلانية مزدوجة الفاصل الزمني، على الرغم من ذلك.

وأما القوة التي بها تمسك الشمس الكواكب، والتي تعمل كالأيدي، فهي تنتشر في خطوط مستقيمة في كل امتداد العالم، وكنوع الشمس، تدور مع جسم الشمس؛ والآن، بما أنها جسمية، فإنها تضعف وتضعف على مسافة أو فترة أكبر، وتكون نسبة نقصانها في القوة هي نفسها كما في حالة الضوء، أي النسبة المضاعفة، ولكن بشكل معاكس، للمسافات [أي 1/د²].

في إنجلترا، نشر الأسقف الأنجليكاني سيث وارد (1617–1689) أفكار بوليالدوس في نقده لكتاب إسماعيل بوليالدي أسترونوميا فيلوليكاي فوندامينتا إنكيسيتيو بريفيس (1653) ونشر علم فلك الكواكب لكبلر في كتابه علم الفلك الهندسي (1656).

في عامي 1663 و1664، كان العالم الإنجليزي روبرت هوك يكتب كتابه ميكروجرافيا (1666) والذي ناقش فيه، من بين أمور أخرى، العلاقة بين ارتفاع الغلاف الجوي والضغط الجوي على السطح. نظرًا لأن الغلاف الجوي يحيط بالأرض، والتي هي في حد ذاتها كرة، فإن حجم الغلاف الجوي الذي يتحمل أي وحدة مساحة من سطح الأرض هو مخروط مقطوع (يمتد من مركز الأرض إلى فراغ الفضاء؛ من الواضح أن الجزء المخروط من سطح الأرض إلى الفضاء فقط هو الذي يتحمل سطح الأرض). على الرغم من أن حجم المخروط يتناسب مع مكعب ارتفاعه، إلا أن هوك زعم أن ضغط الهواء على سطح الأرض يتناسب بدلاً من ذلك مع ارتفاع الغلاف الجوي لأن الجاذبية تتضاءل مع الارتفاع. على الرغم من أن هوك لم يذكر ذلك صراحةً، فإن العلاقة التي اقترحها ستكون صحيحة فقط إذا انخفضت الجاذبية بمقدار المربع العكسي للمسافة من مركز الأرض. ^{[20] [21]}

• تدفق
• هوائي (راديو)
• قانون جاوس
• قوانين كيبلر لحركة الكواكب
• مشكلة كيبلر
• الاتصالات السلكية واللاسلكية ، وخاصة:
  • ويليام تومسون، البارون كلفن الأول
  • بروتوكولات التوجيه التي تعتمد على الطاقة
• التناسب العكسي
• معكوس الضرب
• تدهور المسافة
• مفارقة فيرمي
• قانون المربع والمكعب
• مبدأ التشابه

 تتضمن هذه المقالة مواد متاحة للعامة من المعيار الفيدرالي 1037C. إدارة الخدمات العامة . مؤرشفة من الأصل في 22 يناير 2022.

• تخفيف مستوى الصوت مع المسافة
• ضغط الصوت p وقانون المسافة العكسية 1/r