مفارقة سيمبسون

مفارقة سيمبسون هي ظاهرة في الاحتمالات والإحصاء حيث يظهر اتجاه في عدة مجموعات من البيانات ولكنه يختفي أو ينعكس عندما يتم دمج المجموعات. غالبًا ما نصادف هذه النتيجة في إحصاءات العلوم الاجتماعية والعلوم الطبية، [ ^{1] [2] [3]} وهي مشكلة بشكل خاص عندما يتم تفسير بيانات التردد بشكل غير ملائم. ^[4] يمكن حل المفارقة عندما يتم التعامل مع المتغيرات المربكة والعلاقات السببية بشكل مناسب في النمذجة الإحصائية ^{[4] [5]} (على سبيل المثال، من خلال تحليل المجموعات ^[6] ).

لقد تم استخدام مفارقة سيمبسون لتوضيح نوع النتائج المضللة التي يمكن أن يولدها سوء استخدام الإحصاءات . ^{[7] [8]}

وصف إدوارد إتش سيمبسون هذه الظاهرة لأول مرة في ورقة فنية في عام 1951، ^[9] لكن الإحصائيين كارل بيرسون (في عام 1899 ^[10] ) وأودني يول (في عام 1903 ^[11] ) ذكروا تأثيرات مماثلة في وقت سابق. تم تقديم اسم مفارقة سيمبسون بواسطة كولين آر. بليث في عام 1972. ^[12] ويشار إليها أيضًا باسم انعكاس سيمبسون أو تأثير يول-سيمبسون أو مفارقة الدمج أو مفارقة الانعكاس . ^[13]

يزعم عالم الرياضيات جوردان إلينبيرج أن مفارقة سيمبسون أطلق عليها خطأً "لا يوجد تناقض، فقط طريقتان مختلفتان للتفكير في نفس البيانات" ويقترح أن الدرس المستفاد منها "ليس حقًا إخبارنا بوجهة النظر التي يجب أن نتخذها ولكن الإصرار على أن نحتفظ بالأجزاء والكل في الاعتبار في وقت واحد". ^[14]

يأتي أحد أشهر الأمثلة على مفارقة سيمبسون من دراسة حول التحيز الجنسي بين المتقدمين للدراسات العليا في جامعة كاليفورنيا، بيركلي . أظهرت أرقام القبول لخريف عام 1973 أن الرجال المتقدمين كانوا أكثر احتمالية من النساء للقبول، وكان الفارق كبيرًا لدرجة أنه من غير المرجح أن يكون بسبب الصدفة. ^{[15] [16]}

	الجميع		الرجال		نحيف
	المتقدمين	تم قبوله	المتقدمين	تم قبوله	المتقدمين	تم قبوله
المجموع	12,763	41%	8,442	44%	4,321	35%

ومع ذلك، عند أخذ المعلومات المتعلقة بالأقسام التي يتم التقدم إليها بعين الاعتبار، تكشف نسب الرفض المختلفة عن الصعوبة المختلفة للالتحاق بالقسم، وفي الوقت نفسه أظهرت أن النساء يميلن إلى التقدم إلى أقسام أكثر تنافسية مع معدلات قبول أقل، حتى بين المتقدمين المؤهلين (مثل قسم اللغة الإنجليزية)، في حين يميل الرجال إلى التقدم إلى أقسام أقل تنافسية مع معدلات قبول أعلى (مثل قسم الهندسة). أظهرت البيانات المجمعة والمصححة "تحيزًا صغيرًا ولكنه ذو دلالة إحصائية لصالح النساء". ^[16]

البيانات من أكبر ستة أقسام مدرجة أدناه:

قسم	الجميع		الرجال		نحيف
	المتقدمين	تم قبوله	المتقدمين	تم قبوله	المتقدمين	تم قبوله
أ	933	64%	825	62%	108	82%
ب	585	63%	560	63%	25	68%
ج	918	35%	325	37%	593	34%
د	792	34%	417	33%	375	35%
هـ	584	25%	191	28%	393	24%
ف	714	6%	373	6%	341	7%
المجموع	4526	39%	2691	45%	1835	30%
أسطورة:   نسبة أكبر من المتقدمين الناجحين مقارنة بالجنس الآخر   عدد المتقدمين أكبر من الجنس الآخر بالخط العريض - القسمان الأكثر طلبًا لكل جنس

أظهرت البيانات الكاملة أن 4 أقسام من أصل 85 قسمًا متحيزة بشكل كبير ضد النساء، بينما 6 أقسام متحيزة بشكل كبير ضد الرجال (لم تكن جميعها موجودة في جدول "أكبر ستة أقسام" أعلاه). والجدير بالذكر أن أعداد الأقسام المتحيزة لم تكن الأساس للاستنتاج، بل كانت بالأحرى القبولات حسب الجنس المجمعة عبر جميع الأقسام، مع الأخذ في الاعتبار معدل الرفض لكل قسم عبر جميع المتقدمين إليه. ^[16]

يأتي مثال آخر من دراسة طبية واقعية ^[17] تقارن معدلات نجاح علاجين لحصوات الكلى . ^[18] يوضح الجدول أدناه معدلات النجاح (مصطلح معدل النجاح هنا يعني في الواقع نسبة النجاح) وأعداد العلاجات للعلاجات التي تنطوي على حصوات الكلى الصغيرة والكبيرة، حيث يشمل العلاج أ الإجراءات الجراحية المفتوحة ويشمل العلاج ب الإجراءات الجراحية المغلقة. تشير الأرقام الموجودة بين قوسين إلى عدد حالات النجاح على الحجم الإجمالي للمجموعة.

علاج حجم الحجر	العلاج أ	العلاج ب
حجارة صغيرة	المجموعة 1 93% (81/87)	المجموعة 2 87% (234/270)
أحجار كبيرة	المجموعة 3 73% (192/263)	المجموعة 4 69% (55/80)
كلاهما	78% (273/350)	83% (289/350)

الاستنتاج المتناقض هو أن العلاج أ يكون أكثر فعالية عند استخدامه على الحصوات الصغيرة، وأيضًا عند استخدامه على الحصوات الكبيرة، ومع ذلك يبدو أن العلاج ب يكون أكثر فعالية عند النظر في كلا الحجمين في نفس الوقت. في هذا المثال، المتغير "المختبئ" (أو المتغير المربك ) الذي يسبب المفارقة هو حجم الحصوات، والذي لم يكن معروفًا للباحثين من قبل أنه مهم حتى تم تضمين تأثيراته. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

إن العلاج الذي يعتبر أفضل يتم تحديده من خلال نسبة النجاح (النجاحات/الإجمالي) الأكبر. ويحدث عكس التفاوت بين النسبتين عند النظر في البيانات المجمعة، وهو ما يخلق مفارقة سيمبسون، لأن التأثيرين يحدثان معًا: ^{[ بحاجة لمصدر ]}

1. تختلف أحجام المجموعات، التي يتم دمجها عند تجاهل المتغير الكامن، بشكل كبير. يميل الأطباء إلى إعطاء الحالات التي تعاني من حصوات كبيرة العلاج الأفضل (أ)، والحالات التي تعاني من حصوات صغيرة العلاج الأقل جودة (ب). وبالتالي، تهيمن المجموعتان 3 و2 على الإجماليات، وليس المجموعتان الأصغر كثيرًا 1 و4.
2. إن المتغير الكامن، حجم الحصوة، له تأثير كبير على النسب؛ أي أن معدل النجاح يتأثر بشدة الحالة أكثر من تأثره باختيار العلاج. لذلك، فإن مجموعة المرضى الذين يعانون من حصوات كبيرة يستخدمون العلاج أ (المجموعة 3) يكون أداؤهم أسوأ من المجموعة التي تعاني من حصوات صغيرة، حتى لو استخدمت الأخيرة العلاج الأقل جودة ب (المجموعة 2).

وبناءً على هذه التأثيرات، يُرى أن النتيجة المتناقضة تنشأ لأن تأثير حجم الحصوات يغلب على فوائد العلاج الأفضل (أ). باختصار، بدا أن العلاج الأقل فعالية (ب) كان أكثر فعالية لأنه تم تطبيقه بشكل متكرر على حالات الحصوات الصغيرة، والتي كان علاجها أسهل. ^[18]

يزعم جاينز أن الاستنتاج الصحيح هو أنه على الرغم من أن العلاج (أ) يظل أفضل بشكل ملحوظ من العلاج (ب)، إلا أن حجم حصوات الكلى أكثر أهمية. ^[19]

من الأمثلة الشائعة لمفارقة سيمبسون متوسطات ضربات اللاعبين في لعبة البيسبول الاحترافية . من الممكن أن يكون لدى لاعب واحد متوسط ​​ضربات أعلى من لاعب آخر كل عام لعدد من السنوات، ولكن يكون متوسط ​​ضرباته أقل عبر كل تلك السنوات. يمكن أن تحدث هذه الظاهرة عندما تكون هناك اختلافات كبيرة في عدد الضربات بين السنوات. أظهر عالم الرياضيات كين روس ذلك باستخدام متوسط ​​ضربات لاعبي بيسبول، ديريك جيتر وديفيد جاستيس ، خلال عامي 1995 و1996: ^{[20] [21]}

سنة الخليط	1995		1996		مجموع
ديريك جيتر	12/48	.250	183/582	.314	195/630	.310
ديفيد جاستيس	104/411	.253	45/140	.321	149/551	.270

في عامي 1995 و1996، كان متوسط ​​ضربات جاستيس أعلى (بالخط العريض) من متوسط ​​ضربات جيتير. ومع ذلك، عندما يتم الجمع بين موسمي البيسبول، يُظهر جيتير متوسط ​​ضربات أعلى من جاستيس. ووفقًا لروس، يمكن ملاحظة هذه الظاهرة مرة واحدة تقريبًا كل عام بين الأزواج المحتملة من اللاعبين. ^[20]

يمكن أيضًا توضيح مفارقة سيمبسون باستخدام فضاء متجه ثنائي الأبعاد . ^[22] يمكن تمثيل معدل نجاح (أي النجاحات/المحاولات ) بواسطة متجه ، بميل . ثم يمثل المتجه الأكثر انحدارًا معدل نجاح أكبر. إذا تم دمج معدلين و ، كما في الأمثلة المذكورة أعلاه، فيمكن تمثيل النتيجة بمجموع المتجهات و ، والتي وفقًا لقاعدة متوازي الأضلاع هي المتجه ، بميل . ${\textstyle {\frac {p}{q}}}$ ${\displaystyle {\vec {A}}=(q,p)}$${\textstyle {\frac {p}{q}}}$${\textstyle {\frac {p_{1}}{q_{1}}}}$${\textstyle {\frac {p_{2}}{q_{2}}}}$${\displaystyle (q_{1},p_{1})}$${\displaystyle (q_{2},p_{2})}$${\displaystyle (q_{1}+q_{2},p_{1}+p_{2})}$${\textstyle {\frac {p_{1}+p_{2}}{q_{1}+q_{2}}}}$

تقول مفارقة سيمبسون أنه حتى إذا كان لمتجه (باللون البرتقالي في الشكل) ميل أصغر من متجه آخر (باللون الأزرق)، وكان ميله أصغر من ، فإن مجموع المتجهين يمكن أن يكون له ميل أكبر من مجموع المتجهين ، كما هو موضح في المثال. ولكي يحدث هذا، يجب أن يكون لأحد المتجهات البرتقالية ميل أكبر من أحد المتجهات الزرقاء (هنا و )، وستكون هذه عادةً أطول من المتجهات ذات الرمز الفرعي البديل - وبالتالي تهيمن على المقارنة الإجمالية. ${\displaystyle {\vec {L}}_{1}}$${\displaystyle {\vec {B}}_{1}}$${\displaystyle {\vec {L}}_{2}}$${\displaystyle {\vec {B}}_{2}}$${\displaystyle {\vec {L}}_{1}+{\vec {L}}_{2}}$${\displaystyle {\vec {B}}_{1}+{\vec {B}}_{2}}$${\displaystyle {\vec {L}}_{2}}$${\displaystyle {\vec {B}}_{1}}$

يمكن أن ينشأ انعكاس سيمبسون أيضًا في الارتباطات ، حيث يبدو أن متغيرين لهما (على سبيل المثال) ارتباط إيجابي تجاه بعضهما البعض، بينما في الواقع لديهما ارتباط سلبي، حيث تم إحداث الانعكاس بواسطة عامل مربك "كامن". يقدم بيرمان وآخرون ^[23] مثالاً من علم الاقتصاد، حيث تشير مجموعة البيانات إلى أن الطلب الإجمالي يرتبط بشكل إيجابي بالسعر (أي أن الأسعار المرتفعة تؤدي إلى المزيد من الطلب)، في تناقض مع التوقعات. يكشف التحليل أن الوقت هو المتغير المربك: يكشف رسم كل من السعر والطلب مقابل الوقت عن الارتباط السلبي المتوقع على مدى فترات مختلفة، والذي ينعكس بعد ذلك ليصبح إيجابيًا إذا تم تجاهل تأثير الوقت بمجرد رسم الطلب مقابل السعر.

يسعى الاهتمام النفسي بمفارقة سيمبسون إلى تفسير سبب اعتقاد الناس ^{[ من؟ ]} أن عكس الإشارة مستحيل في البداية. ^{[ يحتاج إلى توضيح ]} والسؤال هو من أين يحصل الناس على هذه الحدس القوي ، وكيف يتم ترميزه في العقل .

تُظهِر مفارقة سيمبسون أن هذه الحدس لا يمكن استنباطها من المنطق الكلاسيكي أو حساب الاحتمالات وحدهما، وبالتالي دفع الفلاسفة إلى التكهن بأنها مدعومة بمنطق سببي فطري يرشد الناس في التفكير في الأفعال وعواقبها. ^[4] مبدأ الشيء المؤكد لسافاج ^[12] هو مثال على ما قد يستلزمه هذا المنطق. يمكن بالفعل استنباط نسخة مؤهلة من مبدأ الشيء المؤكد لسافاج من حساب دو لبيرل ^[4] وتنص على: "يجب أن يؤدي الفعل أ الذي يزيد من احتمال وقوع حدث ب في كل مجموعة فرعية C _i من C إلى زيادة احتمال وقوع الحدث ب في المجموعة ككل، بشرط ألا يغير الفعل توزيع المجموعات الفرعية". وهذا يشير إلى أن المعرفة بالأفعال والعواقب مخزنة في شكل يشبه الشبكات السببية البايزية .

تقدم ورقة بحثية من تأليف بافليدس وبيرلمان دليلاً، بفضل هادجيكوستاس، على أنه في جدول عشوائي 2 × 2 × 2 بتوزيع موحد، ستحدث مفارقة سيمبسون باحتمالية 1 ⁄ 60 بالضبط . [ ^24] تشير دراسة أجراها كوك إلى أن احتمال حدوث مفارقة سيمبسون عشوائيًا في نماذج المسار (أي النماذج التي تم إنشاؤها بواسطة تحليل المسار ) مع اثنين من المتنبئين ومتغير معيار واحد هو حوالي 12.8 بالمائة؛ أعلى قليلاً من حدوث واحد لكل 8 نماذج مسار. ^[25]

كما تمت مناقشة مفارقة ثانية أقل شهرة في ورقة سيمبسون عام 1951. يمكن أن تحدث عندما لا يوجد "التفسير المعقول" بالضرورة في البيانات المنفصلة، ​​كما في مثال حصوات الكلى، ولكن يمكن أن يوجد بدلاً من ذلك في البيانات المجمعة. يعتمد ما إذا كان يجب استخدام الشكل المقسم أو المركب للبيانات على العملية التي تؤدي إلى ظهور البيانات، مما يعني أنه لا يمكن تحديد التفسير الصحيح للبيانات دائمًا بمجرد ملاحظة الجداول. ^[26]

لقد أظهرت جوديا بيرل أنه لكي تمثل البيانات المقسمة العلاقات السببية الصحيحة بين أي متغيرين، و ، يجب أن تلبي متغيرات التقسيم شرطًا بيانيًا يسمى "معيار الباب الخلفي": ^{[27] [28]}${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

1. يجب عليهم سد جميع المسارات الزائفة بين${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$
2. لا يمكن التأثير على أي متغير${\displaystyle X}$

يقدم هذا المعيار حلاً خوارزميًا لمفارقة سيمبسون الثانية، ويوضح لماذا لا يمكن تحديد التفسير الصحيح من خلال البيانات وحدها؛ قد تملي رسمان بيانيان مختلفان، متوافقان مع البيانات، معيارين مختلفين للباب الخلفي.

عندما يتم استيفاء معيار الباب الخلفي من خلال مجموعة Z من المتغيرات المشتركة، فإن صيغة التعديل (انظر التداخل ) تعطي التأثير السببي الصحيح لـ X على Y. إذا لم توجد مثل هذه المجموعة، فيمكن استدعاء حساب دو بيرل لاكتشاف طرق أخرى لتقدير التأثير السببي. ^{[4] [29]} يمكن اعتبار اكتمال حساب دو ^{[30] [29]} بمثابة تقديم حل كامل لمفارقة سيمبسون.

أحد الانتقادات هو أن المفارقة ليست مفارقة على الإطلاق، بل هي فشل في تفسير المتغيرات المربكة بشكل صحيح أو النظر في العلاقات السببية بين المتغيرات. ^[31]

هناك انتقاد آخر لمفارقة سيمبسون الظاهرة، وهو أنها قد تكون نتيجة للطريقة المحددة التي يتم بها تصنيف البيانات أو تجميعها. وقد تختفي الظاهرة أو حتى تنعكس إذا تم تصنيف البيانات بشكل مختلف أو إذا تم أخذ متغيرات مربكة مختلفة في الاعتبار. في الواقع، سلط مثال سيمبسون الضوء على ظاهرة تسمى عدم القدرة على الانهيار، ^[32] والتي تحدث عندما لا تقوم المجموعات الفرعية ذات النسب العالية بتكوين متوسطات بسيطة عند دمجها. وهذا يشير إلى أن المفارقة قد لا تكون ظاهرة عالمية، بل هي بالأحرى حالة محددة لقضية إحصائية أكثر عمومية.

يزعم منتقدو مفارقة سيمبسون الظاهرة أيضًا أن التركيز على المفارقة قد يصرف الانتباه عن قضايا إحصائية أكثر أهمية، مثل الحاجة إلى دراسة متأنية للمتغيرات المربكة والعلاقات السببية عند تفسير البيانات. ^[33]

وعلى الرغم من هذه الانتقادات، فإن مفارقة سيمبسون الواضحة تظل موضوعاً شائعاً ومثيراً للاهتمام في الإحصاء وتحليل البيانات. ولا تزال هذه المفارقة محل دراسة ومناظرة من جانب الباحثين والممارسين في مجموعة واسعة من المجالات، وهي بمثابة تذكير قيم بأهمية التحليل الإحصائي الدقيق والمخاطر المحتملة المترتبة على التفسيرات التبسيطية للبيانات.

• التعرج  – تأثير معالجة الإشارة
• رباعية أنسكومب  - أربع مجموعات بيانات بنفس الإحصائيات الوصفية، ولكن بتوزيعات مختلفة جدًا
• مفارقة بيركسون  – الميل إلى تفسير التجارب الإحصائية التي تتضمن احتمالات شرطية بشكل خاطئ
• انتقاء المعلومات بعناية  – مغالطة الأدلة غير الكاملة
• مفارقة كوندورسيه  – التناقض الذاتي لحكم الأغلبية
• المغالطة البيئية  – المغالطة المنطقية التي تحدث عندما يتم تطبيق خصائص المجموعة على الأفراد
• التلاعب بالدوائر الانتخابية  – شكل من أشكال التلاعب السياسي
• مفارقة انخفاض الوزن عند الولادة  – غرابة إحصائية لأوزان الأطفال عند الولادة
• مشكلة الوحدة المساحية القابلة للتعديل  – مصدر التحيز الإحصائي
• مغالطة المدعي العام  – خطأ في التفكير يتضمن التقليل من قيمة معلومات المعدل الأساسيالصفحات التي تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه
• ظاهرة ويل روجرز  – ظاهرة ومفارقة إحصائية
• الارتباط الزائف
• تحيز المتغير المحذوف

• ليلى شنيبس وكورالي كولميز ، الرياضيات في المحاكمة. كيف يتم استخدام الأرقام وإساءة استخدامها في قاعة المحكمة ، كتب أساسية، 2013. ISBN 978-0-465-03292-1 . (الفصل السادس: "خطأ الرياضيات رقم 6: مفارقة سيمبسون. قضية التحيز الجنسي في بيركلي: اكتشاف التمييز"). 

• مفارقة سيمبسون في موسوعة ستانفورد للفلسفة ، بقلم جان سبرينغر ونفتالي واينبرغر.
• كيف يمكن للإحصائيات أن تكون مضللة – مارك ليديل – فيديو ودروس TED-Ed.
• بيرل، جوديا ، "فهم مفارقة سيمبسون" (PDF)
• مفارقة سيمبسون، مقال قصير بقلم ألكسندر بوغومولني حول التفسير المتجهي لمفارقة سيمبسون
• تناول عمود "الرجل المختص بالأرقام" في صحيفة وول ستريت جورنال في الثاني من ديسمبر/كانون الأول 2009 حالات حديثة من مفارقة سيمبسون في الأخبار. ومن الجدير بالذكر مفارقة سيمبسون في مقارنة معدلات البطالة في فترة الركود الاقتصادي في عام 2009 مع فترة الركود الاقتصادي في عام 1983.
• عند الطبق، لغز إحصائي: فهم مفارقة سيمبسون بقلم آرثر سميث، 20 أغسطس/آب 2010
• مفارقة سيمبسون، مقطع فيديو لهنري رايش من MinutePhysics